北京市朝阳区2022-2023高二下学期期末数学试卷及答案.pdf

1、 第1页/共10页 2023 北京朝阳高二（下）期末 数 学 2023.7（考试时间 120 分钟 满分 150 分）本试卷分为选择题 50 分和非选择题 100 分 第一部分（选择题 共 50 分）一、选择题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。（1）已知集合 1,0,1,2A=，集合|11Bxx=，则AB=（A）0,1（B）1,1（C）1,0（D）1,0,1（2）已知(,)2，且1sin()3=，则cos=（A）2 23（B）23（C）23（D）2 23（3）已知不等式240 xax+的解集为空集，则实数a的取值范围是（A）(,4)

2、(4,)+（B）(,44,)+（C）(4,4)（D）4,4（4）从集合2,3,4,5,6,7,8中任取两个不同的数，则取出的两个数中恰有一个是奇数的概率为（A）27（B）37（C）47（D）67（5）已知1lg3a=，0.13b=，sin3c=，则（A）abc（B）bca（C）bac（D）cba（6）设,a bR，则“2()0ab a”是“ab”的（A）充分而不必要条件（B）必要而不充分条件（C）充分必要条件 （D）既不充分也不必要条件（7）某学校 4 名同学到 3 个小区参加垃圾分类宣传活动，每名同学只能去 1 个小区，且每个小区至少安排1 名同学，则不同的安排方法种数为（A）6（B）12（

3、C）24（D）36（8）已知函数()sin(2)3f xx=，则下列结论正确的是（A）函数()f x+的一个周期为2（B）函数()f x+的一个零点为6 第2页/共10页 （C）()yf x=的图象可由sin2yx=的图象向右平移3个单位长度得到（D）()yf x=的图象关于直线32x=对称（9）良好生态环境既是自然财富，也是经济财富为了保护生态环境，某工厂将产生的废气经过过滤后排放，已知过滤过程中的污染物的残留数量y（单位：毫克/升）与过滤时间t（单位：小时）之间的函数关系为0e(0)ktyyt=，k为常数且0k，0y为原污染物数量该工厂某次过滤废气时，若前 4个小时废气中的污染物恰好被过滤

4、掉 90%，那么再继续过滤 2小时，废气中污染物的残留数量约为原污染物数量的（A）1%（B）2%（C）3%（D）5%（10）已知定义在 R 上的函数()f x满足：(2)()0fxfx+=；(1)(1)fxfx+=；当 1,1x 时，cos,1,0,()21,(0,1,x xf xxx=则函数1()()2g xf x=+在区间 5,3上的零点个数为（A）3（B）4（C）5（D）6 第二部分（非选择题 共 100 分）二、填空题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分。（11）二项式62()xx+的展开式中的常数项是_（用数字作答）（12）某中学高一、高二、高三年级的学生人数分别为 1200，

5、1000，800，为迎接运动会的到来，按照各年级人数所占比例进行分层抽样，选出 30 名志愿者，则高二年级应选出的人数为_（13）当1x 时，函数421yxx=+的最小值为_，此时x=_（14）已知0a，则关于x的不等式22450 xaxa的解集是_（15）若函数cos2yx=的图象在区间(,)4m上恰有两个极值点，则满足条件的实数m的一个取值为_（16）已知集合M为非空数集，且同时满足下列条件：（）2M；第3页/共10页 （）对任意的xM，任意的yM，都有xyM；（）对任意的xM且0 x，都有1Mx 给出下列四个结论：0M；1M；对任意的,x yM，都有xyM+；对任意的,x yM，都有xy

6、M 其中所有正确结论的序号是_ 三、解答题共 5 小题，共 70 分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。（17）（本小题 13 分）设函数()2sincos(0,)f xxxmm=+R，从条件、条件、条件这三个条件中选择两个作为己知，使函数()f x唯一确定（）求和m的值；（）设函数()()6g xf x=，求()g x在区间0,2上的最大值 条件：(0)1f=；条件：()f x的最小值为0；条件：()f x的图象的相邻两条对称轴之间的距离为2 注：如果选择的条件不符合要求，得 0 分；如果选择多组条件分别解答，按第一组解答计分（18）（本小题 14 分）某保险公司 2022 年的医疗险

