苏教版2019版高中数学选择性必修第二册第7章计数原理知识点清单.docx

1、苏教版2019版高中数学选择性必修第二册第7章计数原理知识点清单目录第7章计数原理7. 1两个基本计数原理7. 2排列7. 3组合7. 4二项式定理第 11 页 共 11 页第7章计数原理7. 1两个基本计数原理一、分类计数原理（加法原理）1. 如果完成一件事，有n类方式，在第1类方式中有m1种不同的方法，在第2类方式中有m2种不同的方法在第n类方式中有mn种不同的方法，那么完成这件事共有N=m1+m2+mn种不同的方法. 二、分步计数原理（乘法原理）1. 如果完成一件事，需要分成n个步骤，做第1步有m1种不同的方法，做第2步有m2种不同的方法做第n步有mn种不同的方法，那么完成这件事共有N=

2、m1m2mn种不同的方法. 三、两个基本计数原理的比较1. 分类计数原理与分步计数原理的比较分类计数原理分步计数原理不同点分类完成，类类相加分步完成，步步相乘每类方式中的每一种方法都能独立完成这件事每步依次完成才算完成这件事相同点都可用来计算完成某件事的方法种数，最终的目的都是完成某件事注意点类类独立，不重不漏步步相依，步骤完整四、两个基本计数原理的选择与应用1. 应用分类计数原理解题的一般思路2. 应用分步计数原理解题的一般思路应用分步乘法原理时，要确定好顺序，还要注意元素是否可以重复选取. 3. 两个计数原理的综合应用(1)类中有步从AB共有(m1m2m3+m4m5)种方法. (2)步中有

3、类从AD共有m1(m2+m3+m4)m5种方法. “类”用“+”连接，“步”用“”连接，“类”独立，“步”连续，“类”标志一件事的完成，“步”则缺一不可. 五、解决计数问题的常用方法1. 在计数问题中常涉及元素与位置，解题时要分析清楚要完成的事是元素选择位置还是位置选择元素. 2. 当涉及元素数目不大时，一般选择用列举法、数形图法. 当涉及元素数目较大或情况比较复杂时，一般有两种方法：(1)直接法：直接应用分类计数原理或分步计数原理解题. (2)间接法：先去掉限制条件，计算方法总数，然后减去所有不符合条件的方法数，从而得到正确答案. 3. 涂色(种植)问题一般是直接利用两个基本计数原理求解，常

4、用方法如下：(1)根据区域的不同，以区域为主分步计数，用分步计数原理分析；(2)以颜色(种植作物)为主分类讨论，用分类计数原理分析. 7. 2排列一、排列、排列数与排列数公式排列一般地，从n个不同的元素中取出m(mn)个元素，按照一定的顺序排成一列，叫作从n个不同元素中取出m个元素的一个排列排列数一般地，从n个不同元素中取出m(mn)个元素的所有排列的个数，叫作从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用符号Anm表示排列数公式Anm=n(n-1)(n-2)(n-m+1)，其中n，mN*，且mn二、全排列、阶乘的概念及相关结论1. 全排列：n个不同元素全部取出的一个排列，叫作n个不同元素的一个全排

5、列. 2. n的阶乘在排列数公式中，当m=n时，即有Ann=n(n-1)(n-2)321，n(n-1)(n-2)321称为n的阶乘，通常用n!表示，即Ann=n!. 3. 阶乘的相关结论(1)规定：0!=1；(2)排列数公式的另一种形式： Anm=n!(nm)! (其中n，mN*，且mn). 三、排列数及其运算1. 排列数运算的方法与技巧(1)拆项技巧nn!=(n+1)!-n!； n1n!=1(n1)!-1n!. (2)化简技巧n!=n(n-1)!=n(n-1)(n-2)!；Anm=nAn1m1；Anm+mAnm1=An+1m. 2. 解有关排列数的方程或不等式的步骤 四、有限制条件的排列问题

