专题7：几何辅助线(图)作法探讨（中考数学解题专题指导）.doc

1、 1 【中考攻略】【中考攻略】专题专题 7：几何辅助线（图）作法探讨：几何辅助线（图）作法探讨 一些几何题的证明或求解，由原图形分析探究，有时显得十分复杂，若通过适当的变换，即添加适当 的辅助线（图） ，将原图形转换成一个完整的、特殊的、简单的新图形，则能使原问题的本质得到充分的 显示，通过对新图形的分析，原问题顺利获解。网络上有许多初中几何常见辅助线作法歌诀，下面这一套 是很好的： 人说几何很困难，难点就在辅助线。辅助线，如何添？把握定理和概念。 还要刻苦加钻研，找出规律凭经验。 三角形 图中有角平分线，可向两边作垂线。也可将图对折看，对称以后关系现。 角平分线平行线，等腰三角形来添。角平分

2、线加垂线，三线合一试试看。 线段垂直平分线，常向两端把线连。要证线段倍与半，延长缩短可试验。 三角形中两中点，连接则成中位线。三角形中有中线，延长中线等中线。 四边形 平行四边形出现，对称中心等分点。梯形里面作高线，平移一腰试试看。 平行移动对角线，补成三角形常见。证相似，比线段，添线平行成习惯。 等积式子比例换，寻找线段很关键。直接证明有困难，等量代换少麻烦。 斜边上面作高线，比例中项一大片。 圆 半径与弦长计算，弦心距来中间站。圆上若有一切线，切点圆心半径连。 切线长度的计算，勾股定理最方便。要想证明是切线，半径垂线仔细辨。 是直径，成半圆，想成直角径连弦。弧有中点圆心连，垂径定理要记全。

3、 圆周角边两条弦，直径和弦端点连。弦切角边切线弦，同弧对角等找完。 要想作个外接圆，各边作出中垂线。还要作个内切圆，内角平分线梦圆。 如果遇到相交圆，不要忘作公共弦。内外相切的两圆，经过切点公切线。 若是添上连心线，切点肯定在上面。要作等角添个圆，证明题目少困难。 辅助线，是虚线，画图注意勿改变。假如图形较分散，对称旋转去实验。 基本作图很关键，平时掌握要熟练。解题还要多心眼，经常总结方法显。 切勿盲目乱添线，方法灵活应多变。分析综合方法选，困难再多也会减。 2 虚心勤学加苦练，成绩上升成直线。 在几何题的证明或求解时，需要构成一些基本图形来求证（解）时往往要通过添加辅助线（图）来形 成，添加

4、辅助线（图），构成的基本图形是结果，构造的手段是方法。 笔者从作辅助线的结果和方法两方面将几何辅助线（图）作法归纳为结果（1）构造基本图形； （2）构造等腰（边）三角形：（3）构造直角三角形；（4）构造全等三角形；（5）构造相似三角形；（6） 构造特殊四边形；（7）构造圆的特殊图形；方法（8）基本辅助线；（9）截取和延长变换；（10） 对称变换；（11）平移变换；（12）旋转变换。下面通过近年全国各地中考的实例探讨其应用。 一、构造基本图形：一、构造基本图形：每个几何定理都有与它相对应的几何图形，我们把它叫做基本图形，添辅助 线往往是具有基本图形的性质而基本图形不完整时补完整基本图形。如平行线

5、，垂直线，直角三角形斜边 上中线，三角形、四边形的中位线等。等腰（边）三角形、直角三角形、全等三角形、相似三角形、特殊 四边形和圆的特殊图形也都是基本图形，但我们后面把它们单独表述。 典型例题：典型例题： 例例 1. （湖北襄阳（湖北襄阳 3 分）分）如图，直线 lm，将含有 45 角的三角板 ABC 的直角顶点 C 放在直线 m 上，若 1=25 ，则2 的度数为【 】 A20 B25 C30 D35 【答案】【答案】A。 【考点】【考点】平行线的性质。 【分析】【分析】如图，过点 B 作 BDl， 直线 lm，BDlm。 1=25 ，4=1=25 。 ABC=45 ，3=ABC4=45 2

6、5 =20 。 2=3=20 。故选 A。 例例 2.（四川（四川内江内江 3 分）分）如图，3,1402,651,/ 00 则ba【 】 3 A. 0 100 B. 0 105 C. 0 110 D. 0 115 【答案】【答案】B。 【考点】【考点】平行的性质，三角形外角性质。 【分析】【分析】如图，反向延长b，形成4。 /ab，3=18004。 又2=14，即4=21。 00000 31802118014065105 。故选 B。 例例 3.（广东梅州（广东梅州 3 分）分）如图，AOE=BOE=15 ，EFOB，ECOB，若 EC=1，则 EF= 【答案】【答案】2。 【考点】【考点】

