中考数学复习专题讲座6:数学思想方法(2)(含详细参考答案).doc
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1、 1 中考数学复习专题讲座六:数学思想方法(二)中考数学复习专题讲座六:数学思想方法(二) 一、一、中考中考专题诠释专题诠释 数学思想方法是指对数学知识和方法形成的规律性的理性认识, 是解决数学问题的根本 策略。数学思想方法揭示概念、原理、规律的本质,是沟通基础知识与能力的桥梁,是数学 知识的重要组成部分。 数学思想方法是数学知识在更高层次上的抽象和概括, 它蕴含于数学 知识的发生、发展和应用的过程中。 抓住数学思想方法,善于迅速调用数学思想方法,更是提高解题能力根本之所在因 此,在复习时要注意体会教材例题、习题以及中考试题中所体现的数学思想和方法,培养用 数学思想方法解决问题的意识 二、解题
2、策略和解法精讲二、解题策略和解法精讲 数学思想方法是数学的精髓, 是读书由厚到薄的升华, 在复习中一定要注重培养在解题 中提炼数学思想的习惯,中考常用到的数学思想方法有:整体思想、转化思想、函数与方程 思想、数形结合思想、分类讨论思想等在中考复习备考阶段,教师应指导学生系统总结这 些数学思想与方法, 掌握了它的实质, 就可以把所学的知识融会贯通, 解题时可以举一反三。 三、三、中考中考考点精讲考点精讲 考点四:方程思想考点四:方程思想 从分析问题的数量关系入手,适当设定未知数,把所研究的数学问题中已知量和未知从分析问题的数量关系入手,适当设定未知数,把所研究的数学问题中已知量和未知 量之间的数
3、量关系,转化为方程或方程组的数学模型,从而使量之间的数量关系,转化为方程或方程组的数学模型,从而使问题得到解决的思维方法问题得到解决的思维方法, 这就是方程思想。这就是方程思想。 用方程思想解题的关键是利用已知条件或公式、定理中的已知结论构造方程用方程思想解题的关键是利用已知条件或公式、定理中的已知结论构造方程(组组)。这种。这种 思想在代数、几何及生活实际中有着广泛的应用。思想在代数、几何及生活实际中有着广泛的应用。 例例 1 (广东)据媒体报道,我国 2009 年公民出境旅游总人数约 5000 万人次,2011 年公 民出境旅游总人数约 7200 万人次,若 2010 年、2011 年公民
4、出境旅游总人数逐年递增,请 解答下列问题: (1)求这两年我国公民出境旅游总人数的年平均增长率; (2)如果 2012 年仍保持相同的年平均增长率,请你预测 2012 年我国公民出境旅游总人数 约多少万人次? 考点: 一元二次方程的应用。810360 专题: 增长率问题。 分析: (1)设年平均增长率为 x根据题意 2010 年公民出境旅游总人数为 5000(1+x) 万人次,2011 年公民出境旅游总人数 5000(1+x)2 万人次根据题意得方程求解; (2)2012 年我国公民出境旅游总人数约 7200(1+x)万人次 解答: 解: (1)设这两年我国公民出境旅游总人数的年平均增长率为
5、x根据题意得 5000(1+x)2 =7200 解得 x1 =0.2=20%,x2 =2.2 (不合题意,舍去) 答:这两年我国公民出境旅游总人数的年平均增长率为 20% (2)如果 2012 年仍保持相同的年平均增长率, 则 2012 年我国公民出境旅游总人数为 7200(1+x)=7200 120%=8640 万人次 答:预测 2012 年我国公民出境旅游总人数约 8640 万人次 点评: 方程是解决应用题、 实际问题和许多方面的数学问题的重要基础知识, 应用范围非 常广泛。 很多数学问题, 特别是有未知数的几何问题, 就需要用方程或方程组的知识来解决。 2 具有方程思想就能够很好地求得问
6、题中的未知元素或未知量, 这对解决和计算有关的数学问 题,特别是综合题,是非常需要的。 例例 2 (桂林)李明到离家 2.1 千米的学校参加初三联欢会,到学校时发现演出道具还放在 家中,此时距联欢会开始还有 42 分钟,于是他立即匀速步行回家,在家拿道具用了 1 分钟, 然后立即匀速骑自行车返回学校已知李明骑自行车到学校比他从学校步行到家用时少 20 分钟,且骑自行车的速度是步行速度的 3 倍 (1)李明步行的速度(单位:米/分)是多少? (2)李明能否在联欢会开始前赶到学校? 考点: 分式方程的应用。810360 专题: 应用题。 分析: (1)设步行速度为 x 米/分,则自行车的速度为 3
