专题13：数学思想方法之分类探讨（中考数学解题专题指导）.doc

1、 1 【中考攻略】【中考攻略】专题专题 13：数学思想方法之分类探讨：数学思想方法之分类探讨 数学中的所谓分类，就是根据数学对象本质属性的相同点与不同点，将其分成几个不同种类的一种数 学思想。它既是一种重要的数学思想，又是一种重要的数学逻辑方法。有关分类讨论思想的数学问题具有 明显的逻辑性、综合性、探索性，能训练人的思维条理性和概括性。掌握好这类问题对提高综合学习能力 会有很大帮助，它既有利于培养学生的创新精神与探索精神，又有利于培养学生严谨、求实的科学态度。 分类思想解题的过程（思维、动因和方法）我们把它归纳为 WHDI 四个方面： W 即为什么要进行分类。一般地说，当我们研究的问题是下列五

2、种的情形时可以考虑使用分类的思想 方法来解决问题： （1）涉及到分类定义的概念，有些概念是分类定义的，如有理数、实数、绝对值、平方 根、有理式、三角形的概念等，当我们应用这些概念时就必须考虑使用分类讨论的方法； （2）直接运用了 分类研究的定理、性质、公式、法则，如有理数的大小比较法则、一元二次方程根的判别式、直线与圆的 位置关系、函数的性质等，当我们应用这些受到适用范围条件限制的定理、性质、公式、法则来解决问题 时，如果在解决问题中需要突破对定理、性质、公式、法则的条件限制可以考虑使用分类讨论的方法； （3） 问题中含有的参变量的不同取值（如分段函数）会导致不同结果而需要对其进行分类讨论；

3、（4）几何问题 中几何图形的不确定而需要对其进行分类讨论； （5）由数学运算引起的分类讨论。 H 即如何进行分类。首先，明确分类讨论思想的三个原则： （1）不遗漏原则； （2）不重复原则； （3） 同标准原则。其次，查找引起分类讨论的主要原因，即上述五个主要原因的哪一种。第三，掌握分类讨论 思想的常用方法。分类方法一般为分区间讨论法，即把参数的变化范围（或几何图形中动态的变化范围） 划分成若干个以参数特征为分界点（或几何图形中的端点）的小区间分别进行讨论，根据题设条件或数学 概念、定理、公式的限制条件确定参数(如零点，几何图形中的顶点)。 D 即正确进行逐类逐级分类讨论。 I 即归纳小结，总结

4、出结论。 结合全国各地中考的实例，我们从下面五方面探讨分类方法的应用： （1）代数中涉及到分类定义概念 和直接运用了分类研究的定理、性质、公式、法则的应用； （2）几何中涉及到分类定义概念和直接运用了 分类研究的定理、性质、公式、法则的应用； （3）含有的参变量的不同取值的分类应用； （4）几何问题中 几何图形的不确定的分类应用； （5）由数学运算引起的分类应用。 一、代数中一、代数中涉及到分类定义概念和涉及到分类定义概念和直接运用了分类研究的定理、性质、公式、法则直接运用了分类研究的定理、性质、公式、法则的的应应 用用： 典型例题：典型例题： 例例 1. （四川（四川凉山凉山 4 分）分）x

5、 是 2 的相反数，y=3，则 xy 的值是【 】 2 A 5 B1 C1或 5 D1 或5 【答案】【答案】D。 【考点】【考点】代数式求值，相反数，绝对值。 【分析】【分析】根据相反数和绝对值的意义可求 x 和 y 的值，再代入计算： x 是 2 的相反数，x=2。 y=3，y= 3。 当 x=2，y=3 时，xy=23=5；当 x=2，y=3 时，xy=2（3）=1。故选 D。 例例 2. （湖南衡阳（湖南衡阳 3 分）分）函数 2 y= x+2 中自变量 x 的取值范围是【 】 Ax2 Bx2 Cx2 Dx2 【答案】【答案】A。 【考点】【考点】函数自变量的取值范围，二次根式和分式有

6、意义的条件。 【分析】【分析】求函数自变量的取值范围，就是求函数解析式有意义的条件，根据二次根式被开方数必须是非负 数和分式分母不为 0 的条件，要使 2 x+2 在实数范围内有意义，必须 x+20 x2 x 2 x+20 x2 。故选 A。 例例 3.（湖北襄阳（湖北襄阳 3 分）分）如果关于 x 的一元二次方程 2 kx2k1x10 有两个不相等的实数根，那么 k 的取值范围是【 】 Ak 1 2 Bk 1 2 且 k0 C 1 2 k 1 2 D 1 2 k 1 2 且 k0 【答案】【答案】D。 【考点】【考点】一元二次方程定义和根的判别式，二次根式有意义的条件。 【分析】【分析】由题