7、角平分线的性质，平行的性质，三角形外角性质，含 30 度角的直角三角形的性质。 【分析】【分析】作 EGOA 于 F， EFOB，OEF=COE=15 ， AOE=15 ，EFG=15 +15 =30 。 EG=CE=1，EF=2 1=2。 例例 4. （广东佛山（广东佛山 3 分）分） 依次连接任意四边形各边的中点， 得到一个特殊图形 （可认为是一般四边形的性质） ， 则这个图形一定是【 】 A平行四边形 B矩形 C菱形 D梯形 【答案】【答案】 A。 【考点】【考点】三角形中位线定理，平行四边形的判定。 【分析】【分析】根据题意画出图形，如右图所示： 连接 AC， 四边形 ABCD 各边中

8、点是 E、F、G、H， HGAC，HG= 1 2 AC，EFAC，EF= 1 2 AC。EF=GH，EFGH。 四边形 EFGH 是平行四边形。 由于四边形 EFGH 是平行四边形，它就不可能是梯形；同时由于是任意四边形，所以 AC=BD 或 ACBD 不一定成立，从而得不到矩形或菱形的判断。 4 故选 A。 例例 5. （江苏宿迁（江苏宿迁 3 分）分） 已知点 E， F， G， H 分别是四边形 ABCD 的边 AB， BC， CD， DA 的中点， 若 ACBD， 且 ACBD，则四边形 EFGH 的形状是 .（填“梯形”“矩形”“菱形” ） 【答案】【答案】矩形。 【考点】【考点】三角

9、形中位线定理，矩形的判定。 【分析【分析】如图，连接 AC，BD。 E，F，G，H 分别是 AB，BC，CD，DA 的中点， 根 据 三 角 形 中 位 线 定 理 ， HEABGF ， HGACEF。 又ACBD，EHG=HGF=GFE=FEH=900。 四边形 EFGH 是矩形。 且ACBD，四边形 EFGH 邻边不相等。 四边形 EFGH 不可能是菱形。 例例 6.（湖北天门、仙桃、潜江、江汉油田（湖北天门、仙桃、潜江、江汉油田 3 分）分）如图，线段AC=n+1（其中 n 为正整数） ，点 B 在线段 AC 上， 在线段 AC 同侧作正方形 ABMN 及正方形 BCEF， 连接 AM、

10、 ME、 EA 得到AME 当 AB=1 时， AME 的面积记为 S1；当 AB=2 时，AME 的面积记为 S2；当 AB=3 时，AME 的面积记为 S3；当 AB=n 时，AME 的面积记为 Sn当 n2 时，SnSn1= 【答案】【答案】 2n1 2 。 【考点】【考点】正方形的性质，平行的判定和性质，同底等高的三角形面积， 整式的混合运算。 【分析】【分析】连接 BE， 在线段 AC 同侧作正方形 ABMN 及正方形 BCEF， BEAM。AME 与AMB 同底等高。 AME 的面积=AMB 的面积。 当 AB=n 时，AME 的面积为 2 n 1 Sn 2 ，当 AB=n1 时，

11、AME 的面积为2 n 1 Sn1 2 。 5 当 n2 时， 2 2 nn 1 1112n1 SSnn1=n+n1 nn+1 = 2222 。 例例 7.（江苏（江苏镇江镇江 6 分）分）如图，在四边形 ABCD 中，ADBC，E 是 AB 的中点，连接 DE 并延长交 CB 的 延长线于点 F，点 G 在 BC 边上，且GDF=ADF。 （1）求证：ADEBFE； （2）连接 EG，判断 EG 与 DF 的位置关系，并说明理由。 【答案】【答案】解： （1）证明：ADBC，ADE=BFE（两直线平行，内错角相等） 。 E 是 AB 的中点，AE=BE。 又AED=BEF， ADEBFE （

12、AAS） 。 （2）EG 与 DF 的位置关系是 EGDF。理由如下： ADE=BFE，GDF=ADF， GDF=BFE （等量代换） 。 GD=GF （等角对等边） 。 又ADEBFE，DE=EF（全等三角形对应边相等） 。 EGDF（等腰三角形三线合一） 。 【考点】【考点】平行的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质。 【分析】【分析】 （1）由已知，应用 AAS 即可证明ADEBFE。 （2）由ADE=BFE，GDF=ADF 可得GDF=BFE，从而根据等角对等边得 GD=GF；由 （1）ADEBFE 可得 DE=EF。根据等腰三角形三线合一的性质可得 EGDF。 例例