7、x 米/分,根据等量关系:骑自行 车到学校比他从学校步行到家用时少 20 分钟可得出方程,解出即可; (2)计算出步行、骑车及在家拿道具的时间和,然后与 42 比较即可作出判断 解答: 解: (1)设步行速度为 x 米/分,则自行车的速度为 3x 米/分, 根据题意得:, 解得:x=70, 经检验 x=70 是原方程的解, 即李明步行的速度是 70 米/分 (2)根据题意得,李明总共需要: 即李明能在联欢会开始前赶到 答:李明步行的速度为 70 米/分,能在联欢会开始前赶到学校 点评: 此题考查了分式方程的应用, 设出步行的速度, 根据等量关系得出方程是解答本题 的关键,注意分式方程一定要检验
8、 考点五:函数思想考点五:函数思想 函数思想是用运动和变化的观点,集合与对应的思想,去分析和研究数学问题中的数函数思想是用运动和变化的观点,集合与对应的思想,去分析和研究数学问题中的数 量关系,建立函数关系或构造函数,运用函数的图象和性质去分析问题、转化问题,从而量关系,建立函数关系或构造函数,运用函数的图象和性质去分析问题、转化问题,从而 使问题获得解决。使问题获得解决。 所谓函数思想的运用,就是对于一个实际问题或数学问题,构建一个相应的函数,从所谓函数思想的运用,就是对于一个实际问题或数学问题,构建一个相应的函数,从 而更快更好地解决问题。构造函数是函数思想的重要体现,运用函数思想要善于抓
9、住事物而更快更好地解决问题。构造函数是函数思想的重要体现,运用函数思想要善于抓住事物 在运动过程中那些保持不变的规律和性质。在运动过程中那些保持不变的规律和性质。 例例 4 (十堰)某工厂计划生产 A、B 两种产品共 50 件,需购买甲、乙两种材料生产一 件 A 产品需甲种材料 30 千克、乙种材料 10 千克;生产一件 B 产品需甲、乙两种材料各 20 千克经测算,购买甲、乙两种材料各 1 千克共需资金 40 元,购买甲种材料 2 千克和乙种 材料 3 千克共需资金 105 元 (1)甲、乙两种材料每千克分别是多少元? (2)现工厂用于购买甲、乙两种材料的资金不超过 38000 元,且生产
10、B 产品不少于 28 件, 问符合条件的生产方案有哪几种? (3)在(2)的条件下,若生产一件 A 产品需加工费 200 元,生产一件 B 产品需加工费 300 元,应选择哪种生产方案,使生产这 50 件产品的成本最低?(成本=材料费+加工费) 3 考点: 一次函数的应用;二元一次方程组的应用;一元一次不等式组的应用。810360 专题: 应用题。 分析: (1)设甲材料每千克 x 元,乙材料每千克 y 元,根据购买甲、乙两种材料各 1 千 克共需资金 40 元,购买甲种材料 2 千克和乙种材料 3 千克共需资金 105 元,可列出方程组 ,解方程组即可得到甲材料每千克 15 元,乙材料每千克
11、 25 元; (2)设生产 A 产品 m 件,生产 B 产品(50m)件,先表示出生产这 50 件产品的材料费 为 15 30m+25 10m+15 20(50m)+25 20(50m)=100m+40000,根据购买甲、乙 两种材料的资金不超过 38000 元得到100m+4000038000,根据生产 B 产品不少于 28 件 得到 50m28,然后解两个不等式求出其公共部分得到 20m22,而 m 为整数,则 m 的 值为 20,21,22,易得符合条件的生产方案; (3)设总生产成本为 W 元,加工费为:200m+300(50m) ,根据成本=材料费+加工费得 到 W=100m+400
12、00+200m+300 (50m) =200m+55000, 根据一次函数的性质得到 W 随 m 的增大而减小,然后把 m=22 代入计算,即可得到最低成本 解答: 解: (1) 设甲材料每千克 x 元, 乙材料每千克 y 元, 则, 解得, 所以甲材料每千克 15 元,乙材料每千克 25 元; (2)设生产 A 产品 m 件,生产 B 产品(50m)件,则生产这 50 件产品的材料费为 15 30m+25 10m+15 20(50m)+25 20(50m)=100m+40000, 由题意:100m+4000038000,解得 m20, 又50m28,解得 m22, 20m22, m 的值为
