中考数学复习专题讲座2：新概念型问题(含答案).doc

1、 1 中考数学专题讲座中考数学专题讲座二二：新概念型问题新概念型问题 一、一、中考专题诠释中考专题诠释 所谓“新概念”型问题，主要是指在问题中概念了中学数学中没有学过的一些概念、新运 算、新符号，要求学生读懂题意并结合已有知识、能力进行理解，根据新概念进行运算、推 理、迁移的一种题型.“新概念”型问题成为近年来中考数学压轴题的新亮点.在复习中应重视 学生应用新的知识解决问题的能力 二、二、解题策略和解法精讲解题策略和解法精讲 “新概念型专题”关键要把握两点：一是掌握问题原型的特点及其问题解决的思想方法； 二是根据问题情景的变化，通过认真思考，合理进行思想方法的迁移 三、三、中考典例剖析中考典例

2、剖析 考考点一：点一：规律题型中的新概念规律题型中的新概念 例例 1 （永州）我们把按照一定顺序排列的一列数称为数列，如 1，3，9，19，33，就是 一个数列，如果一个数列从第二个数起，每一个数与它前一个数的差等于同一个常数，那么 这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做这个等差数列的公差如 2，4，6，8，10 就是一 个等差数列，它的公差为 2如果一个数列的后一个数与前一个数的差组成的新数列是等差 数列，则称这个数列为二阶等差数列例如数列 1，3，9，19，33，它的后一个数与前 一个数的差组成的新数列是 2，6，10，14，这是一个公差为 4 的等差数列，所以，数 列 1，3，9，19，3

3、3，是一个二阶等差数列那么，请问二阶等差数列 1，3，7，13， 的第五个数应是 思路思路分析：分析：由于 3-1=2，7-3=4，13-7=6，由此得出相邻两数之差依次大 2，故 13 的后 一个数比 13 大 8 解答：解：由数字规律可知，第四个数 13，设第五个数为 x， 则 x-13=8，解得 x=21，即第五个数为 21， 故答案为：21 点评：点评：本题考查了数字变化规律类问题关键是确定二阶等差数列的公差为 2 对应训练对应训练 1（自贡） 若 x 是不等于 1 的实数， 我们把 1 1x 称为 x 的差倒数， 如 2 的差倒数是 1 12 =-1， -1 的差倒数为 1 1 (

4、1) = 1 2 ，现已知 x1=- 1 3 ，x2是 x1的差倒数，x3是 x2的差倒数，x4是 x3的差倒数，依次类推，则 x2012= 考点二：运算题型中的新概念考点二：运算题型中的新概念 例例 2 （菏泽）将 4 个数 a，b，c，d 排成 2 行、2 列，两边各加一条竖直线记成 ab cd ，概 念 ab cd =ad-bc，上述记号就叫做 2 阶行列式若 1 1 11 xx xx =8，则 x= 思路思路分析：分析：根据题中的新概念将所求的方程化为普通方程，整理后即可求出方程的解，即为 x 的值 解：解：根据题意化简 1 1 11 xx xx =8，得： （x+1）2-（1-x）2

5、=8， 2 整理得：x2+2x+1-（1-2x+x2）-8=0，即 4x=8， 解得：x=2 故答案为：2 点评：点评：此题考查了整式的混合运算，属于新概念的题型，涉及的知识有：完全平方公式，去 括号、合并同类项法则，根据题意将所求的方程化为普通方程是解本题的关键 对应训练对应训练 2 （株洲）若（x1，y1）（x2，y2）=x1x2+y1y2，则（4，5）（6，8）= 考点三：考点三：探索题型中的新概念探索题型中的新概念 例例 3 （南京）如图，A、B 是O 上的两个定点，P 是O 上的动点（P 不与 A、B 重合） 、 我们称APB 是O 上关于点 A、B 的滑动角 （1）已知APB 是O

