中考数学复习专题讲座9：阅读理解型问题(含详细参考答案).doc

1、 1 中考数学复习专题讲座九：阅读理解型问题中考数学复习专题讲座九：阅读理解型问题 一、一、中考中考专题诠释专题诠释 阅读理解型问题在近几年的全国中考试题中频频“亮相”， 特别引起我们的重视.这类问题一般文字叙述 较长，信息量较大，各种关系错综复杂，考查的知识也灵活多样，既考查学生的阅读能力，又考查学生的 解题能力的新颖数学题. 二、解题策略与解法精讲二、解题策略与解法精讲 解决阅读理解问题的关键是要认真仔细地阅读给定的材料，弄清材料中隐含了什么新的数学知识、结 论，或揭示了什么数学规律，或暗示了什么新的解题方法，然后展开联想，将获得的新信息、新知识、新 方法进行迁移，建模应用，解决题目中提出

2、的问题. 三、三、中考中考考点精讲考点精讲 考点一：考点一： 阅读试题提供新定义、新定理，解决新问题阅读试题提供新定义、新定理，解决新问题 例例 1 （十堰）阅读材料： 例：说明代数式 22 1(3)4xx 的几何意义，并求它的最小值 解： 22 1(3)4xx = 222 (0)1(3)2xx ， 如图，建立平面直角坐标系，点 P（x，0）是 x 轴上一点， 则 2 (0)1x可以看成点 P 与点 A（0，1）的距离， 22 (3)2x可以看成点 P 与点 B（3，2）的距离，所以原代数式的值可以看成线段 PA 与 PB 长度之和， 它的最小值就是 PA+PB 的最小值 设点 A 关于 x

3、轴的对称点为 A，则 PA=PA，因此，求 PA+PB 的最小值，只需求 PA+PB 的最小值，而点 A、B 间的直线段距离最短，所以 PA+PB 的最小值为线段 AB 的长度为此，构造直角三角形 ACB，因 为 AC=3，CB=3，所以 AB=32，即原式的最小值为 32 根据以上阅读材料，解答下列问题： （1）代数式 22 (1)1(2)9xx 的值可以看成平面直角坐标系中点 P（x，0）与点 A（1，1）、 点 B 的距离之和（填写点 B 的坐标） （2）代数式 22 491237xxx的最小值为 考点：轴对称-最短路线问题；坐标与图形性质 专题：探究型 解析：（1）先把原式化为 222

4、 (1)1(2)3xx 的形式，再根据题中所给的例子即可得出结论； （2）先把原式化为 222 (0)7(6)1xx的形式，故得出所求代数式的值可以看成平面直角坐标 系中点 P（x，0）与点 A（0，7）、点 B（6，1）的距离之和，再根据在坐标系内描出各点，利用勾股定 2 理得出结论即可 解答：解：（1）原式化为 222 (1)1(2)3xx 的形式， 代数式 222 (1)1(2)3xx 的值可以看成平面直角坐标系中点 P（x，0）与点 A（1，1）、点 B（2，3）的距离之和， 故答案为（2，3）； （2）原式化为 222 (0)7(6)1xx的形式， 所求代数式的值可以看成平面直角坐标

5、系中点 P（x，0）与点 A（0，7）、点 B（6，1）的距离之和， 如图所示：设点 A 关于 x 轴的对称点为 A，则 PA=PA， PA+PB 的最小值，只需求 PA+PB 的最小值，而点 A、B 间的直线段距离最短， PA+PB 的最小值为线段 AB 的长度， A（0，7），B（6，1） A（0，-7），AC=6，BC=8， AB= 2222 68ACBC=10， 故答案为：10 点评：本题考查的是轴对称-最短路线问题，解答此题的关键是根据题中所给给的材料画出图形，再利用 数形结合求解 考点二、阅读试题信息，归纳总结提炼数学思想方法考点二、阅读试题信息，归纳总结提炼数学思想方法 例 2

6、（赤峰）阅读材料： （1）对于任意两个数 a、b 的大小比较，有下面的方法： 当 a-b0 时，一定有 ab； 当 a-b=0 时，一定有 a=b； 当 a-b0 时，一定有 ab 反过来也成立因此，我们把这种比较两个数大小的方法叫做“求差法” （2）对于比较两个正数 a、b 的大小时，我们还可以用它们的平方进行比较： a2-b2=（a+b）（a-b），a+b0 （a2-b2）与（a-b）的符号相同 当 a2-b20 时，a-b0，得 ab 当 a2-b2=0 时，a-b=0，得 a=b 当 a2-b20 时，a-b0，得 ab 解决下列实际问题： （1）课堂上，老师让同学们制作几种几何体，张

