专题7:几何辅助线(图)作法探讨(中考数学解题专题指导).doc
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1、 1 【中考攻略】【中考攻略】专题专题 7:几何辅助线(图)作法探讨:几何辅助线(图)作法探讨 一些几何题的证明或求解,由原图形分析探究,有时显得十分复杂,若通过适当的变换,即添加适当 的辅助线(图) ,将原图形转换成一个完整的、特殊的、简单的新图形,则能使原问题的本质得到充分的 显示,通过对新图形的分析,原问题顺利获解。网络上有许多初中几何常见辅助线作法歌诀,下面这一套 是很好的: 人说几何很困难,难点就在辅助线。辅助线,如何添?把握定理和概念。 还要刻苦加钻研,找出规律凭经验。 三角形 图中有角平分线,可向两边作垂线。也可将图对折看,对称以后关系现。 角平分线平行线,等腰三角形来添。角平分
2、线加垂线,三线合一试试看。 线段垂直平分线,常向两端把线连。要证线段倍与半,延长缩短可试验。 三角形中两中点,连接则成中位线。三角形中有中线,延长中线等中线。 四边形 平行四边形出现,对称中心等分点。梯形里面作高线,平移一腰试试看。 平行移动对角线,补成三角形常见。证相似,比线段,添线平行成习惯。 等积式子比例换,寻找线段很关键。直接证明有困难,等量代换少麻烦。 斜边上面作高线,比例中项一大片。 圆 半径与弦长计算,弦心距来中间站。圆上若有一切线,切点圆心半径连。 切线长度的计算,勾股定理最方便。要想证明是切线,半径垂线仔细辨。 是直径,成半圆,想成直角径连弦。弧有中点圆心连,垂径定理要记全。
3、 圆周角边两条弦,直径和弦端点连。弦切角边切线弦,同弧对角等找完。 要想作个外接圆,各边作出中垂线。还要作个内切圆,内角平分线梦圆。 如果遇到相交圆,不要忘作公共弦。内外相切的两圆,经过切点公切线。 若是添上连心线,切点肯定在上面。要作等角添个圆,证明题目少困难。 辅助线,是虚线,画图注意勿改变。假如图形较分散,对称旋转去实验。 基本作图很关键,平时掌握要熟练。解题还要多心眼,经常总结方法显。 切勿盲目乱添线,方法灵活应多变。分析综合方法选,困难再多也会减。 2 虚心勤学加苦练,成绩上升成直线。 在几何题的证明或求解时,需要构成一些基本图形来求证(解)时往往要通过添加辅助线(图)来形 成,添加
4、辅助线(图),构成的基本图形是结果,构造的手段是方法。 笔者从作辅助线的结果和方法两方面将几何辅助线(图)作法归纳为结果(1)构造基本图形; (2)构造等腰(边)三角形:(3)构造直角三角形;(4)构造全等三角形;(5)构造相似三角形;(6) 构造特殊四边形;(7)构造圆的特殊图形;方法(8)基本辅助线;(9)截取和延长变换;(10) 对称变换;(11)平移变换;(12)旋转变换。下面通过近年全国各地中考的实例探讨其应用。 一、构造基本图形:一、构造基本图形:每个几何定理都有与它相对应的几何图形,我们把它叫做基本图形,添辅助 线往往是具有基本图形的性质而基本图形不完整时补完整基本图形。如平行线
5、,垂直线,直角三角形斜边 上中线,三角形、四边形的中位线等。等腰(边)三角形、直角三角形、全等三角形、相似三角形、特殊 四边形和圆的特殊图形也都是基本图形,但我们后面把它们单独表述。 典型例题:典型例题: 例例 1. (湖北襄阳(湖北襄阳 3 分)分)如图,直线 lm,将含有 45 角的三角板 ABC 的直角顶点 C 放在直线 m 上,若 1=25 ,则2 的度数为【 】 A20 B25 C30 D35 【答案】【答案】A。 【考点】【考点】平行线的性质。 【分析】【分析】如图,过点 B 作 BDl, 直线 lm,BDlm。 1=25 ,4=1=25 。 ABC=45 ,3=ABC4=45 2
6、5 =20 。 2=3=20 。故选 A。 例例 2.(四川(四川内江内江 3 分)分)如图,3,1402,651,/ 00 则ba【 】 3 A. 0 100 B. 0 105 C. 0 110 D. 0 115 【答案】【答案】B。 【考点】【考点】平行的性质,三角形外角性质。 【分析】【分析】如图,反向延长b,形成4。 /ab,3=18004。 又2=14,即4=21。 00000 31802118014065105 。故选 B。 例例 3.(广东梅州(广东梅州 3 分)分)如图,AOE=BOE=15 ,EFOB,ECOB,若 EC=1,则 EF= 【答案】【答案】2。 【考点】【考点】
