专题4:韦达定理应用探讨(中考数学解题专题指导).doc
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1、 1 【中考攻略】专题【中考攻略】专题 4:韦达定理应用探讨:韦达定理应用探讨 韦达,1540 年出生于法国的波亚图,早年学习法律,但他对数学有浓厚的兴趣,常利用业余时间钻研 数学。韦达第一个有意识地和系统地使用字母来表示已知数、未知数及其乘幂,带来了代数学理论研究的 重大进步。韦达讨论了方程根的各种有理变换,发现了方程根与系数之间的关系(所以人们把叙述一元二 次方程根与系数关系的结论称为韦达定理) 。人们为了纪念他在代数学上的功绩,称他为代数学之父。 韦达定理说的是: 设一元二次方程 2 ax +bx+c=0 a0有二实数根 12 xx, 则 1212 bc x +x =xx = aa ,。
2、 这两个式子反映了一元二次方程的两根之积与两根之和同系数 a,b,c 的关系。其逆命题:如果 12 xx,满 足 1212 bc x +x =xx = aa ,那么 12 xx,是一元二次方程 2 ax +bx+c=0 a0的两个根也成立。 韦达定理的应用有一个重要前提,就是一元二次方程必须有解,即根的判别式 2 =b4ac0。 韦达定理及其逆定理作为一元二次方程的重要理论在初中数学教学和中考中有着广泛的应用。我们将 其应用归纳为:不解方程求方程的两根和与两根积; 求对称代数式的值; 构造一元二次方程; 求方程中待定系数的值; 在平面几何中的应用;在二次函数中的应用。下面通过近年全国各地中考
3、的实例探讨其应用。 一、不解方程求方程的两根和与两根积:一、不解方程求方程的两根和与两根积:已知一元二次方程,可以直接根据韦达定理求得两根 和与两根积。 典型例题:典型例题: 例 1:(湖北武汉湖北武汉 3 分)分)若 x1、x2是一元二次方程 x23x20 的两根,则 x1x2的值是【 】 A2 B2 C3 D1 【答案】【答案】C。 【考点】【考点】一元二次方程根与系数的关系。 【分析】【分析】根据一元二次方程根与系数的关系,得 x1x23。故选 C。 例 2:(湖北武汉(湖北武汉 3 分)分) 若 x1、 x2是一元二次方程 x24x30 的两个根, 则 x1 x2的值是【 】 A.4.
4、 B.3. C.4. D.3. 【答案】【答案】B。 【考点】【考点】一元二次方程根与系数的关系。 【分析】【分析】根据一元二次方程的根与系数的关系,得 12 c3 xx = =3 a1 。故选 B。 例 3:(山东烟台(山东烟台 3 分)分)下列一元二次方程两实数根和为4 的是【 】 Ax2+2x4=0 Bx24x+4=0 Cx2+4x+10=0 Dx2+4x5=0 2 【答案】【答案】D。 【考点】【考点】一元二次方程根的判别式和根与系数的关系。 【分析】【分析】根据一元二次方程根的判别式和根与系数的关系,要使方程的两实数根和为4,必须方程根的 判别式=b24ac0,且 x1+x2= b
5、a =4。据此逐一作出判断: Ax2+2x4=0:=b24ac=200,x1+x2= b a =2,所以本选项不合题意; Bx24x+4=0:=b24ac=0,x1+x2= b a =4,所以本选项不合题意; Cx2+4x+10=0:=b24ac=280,方程无实数根,所以本选项不合题意; Dx2+4x5=0:b24ac=360, ,x1+x2= b a =4,所以本选项符号题意。 故选 D。 例 4: (广西来宾(广西来宾 3 分)分)已知关于 x 的一元二次方程 x2+x+m=0 的一个实数根为 1,那么它的另一个实数根 是【 】 A2 B0 C1 D2 【答案】【答案】A。 【考点】【考
6、点】一元二次方程根与系数的关系。 【分析】【分析】设方程的另一个实数根为 x,则根据一元二次方程根与系数的关系,得 x1=1,解得 x=2。 故选 A。 练习题:练习题: 1. (重庆市(重庆市 3 分)分)已知一元二次方程 2 2x3x10 的两根为 x1、x2,则 x1+x2= 。 2. (浙江湖州(浙江湖州 3 分)分)已知一元二次方程 2 x12x70的两个根为 x1、x2,则 x1+x2的值是【 】 A12 B12 C7 D7 3. (广西来宾(广西来宾 3 分)分)已知一元二次方程 x2+mx2=0 的两个实数根分别为 x1、x2,则 x1 x2= 4.(湖北湖北咸宁咸宁 3 分)