6、 上关于点 A、B 的滑动角， 若 AB 是O 的直径，则APB= ； 若O 的半径是 1，AB=，求APB 的度数； （2）已知 O2是O1外一点，以 O2为圆心作一个圆与O1相交于 A、B 两点，APB 是 O1上关于点 A、B 的滑动角，直线 PA、PB 分别交O2于 M、N（点 M 与点 A、点 N 与 点 B 均不重合） ，连接 AN，试探索APB 与MAN、ANB 之间的数量关系 思路思路分析：分析：（1）根据直径所对的圆周角等于 90即可求解； 根据勾股定理的逆定理可得AOB=90， 再分点 P 在优弧上； 点 P 在劣弧上两种情 况讨论求解； （2）根据点 P 在O1上的位置分

7、为四种情况得到APB 与MAN、ANB 之间的数量关 系 解：解： （1）若 AB 是O 的直径，则APB=90 如图，连接 AB、OA、OB 在 AOB 中， OA=OB=1AB=， OA2+OB2=AB2 AOB=90 当点 P 在优弧上时，AP1B= AOB=45； 当点 P 在劣弧上时，AP2B= （360AOB）=1356 分 （2）根据点 P 在O1上的位置分为以下四种情况 第一种情况：点 P 在O2 外，且点 A 在点 P 与点 M 之间，点 B 在点 P 与点 N 之间，如图 MAN=APB+ANB， 3 APB=MANANB； 第二种情况：点 P 在O2外，且点 A 在点 P

8、 与点 M 之间，点 N 在点 P 与点 B 之间，如图 MAN=APB+ANP=APB+（180ANB） ， APB=MAN+ANB180； 第三种情况：点 P 在O2外，且点 M 在点 P 与点 A 之间，点 B 在点 P 与点 N 之间，如图 APB+ANB+MAN=180， APB=180MANANB， 第四种情况：点 P 在O2内，如图， APB=MAN+ANB 点评：点评：综合考查了圆周角定理，勾股定理的逆定理，点与圆的位置关系，本题难度较大，注 意分类思想的运用 对应训练对应训练 3 （陕西）如果一条抛物线 y=ax2+bx+c（a0）与 x 轴有两个交点，那么以该抛物线的顶点

9、和这两个交点为顶点的三角形称为这条抛物线的“抛物线三角形” （1）“抛物线三角形”一定是 三角形； （2）若抛物线 y=-x2+bx（b0）的“抛物线三角形”是等腰直角三角形，求 b 的值； （3）如图，OAB 是抛物线 y=-x2+bx（b0）的“抛物线三角形”，是否存在以原点 O 为 对称中心的矩形 ABCD？若存在，求出过 O、C、D 三点的抛物线的表达式；若不存在，说 明理由 4 考点四：考点四：开放题型中的新概念开放题型中的新概念 例例 4 （北京）在平面直角坐标系 xOy 中，对于任意两点 P1（x1，y1）与 P2（x2，y2）的“非 常距离”，给出如下概念： 若|x1-x2|y

10、1-y2|，则点 P1与点 P2的“非常距离”为|x1-x2|； 若|x1-x2|y1-y2|，则点 P1与点 P2的“非常距离”为|y1-y2| 例如： 点 P1（1， 2） ， 点 P2（3， 5） ， 因为|1-3|2-5|， 所以点 P1与点 P2的“非常距离”为|2-5|=3， 也就是图 1 中线段 P1Q 与线段 P2Q 长度的较大值（点 Q 为垂直于 y 轴的直线 P1Q 与垂直于 x 轴的直线 P2Q 交点） （1）已知点 A（- 1 2 ，0） ，B 为 y 轴上的一个动点， 若点 A 与点 B 的“非常距离”为 2，写出一个满足条件的点 B 的坐标； 直接写出点 A 与点