7、丽同学用了 3 张 A4 纸，7 张 B5 纸；李明同学用了 2 张 A4 纸，8 张 B5 纸设每张 A4 纸的面积为 x，每张 B5 纸的面积为 y，且 xy，张丽同学的用纸总面积为 3 W1，李明同学的用纸总面积为 W2回答下列问题： W1= （用 x、y 的式子表示） W2= （用 x、y 的式子表示） 请你分析谁用的纸面积最大 （2）如图 1 所示，要在燃气管道 l 上修建一个泵站，分别向 A、B 两镇供气，已知 A、B 到 l 的距离分别 是 3km、4km（即 AC=3km，BE=4km），AB=xkm，现设计两种方案： 方案一：如图 2 所示，APl 于点 P，泵站修建在点 P

8、 处，该方案中管道长度 a1=AB+AP 方案二：如图 3 所示，点 A与点 A 关于 l 对称，AB 与 l 相交于点 P，泵站修建在点 P 处，该方案中管道 长度 a2=AP+BP 在方案一中，a1= km（用含 x 的式子表示）； 在方案二中，a2= km（用含 x 的式子表示）； 请你分析要使铺设的输气管道较短，应选择方案一还是方案二 考点：轴对称-最短路线问题；整式的混合运算 专题：计算题 分析：（1）根据题意得出 3x+7y 和 2x+8y，即得出答案；求出 W1-W2=x-y，根据 x 和 y 的大小比较 即可； （2）把 AB 和 AP 的值代入即可；过 B 作 BMAC 于

9、M，求出 AM，根据勾股定理求出 BM再根 据勾股定理求出 BA，即可得出答案； 求出 a12-a22=6x-39，分别求出 6x-390，6x-39=0，6x-390，即可得出答案 解答：（1）解：W1=3x+7y，W2=2x+8y， 故答案为：3x+7y，2x+8y 解：W1-W2=（3x+7y）-（2x+8y）=x-y， xy， x-y0， W1-W20， 得 W1W2， 所以张丽同学用纸的总面积大 （2）解：a1=AB+AP=x+3， 故答案为：x+3 4 解：过 B 作 BMAC 于 M， 则 AM=4-3=1， 在ABM 中，由勾股定理得：BM2=AB2-12=x2-1， 在AMB

10、 中，由勾股定理得：AP+BP=AB= 222 48AMBMx， 故答案为： 2 48x 解：a12-a22=（x+3）2-（ 2 48x ）2=x2+6x+9-（x2+48）=6x-39， 当 a12-a220（即 a1-a20，a1a2）时，6x-390，解得 x6.5， 当 a12-a22=0（即 a1-a2=0，a1=a2）时，6x-39=0，解得 x=6.5， 当 a12-a220（即 a1-a20，a1a2）时，6x-390，解得 x6.5， 综上所述 当 x6.5 时，选择方案二，输气管道较短， 当 x=6.5 时，两种方案一样， 当 0 x6.5 时，选择方案一，输气管道较短

11、点评：本题考查了勾股定理，轴对称-最短路线问题，整式的运算等知识点的应用，通过做此题培养了学 生的计算能力和阅读能力，题目具有一定的代表性，是一道比较好的题目 考点三、阅读相关信息，通过归纳探索，发现规律，得出结论考点三、阅读相关信息，通过归纳探索，发现规律，得出结论 例例 3 （凉山州）在学习轴对称的时候，老师让同学们思考课本中的探究题 如图（1），要在燃气管道 l 上修建一个泵站，分别向 A、B 两镇供气泵站修在管道的什么地方，可使所 用的输气管线最短？ 你可以在 l 上找几个点试一试，能发现什么规律？ 聪明的小华通过独立思考，很快得出了解决这个问题的正确办法他把管道 l 看成一条直线（图

12、（2）， 5 问题就 转化为，要在直 线 l 上找一 点 P ，使 AP 与 BP 的和最小他 的做法是这样的 ： 作点 B 关于直线 l 的对称点 B 连接 AB交直线 l 于点 P，则点 P 为所求 请你参考小华的做法解决下列问题如图在ABC 中，点 D、E 分别是 AB、AC 边的中点，BC=6，BC 边上的高为 4，请你在 BC 边上确定一点 P，使PDE 得周长最小 （1）在图中作出点 P（保留作图痕迹，不写作法） （2）请直接写出PDE 周长的最小值： 考点：轴对称-最短路线问题 分析：（1）根据提供材料 DE 不变，只要求出 DP+PE 的最小值即可，作 D 点关于 BC 的对称