7、分)若关于x的方程02 2 mxx的一个根为1,则另一个根为【 】 A3 B1 C1 D3 5.(云南昆明云南昆明 3 分)分)若 x1,x2是一元二次方程 2x27x+4=0 的两根,则 x1+x2与 x1x2的值分别是【 】 A、 7 2 ,2 B、 7 2 ,2 C、 7 2 ,2 D、 7 2 ,2 3 二、二、求对称代数式的值:求对称代数式的值:应用韦达定理及代数式变换,可以求出一元二次方程两根的对称式的值。 所谓对称式,即若将代数式中的任意两个字母交换,代数式不变(f xy =f yx,) ,则称这个代数式 为完全对称式,如 22 11 x +y+ xy ,等。扩展后,可以视xy中
8、x与y对称。 典型例题:典型例题: 例 1:(四川攀枝花(四川攀枝花 3 分)分)已知一元二次方程:x23x1=0 的两个根分别是 x1、x2,则 x12x2+x1x22的值 为【 】 A 3 B 3 C 6 D 6 【答案】【答案】A。 【考点】【考点】一元二次方程根与系数的关系,求代数式的值。 【分析】【分析】由一元二次方程:x23x1=0 的两个根分别是 x1、x2, 根据一元二次方程根与系数的关系得,x1+x2=3,x1x2=1, x12x2x1x22=x1x2(x1x2)=(1) 3=3。故选 A。 例 2: (山东莱芜(山东莱芜 3 分)分) 已知 m、 n 是方程 x22 2x1
9、0 的两根, 则代数式 m2n23mn的值为 【 】 A9 B 3 C3 D5 【答案】【答案】C。 【考点】【考点】一元二次方程根与系数的关系,求代数式的值。 【分析】【分析】m、n 是方程 x22 2x10 的两根,mn=2 2,mn=1。 2 2 22 m +n +3mn=m+n+mn=2 2+1= 8+1= 9=3。故选 C。 例 3:(江苏(江苏南通南通 3 分)分)设 m、n 是一元二次方程 x23x70 的两个根,则 m24mn 【答案】【答案】4。 【考点】【考点】求代数式的值,一元二次方程的解,一元二次方程根与系数的关系。 【分析】【分析】m、n 是一元二次方程 x23x70
10、 的两个根, m 23 m70,即 m 23 m7;mn3。 m24mn(m 23 m)(mn)734。 例 4:(湖北鄂州(湖北鄂州 3 分)分)设 x1、x2是一元二次方程 x25x3=0 的两个实根,且 2 122 2x (x6x3)a4, 则 a= . 【答案】【答案】10。 4 【考点】【考点】一元二次方程的解和根与系数的关系。 【分析】【分析】x1、x2是一元二次方程 x25x3=0 的两个实根,x225x23=0,x1x2=3。 又 2 122 2x (x6x3)a4,即 2 1222 2x (x5x3x )a4 ,即 12 2x (0 x )a4。 12 2x xa4,即23a
11、4,解得 a=10。 练习题:练习题: 1. (湖南张家界(湖南张家界 3 分)分)已知 m 和 n 是方程 2x25x3=0 的两根,则 11 + mn = 2. (四川(四川泸州泸州3分)分) 设x1, x2是一元二次方程x2 3x 1 =0的两个实数根, 则 22 1212 xx4x x的值为 3. (山东日照(山东日照 4 分)分)已知 x1、x2是方程 2x2+14x16=0 的两实数根,那么 21 12 xx xx 的值为 . 4. (黑龙江绥化(黑龙江绥化 3 分)分)设 a,b 是方程 x2x2013=0 的两个不相等的实数根,则 a22ab 的值为 5. (黑龙江大庆(黑龙江
12、大庆 4 分)分)若方程 2 xx10 的两实根为a、b,求 11 ab 的值 6. (湖北荆州、湖北荆州、荆门荆门 3 分)分)关于x的方程 2 ax(3a1)x2(a1)0有两个不相等的实根 1 x、 2 x, 且有 1122 xx xx1a ,则a的值是【 】 A.1 B.1 C. 1或1 D.2 7.(贵州黔东南(贵州黔东南 4 分)分)若a、b是一元二次方程 2 x2011x10 的两根,则 11 ab 的值为【 】 A、2010 B、 C、 2010 1 D、 2011 1 8. (江苏苏州(江苏苏州 3 分)分)已知a、b是一元二次方程 2 x2x10 的两个实数根,则代数式 a