7、角平分线的性质,平行的性质,三角形外角性质,含 30 度角的直角三角形的性质。 【分析】【分析】作 EGOA 于 F, EFOB,OEF=COE=15 , AOE=15 ,EFG=15 +15 =30 。 EG=CE=1,EF=2 1=2。 例例 4. (广东佛山(广东佛山 3 分)分) 依次连接任意四边形各边的中点, 得到一个特殊图形 (可认为是一般四边形的性质) , 则这个图形一定是【 】 A平行四边形 B矩形 C菱形 D梯形 【答案】【答案】 A。 【考点】【考点】三角形中位线定理,平行四边形的判定。 【分析】【分析】根据题意画出图形,如右图所示: 连接 AC, 四边形 ABCD 各边中
8、点是 E、F、G、H, HGAC,HG= 1 2 AC,EFAC,EF= 1 2 AC。EF=GH,EFGH。 四边形 EFGH 是平行四边形。 由于四边形 EFGH 是平行四边形,它就不可能是梯形;同时由于是任意四边形,所以 AC=BD 或 ACBD 不一定成立,从而得不到矩形或菱形的判断。 4 故选 A。 例例 5. (江苏宿迁(江苏宿迁 3 分)分) 已知点 E, F, G, H 分别是四边形 ABCD 的边 AB, BC, CD, DA 的中点, 若 ACBD, 且 ACBD,则四边形 EFGH 的形状是 .(填“梯形”“矩形”“菱形” ) 【答案】【答案】矩形。 【考点】【考点】三角
9、形中位线定理,矩形的判定。 【分析【分析】如图,连接 AC,BD。 E,F,G,H 分别是 AB,BC,CD,DA 的中点, 根 据 三 角 形 中 位 线 定 理 , HEABGF , HGACEF。 又ACBD,EHG=HGF=GFE=FEH=900。 四边形 EFGH 是矩形。 且ACBD,四边形 EFGH 邻边不相等。 四边形 EFGH 不可能是菱形。 例例 6.(湖北天门、仙桃、潜江、江汉油田(湖北天门、仙桃、潜江、江汉油田 3 分)分)如图,线段AC=n+1(其中 n 为正整数) ,点 B 在线段 AC 上, 在线段 AC 同侧作正方形 ABMN 及正方形 BCEF, 连接 AM、
10、 ME、 EA 得到AME 当 AB=1 时, AME 的面积记为 S1;当 AB=2 时,AME 的面积记为 S2;当 AB=3 时,AME 的面积记为 S3;当 AB=n 时,AME 的面积记为 Sn当 n2 时,SnSn1= 【答案】【答案】 2n1 2 。 【考点】【考点】正方形的性质,平行的判定和性质,同底等高的三角形面积, 整式的混合运算。 【分析】【分析】连接 BE, 在线段 AC 同侧作正方形 ABMN 及正方形 BCEF, BEAM。AME 与AMB 同底等高。 AME 的面积=AMB 的面积。 当 AB=n 时,AME 的面积为 2 n 1 Sn 2 ,当 AB=n1 时,
11、AME 的面积为2 n 1 Sn1 2 。 5 当 n2 时, 2 2 nn 1 1112n1 SSnn1=n+n1 nn+1 = 2222 。 例例 7.(江苏(江苏镇江镇江 6 分)分)如图,在四边形 ABCD 中,ADBC,E 是 AB 的中点,连接 DE 并延长交 CB 的 延长线于点 F,点 G 在 BC 边上,且GDF=ADF。 (1)求证:ADEBFE; (2)连接 EG,判断 EG 与 DF 的位置关系,并说明理由。 【答案】【答案】解: (1)证明:ADBC,ADE=BFE(两直线平行,内错角相等) 。 E 是 AB 的中点,AE=BE。 又AED=BEF, ADEBFE (