6、1. “在”与“不在”的问题常见的“在”与“不在”的有限制条件的排列问题是典型的特殊元素或特殊位置问题. 解决“在”与“不在”的排列问题的原则是谁“特殊”谁优先. 解题思路如下：2. “相邻”与“不相邻”问题限制条件解题策略元素相邻通常采用“捆绑法”，即把相邻元素看成一个整体并与其他元素进行排列元素不相邻通常采用“插空法”，即先考虑不受限制的元素的排列，再将不相邻元素插在前面元素形成的空中3. “定序”问题在排列问题中，某些元素在题意中已排定了顺序，对这些元素进行排列时，不再考虑其顺序. 在具体的计算过程中，可采用“除阶乘法”解决，即n个元素的全排列中有m(mn)个元素的顺序固定，则满足题意的

7、排法有AnnAmm种. 7. 3组合一、组合、组合数的概念1. 组合：一般地，从n个不同元素中取出m(mn)个元素并成一组，叫作从n个不同元素中取出m个元素的一个组合. 2. 组合数：从n个不同元素中取出m(mn)个元素的所有组合的个数，叫作从n个不同元素中取出m个元素的组合数，用符号Cnm表示. 二、组合数公式与性质1. 公式：Cnm=AnmAmm=n(n1)(n2)(nm+1)m!=n!m!(nm)!. (n，mN*，并且mn)2. 特殊组合数：Cn0=1， Cn1=n， Cnn=1. 3. 组合数的性质：Cnm=Cnnm，Cn+1m=Cnm1+Cnm. 三、组合数的性质与运算1. 组合数

8、公式的主要适用范围形式主要适用范围乘积式Cnm=n(n1)(n2)(nm+1)m(m1)(m2)321含具体数字的组合数的求值阶乘式Cnm=n!m!(nm)!含字母的组合数的有关变形及证明2. 组合数的性质及应用(1)性质“Cnm=Cnnm”的意义及作用(2)性质“Cn+1m=Cnm1+Cnm”的顺用、逆用、变形用顺用是将一个组合数拆成两个；逆用则是“合二为一”；变形式Cnm=Cn+1m-Cnm1，为某些项相互抵消提供了方便，在解题时要注意灵活运用. 四、分组与分配问题分组问题和分配问题是有区别的，前者是组与组之间只要元素个数相同，就是不可区分的，而后者即使两组元素个数相同，但因元素不同，仍然

9、是可区分的. 1. 分组问题的求解策略常见形式处理方法非均匀不编号分组将n个不同元素分成m组，每组元素数目均不相同，且不考虑各组间的顺序，不管是否分尽，分法种数为A=Cnm1Cnm1m2Cn(m1+m2)m3Cn(m1+m2+mm1)mm均匀不编号分组将n个不同元素分成不编号的m组，假定其中r组元素个数相等，不管是否分尽，其分法种数为AArr (其中A为非均匀不编号分组中的分法数). 如果再有k组均匀分组，则应再除以Akk非均匀编号分组将n个不同元素分成m组，各组元素数目均不相等，且考虑各组间的顺序，其分法种数为AAmm均匀编号分组将n个不同元素分成m组，其中r组元素个数相同且考虑各组间的顺序

10、，其分法种数为AArrAmm2. 相同元素分配问题的处理策略“n个相同元素分成m组(每组的任务不同)”的问题，一般可用隔板法求解. (1)当每组至少含一个元素时，其不同分组方式有Cn1m1种，即给n个元素中间的(n-1)个空隙中插入(m-1)个隔板. (2)任意分组，可出现某些组含0个元素的情况，其不同分组方式有Cn+m1m1种，即将n个相同元素与(m-1)个相同隔板进行排序，在(n+m-1)个位置中选(m-1)个安排隔板. 五、排列、组合的综合应用问题1. 正确区分“有序”与“无序”区分排列与组合的重要标志是“有序”和“无序”，无序的问题用组合的知识解答，有序的问题用排列的知识解答. 2.

11、辩证看待“元素”与“位置”排列、组合问题中的元素与位置没有严格的界定标准，哪些事件看成元素或位置，随解题者的思维方式的变化而变化，要视具体情况而定. 有时“元素选位置”解决问题更简捷，有时“位置选元素”效果会更好. 7. 4二项式定理7. 4. 1二项式定理一、二项式定理及相关的概念1. 公式(a+b)n=Cn0an+Cn1an-1b+Cnran-rbr+Cnnbn(nN*)叫作二项式定理，右边的多项式叫作(a+b)n的二项展开式，它一共有n+1项，其中Cnran-rbr叫作二项展开式的第r+1项(也称通项)，用Tr+1表示，即Tr+1=Cnran-rbr . Cnr (r=0，1，. . .