13、bab2ab的值等于 9. (山东(山东德州德州 4 分分)若 x1,x2是方程 x 2+ x1=0 的两个根,则 x 12+ x 22= 10. (广西玉林、防城港(广西玉林、防城港 6 分)分)已知: 1 x、 2 x是一元二次方程 2 x4x10 的两个实数根求: 2 12 12 11 (xx )() xx 的值 三、三、构造一元二次方程:构造一元二次方程:如果我们知道问题中某两个字母的和与积,则可以利用韦达定理构造以 这两个字母为根的一元二次方程。扩展后字母可为代数式。 典型例题:典型例题: 5 例 1:(湖北随州(湖北随州 4 分)分)设 242 a2a 10 b2b10 ,且 1a
14、b20,则 5 22 ab +b3a+1 a = . 例 2:(四川(四川内江内江 12 分)分)如果方程 2 0 xpxq的两个根是 12 ,xx,那么 1212 ,.,xxp x xq 请根 据以上结论,解决下列问题: (1)已知关于x的方程 2 0,(0),xmxnn求出一个一元二次方程, 使它的两个根分别是已知方程两 根的倒数; (2)已知a、b满足 22 1550,1550aabb,求 ab ba 的值; (3)已知a、b、c满足0,16abcabc求正数c的最小值。 【答案】【答案】解: (1)设关于x的方程 2 0,(0)xmxnn的两根为 12 ,xx,则有: 1212 ,.x
15、xm x xn ,且由已知所求方程的两根为 12 11 , xx 12 1212 11xxm xxx xn , 1212 1111 xxx xn 。 6 所求方程为 2 1 0 m xx nn ,即 2 10(0)nxmxn 。 (2)a、b满足 22 1550,1550aabb, a、b是方程 2 1550 xx的两根。15,5abab 。 22 222 215 2247 5 ababababab baababab 。 (3)0,16abcabc且0c 16 ,abc ab c 。 a、b是一元二次方程 2 16 00 xc xc c 的两个根, 代简,得 22 1600cxc xc 。 又
16、此方程必有实数根,此方程的0,即 2 2 4160cc , 33 40c c 。 又0c 33 40c 。 4c。 正数c的最小值为 4。 【考点】【考点】一元二次方程根与系数的关系和根的判别式,代数式化简。 【分析】【分析】 (1)设方程 2 0,(0)xmxnn的两根为 12 ,xx,得出 12 11m xxn , 12 111 xxn ,再根据 这个一元二次方程的两个根分别是已知方程两根的倒数,即可求出答案。 (2) 根据a、b满足 22 1550,1550aabb, 得出a、b是一元二次方程 2 1550 xx 的两个根,由15,5abab ,即可求出 ab ba 的值。 (3) 根据
17、0,16abcabc, 得出 16 ,abc ab c ,a、b是一元二次方程 22 160cxc x的 两个根,再根据0,即可求出c的最小值。 例 3:(四川宜宾(四川宜宾 8 分)分)某市政府为落实保障性住房政策,年已投入 3 亿元资金用于保障性住房建设,并 规划投入资金逐年增加,到 2013 年底,将累计投入 10.5 亿元资金用于保障性住房建设 (1)求到 2013 年底,这两年中投入资金的平均年增长率(只需列出方程) ; (2)设(1)中方程的两根分别为 x1,x2,且 mx124m2x1x2+mx22的值为 12,求 m 的值 【答案】【答案】解: (1)设到 2013 年底,这两
18、年中投入资金的平均年增长率为 x, 根据题意得:3+3(x+1)+3(x+1)2=10.5。 (2)由(1)得,x2+3x0.5=0, 7 由一元二次方程根与系数的关系得,x1+x2=3,x1x2=0.5。 又mx124m2x1x2+mx22=12 即 m(x1+x2)22x1x24m2x1x2=12, 即 m9+14m2(0.5)=12,即 m2+5m6=0,解得,m=6 或 m=1。 【考点】【考点】一元二次方程的应用,一元二次方程根与系数的关系。 【分析】【分析】(1)方程的应用解题关键是找出等量关系,列出方程求解。本题等量关系为: 年、年和 2013 某市用于保障房建设资金总量=10.