7、意，根据一元二次方程二次项系数不为 0 定义知： k0；根据二次根式被开方数非负数的条 件得：2k+10；根据方程有两个不相等的实数根，得=2k+14k0。三者联立，解得 1 2 k 1 2 且 k0。 故选 D。 例例 4. （福建泉州（福建泉州 3 分）分）若ykx4的函数值y随着 x 的增大而增大，则k的值可能是下列的【 】. A .4 B. 2 1 C.0 D.3 【答案】【答案】D。 【考点】【考点】一次函数图象与系数的关系。 3 【分析】【分析】一次函数y=kx+b的图象有四种情况： 当k0时， y 的值随 x 的值增大而增大； 当k0，可取 3。故选 D。 练习题：练习题： 1.

8、 （四川（四川德阳德阳 3 分）分）使代数式 x 2x1 有意义的 x 的取值范围是【 】 A.x0 B. 1 x 2 C.x0且 1 x 2 D.一切实数 2.（山东东营（山东东营 3 分）分）方程 2 1 k 1 x1 kx+=0 4 有两个实数根，则 k 的取值范围是【 】 A k1 B k1 C k1 D k1 3. （贵州贵阳（贵州贵阳 4 分）分） 在正比例函数 y=3mx 中， 函数 y 的值随 x 值的增大而增大， 则 P （m， 5）在第 象限 一、几何中一、几何中涉及到分类定义概念和涉及到分类定义概念和直接运用了分类研究的定理、性质、公式、法则直接运用了分类研究的定理、性质

9、、公式、法则的的应应 用用： 典型例题：典型例题： 例例 1. （湖南长沙（湖南长沙 3 分）分）现有 3cm，4cm，7cm，9cm 长的四根木棒，任取其中三根组成一个三角形，那么 可以组成的三角形的个数是【 】 A1 个 B2 个 C3 个 D4 个 【答案】【答案】B。 【考点】【考点】构成三角形的三边的条件。 【分析】【分析】四条木棒的所有组合：3，4，7 和 3，4，9 和 3，7，9 和 4，7，9，根据三角形两边之和大于第 三边，两边之差小于第三边的构成条件，只有 3，7，9 和 4，7，9 能组成三角形。故选 B。 例例 2. （贵州贵阳（贵州贵阳 3 分）分） 如图， 已知点

10、 A、 D、 C、 F 在同一条直线上， AB=DE， BC=EF， 要使ABCDEF， 还需要添加一个条件是【 】 ABCA=F BB=E CBCEF DA=EDF 【答案】【答案】B。 【考点】【考点】全等三角形的判定。190187。 4 【分析】【分析】应用全等三角形的判定方法逐一作出判断： A、由 AB=DE，BC=EF 和BCA=F 构成 SSA，不符合全等的条件，不能推出ABCDEF， 故本选项错误； B、由 AB=DE，BC=EF 和B=E 构成 SAS，符合全等的条件，能推出ABCDEF，故本 选项正确； C、BCEF，F=BCA。 由 AB=DE，BC=EF 和F=BCA 构

11、成 SSA，不符合全等的条件，不能推出ABCDEF， 故本选项错误； D、由 AB=DE，BC=EF 和A=EDF 构成 SSA，不符合全等的条件，不能推出ABCDEF， 故本选项错误。故选 B。 例例 3. （宁夏区宁夏区 3 分）分）一个等腰三角形两边的长分别为 4 和 9，那么这个三角形的周长是【 】 A13 B17 C22 D17 或 22 【答案】【答案】C。 【考点】【考点】等腰三角形的性质，三角形三边关系。 【分析】【分析】求等腰三角形的周长，即是确定等腰三角形的腰与底的长；题目给出等腰三角形有两条边长为 4 和 9，而没有明确腰、底分别是多少，所以要进行讨论，还要应用三角形的三

12、边关系验证能否组成三角形： 若 4 为腰长，9 为底边长，由于 4+49，则三角形不存在； 9 为腰长，则符合三角形的两边之和大于第三边。 这个三角形的周长为 9+9+4=22。故选 C。 例例 4.（福建（福建三明三明 4 分）分）如图，在平面直角坐标系中，点 A 在第一象限，点 P 在 x 轴上，若以 P，O，A 为 顶点的三角形是等腰三角形，则满足条件的点 P 共有【 】 A 2 个 B 3 个 C4 个 D5 个 【答案】【答案】C。 【考点】【考点】等腰三角形的判定。 【分析】【分析】如图，分 OP=AP（1 点） ，OA=AP（1 点） ，OA=OP（2 点） 5 三种情况讨论。

