苏教版2019版高中数学必修第二册第13章立体几何初步知识点清单.docx

1、苏教版2019版高中数学必修第二册第13章立体几何初步知识点清单目录第13章立体几何初步13. 1 基本立体图形13. 2基本图形位置关系13. 3 空间图形的表面积和体积第 25 页 共 25 页第13章立体几何初步13. 1 基本立体图形13. 1. 1棱柱、棱锥和棱台一、棱柱1. 棱柱的相关概念名称定义图形及表示相关概念棱柱一般地，由一个平面多边形沿某一方向平移形成的空间图形叫作棱柱图中的六棱柱可记作棱柱ABCDEF-ABCDEF底面：平移起止位置的两个面；侧面：多边形的边平移所形成的面；侧棱：相邻侧面的公共边2. 棱柱的分类按底面多边形的边数来分，底面为三角形、四边形、五边形的棱柱分别

2、称为三棱柱、四棱柱、五棱柱3. 棱柱的特点棱柱的两个底面是全等的多边形，且对应边互相平行，侧面都是平行四边形. 二、棱锥1. 棱锥的相关概念名称定义图形及表示相关概念棱锥当棱柱的一个底面收缩为一个点时，得到的空间图形叫作棱锥图中的四棱锥可记作棱锥S-ABCD底面：多边形；侧面：有一个公共顶点的三角形侧棱：相邻侧面的公共边；顶点：由棱柱的一个底面收缩而成2. 棱锥的分类：按底面多边形的边数分为三棱锥、四棱锥、五棱锥3. 棱锥的特点：棱锥的底面是多边形，侧面是有一个公共顶点的三角形. 三、棱台1. 棱台的相关概念名称定义图形及表示相关概念棱台用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，截面和底面之间的部分

3、称之为棱台图中的四棱台可记作棱台ABCD-ABCD上底面：平行于棱锥底面的截面；下底面：原棱锥的底面；侧面：其余各面；侧棱：相邻侧面的公共边；顶点：侧棱与上、下底面的公共点2. 棱台的分类由三棱锥、四棱锥、五棱锥截得的棱台分别叫作三棱台、四棱台、五棱台四、多面体名称定义图形相关概念多面体由若干个平面多边形围成的空间图形叫作多面体面：围成多面体的各个多边形；棱：相邻两个面的公共边；顶点：棱与棱的公共点五、如何确定多面体的截面1. 平行于底面的截面：(1)用一个平行于棱柱底面的平面去截棱柱，得到的截面与底面全等. (2)用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，得到的截面与底面相似. (3)用一个平行于

4、棱台底面的平面去截棱台，得到的截面与两个底面都相似. 2. 经过不相邻的两条侧棱的截面：(1)在棱柱中(三棱柱除外)，经过不相邻的两条侧棱的截面(也称为棱柱的对角面)是平行四边形. (2)在棱锥中(三棱锥除外)，经过不相邻的两条侧棱的截面是三角形. (3)在棱台中(三棱台除外)，经过不相邻的两条侧棱的截面是梯形. 3. 作截面的步骤：一是确定截面与多面体的哪些棱相交；二是找到截面与多面体相交棱的公共点；三是将所得的公共点依次连接起来，画出截面. 13. 1. 2圆柱、圆锥、圆台和球一、圆柱、圆锥、圆台的相关概念1. 圆柱、圆锥、圆台的相关概念将矩形、直角三角形、直角梯形分别绕着它的一边、一直角

5、边、垂直于底边的腰所在的直线旋转一周，形成的空间图形分别叫作圆柱、圆锥、圆台，这条直线叫作轴. 垂直于轴的边旋转而成的圆面叫作底面. 不垂直于轴的边旋转而成的曲面叫作侧面，无论旋转到什么位置，这条边都叫作母线. 2. 圆柱、圆锥、圆台的图形表示名称圆柱圆锥圆台图形图中的圆柱记作圆柱OO图中的圆锥记作圆锥SO图中的圆台记作圆台OO二、球的相关概念名称球定义半圆绕着它的直径所在的直线旋转一周所形成的曲面叫作球面，球面围成的空间图形叫作球体， 简称球图形及表示 图中的球记作球O相关概念球心：半圆的圆心；半径：连接球心和球面上任意一点的线段；直径：连接球面上两点并经过球心的线段三、旋转面和旋转体1.