12、AAS) 。 (2)EG 与 DF 的位置关系是 EGDF。理由如下: ADE=BFE,GDF=ADF, GDF=BFE (等量代换) 。 GD=GF (等角对等边) 。 又ADEBFE,DE=EF(全等三角形对应边相等) 。 EGDF(等腰三角形三线合一) 。 【考点】【考点】平行的性质,全等三角形的判定和性质,等腰三角形的判定和性质。 【分析】【分析】 (1)由已知,应用 AAS 即可证明ADEBFE。 (2)由ADE=BFE,GDF=ADF 可得GDF=BFE,从而根据等角对等边得 GD=GF;由 (1)ADEBFE 可得 DE=EF。根据等腰三角形三线合一的性质可得 EGDF。 例例
13、8.(广西南宁(广西南宁 10 分)分)如图,已知矩形纸片 ABCD,AD=2,AB=4将纸片折叠,使顶点 A 与边 CD 上 的点 E 重合,折痕 FG 分别与 AB,CD 交于点 G,F,AE 与 FG 交于点O (1)如图 1,求证:A,G,E,F 四点围成的四边形是菱形; (2)如图 2,当AED 的外接圆与 BC 相切于点 N 时,求证:点 N 是线段 BC的中点; (3)如图 2,在(2)的条件下,求折痕 FG 的长 6 【答案】【答案】解: (1)由折叠的性质可得,GA=GE,AGF=EGF, DCAB,EFG=AGF。EFG=EGF。EF=EG=AG。 四边形 AGEF 是平行
14、四边形(EFAG,EF=AG) 。 又AG=GE,四边形 AGEF 是菱形。 (2)连接 ON, AED 是直角三角形,AE 是斜边,点 O 是 AE 的中点, AED 的外接圆与 BC 相切于点 N, ONBC。 点 O 是 AE 的中点,ON 是梯形 ABCE 的中位线。 点 N 是线段 BC 的中点。 (3)OE、ON 均是AED 的外接圆的半径,OE=OA=ON=2。AE=AB=4。 在 RtADE 中,AD=2,AE=4,AED=30 。 在 RtOEF 中,OE=2,AED=30 , 2 3 OF 3 。FG= 4 3 2OF 3 。 【考点】【考点】翻折变换(折叠问题) ,折叠对
15、称的性质,菱形的判定,梯形中位线性质,锐角三角函数定义, 特殊角的三角函数值。 【分析】【分析】 (1)根据折叠的性质判断出 AG=GE,AGF=EGF,再由 CDAB 得出EFG=AGF,从而 判断出 EF=AG,得出四边形 AGEF 是平行四边形,从而结合 AG=GE,可得出结论。 (2)连接 ON,则 ONBC,从而判断出 ON 是梯形 ABCE 的中位线,从而可得出结论。 (3)根据(1)可得出 AE=AB,从而在 RtADE 中,可判断出AED 为 30 ,在 RtEFO 中求 出 FO,从而可得出 FG 的长度。 练习题:练习题: 1. (宁夏区宁夏区 3 分)分)如图,C 岛在
16、A 岛的北偏东 45 方向,在 B 岛的北偏西 25 方向,则从 C 岛看 A、B 两 岛的视角ACB 度 7 2.(浙江(浙江嘉兴嘉兴、舟山、舟山 5 分)分)在直角ABC 中,C=90 ,AD 平分BAC 交 BC 于点 D,若 CD=4,则点 D 到斜边 AB 的距离为 3.(江苏南京(江苏南京 8 分)分)如图,梯形 ABCD 中,AD/BC,AB=CD,对角线 AC、BD 交于点 O,ACBD,E、 F、G、H 分别为 AB、BC、CD、DA 的中点 (1)求证:四边形 EFGH 为正方形; (2)若 AD=2,BC=4,求四边形 EFGH 的面积。 4. (湖南怀化(湖南怀化 3
17、分)分)如图,已知直线ab,1=40 ,2=60 则3 等于 【 】 A、100 B、60 C、40 D、20 5. (湖北恩施湖北恩施 3 分)分)将一个直角三角板和一把直尺如图放置,如果=43,则 的度数是【 】 A、43 B、47 C、30 D、60 8 6. (广东(广东茂名茂名 3 分分)如图,两条笔直的公路 l1、l2相交于点 O,村庄 C 的村民在公路的旁边建三个加工厂 A、B、D,已知 AB=BC=CD=DA=5 公里,村庄 C 到公路 l1的距离为 4 公里,则村庄 C 到公路 l2的距离是 【 】 A、3 公里 B、4 公里 C、5 公里 D、6 公里 7.7. (辽宁辽阳