13、8.（广西南宁（广西南宁 10 分）分）如图，已知矩形纸片 ABCD，AD=2，AB=4将纸片折叠，使顶点 A 与边 CD 上 的点 E 重合，折痕 FG 分别与 AB，CD 交于点 G，F，AE 与 FG 交于点O （1）如图 1，求证：A，G，E，F 四点围成的四边形是菱形； （2）如图 2，当AED 的外接圆与 BC 相切于点 N 时，求证：点 N 是线段 BC的中点； （3）如图 2，在（2）的条件下，求折痕 FG 的长 6 【答案】【答案】解： （1）由折叠的性质可得，GA=GE，AGF=EGF， DCAB，EFG=AGF。EFG=EGF。EF=EG=AG。 四边形 AGEF 是平行

14、四边形（EFAG，EF=AG） 。 又AG=GE，四边形 AGEF 是菱形。 （2）连接 ON， AED 是直角三角形，AE 是斜边，点 O 是 AE 的中点， AED 的外接圆与 BC 相切于点 N， ONBC。 点 O 是 AE 的中点，ON 是梯形 ABCE 的中位线。 点 N 是线段 BC 的中点。 （3）OE、ON 均是AED 的外接圆的半径，OE=OA=ON=2。AE=AB=4。 在 RtADE 中，AD=2，AE=4，AED=30 。 在 RtOEF 中，OE=2，AED=30 ， 2 3 OF 3 。FG= 4 3 2OF 3 。 【考点】【考点】翻折变换（折叠问题） ，折叠对

15、称的性质，菱形的判定，梯形中位线性质，锐角三角函数定义， 特殊角的三角函数值。 【分析】【分析】 （1）根据折叠的性质判断出 AG=GE，AGF=EGF，再由 CDAB 得出EFG=AGF，从而 判断出 EF=AG，得出四边形 AGEF 是平行四边形，从而结合 AG=GE，可得出结论。 （2）连接 ON，则 ONBC，从而判断出 ON 是梯形 ABCE 的中位线，从而可得出结论。 （3）根据（1）可得出 AE=AB，从而在 RtADE 中，可判断出AED 为 30 ，在 RtEFO 中求 出 FO，从而可得出 FG 的长度。 练习题：练习题： 1. （宁夏区宁夏区 3 分）分）如图，C 岛在

16、A 岛的北偏东 45 方向，在 B 岛的北偏西 25 方向，则从 C 岛看 A、B 两 岛的视角ACB 度 7 2.（浙江（浙江嘉兴嘉兴、舟山、舟山 5 分）分）在直角ABC 中，C=90 ，AD 平分BAC 交 BC 于点 D，若 CD=4，则点 D 到斜边 AB 的距离为 3.（江苏南京（江苏南京 8 分）分）如图，梯形 ABCD 中，AD/BC，AB=CD，对角线 AC、BD 交于点 O，ACBD，E、 F、G、H 分别为 AB、BC、CD、DA 的中点 （1）求证：四边形 EFGH 为正方形； （2）若 AD=2，BC=4，求四边形 EFGH 的面积。 4. （湖南怀化（湖南怀化 3

17、分）分）如图，已知直线ab，1=40 ，2=60 则3 等于 【 】 A、100 B、60 C、40 D、20 5. （湖北恩施湖北恩施 3 分）分）将一个直角三角板和一把直尺如图放置，如果=43，则 的度数是【 】 A、43 B、47 C、30 D、60 8 6. （广东（广东茂名茂名 3 分分）如图，两条笔直的公路 l1、l2相交于点 O，村庄 C 的村民在公路的旁边建三个加工厂 A、B、D，已知 AB=BC=CD=DA=5 公里，村庄 C 到公路 l1的距离为 4 公里，则村庄 C 到公路 l2的距离是 【 】 A、3 公里 B、4 公里 C、5 公里 D、6 公里 7.7. （辽宁辽阳

18、（辽宁辽阳 3 分）分）如图，已知菱形 ABCD 的边长为 2，BAD60 ，若 DEAB，垂足为点 E，则 DE 的长为 8. （贵州黔东南（贵州黔东南 4 分）分）顺次连接一矩形场地 ABCD 的边 AB、BC、CD、DA 的中点 E、F、G、H，得到 四边形 EFGH，M 为边 EH 的中点，点 P 为小明在对角线 EG 上走动的位置，若 AB=10 米，BC=10 3米， 当 PM+PH 的和为最小值时，EP 的长为 。 9. （广西玉林、防城港（广西玉林、防城港 10 分）分）如图，点 G 是正方形 ABCD 对角线 CA 的延长线上任意一点，以线段 AG 为边作一个正方形 AEFG