6、一般地，一条平面曲线绕它所在平面内的一条定直线旋转所形成的曲面叫作旋转面，封闭的旋转面围成的空间图形称为旋转体. 2. 圆柱、圆锥、圆台和球都是特殊的旋转体. 四、圆柱、圆锥、圆台基本量的计算1. 解决圆柱基本量的计算问题，要抓住它的底面半径、高(母线)与矩形(圆柱的轴截面)之间的关系，注意在矩形中一边长为圆柱的高，其邻边长为圆柱的底面直径. 2. 解决圆锥基本量的计算问题，要从圆锥的轴截面入手，利用截面中的直角三角形建立底面半径r、高h、母线长l三者之间的关系：l2=h2+r2，即可解决问题. 3. 解决圆台基本量的计算问题，一般从圆台的轴截面(等腰梯形)入手，利用轴截面可以分割为两个全等的

7、直角三角形和一个矩形，结合题目条件求解. 另外，也可以将其两腰延长转化为等腰三角形，从而可以利用平行线分线段成比例、三角形相似等知识来解决. 13. 1. 3直观图的斜二测画法一、斜二测画法画直观图1. 斜二测画法画直观图的规则(1)在空间图形中取互相垂直的x轴和y轴，两轴交于O点，再取z轴，使xOz=90，且yOz=90. (2)画直观图时把它们画成对应的x轴、y轴和z轴，它们相交于点O，并使xOy=45(或135)，xOz=90，x轴和y轴所确定的平面表示水平面. (3)已知图形中平行于x轴、y轴或z轴的线段，在直观图中分别画成平行于x轴、y轴或z轴的线段. (4)已知图形中平行于x轴或z

8、轴的线段，在直观图中保持原长度不变；平行于y轴的线段，长度为原来的一半. 直观图的作法可以总结为“横长不变，纵长减半，竖长不变，平行关系不变”. 二、平面图形的直观图及相关计算1. 水平放置的平面图形与直观图的面积间的关系由于斜二测画法中平行于x轴的线段在直观图中长度不变，而平行于y轴的线段在直观图中长度要减半，并且xOy=45(或135)，因此平面图形的直观图中任意一点到x轴的距离都为原图形中相应点到x轴距离的12sin 45=24. 设一个平面图形的面积为S原图，利用斜二测画法得到的直观图的面积为S直观图，则有S直观图=24S原图. 13. 2基本图形位置关系13. 2. 1平面的基本性质

9、一、用集合语言表示空间中点、直线和平面的位置关系位置关系符号表示点P在直线AB上PAB点C不在直线AB上CAB点M在平面AC内M平面AC点A1不在平面AC内A1平面AC直线AB与直线BC交于点BABBC=B直线AB在平面AC内AB平面AC直线AA1不在平面AC内AA1平面AC二、平面的基本事实基本事实文字语言图形语言符号语言作用基本事实1过不在一条直线上的三个点，有且只有一个平面A，B，C三点不共线存在唯一的平面，使A，B，C确定平面的依据；判定点、线共面基本事实2如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内AB AB确定直线在平面内的依据；判定点在平面内基本事实3如果两个不重

10、合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线PP=l且Pl判定两平面相交的依据；判定点在直线上三、平面基本事实的推论文字语言图形语言符号语言推论1经过一条直线和这条直线外的一点，有且只有一个平面直线l，点Al有且只有一个平面，使A，l推论2经过两条相交直线，有且只有一个平面ab=P有且只有一个平面，使a，b推论3经过两条平行直线，有且只有一个平面ab有且只有一个平面，使a，b四、如何研究共面、共线问题1. 点、线共面问题的证明(1)点、线共面问题是指证明一些点或直线在同一平面内的问题，主要依据是基本事实1、基本事实2及其推论. (2)解决此类问题通常有两种方法：纳入平面法，先由部