13、点 D，连接 DE，与 BC 交于点 P，P 点即为所求； （2）利用中位线性质以及勾股定理得出 DE 的值，即可得出答案 解答：解：（1）如图，作 D 点关于 BC 的对称点 D，连接 DE，与 BC 交于点 P， P 点即为所求； （2）点 D、E 分别是 AB、AC 边的中点， DE 为ABC 中位线， BC=6，BC 边上的高为 4， DE=3，DD=4， DE= 2222 34DE DD =5， PDE 周长的最小值为：DE+DE=3+5=8， 故答案为：8 点评：此题主要考查了利用轴对称求最短路径以及三角形中位线的知识，根据已知得出要求PDE 周长的 最小值，求出 DP+PE 的最

14、小值即可是解题关键 考点四、阅读试题信息，借助已有数学思想方法解决新问题考点四、阅读试题信息，借助已有数学思想方法解决新问题 例例 4 （重庆）已知：如图，在直角梯形 ABCD 中，ADBC，B=90 ，AD=2，BC=6，AB=3E 为 BC 6 边上一点，以 BE 为边作正方形 BEFG，使正方形 BEFG 和梯形 ABCD 在 BC 的同侧 （1）当正方形的顶点 F 恰好落在对角线 AC 上时，求 BE 的长； （2）将（1）问中的正方形 BEFG 沿 BC 向右平移，记平移中的正方形 BEFC 为正方形 BEFG，当点 E 与 点 C 重合时停止平移设平移的距离为 t，正方形 BEFG

15、 的边 EF 与 AC 交于点 M，连接 BD，BM，DM， 是否存在这样的 t，使BDM 是直角三角形？若存在，求出 t 的值；若不存在，请说明理由； （3）在（2）问的平移过程中，设正方形 BEFG 与ADC 重叠部分的面积为 S，请直接写出 S 与 t 之间的 函数关系式以及自变量 t 的取值范围 考点：相似三角形的判定与性质；勾股定理；正方形的性质；直角梯形 专题：代数几何综合题 分析：（1）首先设正方形 BEFG 的边长为 x，易得AGFABC，根据相似三角形的对应边成比例， 即可求得 BE 的长； （2）首先利用MECABC 与勾股定理，求得 BM，DM 与 BD 的平方，然后分别

16、从若DBM=90， 则 DM2=BM2+BD2，若DBM=90，则 DM2=BM2+BD2，若BDM=90，则 BM2=BD2+DM2去分析， 即可得到方程，解方程即可求得答案； （3）分别从当 0t 4 3 时，当 4 3 t2 时，当 2t10 3 时，当10 3 t4 时去分析求解即可求得答案 解答：解：（1）如图， 设正方形 BEFG 的边长为 x， 则 BE=FG=BG=x， AB=3，BC=6， AG=AB-BG=3-x， GFBE， AGFABC， AGGF ABBC ， 即 3 36 xx ， 解得：x=2， 7 即 BE=2； （2）存在满足条件的 t， 理由：如图，过点 D

17、 作 DHBC 于 H， 则 BH=AD=2，DH=AB=3， 由题意得：BB=HE=t，HB=|t-2|，EC=4-t， EFAB， MECABC， MEEC ABBC ，即 4 36 MEt ， ME=2- 1 2 t， 在 RtBME 中，BM2=ME2+BE2=22+（2- 1 2 t）2= 1 4 t2-2t+8， 在 RtDHB中，BD2=DH2+BH2=32+（t-2）2=t2-4t+13， 过点 M 作 MNDH 于 N， 则 MN=HE=t，NH=ME=2- 1 2 t， DN=DH-NH=3-（2- 1 2 t）= 1 2 t+1， 在 RtDMN 中，DM2=DN2+MN

18、2= 5 4 t2+t+1， （）若DBM=90，则 DM2=BM2+BD2， 即 5 4 t2+t+1=（ 1 4 t2-2t+8）+（t2-4t+13）， 解得：t= 20 7 ， （）若BMD=90，则 BD2=BM2+DM2， 即 t2-4t+13=（ 1 4 t2-2t+8）+（ 5 4 t2+t+1）， 解得：t1=-3+17，t2=-3-17（舍去）， t=-3+17； （）若BDM=90，则 BM2=BD2+DM2， 即： 1 4 t2-2t+8=（t2-4t+13）+（ 5 4 t2+t+1）， 此方程无解， 综上所述，当 t= 20 7 或-3+17时，BDM 是直角三角形

