人教版中职数学(基础模块)上册11《集合及其运算》课件1.ppt

1、第一节 集合及其运算第一章第一章 集合及其基数集合及其基数 集合论产生于十九世纪七十年代，它是德国数学家康托尔（Cantor）创立的，不仅是分析学的基础，同时，它的一般思想已渗入到数学的所有部门。“集合论观点”与现代数学的发展不可分割地联系在一起。集合，指的是具有某种特定性质的对象的全体，通常用大写英文字母A，B，X，Y等表示；集合中的每个对象称为该集合的元素。一般说来，我们总用小写字母a,b,x,y表示集合中的元素。集合与元素的关系：属于或不属于.对于集合A，某一对象x如果是A的元素，则称x属于A，如果x不是A的元素，则称x不属于A。集合的表示方法：1.列举法；2.描述法；|PxxA具有性质

2、例如，A是由具有性质P的元素全体组成时，记为：其中P可以是一段文字，也可以是某个数学式子。).(,;)()(;xpExxxxpExpxEE所构成的集合，即满足的条件中所有使便表示合，则是一个事先给定了的集如果.)()(;)(所构成的集合的大于中那些使就是是一个常数时，是一个给定的实函数且例如当xaxfEaxfxEaxf定理1 的充要条件是 且 .BA BAAB.,.1BABABABABA的子集，记为是或包含于则说，的元素都属于是两个集合，如果属于设集合的子集.2的真子集是则说，还不等于的子集，但是，即，如果集合的真子集ABABABABAB定理2 若 ，,则 .BACB CA对于集合族 若对任意

3、 ,A,AA 都有则称该集合族是互不相交的或两两不交的.;,.3BxAxxBAABBABABA且，因此或记为的交，和，则称为拿来构成一个新的集合它们所共有的元素是两个给定的集合，将设集合的交运算.,;称为指标集其中或记为，它们的总体称为集合族，这样得到许多集合，一个集合，都相应地给定了是一集合，对于每一集合族：设AAA类似定义其交集，即 ,|AxxA有对每一,3,2,1,110;nnxxAn则 nnA1.10 x例2 若 是全体实数构成的集合，,;xxA则 AnnnAnnnxnnxA1,2,1,11;则若练习：11nnA答案：).1,1(),1,1(,11,1.1,100001000000nn

4、nnxnnnnxnxNnxxxn即故使则有若即证明：设.1)1,1(),1,1(1,111,1综上可知命题成立故即恒有又对任意nnnnnnnnnnnnNnn.BxAxBAx或当且仅当,;AxxA使存在A一簇集合 ，可类似定义其并集，即 4.并运算;BxAxxBA或例1 若,3,2,1,1111;nnxnxAn则 nnA1).1,1(例2 若,1;RxxA则 AR).,(例 3,11:11NnxxAnnn设nnA1nnA1()-2 -1-1/n -1 0 1-1/n 1 )1,2(0,1nnnAnxnxA1,2,1,11;则若练习：)1,0(1nnA答案：).1,0(),1,0()1,1(,1n

5、nnAnANn故有证明：对任意).1,0()1,1()1,1(,)1,1(,11,),1,0(10100000nnAnxxnNnxnnn于是即使存在又对定理3（1）交换律ABBAABBA;（2）结合律（3）分配律（4）幂等律;)()(CBACBA;)()(CBACBA)()()(CABACBAAAAAAA,定理4（1）.BAABA（2）若.),(,BABA则（3）若.),(,BABA则（4）).()(BABA）（(5).()(BABA.A),(CCA则特别地，若.),(BCBC则特别地，若证明（2）由并集的定义，若,Ax 则存在.,Ax使而.,BxBA所以有从而 故 ,Bx.BA（5）若),(