13、以 P，O，A 为顶点的三角形是等腰三角形，则满足条件的点 P 共有 4 个。故选 C。 例例 5. （青海西宁青海西宁 2 分）分）如图，在菱形 ABCD 中，对角线 AC、BD 相交于点 O，AC12，BD16，E 为 AD 的中点，点 P 在 x 轴上移动小明同学写出了两个使POE 为等腰三角形的 P 点坐标为(5，0)和(5， 0)请你写出其余所有符合这个条件的 P 点的坐标 【答案】【答案】 （8，0） ， （ 25 8 ，0） 。 【考点】【考点】菱形的性质，坐标与图形的性质，勾股定理，等腰三角形的判定。 【分析】【分析】四边形 ABCD 是菱形，ACBD，OA= 1 2 AC=

14、1 2 12=6，OD= 1 2 BD= 1 2 16=8。 在 RtAOD 中，AD= 22 OAOD10。 E 为 AD 中点，OE= 1 2 AD= 1 2 10=5。 当 OP=OE 时，P 点坐标（-5，0）和（5，0） 。 当 OE=PE 时，此时点 P 与 D 点重合，即 P 点坐标为（8，0） 。 如图，当 OP=EP 时，过点 E 作 EKBD 于 K，作 OE 的垂直平分线 PF，交 OE 于点 F，交 x 轴于点 P。 EKOA。EK：OA=ED：AD=1：2。EK= 1 2 OA=3。 OK= 22 OEEK4。 PFO=EKO=90 ，POF=EOK，POFEOK。

15、OP：OE=OF：OK，即 OP：5= 5 2 ：4，解得：OP= 25 8 。 P 点坐标为（ 25 8 ，0） 。 其余所有符合这个条件的 P 点坐标为： （8，0） ， （ 25 8 ，0） 。 例例 6. （四川（四川资阳资阳 3 分）分）直角三角形的两边长分别为 16 和 12，则此三角形的外接圆半径是 【答案】【答案】8 或 10。 6 【考点】【考点】三角形的外接圆与外心，勾股定理。 【分析】【分析】由勾股定理可知： 当直角三角形的斜边长为 16 时，这个三角形的外接圆半径为 1 16= 2 8； 当两条直角边长分别为 16 和 12，则直角三角形的斜边长= 22 161220，

16、因此这个三角形 的外接圆半径为 10。 综上所述：这个三角形的外接圆半径等于 8 或 10。 练习题：练习题： 1. （山东潍坊（山东潍坊 3 分）分）如图所示，AB=DB，ABD=CBE，请你添加一个适当的条件 ， 使 ABCDBE (只需添加一个即可) 2. （广东（广东肇庆肇庆 3 分）分）等腰三角形两边长分别为 4 和 8，则这个等腰三角形的周长为【 】 A16 B18 C20 D16 或 20 （湖北襄阳（湖北襄阳 3 分）分）在等腰ABC 中，A=30 ，AB=8，则 AB 边上的高 CD 的长是 3. （广西（广西来宾来宾 3 分）分）已知等腰三角形的一个内角是 80 ，则它的底

17、角是 0 4. （黑龙江牡丹江黑龙江牡丹江 3 分）分）矩形 ABCD 中， AB=10， BC=3， E 为 AB 边的中点， P 为 CD 边上的点， 且AEP 是腰长为 5 的等腰三角形，则 DP= 5. （黑龙江黑河、齐齐哈尔、大兴安岭、鸡西（黑龙江黑河、齐齐哈尔、大兴安岭、鸡西 3 分）分）RtABC 中，A=900，BC=4,有一个内角为 600， 点 P 是直线 AB 上不同于 A、B 的一点，且ACP=300，则PB 的长为 二、二、含有的参变量的不同取值的含有的参变量的不同取值的分类应用分类应用： 典型例题：典型例题： 例例 1. （重庆市重庆市 4 分）分）年“国际攀岩比赛