11、分元素确定一个平面，再证其他元素也在该平面内；辅助平面法(平面重合法)，先由有关的点、线确定平面，再由其余元素确定平面，最后证明平面，重合. 2. 点共线问题(1)点共线问题是指证明三个或三个以上的点在同一条直线上，主要依据是基本事实3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线. (2)解决此类问题常用以下两种方法：首先找出两个平面，然后证明这些点都是这两个平面的公共点，根据基本事实3知，这些点都在这两个平面的交线上；选择其中两点，确定一条直线，然后证明其他点也在这条直线上. 3. 线共点问题线共点问题就是证明三条或三条以上的直线交于一点，主要的证明依据也是基本事

12、实3. 证明三线共点问题的基本方法：先确定待证的三条直线中的两条相交于一点，再证明第三条直线也过该点. 常利用基本事实3证出该点在不重合的两个平面内，故该点在它们的交线(第三条直线)上，从而证明三线共点. 13. 2. 2空间两条直线的位置关系 一、空间两条直线的位置关系位置关系共面情况公共点个数相交直线在同一平面内有且只有一个平行直线在同一平面内没有异面直线不同在任何一个平面内没有二、 基本事实4文字语言平行于同一条直线的两条直线平行图形语言符号语言abbcac作用揭示了空间平行线的传递性三、等角定理文字语言如果空间中一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同，那么这两个角相等. 特别

13、地，如果空间中一个角的两边和另一个角的两边分别平行，且方向一边相同，另一边相反，那么这两个角互补符号语言OAOA，OBOB，且AOB与AOB两边的方向相同AOB=AOB；OAOA，OBOB，且AOB与AOB的一边方向相同，另一边方向相反AOB+AOB=180图形语言作用判定两个角相等或互补四、异面直线1. 异面直线的判定定理文字语言过平面内一点与平面外一点的直线，和这个平面内不经过该点的直线是异面直线符号语言若l，A，B，Bl，则直线AB与l是异面直线图形语言2. 异面直线所成的角如图，a与b是异面直线，经过空间任意一点O，作直线aa，bb，我们把直线a和b所成的锐角(或直角)叫作异面直线a，

14、b所成的角或夹角. 记异面直线a与b所成的角为，则090，若是直角，则称异面直线a，b互相垂直，记作ab. 五、基本事实4与等角定理在空间图形中的运用1. 空间中两直线平行的证明方法(1)利用定义：证明两条直线共面且无公共点. (2)利用平面几何知识(三角形、梯形的中位线定理、平行四边形的性质、平行线分线段成比例定理等)证明. (3)利用基本事实4，即找到第三条直线c，使ac，bc，从而得到ab. 2. 空间中角相等的证明方法(1)利用等角定理证明；(2)转化为平面图形中的三角形全等或相似来证明. 利用等角定理证明两角相等的步骤：证明两个角的两边分别对应平行；证明对应边的方向相同. 六、空间中

15、异面直线的判定及所成角的求解1. 判定两条直线是异面直线的方法(1)证明两条直线既不平行又不相交；(2)过平面内一点与平面外一点的直线，和这个平面内不经过该点的直线是异面直线；(3)反证法. 2. 求异面直线所成角的一般步骤(1)构造：根据异面直线的定义，用平移法(常用三角形的中位线定理、平行四边形的性质)作出异面直线所成的角或其补角. (2)证明：证明作出的角或其补角就是要求的角. (3)计算：求角度，常利用三角形的边角关系，通过解三角形求解. (4)结论：若求出的角是锐角或直角，则它就是所求异面直线所成的角；若求出的角 是钝角，则它的补角就是所求异面直线所成的角. 13. 2. 3直线与平

16、面的位置关系 一、直线与平面的三种位置关系位置关系直线a在平面内直线a在平面外直线a与平面相交直线a与平面平行公共点有无数个公共点有且只有一个公共点没有公共点符号表示aa=Aa图形表示二、直线与平面平行文字语言图形语言符号语言判定定理如果平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，那么该直线与此平面平行ababa性质定理一条直线与一个平面平行，如果过该直线的平面与此平面相交，那么该直线与交线平行al=m lm三、直线与平面垂直1. 如果直线a与平面内的任意一条直线都垂直，那么称直线a与平面垂直，记作a. 直线a叫作平面的垂线，平面叫作直线a的垂面，垂线和平面的交点称为垂足. 2. 直线与平面垂直的