18、(辽宁辽阳 3 分)分)如图,已知菱形 ABCD 的边长为 2,BAD60 ,若 DEAB,垂足为点 E,则 DE 的长为 8. (贵州黔东南(贵州黔东南 4 分)分)顺次连接一矩形场地 ABCD 的边 AB、BC、CD、DA 的中点 E、F、G、H,得到 四边形 EFGH,M 为边 EH 的中点,点 P 为小明在对角线 EG 上走动的位置,若 AB=10 米,BC=10 3米, 当 PM+PH 的和为最小值时,EP 的长为 。 9. (广西玉林、防城港(广西玉林、防城港 10 分)分)如图,点 G 是正方形 ABCD 对角线 CA 的延长线上任意一点,以线段 AG 为边作一个正方形 AEFG
19、,线段 EB 和 GD 相交于点 H (1)求证:EB=GD; 9 (2)判断 EB 与 GD 的位置关系,并说明理由; (3)若 AB=2,AG=2,求 EB 的长 10. (湖南湖南衡阳衡阳 10 分)分)如图,在矩形 ABCD 中,AD=4cm,AB=m(m4) ,点 P 是 AB 边上的任意一点 (不与点 A、B 重合) ,连接 PD,过点 P 作 PQPD,交直线 BC 于点 Q (1)当 m=10 时,是否存在点 P 使得点 Q 与点 C 重合?若存在,求出此时 AP 的长;若不存在,说明理 由; (2)连接 AC,若 PQAC,求线段 BQ 的长(用含 m 的代数式表示) ; (
20、3)若PQD 为等腰三角形,求以 P、Q、C、D 为顶点的四边形的面积 S 与 m 之间的函数关系式,并写 出 m 的取值范围 二、构造等腰(边)三角形:二、构造等腰(边)三角形:当问题中出现一点发出的二条相等线段时往往要补完整等腰(边) 三角形;出现角平分线与平行线组合时可延长平行线与角的二边相交得等腰(边)三角形。通过构造等腰 (边)三角形,应用等腰(边)三角形的性质得到一些边角相等关系,达到求证(解)的目的。 典型例题:典型例题: 例例 1. (浙江丽水(浙江丽水、金华、金华 4 分)分)如图,在等腰ABC 中,ABAC,BAC50 BAC 的平分线与 AB 的中垂线交于点 O,点 C
21、沿 EF 折叠后与点 O 重合,则CEF 的度数是 10 【答案】【答案】50 。 【考点】【考点】翻折变换(折叠问题),等腰三角形的性质,三角形内角和定理,线段垂直平分线的判定和性质。 【分析】【分析】利用全等三角形的判定以及垂直平分线的性质得出OBC40 ,以及OBCOCB40 ,再 利用翻折变换的性质得出 EOEC,CEFFEO,进而求出即可: 连接 BO, ABAC,AO 是BAC 的平分线,AO 是 BC 的中垂线。 BOCO。 BAC50 ,BAC 的平分线与 AB 的中垂线交于点 O, OABOAC25 。 等腰ABC 中,ABAC,BAC50 ,ABCACB65 。 OBC65
22、 25 40 。OBCOCB40 。 点 C 沿 EF 折叠后与点 O 重合,EOEC,CEFFEO。 CEFFEO(18002 400) 250 。 例例 2.(甘肃白银甘肃白银 10 分)分)如图,已知ABC 是等边三角形,点 D、F 分别在线段 BC、AB 上,EFB=60 , DC=EF (1)求证:四边形 EFCD 是平行四边形; (2)若 BF=EF,求证:AE=AD 【答案】【答案】证明: (1)ABC 是等边三角形,ABC=60 。 EFB=60 ,ABC=EFB。EFDC(内错角相等,两直线平行) 。 DC=EF,四边形 EFCD 是平行四边形。 (2)连接 BE。 BF=E
23、F,EFB=60 ,EFB 是等边三角形。 EB=EF,EBF=60 。 DC=EF,EB=DC。 ABC 是等边三角形,ACB=60 ,AB=AC。 EBF=ACB。AEBADC(SAS) 。AE=AD。 11 【考点】【考点】等边三角形的性质,平行的判定,平行四边形的判定,全等三角形的判定和性质, 。 【分析】【分析】 (1)由ABC 是等边三角形得到B=60 ,而EFB=60 ,由此可以证明 EFDC,而 DC=EF, 然后即可证明四边形 EFCD 是平行四边形; (2)如图,连接 BE,由 BF=EF,EFB=60 可以推出EFB 是等边三角形,然后得到 EB=EF, EBF=60 ,
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