18、”在重庆举行小丽从家出发开车前去观看，途中发现忘了带门票， 于是打电话让妈妈马上从家里送来，同时小丽也往回开，遇到妈妈后聊了一会儿，接着继续开车前往比赛 现场设小丽从家出发后所用时间为 t，小丽与比赛现场的距离为 S下面能反映 S 与 t 的函数关系的大致 图象是【 】 7 A B C D 【答案】【答案】B。 【考点】【考点】函数的图象。 【分析】【分析】根据题意可得，S 与 t 的函数关系的大致图象分为四段： 第一段，小丽从出发到往回开，与比赛现场的距离在减小， 第二段，往回开到遇到妈妈，与比赛现场的距离在增大， 第三段与妈妈聊了一会，与比赛现场的距离不变， 第四段，接着开往比赛现场，与比

19、赛现场的距离逐渐变小，直至为 0。 纵观各选项，只有 B 选项的图象符合。故选 B。 例例 2. （福建宁德（福建宁德 3 分）分）五一节某超市稿促销活动：一次性购物不超过 150 元不享受优惠；一次 性购物超过 150 元但不超过 500 元一律九折；一次性购物超过 500 元一律八折王宁两次购物分别付款 120 元、432 元，若王宁一次性购买与上两次相同的商品，则应付款 元 【答案】【答案】480 元或 528 元。 【考点】【考点】分段函数。 【分析】【分析】计算出两次购买应该付款的数额，然后根据优惠方案即可求解： 一次性购物超过 150 元，但不超过 500 元一律 9 折则在这个范

20、围内最低付款 135 元，因而第一次 付款 120 元，没有优惠； 第二次购物时：若是第二种优惠，可得出原价是 432 0.9=480（符合超过 150 不高于 500） ，则两 次共付款：120+480=600 元，超过 500 元，则一次性购买应付款：600 0.8=480 元。 当第二次付款是超过 500 元时：可得出原价是 432 0.8=540（符合超过 500 元） ，则两次共应付 款：120+540=660 元，则一次性购买应付款：660 0.8=528 元。 一次性购买应付款：480 元或 528 元。 例例 3. （江苏常州（江苏常州 2 分）分）在平面直角坐标系 xOy 中

21、，已知点 P（3，0） ，P 是以点 P 为圆心，2 为半径的 圆。若一次函数y=kx+b的图象过点 A（1，0）且与P 相切，则k+b的值为 。 【答案】【答案】 2 3 3 或 2 3 3 。 【考点】【考点】一次函数综合题，直线与圆相切的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，一次函数的性质。 【分析】【分析】如图，设一次函数y=kx+b与 y 轴交于点 C，与P 相切于点 P。 8 则 OA=1，OC=b，OP=3，BP=2，AP=4。 2222 ABAPBP422 3。 由AOCABP，得 OCAO BPAB ，即 b1 22 3 ， 解得 3 b 3 。 bOC3 k = AO13

22、 。 由图和一次函数的性质可知，k，b 同号， 2 3 k+b= 3 或 2 3 k+b= 3 。 练习题：练习题： 1. （湖北武汉湖北武汉 3 分）分）甲、乙两人在直线跑道上同起点、同终点、同方向匀速跑步 500m，先到终点 的人原地休息已知甲先出发 2s在跑步过程中，甲、乙两人的距离 y(m)与乙出发的时间 t(s)之间的关系 如图所示，给出以下结论：a8；b92；c123其中正确的是【 】 A B仅有 C仅有 D仅有 三、三、几何问题中几何图形的不确定几何问题中几何图形的不确定的的分类应用分类应用： 典型例题：典型例题： 例例 1. （北京（北京市市 4 分）分） 小翔在如图 1 所示

23、的场地上匀速跑步，他从点 A 出发，沿箭头所示方向经过点 B 跑到点 C， 共用时 30 秒 他的教练选择了一个固定的位置观察小翔的跑步过程 设小翔跑步的时间为 t （单 位：秒） ，他与教练的距离为 y（单位：米） ，表示 y 与 t 的函数关系的图象大致如图 2 所示，则这个固定 位置可能是图 1 中的【 】 9 A点 M B点 N C点 P D点 Q 例例 2. （北京（北京市市 4 分）分）在平面直角坐标系xOy中，我们把横 、纵坐标都是整数的点叫做整点已知 点 A（0，4） ，点 B 是x轴正半轴上的整点，记AOB 内部（不包括边界）的整点个数为 m当 m=3 时， 点 B 的横坐标