19、，线段 EB 和 GD 相交于点 H （1）求证：EB=GD； 9 （2）判断 EB 与 GD 的位置关系，并说明理由； （3）若 AB=2，AG=2，求 EB 的长 10. （湖南湖南衡阳衡阳 10 分）分）如图，在矩形 ABCD 中，AD=4cm，AB=m（m4） ，点 P 是 AB 边上的任意一点 （不与点 A、B 重合） ，连接 PD，过点 P 作 PQPD，交直线 BC 于点 Q （1）当 m=10 时，是否存在点 P 使得点 Q 与点 C 重合？若存在，求出此时 AP 的长；若不存在，说明理 由； （2）连接 AC，若 PQAC，求线段 BQ 的长（用含 m 的代数式表示） ； （

20、3）若PQD 为等腰三角形，求以 P、Q、C、D 为顶点的四边形的面积 S 与 m 之间的函数关系式，并写 出 m 的取值范围 二、构造等腰（边）三角形：二、构造等腰（边）三角形：当问题中出现一点发出的二条相等线段时往往要补完整等腰（边） 三角形；出现角平分线与平行线组合时可延长平行线与角的二边相交得等腰（边）三角形。通过构造等腰 （边）三角形，应用等腰（边）三角形的性质得到一些边角相等关系，达到求证（解）的目的。 典型例题：典型例题： 例例 1. （浙江丽水（浙江丽水、金华、金华 4 分）分）如图，在等腰ABC 中，ABAC，BAC50 BAC 的平分线与 AB 的中垂线交于点 O，点 C

21、沿 EF 折叠后与点 O 重合，则CEF 的度数是 10 【答案】【答案】50 。 【考点】【考点】翻折变换(折叠问题)，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，线段垂直平分线的判定和性质。 【分析】【分析】利用全等三角形的判定以及垂直平分线的性质得出OBC40 ，以及OBCOCB40 ，再 利用翻折变换的性质得出 EOEC，CEFFEO，进而求出即可： 连接 BO， ABAC，AO 是BAC 的平分线，AO 是 BC 的中垂线。 BOCO。 BAC50 ，BAC 的平分线与 AB 的中垂线交于点 O， OABOAC25 。 等腰ABC 中，ABAC，BAC50 ，ABCACB65 。 OBC65

22、 25 40 。OBCOCB40 。 点 C 沿 EF 折叠后与点 O 重合，EOEC，CEFFEO。 CEFFEO（18002 400） 250 。 例例 2.（甘肃白银甘肃白银 10 分）分）如图，已知ABC 是等边三角形，点 D、F 分别在线段 BC、AB 上，EFB=60 ， DC=EF （1）求证：四边形 EFCD 是平行四边形； （2）若 BF=EF，求证：AE=AD 【答案】【答案】证明： （1）ABC 是等边三角形，ABC=60 。 EFB=60 ，ABC=EFB。EFDC（内错角相等，两直线平行） 。 DC=EF，四边形 EFCD 是平行四边形。 （2）连接 BE。 BF=E

23、F，EFB=60 ，EFB 是等边三角形。 EB=EF，EBF=60 。 DC=EF，EB=DC。 ABC 是等边三角形，ACB=60 ，AB=AC。 EBF=ACB。AEBADC（SAS） 。AE=AD。 11 【考点】【考点】等边三角形的性质，平行的判定，平行四边形的判定，全等三角形的判定和性质， 。 【分析】【分析】 （1）由ABC 是等边三角形得到B=60 ，而EFB=60 ，由此可以证明 EFDC，而 DC=EF， 然后即可证明四边形 EFCD 是平行四边形； （2）如图，连接 BE，由 BF=EF，EFB=60 可以推出EFB 是等边三角形，然后得到 EB=EF， EBF=60 ，

24、而 DC=EF，由此得到 EB=DC，又ABC 是等边三角形，所以得到ACB=60 ，AB=AC，由 SAS 即可证明AEBADC，利用全等三角形的性质就证明 AE=AD。 例例 3.（上海（上海 12 分）如图，在梯形分）如图，在梯形 ABCD 中，中，AD/BC，ABDC，过点 D 作 DEBC，垂足为 E，并延长 DE 至 F，使 EFDE联结 BF、CD、AC （1）求证：四边形 ABFC 是平行四边形； （2）如果 DE2BE CE，求证四边形 ABFC 是矩形 【答案】【答案】解： （1）证明：连接 BD。 梯形 ABCD 中，ADBC，AB=DC，AC=BD，ACB=DBC DE