19、5 亿元, 把相关数值代入求得合适的解即可。 (2)由(1)得到的一元二次方程,根据根与系数的关系求得关于 m 的一元二次方程,解之即得 m 的值。 例 4:(贵州黔西南(贵州黔西南 14 分)分)问题:已知方程 2 x +x1=0,求一个一元二次方程,使它的根分别是已知方 程根的 2 倍。 解:设所求方程的根为 y,则 y=2x,所以 y x= 2 把 y x= 2 代入已知方程,得 2 yy +1=0 22 化简,得: 2 y +2y4=0 故所求方程为 2 y +2y4=0 这种利用方程根的代换求新方程的方法, 我们称为换根法。 请阅读材料提供的换根法求新方程 (要求: 把所求方程化成一
20、般形式) (1)已知方程 2 x +x2=0,求一个一元二次方程,使它的根分别是已知方程根的相反数,则所求方程为: ; (2)已知关于 x 的一元二次方程 2 ax +bx+c=0 a0有两个不等于零的实数根,求一个一元二次方程,使 它的根分别是已知方程的倒数。 【答案】【答案】解: (1)y2y2=0。 (2)设所求方程的根为 y,则 1 y x (x0) ,于是 1 x y (y0) 。 把 1 x y 代入方程 2 ax +bx+c=0,得 2 11 a+b+c=0 yy , 去分母,得 a+by+cy2=0。 若 c=0,有 2 ax +bx=0,可得有一个解为 x=0,与已知不符,不
21、符合题意。 c0。 所求方程为 cy2+by+a=0(c0) 。 8 【考点】【考点】一元二次方程的应用。 【分析】【分析】 (1)设所求方程的根为 y,则 y=x 所以 x=y。 把 x=y 代入已知方程,得 y2y2=0。 (2)根据所给的材料,设所求方程的根为 y,再表示出 x,代入原方程,整理即得出所求的方程。 练习题:练习题: 1. (辽宁沈阳(辽宁沈阳 2 分)分)请你写出一个二次项系数为 1,两实数根之和为 3 的一元二次方程: . 2. (山东临沂(山东临沂 3 分)分)请写出一个一元二次方程,要求二次项系数不为 1,且其两根互为倒数 . 3.(浙江杭州(浙江杭州 10 分)分
22、)已知某二次项系数为 1 的一元二次方程的两个实数根为 p、q,且满足关系式 22 pq p15 p qpq6 ,试求这个一元二次方程 4. (江苏淮安(江苏淮安 3 分)分)写出一个两实数根符号相反的一元二次方程: . 四、四、求方程中待定系数的值:求方程中待定系数的值:已知方程两根满足某种关系,则可以利用韦达定理确定方程中待定 字母系数的值。 典型例题:典型例题: 例 1:(湖北天门、仙桃、潜江、江汉油田(湖北天门、仙桃、潜江、江汉油田 3 分)分)如果关于 x 的一元二次方程 x2+4x+a=0 的两个不相等实 数根 x1,x2满足 x1x22x12x25=0,那么 a 的值为【 】 A
23、3 B3 C13 D13 【答案】【答案】B。 【考点】【考点】一元二次方程根与系数的关系。 【分析】【分析】x1,x2是关于 x 的一元二次方程 x2+4x+a=0 的两个不相等实数根, x1+x2=4,x1x2=a。 x1x22x12x25=x1x22(x1+x2)5=a2 (4)5=0,即 a+3=0, 解得,a=3。故选 B。 例 2:(湖南株洲(湖南株洲 3 分分)已知关于 x 的一元二次方程 x2bx+c=0 的两根分别为 x1=1,x2=2,则 b 与 c 的值分别为【 】 Ab=1,c=2 Bb=1,c=2 Cb=1,c=2 Db=1,c=2 【答案】【答案】D。 【考点】【考
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