17、判定定理与性质定理判定定理性质定理文字语言如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，那么该直线与此平面垂直垂直于同一个平面的两条直线平行图形语言符号语言aabab常用结论过一点有且只有一条直线与已知平面垂直，过一点有且只有一个平面与已知直线垂直四、两种距离1. 点到平面的距离：从平面外一点引平面的垂线，这个点和垂足间的距离，叫作这个点到这个平面的距离. 2. 直线和平面的距离：一条直线和一个平面平行，这条直线上任意一点到这个平面的距离，叫作这条直线和这个平面的距离. 五、直线与平面所成的角1. 射影(1)概念：如图，过平面外一点P向平面引斜线和垂线，那么过斜足A和垂足O的直线就是斜线在平面内

18、的射影，线段OA就是斜线段PA在平面内的射影. (2)常用结论：如果平面内的一条直线与这个平面的一条斜线垂直，那么这条直线就和这条斜线在这个平面内的射影垂直. 2. 直线与平面所成的角(1)概念：平面的一条斜线与它在这个平面内的射影所成的锐角，叫作这条直线与这个平面所成的角. (2)规定：如果一条直线垂直于平面，那么称它们所成的角是直角；如果一条直线与平面平行或在平面内，那么称它们所成的角是0角. (3)取值范围：设直线与平面所成的角为，则090. 六、如何证明直线与平面平行1. 证明直线与平面平行的步骤（1）找：在平面内找到（或作出）一条已知直线平行的直线（2）证：证明已知直线平行于找到（或

19、作出）的直线（3）结论：由直线与平面平行的判定定理得出结论2. 直线与平面平行的判定定理和性质定理经常交替使用，也就是通过线线平行推出线面平行，再通过线面平行推出线线平行，复杂的题目还可继续推下去. 有如下示意图：七、如何判定直线与平面垂直1. 判定直线与平面垂直的常用方法(1)利用直线与平面垂直的定义，即证明直线a垂直于平面内的任意一条直线，从而得到直线a平面(一般不易验证任意性). (2)利用直线与平面垂直的判定定理，即如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，那么该直线与此平面垂直，简记为“线线垂直线面垂直”(ab，ac，b，c，bc=Ma). (3)利用平行线垂直平面的传递性质，即如

20、果两条平行直线中的一条直线垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面(ab，ba). 2. 利用直线与平面垂直的判定定理证明线面垂直的步骤(1)在这个平面内找两条直线，使已知直线和这两条直线垂直；(2)确定这个平面内的两条直线是相交直线；(3)根据判定定理得出结论. 八、如何探究直线与平面所成的角1. 求直线与平面所成角的大小的步骤(1)作角：作垂线：过斜线上一点(不是斜足)作平面的垂线；作射影：连接垂足和斜足；确定平面角：斜线与它在平面上的射影所成的角即为所求，即将空间角(斜线与平面所成的角)转化为平面角(两条相交直线所成的角). (2)证明：证明某平面角就是斜线与平面所成的角，关键是证垂直

21、. (3)计算：通常在垂线段、斜线和射影所构成的直角三角形中计算. 13. 2. 4平面与平面的位置关系一、两个平面的位置关系位置关系公共点符号表示图形表示两平面平行没有公共点两平面相交有一条公共直线=a二、两个平面平行1. 两个平面平行的判定定理与性质定理文字语言符号语言图形语言判定定理如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，那么这两个平面平行性质定理两个平面平行，如果另一个平面与这两个平面相交，那么两条交线平行ab2. 相关结论(1)已知两个平面平行，则一个平面内的任一直线都平行于另一个平面. (2)夹在两个平行平面间的平行线段的长度相等. (3)经过平面外一点有且只有一个平面与已知

22、平面平行. (4)两条直线被三个平行平面所截，截得的对应线段成比例. (5)如果两个平面分别平行于第三个平面，那么这两个平面互相平行. 三、两个平行平面间的距离1. 公垂线、公垂线段：与两个平行平面都垂直的直线，叫作这两个平行平面的公垂线，它夹在这两个平行平面间的线段，叫作这两个平行平面的公垂线段. 2. 两个平行平面间的距离(1)定义：把两个平行平面的公垂线段的长度叫作两个平行平面间的距离. (2)性质：两个平行平面间的距离等于其中一个平面上的任意一点到另一个平面的距离. 四、二面角1. 二面角半平面平面内的一条直线把这个平面分成两部分，其中的每一部分都叫作半平面二面角相关概念一般地，一条直