25、BC，EF=DE，BD=BF，DBC=FBC。 AC=BF，ACB=CBF。ACBF。 四边形 ABFC 是平行四边形； （2）DE2BE CE， DECE BEDE 。 DEB=DEC=90 ，BDEDEC。CDE=DBE， BFC=BDC=BDECDE=BDEDBE=90 。 四边形 ABFC 是矩形。 【考点】【考点】等腰梯形的性质，平行四边形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，矩形的判定，等量代换。 【分析】【分析】 （1）连接 BD，利用等腰梯形的性质得到 AC=BD，再根据垂直平分线的性质得到 DB=FB，从而 得到 AC=BF，然后证得 ACBF，利用一组对边平行且相等判定平行

26、四边形。 （2）利用题目提供的等积式和两直角相等可以证得两直角三角形相似，得到对应角相等，从而得 到直角来证明有一个角是直角的平行四边形是矩形。 练习题：练习题： 12 1. （山东潍坊（山东潍坊 3 分）分）已知长方形 ABCD，AB=3cm，AD=4cm，过对角线 BD 的中点 O 做 BD 的垂 直平分线 EF，分别交 AD、BC 于点 E、F，则 AE 的长为 2.2. （辽宁辽阳（辽宁辽阳 3 分）分）如图，已知菱形 ABCD 的边长为 2，BAD60 ，若 DEAB，垂足为点 E，则 DE 的长为 3. （湖北十堰（湖北十堰 8 分）分）如图，AB 是半圆 O 的直径，点 C 为半

27、径 OB 上一点，过点 C 作 CDAB 交半圆 O 于点 D，将 ACD 沿 AD 折叠得到 AED，AE 交半圆于点 F，连接 DF。 （1）求证：DE 是半圆的切线； （2）连接 OD，当 OC=BC 时，判断四边形 ODFA 的形状，并证明你的结论。 4. （四川四川巴中巴中 10 分）分） 如图所示， ABC 的外接圆圆心 O 在 AB 上， 点 D 是 BC 延长线上一点， DMAB 于 M，交 AC 于 N，且 AC=CDCP 是 CDN 的 ND 边的中线 (1)求证： ABCDNC； (2)试判断 CP 与O 的位置关系，并证明你的结论。 5. （广东广东河源河源 9 分）分

28、） 如图，等腰梯形 ABCD 中，ABCD，AD=BC。将ACD 沿对角线 AC 翻折后， 点 D 恰好与边 AB 的中点 M 重合 (1)点 C 是否在以 AB 为直径的圆上?请说明理由; (2)当 AB=4 时，求此梯形的面积 13 三、构造直角三角形：三、构造直角三角形：通过构造直角三角形，应用直角三角形的性质得到一些边角关系（勾股定 理，两锐角互余，锐角三角函数） ，达到求证（解）的目的。 典型例题：典型例题： 例例 2.（广西柳州（广西柳州 3 分）分）已知：在ABC 中，AC=a，AB 与 BC 所在直线成 45 角，AC 与 BC 所在直 线形成的夹角的余弦值为 2 5 5 （即

29、 cosC= 2 5 5 ） ，则 AC 边上的中线长是 【答案】【答案】 85 a 10 或 5 10 a。 【考点】【考点】解直角三角形，锐角三角函数定义，三角形中位线定理，勾股定理。 【分析】【分析】分两种情况： ABC 为锐角三角形时，如图 1，BE 为 AC 边的中线。 作ABC 的高 AD，过点 E 作 EFBC 于点 F。 在 RtACD 中，AC=a，cosC= 2 5 5 ， 14 CD= 2 5 5 a，AD= 5 5 a。 在 RtABD 中，ABD=45 ，BD=AD= 5 5 a。 。BC=BD+CD= 3 5 5 a。 点 E 是 AC 的中点， EFAD， EF

30、是ACD 的中位线。 FC= 1 2 DC= 5 5 a， EF= 1 2 AD= 5 10 a。 BF= 2 5 5 a。 在 RtBEF 中，由勾股定理，得 2 2 222 251785 BEBFEF5aa=a =a 5102010 。 ABC 为钝角三角形时，如图 2，BE 为 AC 边的中线。 作ABC 的高 AD。 在 RtACD 中，AC=a，cosC= 2 5 5 ， CD= 2 5 5 a，AD= 5 5 a。 在 RtABD 中，ABD=45 ，BD=AD= 5 5 a。BC= BD= 5 5 a。 点 E 是 AC 的中点，BE 是ACD 的中位线。BE= 1 2 AD=