19、； 8 （3）如图，当 F 在 CD 上时，EF：DH=CE：CH， 即 2：3=CE：4， CE= 8 3 ， t=BB=BC-BE-EC=6-2- 8 3 = 4 3 ， ME=2- 1 2 t， FM= 1 2 t， 当 0t 4 3 时，S=SFMN= 1 2 t1 2 t= 1 4 t2， 如图，当 G 在 AC 上时，t=2， EK=ECtanDCB=EC DH CH = 3 4 （4-t）=3- 3 4 t， FK=2-EK= 3 4 t-1， NL= 2 3 AD= 4 3 ， FL=t- 4 3 ， 当 4 3 t2 时，S=SFMN-SFKL= 1 4 t2- 1 2 （t

20、- 4 3 ）（ 3 4 t-1）=- 1 8 t2+t- 2 3 ； 如图，当 G 在 CD 上时，BC：CH=BG：DH， 即 BC：4=2：3， 解得：BC= 8 3 ， EC=4-t=BC-2= 2 3 ， t=10 3 ， BN= 1 2 BC= 1 2 （6-t）=3- 1 2 t， GN=GB-BN= 1 2 t-1， 当 2t10 3 时，S=S梯形GNMF-SFKL= 1 2 2 （ 1 2 t-1+ 1 2 t）- 1 2 （t- 4 3 ）（ 3 4 t-1）=- 3 8 t2+2t- 5 3 ， 9 如图，当10 3 t4 时， BL= 3 4 BC= 3 4 （6-t

21、），EK= 3 4 EC= 3 4 （4-t），BN= 1 2 BC= 1 2 （6-t）EM= 1 2 EC= 1 2 （4-t）， S=S梯形MNLK=S梯形BEKL-S梯形BEMN=- 1 2 t+ 5 2 综上所述： 当 0t 4 3 时，S= 1 4 t2， 当 4 3 t2 时，S=- 1 8 t2+t- 2 3 ； 当 2t10 3 时，S=- 3 8 t2+2t- 5 3 ， 当 10 3 t4 时，S=- 1 2 t+ 5 2 点评：此题考查了相似三角形的判定与性质、正方形的性质、直角梯形的性质以及勾股定理等知识此题 难度较大，注意数形结合思想、方程思想与分类讨论思想的应用，

22、注意辅助线的作法 四、中考真题演练四、中考真题演练 1（宁波）邻边不相等的平行四边形纸片，剪去一个菱形，余下一个四边形，称为第一次操作；在余下 的四边形纸片中再剪去一个菱形，又剩下一个四边形，称为第二次操作；依此类推，若第 n 次操作余下 的四边形是菱形，则称原平行四边形为 n 阶准菱形如图 1，ABCD 中，若 AB=1，BC=2，则ABCD 为 1 阶准菱形 （1）判断与推理： 邻边长分别为 2 和 3 的平行四边形是 阶准菱形； 小明为了剪去一个菱形，进行了如下操作：如图 2，把ABCD 沿 BE 折叠（点 E 在 AD 上），使点 A 落 在 BC 边上的点 F，得到四边形 ABFE请

23、证明四边形 ABFE 是菱形 （2）操作、探究与计算： 已知ABCD 的邻边长分别为 1，a（a1），且是 3 阶准菱形，请画出ABCD 及裁剪线的示意图，并在 10 图形下方写出 a 的值； 已知ABCD 的邻边长分别为 a，b（ab），满足 a=6b+r，b=5r，请写出ABCD 是几阶准菱形 考点：图形的剪拼；平行四边形的性质；菱形的性质；作图应用与设计作图 分析：（1）根据邻边长分别为 2 和 3 的平行四边形进过两次操作即可得出所剩四边形是菱形，即可得 出答案； 根据平行四边形的性质得出 AEBF，进而得出 AE=BF，即可得出答案； （2）利用 3 阶准菱形的定义，即可得出答案；

24、根据 a=6b+r，b=5r，用 r 表示出各边长，进而利用图形得出ABCD 是几阶准菱形 解答：解：（1）利用邻边长分别为 2 和 3 的平行四边形进过两次操作，所剩四边形是边长为 1 的菱形， 故邻边长分别为 2 和 3 的平行四边形是 2 阶准菱形； 故答案为：2； 由折叠知：ABE=FBE，AB=BF， 四边形 ABCD 是平行四边形， AEBF， AEB=FBE， AEB=ABE， AE=AB， AE=BF， 四边形 ABFE 是平行四边形， 四边形 ABFE 是菱形； （2） 如图所示： ， a=6b+r，b=5r， a=6 5r+r=31r； 如图所示： 故ABCD 是 10 阶