12、 ，n)叫作第r+1项的二项式系数. 二、求二项展开式中的特定项(项的系数)1. 求二项展开式的特定项的常用方法(1)对于常数项，隐含条件是字母的指数为0(即0次项). (2)对于有理项，一般先写出展开式的通项，然后令其所有的字母的指数都等于整数. 解这类问题必须合并通项中同一字母的指数，根据具体要求，令其为整数，再根据数的整除性来求解. (3)对于二项展开式中的整式项，其通项中同一字母的指数合并后应是非负整数，求解方式与求有理项一致. 三、三项展开式问题1. 三项式求特定项的方法(1)因式分解法：先通过因式分解将三项式变成两个二项式，然后用二项式定理分别展开. (2)逐层展开法：先将三项式分

13、成两组(一项组和两项组)，用二项式定理展开，再把其中的两项组展开. (3)利用组合知识：把三项式(a+b+c)n看成n个式子(a+b+c)的积，利用组合知识分析项的构成，注意最后把各个同类项合并. 四、求展开式的系数和(赋值法)“赋值法”是解决二项展开式中项的系数问题常用的方法，根据题目要求，灵活赋予字母不同的值. 一般地，若f(x)=a0+a1x+a2x2+anxn，则f(x)展开式中各项系数之和为f(1)，奇数项系数之和为a0+a2+a4+=f(1)+f(1)2，偶数项系数之和为a1+a3+a5+=f(1)f(1)2. 7. 4. 2二项式系数的性质及应用一、二项式系数的性质对称性在(a+

14、b)n的展开式中，与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等，即Cnm=Cnnm (mN，nN*，mn)增减性与最大值增减性：当rn12时， Cnrn12时， Cnr+1Cnr. 最大值：当n为偶数时，中间一项的二项式系数Cnn2最大；当n为奇数时，中间两项的二项式系数Cnn12，Cn+12n相等，且最大各二项式系数的和(1)二项展开式中，各二项式系数的和Cn0+Cn1+Cn2+Cnn=2n；(2) Cn0+Cn2+Cn4+=Cn1+Cn3+Cn5+=2n-1特殊情况在杨辉三角中，除1以外的每一个数都等于它“肩上”两个数的和，即Cnm+Cnm1=Cn+1m二、二项式系数与系数的最大项1. 展开式

15、中二项式系数最大项的确定方法(1)当n为偶数时，中间一项（第n2+1项，即Cnn2）的二项式系数最大；(2)当n为奇数时，中间两项（第n+12项和第n+12+1项，即Cnn12和Cnn+12）的二项式系数相等且最大. 2. 展开式中系数最大的项的确定方法(1)在系数符号相同的前提下，求系数的最大(小)值只需比较两组相邻两项系数的大小，根据通项正确列出不等式组Tr+1Tr，Tr+1Tr+2Tr+1Tr，Tr+1Tr+2即可. (2)当各项系数正负相间时，求系数的最大值应在系数都为正的各项系数间构造不等式组；求系数的最小值应在系数都为负的各项系数间构造不等式组. 三、二项式定理的应用1. 利用二项

16、式定理解决整除或求余数问题利用二项式定理解决整除或求余数问题，关键是要巧妙构造二项式，通常把底数写成除数(或与除数密切相关的数)与某数的和或差的形式，再用二项式定理展开，只考虑后面(或前面)一两项就可以了. 2. 利用二项式定理进行近似计算利用二项式定理进行近似计算，其关键在于构造恰当的二项式(p+q)n(nN*，pZ，|q|1)，并根据近似要求，对其展开式的项合理取舍，从而确定其近似值(p+q)n. 3. 利用二项式定理证明有关不等式利用二项式定理证明组合数不等式，通常表现为二项式定理的正用或逆用，再结合不等式证明的方法进行论证. 证明不等式时，应注意运用放缩法，可将对结论不构成影响的若干项去掉. 四、杨辉三角问题解决与杨辉三角有关的问题的一般思路