31、5 10 a。 综上所述，AC 边上的中线长是 85 a 10 或 5 10 a。 例例 3. （广西河池（广西河池 3 分）分）如图，在矩形 ABCD 中，ADAB，将矩形 ABCD 折叠，使点 C 与点 A 重 合，折痕为 MN，连结 CN若CDN 的面积与CMN 的面积比为 14，则 MN BM 的值为【 】 A2 B4 C2 5 D2 6 【答案】【答案】D。 15 【考点】【考点】翻折变换（折叠问题） ，折叠的性质，矩形、菱形的判定和性质，勾股定理。 【分析】【分析】过点 N 作 NGBC 于 G，由四边形 ABCD 是矩形，易得四边形 CDNG 是矩形，又由折叠的性质， 可得四边形

32、 AMCN 是菱形，由CDN 的面积与CMN 的面积比为 1：4，根据等高三角形的面积比等于 对应底的比，可得 DN：CM=1：4，然后设 DN=x，由勾股定理可求得 MN 的长，从而求得答案： 过点 N 作 NGBC 于 G， 四边形 ABCD 是矩形，四边形 CDNG 是矩形，ADBC。 CD=NG，CG=DN，ANM=CMN。 由折叠的性质可得：AM=CM，AMN=CMN，ANM=AMN。 AM=AN。AM=CM，四边形 AMCN 是平行四边形。 AM=CM，四边形 AMCN 是菱形。 CDN 的面积与CMN 的面积比为 1：4，DN：CM=1：4。 设 DN=x，则 AN=AM=CM=

33、CN=4x，AD=BC=5x，CG=x。BM=x，GM=3x。 在 RtCGN 中，2 222 NGCNCG4xx15x， 在 RtMNG 中， 2 2 22 MNGMNG3x15x=2 6x， MN2 6x =2 6 BMx 。故选 D。 例例4. （北京（北京市市5分）分） 如图， 在四边形ABCD中， 对角线AC， BD交于点E， BAC=900， CED=450， DCE=900， DE=2，BE=22求 CD 的长和四边形 ABCD 的面积 【答案】【答案】解：过点 D 作 DHAC， CED=45 ，DHEC，DE=2，EH=DH=1。 又DCE=30 ，DC=2，HC=3。 AE

34、B=45 ，BAC=90 ，BE=22， AB=AE=2。AC=2+1+3 =3+3。 ABCD 1193 3 S233133 222 四形 （）（） 边 。 【考点】【考点】勾股定理，含 30 度角的直角三角形的性质，等腰直角三角形的性质， 16 【分析】【分析】 利用等腰直角三角形的性质得出 EH=DH=1， 进而得出再利用直角三角形中 30 所对边等于斜边的 一半得出 CD 的长，求出 AC，AB 的长即可得出四边形 ABCD 的面积。 例例 5.（山东莱芜（山东莱芜 9 分）分）某市规划局计划在一坡角为 16 的斜坡 AB 上安装一球形雕塑，其横截面示意 图如图所示已知支架 AC 与斜

35、坡 AB 的夹角为 28 ，支架 BDAB 于点 B，且 AC、BD 的延长线均过O 的圆心，AB12m，O 的半径为 1.5m，求雕塑最顶端到水平地面的垂直距离(结果精确到 0.01m，参考 数据：cos280.9，sin620.9，sin440.7，cos460.7) 【答案】【答案】解：如图，过点 O 作水平地面的垂线，垂足为点 E。 在 RtAOB 中， AB cos OAB OA ，即 0 12 cos28 OA ， 0 1212 OA13.333 0.9cos28 。 BAE=160，OAE=280160=440。 在RtAOE中， OE sin OAE OA ， 即 0 OE s

36、in44 13.333 ， 0 OE13.333 sin4413.333 0.79.333 9.3331.5=10.83310.83（m） 。 答：雕塑最顶端到水平地面的垂直距离为 10.83 m。 【考点】【考点】解直角三角形的应用，锐角三角函数定义。 【分析】【分析】如图，过点 O 作水平地面的垂线，构造 RtAOE。解 RtAOB，求出 OA；解 RtAOE，求出 OE，即可得出雕塑最顶端到水平地面的垂直距离。 例例 6.（山东聊城（山东聊城 7 分）分）周末，小亮一家在东昌湖游玩，妈妈在湖心岛岸边 P 处观看小亮与爸爸在湖中划船 （如图） 小船从 P 处出发， 沿北偏东 60 划行 2