25、准菱形 点评：此题主要考查了图形的剪拼以及菱形的判定，根据已知 n 阶准菱形定义正确将平行四边形分割是解 题关键 11 2（淮安）阅读理解 如图 1，ABC 中，沿BAC 的平分线 AB1折叠，剪掉重复部分；将余下部分沿B1A1C 的平分线 A1B2 折叠，剪掉重复部分；将余下部分沿BnAnC 的平分线 AnBn+1折叠，点 Bn与点 C 重合，无论折叠多 少次，只要最后一次恰好重合，BAC 是ABC 的好角 小丽展示了确定BAC 是ABC 的好角的两种情形情形一：如图 2，沿等腰三角形 ABC 顶角BAC 的 平分线 AB1折叠，点 B 与点 C 重合；情形二：如图 3，沿BAC 的平分线

26、AB1折叠，剪掉重复部分；将 余下部分沿B1A1C 的平分线 A1B2折叠，此时点 B1与点 C 重合 探究发现 （1） ABC 中， B=2C， 经过两次折叠， BAC 是不是ABC 的好角？ （填“是”或“不是”） （2）小丽经过三次折叠发现了BAC 是ABC 的好角，请探究B 与C（不妨设BC）之间的等 量关系根据以上内容猜想：若经过 n 次折叠BAC 是ABC 的好角，则B 与C（不妨设BC） 之间的等量关系为 应用提升 （3）小丽找到一个三角形，三个角分别为 15 、60 、105 ，发现 60 和 105 的两个角都是此三角形的好角 请你完成，如果一个三角形的最小角是 4 ，试求出

27、三角形另外两个角的度数，使该三角形的三个角均是此 三角形的好角 考点：翻折变换（折叠问题） 专题：压轴题；规律型 分析：（1）在小丽展示的情形二中，如图 3，根据根据三角形的外角定理、折叠的性质推知B=2C； （2）根据折叠的性质、根据三角形的外角定理知A1A2B2=C+A2B2C=2C； 根 据 四 边 形 的 外 角 定 理 知 BAC+2B-2C=180 ， 根 据 三 角 形ABC的 内 角 和 定 理 知 BAC+B+C=180 ，由可以求得B=3C； 利用数学归纳法，根据小丽展示的三种情形得出结论：B=nC； （3）利用（2）的结论知B=nC，BAC 是ABC 的好角，C=nA，A

28、BC 是ABC 的好角， A=nB， BCA 是ABC 的好角； 然后三角形内角和定理可以求得另外两个角的度数可以是 88 、 88 解答：解：（1）ABC 中，B=2C，经过两次折叠，BAC 是ABC 的好角； 理由如下：小丽展示的情形二中，如图 3， 沿BAC 的平分线 AB1折叠， B=AA1B1； 又将余下部分沿B1A1C 的平分线 A1B2折叠，此时点 B1与点 C 重合， A1B1C=C； AA1B1=C+A1B1C（外角定理）， B=2C； 故答案是：是； 12 （2）B=3C；如图所示，在ABC 中，沿BAC 的平分线 AB1折叠，剪掉重复部分；将余下部分沿 B1A1C 的平分

29、线 A1B2折叠，剪掉重复部分，将余下部分沿B2A2C 的平分线 A2B3折叠，点 B2与点 C 重合，则BAC 是ABC 的好角 证明如下：根据折叠的性质知，B=AA1B1，C=A2B2C，A1 B1C=A1A2B2， 根据三角形的外角定理知，A1A2B2=C+A2B2C=2C； 根据四边形的外角定理知，BAC+B+AA1B1-A1 B1C=BAC+2B-2C=180 ， 根据三角形 ABC 的内角和定理知，BAC+B+C=180 ， B=3C； 由小丽展示的情形一知，当B=C 时，BAC 是ABC 的好角； 由小丽展示的情形二知，当B=2C 时，BAC 是ABC 的好角； 由小丽展示的情形

30、三知，当B=3C 时，BAC 是ABC 的好角； 故若经过 n 次折叠BAC 是ABC 的好角， 则B 与C （不妨设BC） 之间的等量关系为B=nC； （3）由（2）知，B=nC，BAC 是ABC 的好角， C=nA，ABC 是ABC 的好角，A=nB，BCA 是ABC 的好角， 如果一个三角形的最小角是 4 ，三角形另外两个角的度数是 4、172；8、168；16、160；44、132；88 、 88 点评：本题考查了翻折变换（折叠问题）解答此题时，充分利用了三角形内角和定理、三角形外角定理 以及折叠的性质难度较大 3（南京）下框中是小明对一道题目的解答以及老师的批改 题目：某村计划建造如