11、B 的“非常距离”的最小值； （2）已知 C 是直线 y= 3 4 x+3 上的一个动点， 如图 2，点 D 的坐标是（0，1） ，求点 C 与点 D 的“非常距离”的最小值及相应的点 C 的坐 标； 如图 3，E 是以原点 O 为圆心，1 为半径的圆上的一个动点，求点 C 与点 E 的“非常距离” 的最小值及相应的点 E 与点 C 的坐标 思路思路分析：分析： （1）根据点 B 位于 y 轴上，可以设点 B 的坐标为（0，y） 由“非常距离”的概 念可以确定|0-y|=2，据此可以求得 y 的值； 设点B的坐标为 （0， y） 因为|- 1 2 -0|0-y|， 所以点A与点B的“非常距离”

12、最小值为|- 1 2 -0|= 1 2 ； 5 （2）设点 C 的坐标为（x0， 3 4 x0+3） 根据材料“若|x1-x2|y1-y2|，则点 P1与点 P2的“非常 距离”为|x1-x2|”知，C、D 两点的“非常距离”的最小值为-x0= 3 4 x0+2，据此可以求得点 C 的 坐标； 当点 E 在过原点且与直线 y= 3 4 x+3 垂直的直线上时， 点 C 与点 E 的“非常距离”最小， 即 E（- 3 5 ， 4 5 ） 解答思路同上 解：解： （1）B 为 y 轴上的一个动点， 设点 B 的坐标为（0，y） |- 1 2 -0|= 1 2 2， |0-y|=2， 解得，y=2

13、或 y=-2； 点 B 的坐标是（0，2）或（0，-2） ； 点 A 与点 B 的“非常距离”的最小值为 1 2 ； （2）C 是直线 y= 3 4 x+3 上的一个动点， 设点 C 的坐标为（x0， 3 4 x0+3） ， -x0= 3 4 x0+2， 此时，x0=- 8 7 ， 点 C 与点 D 的“非常距离”的最小值为： 8 7 ， 此时 C（- 8 7 ，15 7 ） ； E（- 3 5 ， 4 5 ） - 3 5 -x0= 3 4 x0+3- 4 5 ， 6 解得，x0=- 8 5 ， 则点 C 的坐标为（- 8 5 ， 9 5 ） ， 最小值为 1 点评：点评：本题考查了一次函数综

14、合题对于信息给予题，一定要弄清楚题干中的已知条件本 题中的“非常距离”的概念是正确解题的关键 对应训练对应训练 4 （台州）请你规定一种适合任意非零实数 a，b 的新运算“ab”，使得下列算式成立： 12=21=3， （-3）（-4）=（-4）（-3）=- 7 6 ， （-3）5=5（-3）=- 4 15 ， 你规定的新运算 ab= （用 a，b 的一个代数式表示） 考点五：考点五：阅读材料题型中的新概念阅读材料题型中的新概念 例例 5 （常州）平面上有两条直线 AB、CD 相交于点 O，且BOD=150 （如图） ，现按如 下要求规定此平面上点的“距离坐标”： （1）点 O 的“距离坐标”为

15、（0，0） ； （2）在直线 CD 上，且到直线 AB 的距离为 p（p0）的点的“距离坐标”为（p，0） ；在直 线 AB 上，且到直线 CD 的距离为 q（q0）的点的“距离坐标”为（0，q） ； （3）到直线 AB、CD 的距离分别为 p，q（p0，q0）的点的“距离坐标”为（p，q） 设 M 为此平面上的点，其“距离坐标”为（m，n） ，根据上述对点的“距离坐标”的规定，解决 下列问题： （1）画出图形（保留画图痕迹） ： 满足 m=1，且 n=0 的点 M 的集合； 满足 m=n 的点 M 的集合； （2）若点 M 在过点 O 且与直线 CD 垂直的直线 l 上，求 m 与 n 所满