7、理赔服务报告给出各年龄段的投保情况与理赔情况，统计结果如下：注：第 1组中的数据 13%表示 0-5 岁年龄段投保人数占全体投保人数的百分比为 13%；24%表示 0-5 岁年龄段理赔人数占全体理赔人数的百分比为 24%其它组类似.13%13%16%33%11%9%4%1%24%7%12%35%15%5%1.90%0.10%0%5%10%15%20%25%30%35%40%0-5岁6-20岁21-30岁31-40岁41-50岁51-60岁61-70岁71-100岁第1组第2组第3组第4组第5组第6组第7组第8组投保占比理赔占比年龄分组 频率 第4页/共10页 （）根据上述数据，估计理赔年龄的中

8、位数和第 90 百分位数分别在第几组，直接写出结论；（）用频率估计概率，从 2022 年在该公司投保医疗险的所有人中随机抽取 3 人，其中超过 40 岁的人数记为X，求X的分布列及数学期望；（）根据上述数据，有人认为“该公司 2022 年的理赔的平均年龄一定小于投保的平均年龄”，判断这种说法是否正确，并说明理由 （19）（本小题 15 分）已知函数()lnf xxax=()aR（）当3a=时，求曲线()yf x=在点(1,(1)f处的切线方程；（）若2x=是()f x的一个极值点，求()f x的单调递增区间；（）是否存在a，使得()f x在区间(0,e上的最大值为2？若存在，求出a的值；若不存

9、在，说明理由 （20）（本小题 13 分）已知函数2()exf x=，()(21)g xmx=+()mR（）当1m=时，证明()()f xg x；（）若直线()yg x=是曲线()yf x=的切线，设()()()h xf xg x=，求证：对任意的ab，都有2()()2e2ah ah bab （21）（本小题 15 分）若有穷整数数列12:,nA a aa满足1ina（1,2,in=），且各项均不相同，则称A为nP数列对nP数列12:,nA a aa，设10=，112()|,3,|iiijjjiaaaain=，则称数列12:),(,nA 为数列A的导出数列（）分别写出4P数列2,1,4,3与3

10、,1,4,2的导出数列；（）是否存在6P数列A使得其导出数列()A的各项之和为 0？若存在，求出所有符合要求的6P数列；若不存在，说明理由；（）设nP数列12:,nA a aa与12:,nAa aa的导出数列分别为12:),(,nA 与12():,nA，求证：(1,2,)iiaa in=的充分必要条件是(1,2,)iiin=（考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效）第5页/共10页 参考答案 一、选择题（共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分）（1）C（2）A（3）D（4）C（5）B（6）A（7）D（8）B（9）C（10）B 二、填空题（共 6 小题，每小题 5分，共 30 分）（

11、11）160（12）10（13）1，1（14）(,5)aa（15）（答案不唯一）（16）三、解答题（共 5 小题，共 70 分）（17）（共 13 分）解：选（）因为()2sincossin2f xxxmxm=+=+，由(0)1f=，得1m=因为()f x的图象的相邻两条对称轴之间的距离为2，所以22T=.所以2|2|T=.因为0，所以1=.6 分（）由（）可知()sin21f xx=+()()sin(2)163g xf xx=+因为0,2x，所以22,333x.所以当232x=，即512x=时，()g x在区间0,2上取得最大值()212g=.13 分 选（）因为()2sincossin2f

12、 xxxmxm=+=+，由()f x的最小值为0，得1m=因为()f x的图象的相邻两条对称轴之间的距离为2，所以22T=.第6页/共10页 所以2|2|T=.因为0，所以1=.6 分（）同选（18）（共 14 分）解：（）理赔年龄的中位数在第 4组，理赔年龄的第 90 百分位数在第 5 组.4 分（）用频率估计概率，从投保医疗险的人中随机抽取 1人超过 40 岁的概率为14 X的所有可能取值为0,1,2,3 00331327(0)()()4464P XC=11231327(1)()()4464P XC=.2213139(2)()()4464P XC=.3303131(3)()()4464P