24、的所有可能值是 ；当点 B 的横坐标为 4n（n 为正整数）时，m= （用含 n 的代数式表示 ） 【答案】【答案】3 或 4；6n3。 【考点】【考点】分类归纳（图形的变化类） ，点的坐标，矩形的性质。 【分析】【分析】根据题意画出图形，再找出点 B 的横坐标与AOB 内部（不包括边界）的整点 m 之间的关系即 可求出答案： 如图：当点 B 在（3，0）点或（4，0）点时，AOB 内部（不包括边界）的整点为（1，1） ， 10 （1，2） ， （2，1） ，共三个点，当 m=3 时，点 B 的横坐标的所有可能值是 3 或 4。 当点 B 的横坐标为 4n（n 为正整数）时， 以 OB 为长

25、OA 为宽的矩形内（不包括边界）的整点个数为（4n1） 3=12 n3，对角线 AB 上的整点个数总为 3， AOB 内部（不包括边界）的整点个数 m=（12 n33） 2=6n3。 例例 3. （重庆市重庆市 12 分）分）已知：如图，在直角梯形 ABCD 中，ADBC，B=90 ，AD=2，BC=6，AB=3E 为 BC 边上一点，以 BE 为边作正方形 BEFG，使正方形 BEFG 和梯形 ABCD 在 BC 的同侧 （1）当正方形的顶点 F 恰好落在对角线 AC 上时，求 BE 的长； （2）将（1）问中的正方形 BEFG 沿 BC 向右平移，记平移中的正方形 BEFC 为正方形 BE

26、FG，当点 E 与 点 C 重合时停止平移设平移的距离为 t，正方形 BEFG 的边 EF 与 AC 交于点 M，连接 BD，BM，DM， 是否存在这样的 t，使BDM 是直角三角形？若存在，求出 t 的值；若不存在，请说明理由； （3）在（2）问的平移过程中，设正方形 BEFG 与ADC 重叠部分的面积为 S，请直接写出 S 与 t 之间的 函数关系式以及自变量 t 的取值范围 【答案】【答案】解： （1）如图，设正方形 BEFG 的边长为 x， 则 BE=FG=BG=x。 AB=3，BC=6，AG=ABBG=3x。 GFBE，AGFABC。 AGGF = ABBC ，即 3xx = 36

27、。 解得：x=2，即 BE=2。 11 （2）存在满足条件的 t，理由如下： 如图，过点 D 作 DHBC 于 H， 则 BH=AD=2，DH=AB=3， 由题意得：BB=HE=t，HB=|t2|，EC=4t， EFAB，MECABC。 MEEC = ABBC ，即 ME4t = 36 。ME=2 1 2 t。 在 RtBME 中，BM2=ME2+BE2=22+（2 1 2 t）2= 1 4 t2 2t+8。 在 RtDHB中，BD2=DH2+BH2=32+（t2）2=t24t+13。 过点 M 作 MNDH 于 N，则 MN=HE=t，NH=ME=2 1 2 t， DN=DHNH=3（2 1

28、 2 t）= 1 2 t+1。 在 RtDMN 中，DM2=DN2+MN2=（ 1 2 t+1）2+ t 2= 5 4 t2+t+1。 （）若DBM=90，则 DM2=BM2+BD2， 即 5 4 t2+t+1=（ 1 4 t22t+8）+（t24t+13） ，解得：t= 20 7 。 （）若BMD=90，则 BD2=BM2+DM2， 即 t24t+13=（ 1 4 t22t+8）+（ 5 4 t2+t+1） ，解得：t1=3+17，t2=317（舍去） 。 t=3+17。 （）若BDM=90，则 BM2=BD2+DM2， 即 1 4 t22t+8=（t24t+13）+（ 5 4 t2+t+1

29、） ，此方程无解。 综上所述，当 t= 20 7 或3+17时，BDM 是直角三角形； （3） 2 2 2 14 t0t 43 12 4 ttt2 83 3 S 3510 t2t2t 833 15 10 tt4 223 。 12 【考点】【考点】相似三角形的判定和性质，勾股定理和逆定理，正方形的性质，直角梯形的性质，平移的性质。 【分析】【分析】 （1）首先设正方形 BEFG 的边长为 x，易得AGFABC，根据相似三角形的对应边成比例， 即可求得 BE 的长。 （2） 首先由MECABC 与勾股定理， 求得 BM， DM 与 BD 的平方， 然后分别从若DBM、 DBM 和BDM 分别是直角