16、足的关系式 （说明： 图中 OI 长为一个单位长） 思路思路分析：分析： （1）以 O 为圆心，以 2 为半径作圆，交 CD 于两点，则此两点为所求；分 别作BOC 和BOD 的角平分线并且反向延长，即可求出答案； （2）过 M 作 MNAB 于 N，根据已知得出 OM=n，MN=m，求出NOM=60 ，根据锐角 三角函数得出 sin60 = MN OM = m n ，求出即可 解：解： （1）如图所示： 7 点 M1和 M2为所求； 如图所示： 直线 MN 和直线 EF（O 除外）为所求； （2）如图： 过 M 作 MNAB 于 N， M 的“距离坐标”为（m，n） ， OM=n，MN=m，

17、 BOD=150 ，直线 lCD， MON=150 -90 =60 ， 在 RtMON 中，sin60 = MN OM = m n ， 即 m 与 n 所满足的关系式是：m= 3 2 n 点评：点评：本题考查了锐角三角函数值，角平分线性质，含 30 度角的直角三角形的应用，主要 考查学生的动手操作能力和计算能力，注意：角平分线上的点到角两边的距离相等 对应训练对应训练 5 （钦州）在平面直角坐标系中，对于平面内任意一点（x，y） ，若规定以下两种变换： f（x，y）=（y，x） 如 f（2，3）=（3，2） ； g（x，y）=（-x，-y） ，如 g（2，3）=（-2，-3） 按照以上变换有：

18、f（g（2，3） ）=f（-2，-3）=（-3，-2） ，那么 g（f（-6，7） ）等于（ ） A （7，6） B （7，-6） C （-7，6） D （-7，-6） 四、中考真题演练四、中考真题演练 一、选择题一、选择题 8 1 （六盘水）概念：f（a，b）=（b，a） ，g（m，n）=（-m，-n） 例如 f（2，3）=（3，2） ， g（-1，-4）=（1，4） 则 gf（-5，6）等于（ ） A （-6，5） B （-5，-6） C （6，-5） D （-5，6） 2 （湘潭）文文设计了一个关于实数运算的程序，按此程序，输入一个数后，输出的数比 输入的数的平方小 1，若输入 7，则输

19、出的结果为（ ） A5 B6 C7 D8 点评：本题考查的是实数的运算，根据题意得出输出数的式子是解答此题的关键 3 （丽水）小明用棋子摆放图形来研究数的规律图 1 中棋子围城三角形，其棵数 3，6， 9，12，称为三角形数类似地，图 2 中的 4，8，12，16，称为正方形数下列数中既 是三角形数又是正方形数的是（ ） A2010 B2012 C2014 D2016 二、填空题二、填空题 4 （常德）规定用符号m表示一个实数 m 的整数部分，例如： =0，3.14=3按此规定 的值为 5 （随州）概念：平面内的直线 1 l与 2 l相交于点 O，对于该平面内任意一点 M，点 M 到直 线 1

20、 l、 2 l的距离分别为 a、b，则称有序非实数对（a，b）是点 M 的“距离坐标”，根据上述 概念，距离坐标为（2，3）的点的个数是（ ） A2 B1 C4 D3 6 （荆门） 新概念： a， b为一次函数 y=ax+b （a0， a， b 为实数） 的“关联数” 若“关联数”1， m-2的一次函数是正比例函数，则关于 x 的方程 1 1x + 1 m =1 的解为 7 （自贡）如图，ABC 是正三角形，曲线 CDEF 叫做正三角形的渐开线，其中弧 CD、弧 DE、弧 EF 的圆心依次是 A、B、C，如果 AB=1，那么曲线 CDEF 的长是 8 （泉州）在ABC 中，P 是 AB 上的动

21、点（P 异于 A、B） ，过点 P 的直线截ABC， 使截得的三角形与ABC 相似，我们不妨称这种直线为过点 P 的ABC 的相似线，简记为 P（lx） （x 为自然数） （1）如图，A=90 ，B=C，当 BP=2PA 时，P（l1） 、P（l2）都是过点 P 的ABC 的相似线（其中 l1BC，l2AC） ，此外，还有 条； 9 （2）如图，C=90 ，B=30 ，当 BP BA = 时，P（lx）截得的三角形面积 为ABC 面积的 1 4 三、解答题三、解答题 9 （铜仁地区）如图，概念：在直角三角形 ABC 中，锐角 的邻边与对边的比叫做角 的 余切，记作 ctan，即 ctan= 角