13、XC=所以随机变量X的分布列为：X 0 1 2 3 P 2764 2764 964 164 所以随机变量X的数学期望 27279130123646464644E X=+=（）.11 分（）不正确 比如理赔的年龄比较靠近每一组区间的右端点，投保的年龄比较接近每一组区间的左端点，这样估计的结果就是理赔的平均年龄较大 用区间的右端点估计理赔的平均年龄为 5 0.24200.07300.12400.35500.15600.05700.0191000.00132.13,+=用区间的左端点估计投保的平均年龄为 00.1360.1321 0.1631 0.3341 0.1151 0.0961 0.0471

14、0.0126.62,+=因为 32.1326.62，所以说法不正确.14 分（19）（共 15 分）第7页/共10页 解：函数()lnf xxax=的定义域为(0)+,，则1()fxax=（）当3a=时，()ln3f xxx=，所以(1)3f=因为1()3fxx=，所以(1)132f=所以曲线()yf x=在点(1,(1)f处的切线方程为32(1)yx+=，即210 xy+=.4 分（）因为2x=是()f x的一个极值点，所以1(2)02fa=解得12a=所以1()ln2f xxx=，11()2fxx=当02x时，()0fx，()f x单调递增；当2x 时，()0fx，()f x单调递减 所以

15、当12a=时，2x=是()f x的极大值点 此时()f x的单调递增区间为(0,2).9 分（）当1ea时，因为(0,ex，11()0efxaax=，所以()f x在区间(0,e上单调递增 此时max()(e)lnee1ef xfaa=若1e2a=，则3ea=，不合题意 当1ea，即10ea时，令1()0fxax=，解得1xa=当10 xa时，()0fx，()f x单调递增；当1exa时，()0fx，()f x单调递减 此时max11()()ln1f xfaa=第8页/共10页 若1ln12a=，则ea=，符合题意 综上，当ea=时，()f x在区间(0,e上的最大值为2.15 分（20）（共

16、 13 分）解：（）当1m=时，设2()()()e21xxf xg xx=，则2()2e2xx=令2()2e20 xx=，解得0 x=当(,0)x 时，()0 x，()x在区间(,0)上单调递减；当(0,)x+时，()0 x，()x在区间(0,)+上单调递增 所以()(0)0 x=所以()()f xg x成立.5 分（）由已知得2()2exfx=设切点为020(,e)xP x，则002202e2,(1,2)exxmmx=+=解得00,1.xm=所以()21g xx=+，2()e21xh xx=要证2()()2e2ah ah bab，即证222e2e22e2abaabab+，即证222ee2ea

17、baab，即证221e2()baab 令22,0abt t=，原不等式等价于1ett，即e1tt+设()etF tt=+，则()1e0tF t=所以()F t在区间(0,)+上单调递增 所以()(0)1F tF=所以e1tt+成立 所以对任意ab，都有2()()2e2ah ah bab.13 分（21）（共 15 分）解：（）2,1,4,3的导出数列为0,1,2,1，3,1,4,2的导出数列为0,1,2,1.4 分 第9页/共10页 （）不存在，理由如下：设356124,:,A a a aa aa，则10=，21221|aaaa=，132331233|aaaaaaaa=+，4341424414

18、243|aaaaaaaaaaaa=+，51525354551525354|aaaaaaaaaaaaaaaa=+，616263646566162636465|aaaaaaaaaaaaaaaaaaaa=+因为 1,1()|jijiaaijaa，所以2 1,1 是奇数，3 2,0,2 是偶数，4 3,1,1,3 是奇数，5 4,2,0,2,4 是偶数，6 5,3,1,1,3,5 是奇数 因为426,共三个奇数，所以615423+是奇数 所以615423+不可能为 0.9 分（）必要性：若(1,2,)iiaa in=，则110=，1111()|2 3|,iiiiiijjjijjjiaaaaaiaaan=充分性：下面用反证法证明 假设存在1,2,in，使得iiaa 若nnaa，令kn=若1111,nnnnjjjjaaaaaaaa+=，令kj=因为1212,nna aaa aa=，第10页/共10页 所以1212,kka aaa aa=设121,ka aa中有l项比ka小，则有1kl 项比ka大，所以(1)21klkllk=+设121,ka aa中有l项比ka小，则有1kl项比ka大，所以(1)21klkllk=+因为1212,kka aaa aa=且kkaa，所以ll，所以kk，矛盾 所以(1,2,)iiaa in=.15 分