31、图所示的矩形蔬菜温室，要求长与宽的比为 2：1，在温室内，沿前侧内墙保留 3m 的空地， 其他三侧内墙各保留1m的通道， 当温室的长与宽各为多少时， 矩形蔬菜种植区域的面积是288m2？ 解：设矩形蔬菜种植区域的宽为 xm，则长为 2xm， 根据题意，得 x2x=288 解这个方程，得 x1=-12（不合题意，舍去），x2=12 所以温室的长为 2 12+3+1=28（m），宽为 12+1+1=14（m） 答：当温室的长为 28m，宽为 14m 时，矩形蔬菜种植区域的面积是 288m2 13 我的结果也正确！ 小明发现他解答的结果是正确的，但是老师却在他的解答中画了一条横线，并打了一个？ 结果

32、为何正确呢？ （1）请指出小明解答中存在的问题，并补充缺少的过程： 变化一下会怎样 （2）如图，矩形 ABCD在矩形 ABCD 的内部，ABAB，ADAD，且 AD：AB=2：1，设 AB 与 AB、 BC 与 BC、CD 与 CD、DA 与 DA之间的距离分别为 a、b、c、d，要使矩形 ABCD矩形 ABCD，a、 b、c、d 应满足什么条件？请说明理由 考点：相似多边形的性质；一元二次方程的应用 分析：（1）根据题意可得小明没有说明矩形蔬菜种植区域的长与宽之比为 2：1 的理由，所以应设矩形蔬 菜种植区域的宽为 xm，则长为 2xm，然后由题意得方程 23 124 1 12 yy yy

33、=2，矩形蔬菜种植区域的长 与宽之比为 2：1，再利用小明的解法求解即可； （2）由使矩形 ABCD矩形 ABCD，利用相似多边形的性质，可得 A DAD A BAB ，即 ()2 ()1 ADac ABbd ，然后利用比例的性质，即可求得答案 解答：解：（1）小明没有说明矩形蔬菜种植区域的长与宽之比为 2：1 的理由 在“设矩形蔬菜种植区域的宽为 xm，则长为 2xm”前补充以下过程： 设温室的宽为 ym，则长为 2ym 则矩形蔬菜种植区域的宽为（y-1-1）m，长为（2y-3-1）m 23 124 1 12 yy yy =2， 矩形蔬菜种植区域的长与宽之比为 2：1； （2）要使矩形 AB

34、CD矩形 ABCD， 就要 A DAD A BAB ，即 ()2 ()1 ADac ABbd ， 即 2()2 ()1 ABac ABbd ， 即 ac bd =2 点评：此题考查了相似多边形的性质此题属于阅读性题目，注意理解题意，读懂题目是解此题的关键 14 4（鸡西）如图，在平面直角坐标系中，已知 RtAOB 的两条直角边 OA、OB 分别在 y 轴和 x 轴上，并 且 OA、OB 的长分别是方程 x2-7x+12=0 的两根（OAOB），动点 P 从点 A 开始在线段 AO 上以每秒 1 个单位长度的速度向点 0 运动；同时，动点 Q 从点 B 开始在线段 BA 上以每秒 2 个单位长度

35、的速度向点 A 运动，设点 P、Q 运动的时间为 t 秒 （1）求 A、B 两点的坐标 （2）求当 t 为何值时，APQ 与AOB 相似，并直接写出此时点 Q 的坐标 （3）当 t=2 时，在坐标平面内，是否存在点 M，使以 A、P、Q、M 为顶点的四边形是平行四边形？若存 在，请直接写出 M 点的坐标；若不存在，请说明理由 考点：相似形综合题；解一元二次方程-因式分解法；平行四边形的判定；矩形的性质；相似三角形的判 定与性质 分析：（1）解一元二次方程，求出 OA、OB 的长度，从而得到 A、B 点的坐标； （2）APQ 与AOB 相似时，存在两种情况，需要分类讨论，不要遗漏，如图（2）所示

36、； （3）本问关键是找齐平行四边形的各种位置与性质，如图（3）所示在求 M1，M2坐标时，注意到 M1， M2与 Q 点坐标的对应关系，则容易求解；在求 M3坐标时，可以利用全等三角形，得到线段之间关系 解答：解：（1）解方程 x2-7x+12=0，得 x1=3，x2=4， OAOB，OA=3，OB=4 A（0，3），B（4，0） （2）在 RtAOB 中，OA=3，OB=4，AB=5，AP=t，QB=2t，AQ=5-2t APQ 与AOB 相似，可能有两种情况： （I）APQAOB，如图（2）a 所示 则有 APAQ AOAB ，即 52 35 tt ，解得 t=15 11 15 此时 OP