22、 的邻边 角 的对边 = AC BC ，根据上述角的余切概念，解下列问题： （1）ctan30 = ； （2）如图，已知 tanA= 3 4 ，其中A 为锐角，试求 ctanA 的值 10 （无锡） 对于平面直角坐标系中的任意两点 P1（x1， y1） ， P2（x2， y2） ， 我们把|x1-x2|+|y1-y2| 叫做 P1、P2两点间的直角距离，记作 d（P1，P2） （1）已知 O 为坐标原点，动点 P（x，y）满足 d（O，P）=1，请写出 x 与 y 之间满足的关 系式，并在所给的直角坐标系中画出所有符合条件的点 P 所组成的图形； （2）设 P0（x0，y0）是一定点，Q（x，

23、y）是直线 y=ax+b 上的动点，我们把 d（P0，Q）的 最小值叫做 P0到直线 y=ax+b 的直角距离试求点 M（2，1）到直线 y=x+2 的直角距离 11 （厦门）如图，在平面直角坐标系中，已知点 A（2，3） 、B（6，3） ，连接 AB如果点 P 在直线 y=x-1 上，且点 P 到直线 AB 的距离小于 1，那么称点 P 是线段 AB 的“临近点” （1）判断点 C（ 7 5 , 2 2 ）是否是线段 AB 的“临近点”，并说明理由； （2）若点 Q（m，n）是线段 AB 的“临近点”，求 m 的取值范围 10 12 （兰州）如图，概念：若双曲线 y= k x （k0）与它的

24、其中一条对称轴 y=x 相交于 A、B 两点，则线段 AB 的长度为双曲线 y= k x （k0）的对径 （1）求双曲线 y= 1 x 的对径 （2）若双曲线 y= k x （k0）的对径是 102，求 k 的值 （3）仿照上述概念，概念双曲线 y= k x （k0）的对径 13 （绍兴）联想三角形外心的概念，我们可引入如下概念 概念：到三角形的两个顶点距离相等的点，叫做此三角形的准外心 举例：如图 1，若 PA=PB，则点 P 为ABC 的准外心 应用：如图 2，CD 为等边三角形 ABC 的高，准外心 P 在高 CD 上，且 PD= 1 2 AB，求APB 的度数 探究：已知ABC 为直角

25、三角形，斜边 BC=5，AB=3，准外心 P 在 AC 边上，试探究 PA 的长 11 14（嘉兴） 将ABC绕点A按逆时针方向旋转度， 并使各边长变为原来的n倍， 得ABC， 即如图，我们将这种变换记为，n （1）如图，对ABC 作变换60 ，3得ABC，则 SABC：SABC= ；直线 BC 与直线 BC所夹的锐角为 度； （2）如图，ABC 中，BAC=30 ，ACB=90 ，对ABC 作变换，n得ABC， 使点 B、C、C在同一直线上，且四边形 ABBC为矩形，求 和 n 的值； （3）如图，ABC 中，AB=AC，BAC=36 ，BC=l，对ABC 作变换，n得ABC， 使点 B、C

26、、B在同一直线上，且四边形 ABBC为平行四边形，求 和 n 的值 15 （台州）概念：P、Q 分别是两条线段 a 和 b 上任意一点，线段 PQ 长度的最小值叫做线 段 a 与线段 b 的距离 已知 O（0，0） ，A（4，0） ，B（m，n） ，C（m+4，n）是平面直角坐标系中四点 （1）根据上述概念，当 m=2，n=2 时，如图 1，线段 BC 与线段 OA 的距离是 ； 当 m=5，n=2 时，如图 2，线段 BC 与线段 OA 的距离（即线段 AB 长）为 ； （2）如图 3，若点 B 落在圆心为 A，半径为 2 的圆上，线段 BC 与线段 OA 的距离记为 d， 求 d 关于 m