13、20,21,22, 共有三种方案,如下表: A(件) 20 21 22 B(件) 30 29 28 (3)设总生产成本为 W 元,加工费为:200m+300(50m) , 则 W=100m+40000+200m+300(50m)=200m+55000, W 随 m 的增大而减小,而 m=20,21,22, 当 m=22 时,总成本最低,此时 W=200 22+55000=50600 元 点评: 函数思想是函数概念、 性质等知识更高层次的提炼和概括, 是一种策略性的指导方 法。运用函数思想通常是这样进行的:将问题转化为函数问题,建立函数关系,研究这个函 数,得出相应的结论。 22 (广元)某乡镇
14、要在生活垃圾存放区建一个老年活动中心,这样必须把 1200m3的生活垃 圾运走 (1)假如每天能运 xm3,所需时间为 y 天,写出 y 与 x 之间的函数关系式; (2)若每辆拖拉机一天能运 12m3,则 5 辆这样的拖拉机要用多少天才能运完? (3)在(2)的情况下,运了 8 天后,剩下的任务要在不超过 6 天的时间完成,那么至少需 要增加多少辆这样的拖拉机才能按时完成任务? 4 考点: 反比例函数的应用。810360 分析: (1)根据每天能运 xm3,所需时间为 y 天的积就是 1200m3,即可写出函数关系式; (2)把 x=12 5=60 代入,即可求得天数; (3)首先算出 8
15、天以后剩余的数量,然后计算出 6 天运完所需的拖拉机数,即可求 解 解答: 解: (1)y=; (2)x=12 5=60,代入函数解析式得;y=20(天) ; (3)运了 8 天后剩余的垃圾是 12008 60=720m3 务要在不超过 6 天的时间完成则每天至少运 720 6=120m3, 则需要的拖拉机数是:120 12=10(辆) , 则至少需要增加 105=5 辆这样的拖拉机才能按时完成任务 点评: 本题考查了反比例函数的应用,现实生活中存在大量成反比例函数的两个变量,解答 该类问题的关键是确定两个变量之间的函数关系,然后利用实际意义求解 考点六:数形结合思想考点六:数形结合思想 数形
16、结合思想是指从几何直观的角度数形结合思想是指从几何直观的角度,利用几何图形的性质研究数量关系利用几何图形的性质研究数量关系,寻求代数问寻求代数问 题的解决方法题的解决方法(以形助数以形助数),或利用数量关系来研究几何图形的性质或利用数量关系来研究几何图形的性质,解决几何问题解决几何问题(以数助形以数助形) 的一种数学思想的一种数学思想. 数形结合思想使数量关系和几何图形巧妙地结合起来,使问题得以解决。数形结合思想使数量关系和几何图形巧妙地结合起来,使问题得以解决。 例 5 (襄阳)如图,直线 y=k1x+b 与双曲线 y=相交于 A(1,2) 、B(m,1)两点 (1)求直线和双曲线的解析式;
17、 (2)若 A1(x1,y1) ,A2(x2,y2) ,A3(x3,y3)为双曲线上的三点,且 x1x20 x3, 请直接写出 y1,y2,y3的大小关系式; (3)观察图象,请直接写出不等式 k1x+b的解集 考点: 反比例函数与一次函数的交点问题。810360 专题: 计算题。 分析: (1)将点 A(1,2)代入双曲线 y=,求出 k2的值,将 B(m,1)代入所得 解析式求出 m 的值,再用待定系数法求出 k1x 和 b 的值,可得两函数解析式; 5 (2)根据反比例函数的增减性在不同分支上进行研究; (3)求不等式 k1x+b的解集,就是求 k1x+b时自变量的 x 的范围,从图象上
18、看: 直线在双曲线上方,这是“以形助数以形助数” 根据 A、B 点的横坐标结合图象进行解答 解答: 解: (1)双曲线 y=经过点 A(1,2) , k2=2, 双曲线的解析式为:y= 点 B(m,1)在双曲线 y= 上, m=2,则 B (2,1) 由点 A(1,2) ,B(2,1)在直线 y=k1x+b 上, 得, 解得, 直线的解析式为:y=x+1 (2)在第三象限内 y 随 x 的增大而减小,故 y2y10, 又y3是正数,故 y30, y2y1y3 (3)由图可知,x1 或2x0 点评:数形结合就是根据数学问题的条件和结论之间的内在联系,既分析其代数意义,又揭 示其几何直观,使数量关