37、00 米到达 A 处， 接着向正南方向划行一段时间到达 B 处 在 B 处小亮观测妈妈所在的 P 处在北偏西 37 方向上，这时小亮与妈妈相距多少米（精确到米）？（参考数 据：sin370.60，cos370.80，tan370.75，1.41，1.73） 17 【答案】【答案】解：作 PDAB 于点 D， 由已知得 PA=200 米，APD=30 ，B=37 ， 在 RtPAD 中， 由 cos30 = PD PA ，得 PD=PAcos30 =200 3 2 =1003（米） 。 在 RtPBD 中， 由 sin37 = PD PB ，得 PB= 0 PD100 1.73 288 0.6s

38、in37 （米） 。 答：小亮与妈妈的距离约为 288 米。 【考点】【考点】解直角三角形的应用（方向角问题） ，锐角三角函数。 【分析】【分析】作 PDAB 于点 D，分别在直角三角形 PAD 和直角三角形 PBD 中求得 PD 和 PB 即可求得结论。 例例 7. （吉林省（吉林省 8 分）分）如图，在扇形 OAB 中，AOB=90 ，半径 OA=6将扇形 OAB 沿过点 B 的直 线折叠，点 O 恰好落在 AB上点 D 处，折痕交 OA 于点 C，求整个阴影部分的周长和面积 【答案】【答案】解：连接 OD。 根据折叠的性质，CD=CO，BD=BO，DBC=OBC， OB=OD=BD。OB

39、D 是等边三角形。DBO=60 。 CBO= 1 2 DBO=30 。 AOB=90 ，OC=OBtanCBO=6 3 =2 3 3 。 BDCOBC 11 SSOB OC6 2 3=6 3 22 ， 18 2 AOB 906 S=9 360 扇形 ， 906 AB=3 180 整个阴影部分的周长为：AC+CD+BD+AB=AC+OC+OB+AB=6+6+3=12+3。 整个阴影部分的面积为： BDCOBCAOB SSS96 36 3912 3 扇形 。 【考点】【考点】翻折变换（折叠问题） ，等边三角形的判定和性质，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值， 弧长的扇形面积的计算。 【分析】【分

40、析】连接 OD，由折叠的性质，可得 CD=CO，BD=BO，DBC=OBC，则可得OBD 是等边三角 形， 继而求得 OC 的长， 即可求得OBC 与BCD 的面积， 又由在扇形 OAB 中， AOB=90 ， 半径 OA=6， 即可求得扇形 OAB 的面积与AB 的长，从而求得整个阴影部分的周长和面积。 练习题：练习题： 1. （四川（四川绵阳绵阳 3 分）分）已知ABC 中，C=90 ，tanA= 1 2 ，D 是 AC 上一点，CBD=A，则 sinABD= 【 】 。 A 3 5 B 10 5 C 3 10 D 3 10 10 2.（山东青岛（山东青岛 8 分）分）如图，某校教学楼 A

41、B 的后面有一建筑物 CD，当光线与地面的夹角是 22 时， 教学楼在建筑物的墙上留下高 2m 的影子 CE； 而当光线与地面的夹角是 45 时， 教学楼顶 A 在地面上的影 子 F 与墙角 C 有 13m 的距离(B、F、C 在一条直线上) (1)求教学楼 AB 的高度； (2)学校要在 A、E 之间挂一些彩旗，请你求出 A、E 之间的距离(结果保留整数) (参考数据：sin22 3 8 ，cos22 15 16 ，tan22 2 5 ) 19 3.（湖北襄阳（湖北襄阳 3 分）分）在一次数学活动中，李明利用一根栓有小锤的细线和一个半圆形量角器制作了一个测 角仪，去测量学校内一座假山的高度

42、CD如图，已知小明距假山的水平距离 BD 为 12m，他的眼镜距地 面的高度为 1.6m，李明的视线经过量角器零刻度线 OA 和假山的最高点 C，此时，铅垂线 OE 经过量角器 的 60 刻度线，则假山的高度为【 】 A （43+1.6）m B （123+1.6）m C （43+1.6）m D43m 4.（江苏南京（江苏南京 2 分）分）如图，将45的AOB 按图摆放在一把刻度尺上，顶点 O 与尺下沿的端点重合，OA 与尺下沿重合，OB 与尺上沿的交点 B 在尺上的读数为 2cm，若按相同的方式将37的AOC 放置在该尺 上，则 OC 与尺上沿的交点 C 在尺上的读数约为 cm （结果精确到