27、 的函数解析式 （3）当 m 的值变化时，动线段 BC 与线段 OA 的距离始终为 2，线段 BC 的中点为 M， 求出点 M 随线段 BC 运动所围成的封闭图形的周长； 点 D 的坐标为（0，2） ，m0，n0，作 MNx 轴，垂足为 H，是否存在 m 的值使以 A、 M、H 为顶点的三角形与AOD 相似？若存在，求出 m 的值；若不存在，请说明理由 12 专题专题讲座讲座二二：新概念型问题新概念型问题参考答案参考答案 三、三、中考典例剖析中考典例剖析 对应训练对应训练 1 3 4 解：x1=- 1 3 ， x2= 1 1 1 () 3 = 3 4 ，x3= 1 3 1 ( ) 4 =4，x

28、4= 11 143 ， 差倒数为 3 个循环的数， 2012=670 3+2， x2012=x2= 3 4 ， 故答案为： 3 4 264 解：（x1，y1）（x2，y2）=x1x2+y1y2， （4，5）（6，8）=46+58=64， 故答案为 64 3解： （1）如图； 根据抛物线的对称性，抛物线的顶点 A 必在 O、B 的垂直平分线上，所以 OA=AB，即：“抛 物线三角形”必为等腰三角形 故填：等腰 （2）抛物线 y=-x2+bx（b0）的“抛物线三角形”是等腰直角三角形， 该抛物线的顶点（ 2 , 24 b b ）满足 2 24 bb （b0） b=2 13 （3）存在 如图，作OC

29、D 与OAB 关于原点 O 中心对称，则四边形 ABCD 为平行四边形 当 OA=OB 时，平行四边形 ABCD 是矩形， 又AO=AB， OAB 为等边三角形 作 AEOB，垂足为 E， AE=3OE 2 4 b =3 2 b （b0） b=23 A（3，3） ，B（23，0） C（-3，-3） ，D（-23，0） 设过点 O、C、D 的抛物线为 y=mx2+nx，则 122 30 333 mn mn ， 解得 1 2 3 m n 故所求抛物线的表达式为 y=x2+23x 4解：根据题意可得： 12=21=3= 22 12 ， （-3）（-4）=（-4）（-3）=- 7 6 = 22 34

30、， （-3）5=5（-3）=- 4 15 = 22 35 ， 14 则 ab= 22 ab = 22ab ab 故答案为： 22ab ab 5C 解：f（-6，7）=（7，-6） ， g（f（-6，7） ）=g（7，-6）=（-7，6） 故选 C 四、中考真题演练四、中考真题演练 一、选择题一、选择题 1A 2B 3D 解：3，6，9，12，称为三角形数， 三角数都是 3 的倍数， 4，8，12，16，称为正方形数， 正方形数都是 4 的倍数， 既是三角形数又是正方形数的是 12 的倍数， 201012=1676， 201212=1678， 201412=16710， 2016 12=168，

31、 2016 既是三角形数又是正方形数 故选 D 二、填空题二、填空题 44 解：34， 3+1+14+1， 4+15， +1=4， 故答案为：4 5C 解：如图所示，所求的点有 4 个， 15 故选 C 6x=3 解：根据题意可得：y=x+m-2， “关联数”1，m-2的一次函数是正比例函数， m-2=0， 解得：m=2， 则关于 x 的方程 1 1x + 1 m =1变为 1 1x + 1 2 =1， 解得：x=3， 检验：把 x=3 代入最简公分母 2（x-1）=40， 故 x=3 是原分式方程的解， 故答案为：x=3 74 解：弧 CD 的长是120 1 180 = 2 3 ， 弧 DE