6、,)(BAxBA任取由交的定义，.BxAx且再由并的定义可知存在.Bx使于是.BAx从而).(BAx所以).()(BABA再证).()(BABA略(6).()(BABA5差运算 由所有属于A但不属于B的元素组成的集合，称为A减B的差集，记作A-B。即.,;BxAxxBA注.)(ABBA未必等于6.余集若已知 则 称为B 相对于A的余集，记为 BA BA.BCA特别地，若考虑的一切集合都是某一给定集合S的子集，集合A相对于S的余集称为A的余集，简记为.cACA或定理5（1）.,SSCC（2）.,CCAASAA(3).)(AACC(4).,CCBABA则若cBABA注：ASACs余：（其中S为全集

7、）,简记为Ac定理6 De Morgan 公式ccAA)(ccAA)(证明（1）若,)(cA设,)(cAx.AxSx且则,Ax，都有因而对.cAASx所以.cAx都成立，故由于对.)(ccAA 因此反之，当 时，且ccAxA,cAx，有对.AxSx 且即.)(,cAxAxSx即且因而.)(ccAA所以.)(ccAA 因此域或代数对于一个给定的集合S，若F 是S的一族子集，它满足下列条件1）;F2）;cFAFA 时，当3），时，当FBAFBA,则称F是S的一些子集构成的一个域或代数.代数域或的一些子集构成的一个称为则中一串元素时，必有是，）当）改为把上述定义中的SFFAFAAAnn,331n21

8、注.1域是域一定域，但域不一定2.一串指的是可排序.;,.310的全体子集所构成由域最大的域最小的SFSF定理7若 A 是由S的子集构成的集合,则唯一存在一个由S的子集构成的最小 域 使),(AF).(AFA.F(A)(-)1中也含有所以，中都含有空集域因为FAFF.AF(A).(A-SA)(FFF由定理知，即域，的子集构成的的，由是包含证明：设.-(A)域即可是故只需证明F.)(.-,)()2cccFAFBFBFBFFBFAFB，故，都有由于对任意所以域是而，都有则对任意如果.FA)(,B,F-,F(A),)31i1iin21FBFBFFBBBii是任意的，从而由于于是都有域则对于任意的中的

9、每一个都属于，若域。确实是一个可见)(AF集合序列的极限1.序列的增减性,1n是一个集合序列设nA则称该序列单增；若,n21AAA.,n21则称该序列单减若AAA2.序列的并和交是任意一个集合序列，设1nnA的并；是集合序列称nkknknAABk.k的交是集合序列称nkknknAAC.1n1n单增单减，显然，nnCB3.上极限和下极限.suplimlim11nnknknnnnnnnABAAAB记为的上极限，的交集称为我们把.inflimlim11nnknknnnnnnnACAAAC记为的下极限，的并集称为我们把.limnnnnAAA有极限，记为则称，的上极限和下极限相等若例1)(lim)(li

10、mn:n整数全体，有理数全体，证明：是自然数是整数，令ZAQAmnmAnnnn证：对一切自然数 ，显然有 ，所以nZAAQn1ZAAQnnnnlimlim因为对任一有理数 其中 均为整数，对任何 有 所以 这样,/pqqp,0p.,2,1,)/()(/knApnqnpqkn.lim/1nnknknAApq.lim,limQAAQnnnn从而1n),(1knknknkAQAQ.limlim.1,n,lim11111ZAZAmmxnmnmxmmAAxAAxnnnnnnnnnnnnknknnn从而，是整数，这样由此得使和因此有整数使必又对任何定理8是一个集合序列，设1nnA,lim)1(nnnAxN

11、nNAx使，存在对).(,1nnnAxxA属于无穷多个集合中有无穷多项包含即,lim)2(nxxnnAxNnNAx有，使对一切存在.1的项只有有限项中不含即xAnnnnnnAAlimlim)3(定理9.)(lim111nnnnnnnnAAAA单增（单减），则若集合序列证明.,1nn11AAAAAknkkkknknn并且有单增，易知对设,lim11111nnkkkknknknnnAAAAA从而.lim,lim111nnnnnnnnknnnAAAAA于是，这样上极限等于下极限单减如何证？.inflimsuplim,3,2,1,-10FAAnFAFnnnnn也都属于和则域，是一如果定理.suplim