37、=OA-AP=18 11 ，PQ=APtanA= 20 11 ，Q（ 20 11 ， 18 11 ）； （II）APQABO，如图（2）b 所示 则有 APAQ ABAO ，即 52 53 tt ，解得 t= 25 13 此时 AQ= 25 13 ，AH=AQcosA= 9 13 ，HQ=AQsinA=12 13 ，OH=OA-AH= 30 13 ， Q（12 13 ， 30 13 ） 综上所述，当 t=15 11 秒或 t= 25 13 秒时，APQ 与AOB 相似，所对应的 Q 点坐标分别为（ 20 11 ，18 11 ）或 （ 12 13 ， 30 13 ） （3）结论：存在如图（3）所

38、示 t=2，AP=2，AQ=1，OP=1 过 Q 点作 QEy 轴于点 E，则 QE=AQsinQAP= 4 5 ，AE=AQcosQAP= 3 5 ， OE=OA-AE= 12 5 ，Q（ 4 5 ，12 5 ） APQM1，QM1x 轴，且 QM1=AP=2，M1（ 4 5 ， 2 5 ）； APQM2，QM2x 轴，且 QM2=AP=2，M2（ 4 5 ， 22 5 ）； 如图（3），过 M3点作 M3Fy 轴于点 F， AQPM3，M3P=AQ，QAE=M3PF，PM3F=AQE； 在M3PF 与QAE 中，QAE=M3PF，M3P=AQ，PM3F=AQE， M3PFQAE， M3F=

39、QE= 4 5 ，PF=AE= 3 5 ，OF=OP+PF= 8 5 ，M3（- 4 5 ， 8 5 ） 当 t=2 时，在坐标平面内，存在点 M，使以 A、P、Q、M 为顶点的四边形是平行四边形 点 M 的坐标为：M1（ 4 5 ， 2 5 ），M2（ 4 5 ， 22 5 ），M3（- 4 5 ， 8 5 ） 点评：本题是动点型压轴题，综合考查了相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、解一元二 次方程、平行四边形等知识点本题难点在于分类讨论思想的应用，第（2）（3）问中，均涉及到多种情 况，需要逐一分析不能遗漏；另外注意解答中求动点时刻 t 和点的坐标的过程中，全等三角形、相似三角

40、 16 形、三角函数等知识发挥了重要作用，这是解答压轴题的常见技巧，需要熟练掌握 5（长春）如图，在 RtABC 中，ACB=90 ，AC=8cm，BC=4cmD、E 分别为边 AB、BC 的中点， 连接 DE点 P 从点 A 出发，沿折线 AD-DE-EB 运动，到点 B 停止点 P 在线段 AD 上以5cm/s 的速度 运动，在折线 DE-EB 上以 1cm/s 的速度运动当点 P 与点 A 不重合时，过点 P 作 PQAC 于点 Q，以 PQ 为边作正方形 PQMN，使点 M 在线段 AQ 上设点 P 的运动时间为 t（s） （1）当点 P 在线段 DE 上运动时，线段 DP 的长为 c

41、m（用含 t 的代数式表示） （2）当点 N 落在 AB 边上时，求 t 的值 （3）当正方形 PQMN 与ABC 重叠部分图形为五边形时，设五边形的面积为 S（cm2），求 S 与 t 的函数 关系式 （4）连接 CD，当点 N 与点 D 重合时，有一点 H 从点 M 出发，在线段 MN 上以 2.5cm/s 的速度沿 M-N-M 连续做往返运动，直至点 P 与点 E 重合时，点 H 停止往返运动；当点 P 在线段 EB 上运动时，点 H 始终 在线段 MN 的中点处，直接写出在点 P 的整个运动过程中，点 H 落在线段 CD 上时 t 的取值范围 考点：相似形综合题 分析：（1）点 P 在

42、 AD 段的运动时间为 2s，则 DP 的长度为（t-2）cm； （2）当点 N 落在 AB 边上时，有两种情况，如图（2）所示利用运动线段之间的数量关系求出时间 t 的 值； （3）当正方形 PQMN 与ABC 重叠部分图形为五边形时，有两种情况，如图（3）所示分别用时间 t 表示各相关运动线段的长度，然后利用“S=S梯形AQPD-SAMF= 1 2 （PG+AC）PC- 1 2 AMFM”求出面积 S 的表 达式； （4）本问涉及双点的运动，首先需要正确理解题意，然后弄清点 H、点 P 的运动过程： 当 4t6 时，此时点 P 在线段 DE 上运动，如图（4）a 所示此时点 H 将两次落在