30、，列方程求解即可。 （3）分别从 4 0t 3 ， 4 t2 3 ， 10 2t 3 和 10 t4 3 时去分析求解即可求得答案： 如图，当 F 在 CD 上时，EF：DH=CE：CH， 即 2：3=CE：4，CE= 8 3 。 t=BB=BCBEEC=62 84 = 33 。 ME=2 1 2 t，FM= 1 2 t， 当 4 0t 3 时，S=SFMN= 1 2 t1 2 t= 1 4 t2。 如图，当 G 在 AC 上时，t=2， EK=ECtanDCB= DH33 EC4t =3t CH44 ， FK=2EK= 3 t 4 1。 NL= 24 AD= 33 ，FL=t 4 3 ， 当

31、 4 t2 3 时，S=SFMNSFKL= 1 4 t2 1 2 （t 4 3 ） （ 3 t 4 1）= 2 12 tt 83 。 如图，当 G 在 CD 上时，BC：CH=BG：DH， 即 BC：4=2：3，解得：BC= 8 3 ， EC=4t=BC2= 2 3 。t=10 3 。 BN= 1 2 BC= 1 2 （6t）=3 1 2 t， GN=GBBN= 1 2 t1。 当 10 2t 3 时，S=S梯形GNMFSFKL= 1 2 2 （ 1 2 t1+ 1 2 t） 1 2 （t 4 3 ） （ 3 t 4 1） 13 = 2 35 t2t 83 。 如图，当10t4 3 时， BL

32、= 3 4 BC= 3 4 （6t） ，EK= 3 4 EC= 3 4 （4t） ， BN= 1 2 BC= 1 2 （6t）EM= 1 2 EC= 1 2 （4t） ， S=S梯形MNLK=S梯形BEKLS梯形BEMN= 15 t 22 。 综上所述： 2 2 2 14 t0t 43 12 4 ttt2 83 3 S 3510 t2t2t 833 15 10 tt4 223 。 例例 4.（黑龙江牡丹江黑龙江牡丹江 3 分）分）如图，A(3，1)，B(1，3)将AOB 绕点 O 旋转 l500得到AOB， ，则 此时点 A 的对应点 A的坐标为【 】 A(3，l) B(2，0) C(l，3)

33、或（2，0) D(3，1)或(2，0) 【答案】【答案】C。 【考点】【考点】坐标和图形，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值，关于原点对称的点的坐标特征。 【分析】【分析】如图，过点 A 作 AC轴于点 C, 过点 B 作 BD轴于点 D。 由锐角三角函数定义， AC3 tan AOC OC3 , 0 AOC30。 同理， 0 BOD30。 0 AOB30。 若将AOB 绕点 O 顺时针旋转 l500，则点 A与点 B 关于坐标原点对称， A(l，3)。 14 若将AOB 绕点 O 逆时针旋转 l500，则点 A在轴反方向上， A(2，0)。 综上所述，点 A 的对应点 A的坐标为(l，3)

34、或(2，0)。故选 C。 例例 56. （甘肃兰州甘肃兰州 4 分）分）如图，AB 是O 的直径，弦 BC2cm，F 是弦 BC的中点，ABC60 若动 点 E 以 2cm/s 的速度从 A 点出发沿着 ABA 方向运动，设运动时间为 t(s)(0t3)，连接 EF，当BEF 是直角三角形时，t(s)的值为【 】 A 7 4 B1 C 7 4 或 1 D 7 4 或 1 或 9 4 【答案】【答案】D。 【考点】【考点】动点问题，圆周角定理，含 30 度角的直角三角形的性质，三角形中 位线定理。 【分析】【分析】若BEF 是直角三角形，则有两种情况：BFE90 ，BEF 90 ，分别讨论如下：

35、 AB 是O 的直径，ACB90 。 RtABC 中，BC2，ABC60 ，AB2BC4cm。 当BFE90 时； RtBEF 中，ABC60 ，则 BE2BF2cm。 此时 AEABBE2cm。 E 点沿着 ABA 方向运动，E 点运动的距离为：2cm 或 6cm。 点 E 以 2cm/s 的速度运动，t1s 或 3s。 0t3，t3s 不合题意，舍去。 当BFE90 时，t1s。 当BEF90 时， 同可求得 BE 1 2 cm，此时 AEABBE 7 2 cm。 E 点沿着 ABA 方向运动，E 点运动的距离为：3.5cm 或 4.5cm。 点 E 以 2cm/s 的速度运动，t 7 4