19、系的精确刻划与几何图形的直观形象巧妙、和谐地结合在一起,充 分利用这种结合,寻找解题思路,使问题化难为易、化繁为简,从而得到解决。 例例 7 (济南)如图 1,抛物线 y=ax2+bx+3 与 x 轴相交于点 A(3,0) ,B(1,0) ,与 y 轴相交于点 C,O1为ABC 的外接圆,交抛物线于另一点 D (1)求抛物线的解析式; (2)求 cosCAB 的值和O1的半径; (3)如图 2,抛物线的顶点为 P,连接 BP,CP,BD,M 为弦 BD 中点,若点 N 在坐标平 面内,满足BMNBPC,请直接写出所有符合条件的点 N 的坐标 6 考点: 二次函数综合题。810360 分析: (
20、1)利用待定系数法求出抛物线的解析式; (2)如答图 1 所示,由AOC 为等腰直角三角形,确定CAB=45 ,从而求出其三角函数 值;由圆周角定理,确定BO1C 为等腰直角三角形,从而求出半径的长度; (3)如答图 2 所示,首先利用圆及抛物线的对称性求出点 D 坐标,进而求出点 M 的坐标 和线段 BM 的长度;点 B、P、C 的坐标已知,求出线段 BP、BC、PC 的长度;然后利用 BMNBPC 相似三角形比例线段关系,求出线段 BN 和 MN 的长度;最后利用两点间 的距离公式,列出方程组,求出点 N 的坐标 解答: 解: (1)抛物线 y=ax2+bx+3 与 x 轴相交于点 A(3
21、,0) ,B(1,0) , , 解得 a=1,b=4, 抛物线的解析式为:y=x2+4x+3 (2)由(1)知,抛物线解析式为:y=x2+4x+3, 令 x=0,得 y=3, C(0,3) , OC=OA=3,则AOC 为等腰直角三角形, CAB=45 , cosCAB= 在 RtBOC 中,由勾股定理得:BC= 如答图 1 所示,连接 O1B、O1B, 由圆周角定理得:BO1C=2BAC=90 , BO1C 为等腰直角三角形, O1的半径 O1B=BC= 7 (3)抛物线 y=x2+4x+3=(x+2)21, 顶点 P 坐标为(2,1) ,对称轴为 x=2 又A(3,0) ,B(1,0) ,
22、可知点 A、B 关于对称轴 x=2 对称 如答图 2 所示,由圆及抛物线的对称性可知:点 D、点 C(0,3)关于对称轴对称, D(4,3) 又点 M 为 BD 中点,B(1,0) , M(, ) , BM=; 在BPC 中,B(1,0) ,P(2,1) ,C(0,3) , 由两点间的距离公式得:BP=,BC=,PC= BMNBPC, ,即, 解得:BN=,MN= 设 N(x,y) ,由两点间的距离公式可得: , 解之得, 点 N 的坐标为( ,)或( ,) 8 点评: 本题综合考查了二次函数的图象与性质、待定系数法、圆的性质、相似三角形、勾 股定理、 两点间的距离公式等重要知识点, 涉及的考
23、点较多, 试题难度较大 难点在于第 (3) 问,需要认真分析题意,确定符合条件的点 N 有两个,并画出草图;然后寻找线段之间的 数量关系,最终正确求得点 N 的坐标 四、中考真题训练四、中考真题训练 一、选择题一、选择题 1 (贵港)如图,已知直线 y1=x+m 与 y2=kx1 相交于点 P(1,1) ,则关于 x 的不等式 x+mkx1 的解集在数轴上表示正确的是( ) 9 A B C D 考点: 一次函数与一元一次不等式;在数轴上表示不等式的解集。810360 分析: 根据图象和交点坐标得出关于 x 的不等式 x+mkx1 的解集是 x1,即可得 出答案 解答: 解:直线 y1=x+m
24、与 y2=kx1 相交于点 P(1,1) , 根据图象可知:关于 x 的不等式 x+mkx1 的解集是 x1, 在数轴上表示为:, 故选 B 点评: 本题考查了一次函数与一元一次不等式, 在数轴上表示不等式的解集, 主要培养学 生的观察图象的能力和理解能力 5 (柳州)小兰画了一个函数 y=的图象如图,那么关于 x 的分式方程=2 的解是 ( ) Ax=1 B x=2 C x=3 Dx=4 考点: 反比例函数的图象。810360 10 分析: 关于 x 的分式方程=2 的解就是函数 y=中, 纵坐标 y=2 时的横坐标 x 的 值,据此即可求解 解答: 解:关于 x 的分式方程=2 的解就是函
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