32、 的长是：120 2 180 = 4 3 ， 弧 EF 的长是：120 3 180 =2， 则曲线 CDEF 的长是： 2 3 + 4 3 +2=4 故答案是：4 8 （1）1； （2） 1 2 或 3 4 或 3 4 解： （1）存在另外 1 条相似线 如图 1 所示，过点 P 作 l3BC 交 AC 于 Q，则APQABC； 故答案为：1； （2）设 P（lx）截得的三角形面积为 S，S= 1 4 SABC，则相似比为 1：2 如图 2 所示，共有 4 条相似线： 16 第 1 条 l1，此时 P 为斜边 AB 中点，l1AC， BP BA = 1 2 ； 第 2 条 l2，此时 P 为斜

33、边 AB 中点，l2AC， BP BA = 1 2 ； 第 3 条 l3，此时 BP 与 BC 为对应边，且 BP BC = 1 2 ， BP BA =cos30 BP BC = 3 4 ； 第 4 条 l4，此时 AP 与 AC 为对应边，且 AP AC = 1 2 ， 1 sin30 4 APAP ABAC ， BP BA = 3 4 故答案为： 1 2 或 3 4 或 3 4 三、解答题三、解答题 9解： （1）RtABC 中，=30， BC= 1 2 AB， AC= 22 ABBC= 22 1 4 ABAB= 3 2 AB， ctan30 = AC BC =3 故答案为：3； （2）t

34、anA= 3 4 ， 设 BC=3，AC=4，则 AB=5， ctanA= AC BC = 4 3 10解： （1）由题意，得|x|+|y|=1， 所有符合条件的点 P 组成的图形如图所示。 17 （2）d（M，Q）=|x-2|+|y-1|=|x-2|+|x+2-1|=|x-2|+|x+1|， 又x 可取一切实数，|x-2|+|x+1|表示数轴上实数 x 所对应的点到数 2 和-1 所对应的点的距 离之和，其最小值为 3 点 M（2，1）到直线 y=x+2 的直角距离为 3。 11解： （1）点 C（ 7 5 , 2 2 ）是线段 AB 的“临近点”理由是： 点 P 到直线 AB 的距离小于

35、1，A、B 的纵坐标都是 3， ABx 轴，3-1=2，3+1=4， 当纵坐标 y 在 2y4 范围内时，点是线段 AB 的“临近点”，点 C 的坐标是（ 7 5 , 2 2 ） ， y= 5 2 2，且小于 4， C（ 7 5 , 2 2 ）在直线 y=x-1 上， 点 C（ 7 5 , 2 2 ）是线段 AB 的“临近点” （2）由（1）知：线段 AB 的“临近点”的纵坐标的范围是 2y4， 把 y=2 代入 y=x-1 得：x=3， 把 y=4 代入 y=x-1 得：x=5， 3x5， 点 Q（m，n）是线段 AB 的“临近点”， m 的取值范围是 3m5 12解：过 A 点作 ACx

36、轴于 C，如图， 18 （1）解方程组 1 y x yx ，得 1 1 1 1 x y ， 2 2 1 1 x y ， A 点坐标为（1，1） ，B 点坐标为（-1，-1） ， OC=AC=1， OA=2OC=2， AB=2OA=22， 双曲线 y= 1 x 的对径是 22； （2）双曲线的对径为 102，即 AB=102，OA=52， OA=2OC=2AC， OC=AC=5， 点 A 坐标为（5，5） ， 把 A（5，5）代入双曲线 y= k x （k0）得 k=5 5=25， 即 k 的值为 25； （3）若双曲线 y= k x （k0）与它的其中一条对称轴 y=-x 相交于 A、B 两点

37、， 则线段 AB 的长称为双曲线 y= k x （k0）的对径 13解：若 PB=PC，连接 PB，则PCB=PBC， CD 为等边三角形的高， AD=BD，PCB=30 ， PBD=PBC=30 ， PD= 3 3 DB= 3 6 AB， 19 与已知 PD= 1 2 AB 矛盾，PBPC， 若 PA=PC，连接 PA，同理可得 PAPC， 若 PA=PB，由 PD= 1 2 AB，得 PD=BD， APD=45 ， 故APB=90 ； 探究：解：BC=5，AB=3， AC= 22 BCAB= 22 53=4， 若 PB=PC，设 PA=x，则 x2+32=（4-x）2， x= 7 8 ，即