36、 s 或 9 4 s（二者均在 0t3 内） 。 15 综上所述，当 t 的值为 1、 7 4 或 9 4 s 时，BEF 是直角三角形。故选 D。 例例 6. （广东梅州（广东梅州 11 分）分）如图，矩形 OABC 中，A（6，0） 、C（0，2） 、D（0，3） ，射线 l 过点 D 且与 x 轴平行，点 P、Q 分别是 l 和 x 轴正半轴上动点，满足PQO=60 （1）点 B 的坐标是 ；CAO= 度；当点 Q 与点 A 重合时，点 P 的坐标为 ； （直接写 出答案） （2）设 OA 的中心为 N，PQ 与线段 AC 相交于点 M，是否存在点 P，使AMN 为等腰三角形？若存在，

37、请直接写出点 P 的横坐标为 m；若不存在，请说明理由 （3）设点 P 的横坐标为 x，OPQ 与矩形 OABC 的重叠部分的面积为 S，试求 S 与 x 的函数关系式和相 应的自变量 x 的取值范围 【答案】【答案】解： （1）（6，23） 。 30。（3，33） 。 （2）存在。m=0 或 m=33或 m=2。 （3）当 0 x3 时， 如图 1，OI=x，IQ=PItan60=3，OQ=OI+IQ=3+x； 由题意可知直线 lBCOA， 可得 EFPEDC31 = OQPODO33 3 ，EF= 1 3 （3+x） ， 此时重叠部分是梯形，其面积为： EFQO 14 34 3 SSEFO

38、QOC3xx4 3 233 梯形 （）（）= 当 3x5 时，如图 2， HAQEFQOEFQO 2 2 1 SSSSAH AQ 2 4 33313 33 x4 3x3xx 32232 = 梯形梯形 。 当 5x9 时，如图 3， 16 12 SBEOAOC3 12x 23 2 3 =x12 3 3 （）（） 。 当 x9 时，如图 4， 1118 354 3 SOA AH6= 22xx 。 综上所述，S 与 x 的函数关系式为： 2 4 3 x4 3 0 x3 3 313 33 xx3x5 232 S 2 3 x12 3 5x9 3 54 3 x9 x 。 【考点】【考点】矩形的性质，梯形的

39、性质，锐角三角函数，特殊角的三角函数值，相似三角形的判定和性质，解 直角三角形。 【分析】【分析】 （1）由四边形 OABC 是矩形，根据矩形的性质，即可求得点 B 的坐标： 四边形 OABC 是矩形，AB=OC，OA=BC， A（6，0） 、C（0，23） ，点 B 的坐标为： （6，23） 。 由正切函数，即可求得CAO的度数： OC2 33 tan CAO= OA63 ，CAO=30 。 由三角函数的性质，即可求得点 P 的坐标；如图：当点 Q 与点 A 重合时，过点 P 作 PEOA 于 E， PQO=60 ，D（0，33） ，PE=33。 0 PE AE3 tan60 。 OE=OA

40、AE=63=3，点 P 的坐标为（3，33） 。 （2）分别从 MN=AN，AM=AN 与 AM=MN 去分析求解即可求得答案： 情况：MN=AN=3，则AMN=MAN=30 ， MNO=60 。 PQO=60 ，即MQO=60 ，点 N 与 Q 重合。 17 点 P 与 D 重合。此时 m=0。 情况，如图 AM=AN，作 MJx 轴、PIx 轴。 MJ=MQsin60=AQsin600 3 OAIQOIsin603m 2 （）（） 又 113 MJAM=AN= 222 ， 33 3m 22 （）=，解得：m=33。 情况AM=NM，此时 M 的横坐标是 4.5， 过点 P 作 PKOA 于

41、 K，过点 M 作 MGOA 于 G， MG= 3 2 。 00 PK3 3MG1 QK3GQ 2tan603tan60 ，。 KG=30.5=2.5，AG= 1 2 AN=1.5。OK=2。m=2。 综上所述，点 P 的横坐标为 m=0 或 m=33或 m=2。 （3）分别从当 0 x3 时，当 3x5 时，当 5x9 时，当 x9 时去分析求解即可求得答案。 例例 7. （广东汕头（广东汕头 12 分）分）如图，抛物线 2 13 y=xx9 22 与 x 轴交于 A、B 两点，与 y 轴交于点 C，连接 BC、AC （1）求 AB 和 OC 的长； （2）点 E 从点 A 出发，沿 x 轴