43、0.1 cm，参考数据：sin370.60，cos370.80，tan370.75） 5.（福建福州（福建福州 4 分）分）如图，已知ABC，ABAC1，A36 ，ABC 的平分线 BD 交 AC 于 点 D，则 AD 的长是 ，cosA 的值是 (结果保留根号) 6.（陕西省（陕西省 8 分）分）如图，小明想用所学的知识来测量湖心岛上的迎宾槐与岸上的凉亭间的距离，他先在湖 岸上的凉亭 A 处测得湖心岛上的迎宾槐 C 处位于北偏东65方向，然后，他从凉亭 A 处沿湖岸向正东方 向走了 100 米到 B 处， 测得湖心岛上的迎宾槐 C 处位于北偏东45方向 （点 A、 B、 C 在同一水平面上）

44、 请 你利用小明测得的相关数据，求湖心岛上的迎宾槐 C 处与湖岸上的凉亭 A 处之间的距离（结果精确到 1 米） （参考数据：sin250.4226 cos250.9063 tan250.4663 sin650.9063， 20 cos650.4226 tan652.1445，） 7.（江苏（江苏连云港连云港 10 分）分）已知 B 港口位于 A 观测点北偏东 53.2 方向，且其到 A 观测点正北方向的距离 BD 的长为 16km，一艘货轮从 B 港口以 40km/h 的速度沿如图所示的 BC 方向航行，15min 后达到 C 处，现测 得 C 处位于 A 观测点北偏东 79.8 方向，求此

45、时货轮与 A 观测点之间的距离 AC 的长(精确到 0.1km)(参 考数据：sin53.20.80，cos53.20.60，sin79.80.98，cos79.80.18，tan26.60.50，21.41，52.24) 8.（四川乐山（四川乐山 10 分）分）如图，在东西方向的海岸线 l 上有一长为 1 千米的码头 MN，在码头西端 M 的正西方 向 30 千米处有一观察站 O某时刻测得一艘匀速直线航行的轮船位于 O 的北偏西 30 方向，且与 O 相距 千米的 A 处；经过 40 分钟，又测得该轮船位于 O 的正北方向，且与 O 相距 20 千米的 B 处 （1）求该轮船航行的速度； （

46、2）如果该轮船不改变航向继续航行，那么轮船能否正好行至码头 MN 靠岸？请说明理由 （参考数据： ，） 四、构造全等三角形：四、构造全等三角形：通过构造全等三角形，应用全等三角形对应边、角相等的性质，达到求证 （解）的目的。 21 典型例题：典型例题： 例例 1. （浙江（浙江绍兴绍兴 5 分）分）如图，在矩形 ABCD 中，点 E，F 分别在 BC，CD 上，将ABE 沿 AE 折叠，使 点 B 落在 AC 上的点 B处，又将CEF 沿 EF 折叠，使点 C 落在 EB与 AD 的交点 C处则 BC：AB 的值 为 。 例例 2. （山东（山东泰安泰安 3 分）分）如图，ABCD，E，F 分

47、别为 AC，BD 的中点，若 AB=5，CD=3，则 EF 的长是 【 】 A4 B3 C2 D1 【答案】【答案】D。 【考点】【考点】三角形中位线定理，全等三角形的判定和性质。 【分析】【分析】连接 DE 并延长交 AB 于 H， 22 CDAB，C=A，CDE=AHE。 E 是 AC 中点，DE=EH。DCEHAE（AAS） 。 DE=HE，DC=AH。 F 是 BD 中点，EF 是DHB 的中位线。EF= 1 2 BH。 BH=ABAH=ABDC=2。EF=1。故选 D。 例例 3.（山东德州（山东德州 12 分）分）如图所示，现有一张边长为 4 的正方形纸片 ABCD，点 P 为正方形 AD 边上的一 点（不与点 A、点 D 重合）将正方形纸片折叠，使点 B 落在 P 处，点 C 落在 G 处，PG 交 DC 于 H，折痕 为 EF，连接 BP、BH （1）求证：APB=BPH； （2）当点 P 在边 AD 上移动时，PDH 的周长是否发生变化？并证明你的结论； （3）设 AP 为 x，四边形 EFGP 的面积为 S，求出 S 与 x 的函数关系式，试问 S 是否存在最小值？若存在， 求出这个最小值；若不存在，请说明理由 【答案】【答案】解：