12、,FFn,F.,3,2,1,-1nFAAAAnFAFnnnkknkknkkn即所以，都有而且对任意故域，是一因为证明：,:nAxNnNx使是一个集合序列设,21nAAA上、下极限集():limsuplimnnnnnnnAAx xAxAxA或属于无限多个集合存在无限多个，使1NNnnANB例：设A2n=0,1A2n+1=1,2;则上极限集为0,2下极限集():limliminfnnnnnnAAxxAxnxA或除去有限个集外，有当 充分大时，有1NNnnA例：设A2n=0,1A2n+1=1,2;则上极限集为0,2,下极限集为111limlimnnnnnnnnAAAA1,:NNnnnAAxNnNx使

13、():limsuplimnnnnnAAx xA或属于无限多个集合,:nAxNnNx有NB单调增集列极限分析1,:NNnnnAAxNnNx使)(suplimlimnnnnAA1,:NNnnnAAxNnNx有)(inflimlimnnnnAA111nnNNnnnnNnnAAAA当An为单调增加集列时11NNNNnnNNnnAAAA单调减集列极限分析1,:NNnnnAAxNnNx使)(suplimlimnnnnAA1,:NNnnnAAxNnNx有)(inflimlimnnnnAA 11NNNNnnNNnnAAAA当An为单调减小集列时111nnNNnnnnNnnAAAA例3111)(:)(:)()(

14、limkNNnknnnaxfxaxfxxfxf，则设knkkaxfNnNaxf111)(,1,)(,1有利用极限的保号性知，使得从而aaxfnaxfNnNkknk111)()(,1,1取极限，则两边关于有则，若111)(:kNNnknaxfxx,)()(lim,)(axfxfaxfxxnn即：反之若a a+1/k f(x),:),(BbAabaBA,2,1,:),(211niAxxxxAiinii,2,1,:),(211niAxxxxAiinnii笛卡尔乘积集合的特征函数(示性函数)设S是一非空集合，A是S的一个子集。.,0,1)(AxAxxSA当当上的函数作.的特征函数）为集合（称AxA重要

15、性质;0)(;1)()1xAxSAAA等价于等价于);()();()()2xxBAxxBABABA等价于等价于);(min)();(max)()3xxxxANAANANN).(lim)();(lim)()4limlimxxxxnnnnnnAnAAnA编后语 同学们在听课的过程中，还要善于抓住各种课程的特点，运用相应的方法去听，这样才能达到最佳的学习效果。一、听理科课重在理解基本概念和规律 数、理、化是逻辑性很强的学科，前面的知识没学懂，后面的学习就很难继续进行。因此，掌握基本概念是学习的关键。上课时要抓好概念的理解，同时，大家要开动脑筋，思考老师是怎样提出问题、分析问题、解决问题的，要边听边想

16、。为讲明一个定理，推出一个公式，老师讲解顺序是怎样的，为什么这么安排？两个例题之间又有什么相同点和不同之处？特别要从中学习理科思维的方法，如观察、比较、分析、综合、归纳、演绎等。作为实验科学的物理、化学和生物，就要特别重视实验和观察，并在获得感性知识的基础上，进一步通过思考来掌握科学的概念和规律，等等。二、听文科课要注重在理解中记忆 文科多以记忆为主，比如政治，要注意哪些是观点，哪些是事例，哪些是用观点解释社会现象。听历史课时，首先要弄清楚本节教材的主要观点，然后，弄清教材为了说明这一观点引用了哪些史实，这些史料涉及的时间、地点、人物、事件。最后，也是关键的一环，看你是否真正弄懂观点与史料间的关系。最好还能进一步思索：这些史料能不能充分说明观点？是否还可以补充新的史料？有无相反的史料证明原观点不正确。三、听英语课要注重实践 英语课老师往往讲得不太多，在大部分的时间里，进行的师生之间、学生之间的大量语言实践练习。因此，要上好英语课，就应积极参加语言实践活动，珍惜课堂上的每一个练习机会。2023-8-1最新中小学教学课件40thank you!2023-8-1最新中小学教学课件41