42、向点 B 运动（点 E 与点 A、B 不重合） ，过点 E 作直线 l 平行 BC，交 AC 于点 D设 AE 的长为 m，ADE 的面积为 s，求 s 关于 m 的函数关系式，并写出自变量 m 的取值范围； （3）在（2）的条件下，连接 CE，求CDE 面积的最大值；此时，求出以点 E 为圆心，与 BC 相切的圆 的面积（结果保留 ） 18 【答案】【答案】解： （1）在 2 13 y=xx9 22 中， 令 x=0，得 y=9，C（0，9） ； 令 y=0，即 2 13 xx9=0 22 ，解得：x1=3，x2=6，A（3，0） 、B（6，0） 。 AB=9，OC=9。 （2）EDBC，A

43、EDABC， 2 AED ABC SAE SAB ，即： 2 sm 1 9 9 9 2 。 s= 1 2 m2（0m9） 。 （3）SAEC= 1 2 AEOC= 9 2 m，SAED=s= 1 2 m2， SEDC=SAECSAED = 1 2 m2+ 9 2 m= 1 2 （m 9 2 ）2+ 81 8 。 CDE 的最大面积为 81 8 ， 此时，AE=m= 9 2 ，BE=ABAE= 9 2 。 又 22 BC6 +9 =3 13， 过 E 作 EFBC 于 F，则 RtBEFRtBCO，得： EFBE OCBC ，即： 9 EF 2 93 13 。 27 EF13 26 。 以 E

44、点为圆心，与 BC 相切的圆的面积 SE=EF2= 729 52 。 【考点】【考点】二次函数综合题，曲线上点的坐标与方程的关系，相似三角形的判定和性质，二次函数的最值， 勾股定理，直线与圆相切的性质。 【分析】【分析】 （1）已知抛物线的解析式，当 x=0，可确定 C 点坐标；当 y=0 时，可确定 A、B 点的坐标，从而 确定 AB、OC 的长。 （2）直线 lBC，可得出AEDABC，它们的面积比等于相似比的平方，由此得到关于 s、m 的函数关系式；根据题目条件：点 E 与点 A、B 不重合，可确定 m 的取值范围。 （3）首先用 m 列出AEC 的面积表达式，AEC、AED 的面积差即

45、为CDE 的面积，由此可 得关于 SCDE关于 m 的函数关系式，根据函数的性质可得到 SCDE的最大面积以及此时 m 的值。 19 过 E 做 BC 的垂线 EF，这个垂线段的长即为与 BC 相切的E 的半径，可根据相似三角形BEF、 BCO 得到的相关比例线段求得该半径的值，由此得解。 练习题：练习题： 1. （浙江（浙江嘉兴嘉兴、舟山、舟山 4 分）分） 如图， 正方形 ABCD 的边长为 a， 动点 P 从点 A 出发， 沿折线 ABDCA 的路径运动，回到点 A 时运动停止设点 P 运动的路程长为长为 x，AP 长为 y，则 y 关于 x 的函数图象大 致是【 】 A B C D 2

46、. （广东深圳（广东深圳 9 分）分）如图，在平面直角坐标系中，直线l：y=2xb (b0)的位置随 b 的不同取值而变化 (1)已知M 的圆心坐标为(4，2)，半径为 2 当 b= 时，直线l：y=2xb (b0)经过圆心 M： 当 b= 时，直线l：y=2xb(b0)与 OM 相切： (2)若把M 换成矩形 ABCD，其三个顶点坐标分别为：A(2，0)、B（6，0） 、C(6，2). 设直线l扫过矩形 ABCD 的面积为 S，当 b 由小到大变化时，请求出 S 与 b 的函数关系式， 3. （广西钦州（广西钦州 3 分）分）如图，直线 3 yx3 2 与 x 轴、y 轴分别交于 A、B 两

47、点，把AOB 绕点 A 旋转 90 后得到AOB，则点 B的坐标是 20 4. （广东（广东湛江湛江 12 分）分）如图，在平面直角坐标系中，直角三角形 AOB 的顶点 A、B 分别落在坐标轴上O 为原点，点 A 的坐标为（6，0） ，点 B 的坐标为（0，8） 动点 M 从点 O 出发沿 OA 向终点 A 以每秒 1 个单位的速度运动，同时动点 N 从点 A 出发，沿 AB 向终点 B 以每秒 个单位的速度运动当一个动点到 达终点时，另一个动点也随之停止运动，设动点 M、N 运动的时间为 t 秒（t0） （1）当 t=3 秒时直接写出点 N 的坐标，并求出经过 O、A、N 三点的抛物线的解析式； （2）在此运动的过程中，MNA 的面积是否存在最大值？若存在，请求出最大值；若不存在，请说明理 由； （3）当 t 为何值时，MNA 是一个等腰三角形？ 5. （浙江（浙江绍兴绍兴