43、线段 CD 上； 当 6t8 时，此时点 P 在线段 EB 上运动，如图（4）b 所示此时 MN 与 CD 的交点始终是线段 MN 的中 点，即点 H 解答：解：（1）在 RtABC 中，AC=8cm，BC=4cm， AB= 2222 844 5ACBC， D 为 AB 中点，AD=25， 点 P 在 AD 段的运动时间为 2 5 5 =2s 当点 P 在线段 DE 上运动时，DP 段的运动时间为（t-2）s， DE 段运动速度为 1cm/s，DP=（t-2）cm （2）当点 N 落在 AB 边上时，有两种情况，如下图所示： 17 如图（2）a，此时点 D 与点 N 重合，P 位于线段 DE

44、上 由三角形中位线定理可知，DM= 1 2 BC=2，DP=DM=2 由（1）知，DP=t-2，t-2=2，t=4； 如图（2）b，此时点 P 位于线段 EB 上 DE= 1 2 AC=4，点 P 在 DE 段的运动时间为 4s， PE=t-6，PB=BE-PE=8-t，PC=PE+CE=t-4 PNAC，PN：PB=AC：BC=2，PN=2PB=16-2t 由 PN=PC，得 16-2t=t-4，解得 t= 20 3 所以，当点 N 落在 AB 边上时，t=4 或 t= 20 3 （3）当正方形 PQMN 与ABC 重叠部分图形为五边形时，有两种情况，如下图所示： 当 2t4 时，如图（3）

45、a 所示 DP=t-2，PQ=2，CQ=PE=DE-DP=4-（t-2）=6-t，AQ=AC-CQ=2+t，AM=AQ-MQ=t MNBC，FM：AM=BC：AC=1：2，FM= 1 2 AM= 1 2 t S=S梯形AQPD-SAMF= 1 2 （DP+AQ）PQ- 1 2 AMFM= 1 2 （t-2）+（2+t） 2- 1 2 t 1 2 t=- 1 4 t2+2t； 当 20 3 t8 时，如图（3）b 所示 PE=t-6，PC=CM=PE+CE=t-4，AM=AC-CM=12-t，PB=BE-PE=8-t， FM= 1 2 AM=6- 1 2 t，PG=2PB=16-2t， S=S梯

46、形AQPD-SAMF= 1 2（PG+AC） PC- 1 2 AMFM= 1 2 （16-2t） +8 （t-4） - 1 2（12-t） （6- 1 2 t） =- 5 4 t2+22t-84 18 综上所述，S 与 t 的关系式为：S= 2 2 1 2 (24) 4 520 2284(8) 43 ttt ttt 。 （4）依题意，点 H 与点 P 的运动分为两个阶段，如下图所示： 当 4t6 时，此时点 P 在线段 DE 上运动，如图（4）a 所示 此阶段点 P 运动时间为 2s，因此点 H 运动距离为 2.5 2=5cm，而 MN=2， 则此阶段中，点 H 将有两次机会落在线段 CD 上

47、： 第一次：此时点 H 由 M-H 运动时间为（t-4）s，运动距离 MH=2.5（t-4）cm，NH=2-MH=12-2.5t； 又 DP=t-2，DN=DP-2=t-4，由 DN=2NH 得到：t-4=2（12-2.5t），解得 t=14 3 ； 第二次：此时点 H 由 N-H 运动时间为 t-4- 2 2.5 =（t-4.8）s，运动距离 NH=2.5（t-4.8）=2.5t-12； 又 DP=t-2，DN=DP-2=t-4，由 DN=2NH 得到：t-4=2（2.5t-12），解得 t=5； 当 6t8 时，此时点 P 在线段 EB 上运动，如图（4）b 所示 由图可知，在此阶段，始终

48、有 MH= 1 2 MC，即 MN 与 CD 的交点始终为线段 MN 的中点，即点 H 综上所述，在点 P 的整个运动过程中，点 H 落在线段 CD 上时 t 的取值范围是：t=14 3 或 t=5 或 6t8 点评：本题是运动型综合题，涉及到动点型（两个动点）和动线型，运动过程复杂，难度颇大，对同学们 的解题能力要求很高读懂题意，弄清动点与动线的运动过程，是解题的要点注意第（2）、 （3）、 （4） 问中，分别涉及多种情况，需要进行分类讨论，避免因漏解而失分 6（丽水）小明参加班长竞选，需进行演讲答辩与民主测评，民主测评时一人一票，按“优秀、良好、一 般”三选一投票如图是 7 位评委对小明“演讲答辩”的评分统计图及全班 50 位同学民主测评票数统计图 19 （1）求评委给小明演讲答辩分数的众数，以及民主测评为“良好”票数的扇形圆心角度数； （2）求小明的综合得分是多少？ （3）在竞选中，小亮的民主测评得分为 82 分，如果他的综合得分不小于小明的综合得分，他的演讲答辩 得分至少要多少分？ 考点：条形统计图；一元一次不等式的应用；扇形统计图；加