38、 PA= 7 8 ， 若 PA=PC，则 PA=2， 若 PA=PB，由图知，在 RtPAB 中，不可能 故 PA=2 或 7 8 14解： （1）根据题意得：ABCABC， SABC：SABC=（ A B AB ）2=（3）2=3，B=B， ANB=BNM， BMB=BAB=60； 故答案为：3，60； （2）四边形 ABBC是矩形， BAC=90 =CAC=BAC-BAC=90 -30 =60 在 RtABC 中，ABB=90 ，BAB=60， ABB=30， n= AB AB =2； （3）四边形 ABBC是平行四边形， 20 ACBB， 又BAC=36 ， =CAC=ACB=72 BB

39、A=BAC=36 ，而B=B， ABCBBA， AB：BB=CB：AB， AB2=CBBB=CB（BC+CB） ， 而 CB=AC=AB=BC，BC=1， AB2=1（1+AB） ， AB= 5 1 2 ， AB0， n= B C BC = 5 1 2 15解： （1）当 m=2，n=2 时， 如题图 1，线段 BC 与线段 OA 的距离等于平行线之间的距离，即为 2； 当 m=5，n=2 时， B 点坐标为（5，2） ，线段 BC 与线段 OA 的距离，即为线段 AB 的长， 如答图 1，过点 B 作 BNx 轴于点 N，则 AN=1，BN=2， 在 RtABN 中，由勾股定理得：AB= 2

40、222 12ANBN=5 （2）如答图 2 所示，当点 B 落在A 上时，m 的取值范围为 2m6： 当 4m6，显然线段 BC 与线段 OA 的距离等于A 半径，即 d=2； 当 2m4 时，作 BNx 轴于点 N，线段 BC 与线段 OA 的距离等于 BN 长， ON=m，AN=OA-ON=4-m，在 RtABN 中，由勾股定理得： d= 22 2(4)m=4 168mm= 2 812mm 21 （3）依题意画出图形，点 M 的运动轨迹如答图 3 中粗体实线所示： 由图可见，封闭图形由上下两段长度为 8 的线段，以及左右两侧半径为 2 的半圆所组成， 其周长为：28+22=16+4， 点

41、M 随线段 BC 运动所围成的封闭图形的周长为：16+4 结论：存在 m0，n0，点 M 位于第一象限 A（4，0） ，D（0，2） ，OA=2OD 如图 4 所示，相似三角形有三种情形： （I）AM1H1，此时点 M 纵坐标为 2，点 H 在 A 点左侧 如图，OH1=m+2，M1H1=2，AH1=OA-OH1=2-m， 由相似关系可知，M1H1=2AH1，即 2=2（2-m） ， m=1； （II）AM2H2，此时点 M 纵坐标为 2，点 H 在 A 点右侧 如图，OH2=m+2，M2H2=2，AH2=OH2-OA=m-2， 22 由相似关系可知，M2H2=2AH2，即 2=2（m-2） ， m=3； （III）AM3H3，此时点 B 落在A 上 如图，OH3=m+2，AH3=OH3-OA=m-2， 过点 B 作 BNx 轴于点 N，则 BN=M3H3=n，AN=m-4， 由相似关系可知，AH3=2M3H3，即 m-2=2n （1） 在 RtABN 中，由勾股定理得：22=（m-4）2+n2 （2） 由（1） 、 （2）式解得：m1= 26 5 ，m2=2， 当 m=2 时，点 M 与点 A 横坐标相同，点 H 与点 A 重合，故舍去， m= 26 5 综上所述，存在 m 的值使以 A、M、H 为顶点的三角形与AOD 相似，m 的取值为：1、3 或 26 5