23、线和由这条直线出发的两个半平面所组成的图形叫作二面角，这条直线叫作二面角的棱，每个半平面叫作二面角的面画法记法二面角-l-或-AB-或P-l-Q或P-AB-Q2. 二面角的平面角 定义一般地，以二面角的棱上任意一点为端点，在两个面内分别作垂直于棱的射线，这两条射线所成的角叫作二面角的平面角图示符号OA，OB，=l，Ol，OAl，OBlAOB是二面角-l-的平面角规定二面角的大小可以用它的平面角来度量，二面角的平面角是多少度，就说这个二面角是多少度. 平面角是直角的二面角叫作直二面角范围二面角的大小范围是0180五、平面与平面垂直1. 定义：一般地，如果两个平面所成的二面角是直二面角，那么就说这

24、两个平面互相垂直. 2. 画法：3. 平面与平面垂直的判定定理和性质定理判定定理文字语言如果一个平面过另一个平面的垂线，那么这两个平面垂直图形语言符号语言ll性质定理文字语言两个平面垂直，如果一个平面内有一条直线垂直于这两个平面的交线，那么这条直线与另一个平面垂直符号语言，=l，a，ala图形语言六、两个平面平行的判定1. 两个平面平行的判定方法(1)定义法：两个平面没有公共点. (2)利用判定定理：如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，那么这两个平面平行. (3)转化为线线平行：若平面内的两条相交直线与平面内的两条相交直线分别平行，则. (4)利用平行平面的传递性：若，则. 在立体几

25、何中，线线平行、线面平行、面面平行之间可以相互转化，解题时由线线平行可推出线面平行，由线面平行可推出面面平行. 七、如何求二面角的大小求二面角的大小的关键是找出(或作出)其平面角，再把平面角放到三角形中求解. 1. 作二面角的三种常用方法(1)定义法：在二面角的棱上找一个特殊点，过该点在两个半平面内分别作垂直于棱的射线. 如图，AOB为二面角-l-的平面角. (2)垂面法：过棱上一点作垂直于棱的平面，该平面与二面角的两个半平面相交，其交线所成的角即为二面角的平面角. 如图，AOB为二面角-l-的平面角. (3)垂线法：过二面角的一个半平面内异于棱上的一点A向另一个平面作垂线，垂足为B，由点B向

26、二面角的棱作垂线，垂足为O，连接AO，则AOB为二面角的平面角(或其补角). 如图，AOB为二面角-l-的平面角. 图 图 图八、垂直关系的相互转化1. 空间中的垂直关系有线线垂直、线面垂直、面面垂直，这三种关系不是独立的，而是相互关联的. 它们之间的关系如下：2. 平行关系与垂直关系之间的相互转化13. 3 空间图形的表面积和体积13. 3. 1空间图形的表面积一、直棱柱的侧面积1. 侧棱和底面垂直的棱柱叫作直棱柱. 2. 底面为正多边形的直棱柱叫作正棱柱. 直棱柱的侧棱长就是直棱柱的高(两底面所在平面之间的距离). 3. 直棱柱的侧面展开图是矩形，这个矩形的长等于直棱柱的底面周长c，宽等于

27、直棱柱的高h. 因此，直棱柱的侧面积是S直棱柱侧=ch. 二、 正棱锥的侧面积1. 如果一个棱锥的底面是正多边形，并且顶点在底面的射影是底面中心，那么称这样的棱锥为正棱锥. 正棱锥的侧棱长都相等，侧面均为全等的等腰三角形. 2. 正棱锥的侧面展开图是若干个全等的等腰三角形，展开图的面积就是棱锥的侧面积. 如果正棱锥的底面周长为c，斜高(即侧面等腰三角形底边上的高)为h，则它的侧面积是S正棱锥侧=12ch. 三、正棱台的侧面积1. 正棱锥被平行于底面的平面所截，截面和底面之间的部分叫作正棱台. 2. 正棱台的侧棱长都相等，侧面均为全等的等腰梯形. 3. 若设正棱台的上、下底面的周长分别为c，c，

28、斜高为h，则其侧面积是S正棱台侧=12 (c+c)h. 四、圆柱、圆锥和圆台的侧面积旋转体图形面积公式圆柱底面积：S底=r2，侧面积：S侧=2rl，表面积：S=2r(r+l)圆锥底面积：S底=r2，侧面积：S侧=rl，表面积：S=r(r+l)圆台上底面面积：S上底=r2，下底面面积：S下底=r2，侧面积：S侧=(r+r)l，表面积：S=(r2+r2+rl+rl)五、棱柱、棱锥和棱台的侧面积1. 正棱柱、正棱锥和正棱台的侧面积公式之间的联系如图：其中c，c分别为上、下底面的周长，h为高，h为斜高. 2. 在棱锥的侧面积计算中，应先由条件判断该棱锥是不是正棱锥，若是正棱锥，则其侧面展开图是若干个全

29、等的等腰三角形，求其侧面积的关键是确定底面边长和斜高；若不是正棱锥，则需分别求出各侧面的面积. 3. 正棱台的侧面展开图是若干个全等的等腰梯形，求其侧面积的关键是求出上、下底面周长及斜高. 正棱台问题中要注意两个直角梯形的运用：高、侧棱、两底面外接圆半径组成的直角梯形；高、斜高、两底面边心距组成的直角梯形. 六、圆柱、圆锥和圆台的侧面积1. 旋转体中的圆柱、圆锥、圆台的侧面都可以沿其母线剪开，展开图分别为矩形、扇形和扇环，求圆柱、圆锥和圆台的侧面积时，只需求出上、下底面的半径和母线长即可，求半径和母线长时常借助轴截面，它们的侧面积之间有如下关系：其中c，c分别为上、下底面的周长，r，r分别为上

30、、下底面的半径，l为母线. 2. 旋转体的轴截面集中体现了旋转体的“关键量”之间的关系，是化空间问题为平面问题的重要工具. 在推导这些量之间的关系时要注意比例性质的应用. 七、几何体表面上的最短距离问题将空间图形转化为平面图形，是解决立体几何问题最基本、最常用的方法. 立体图形表面上两点之间的最短距离问题常通过把立体图形转化为平面图形，运用“两点之间线段最短”来解决. 化“曲”为“直”的一般步骤：(1)将几何体沿着某些棱剪开后展开，画出其侧面的展开图；(2)将所求曲线问题转化为平面上的线段问题；(3)结合已知条件求得结果. 13. 3. 2空间图形的体积一、柱体、锥体、台体的体积公式1. 柱体

31、的体积公式：V柱体=Sh(S为底面积，h为高). 2. 锥体的体积公式：V锥体=13Sh(S为底面积，h为高). 3. 台体的体积公式：V台体=13h(S+SS+S)(S，S分别为上、下底面面积，h为高). 4. 柱体、锥体、台体的体积公式之间的关系(1) (2)图形表示二、球的表面积和体积公式1. 球的体积公式：V球=43R3(R为球的半径). 2. 球的表面积公式：S球面=4R2(R为球的半径). 三、空间图形的体积的求解空间图形体积的求解方法1. 公式法：直接利用公式求解. 2. 等积变换法“等积变换法”是当所给几何体的体积不能直接套用公式求出或涉及的某一量(底面积或高)不易求解时，可以

32、转换一下几何体中有关元素的相对位置再进行计算. 具体做法是选择合适的底面，使得底面面积和高易于计算. 该方法适用于求三棱锥的体积，由于三棱锥是由四个三角形面围成的四面体，其中任何一个三角形面都可以看成三棱锥的底面，所得三棱锥的体积保持不变. 其他棱锥求体积不能随意换底，用“等积变换法”求体积需谨慎. 3. 割补法求解不规则几何体的体积时，若几何体是组合体，一般将其转化为求若干个柱、锥、台的体积的和或差，从而使不规则几何体转化为常见的简单几何体的形式. (1)可将正四面体补为正方体，如图所示. (2)可将三条侧棱互相垂直的三棱锥补成长方体或正方体，如图所示(PAPB，PAPC，PBPC). (3)可将三棱柱补成平行六面体，如图所示. (4)可将台体补成锥体，如图所示. 四、与球有关的问题常见与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接，解题时要认真分析图形，明确切点和接点的位置，确定有关元素的数量关系，并作出合适的截面图. 通常选择过球心的截面. 解决方案如下：