安徽省六安市2017-2018学年高二数学下学期第一次统考（开学考试）试题（理科）-(有答案,word版).doc

1、 1 舒城中学 2017 2018 学年度第二学期第一次统考 高二理数 时 间： 120分钟 满分： 150分 命题： 审题： 一、选择题。本大题共 12小题；每小题 5分，共 60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是最符合题目要求的。 1数列 ?na 为等差数列， 321 , aaa 成等比数列， 15?a ，则 ?10a ( ) A 5 B 1 C 0 D 1 2. 已知 )(),( xgxf 分别是定义在 R 上的偶函数和奇函数，且 1)()( 23 ? xxxgxf ，则 ? )1()1( gf ( ) A 3 B 1 C 1 D 3 3. 一个多面体的三视图如图所示，则该多面体的

2、表面积为( ) A 321? B 318? C 21 D 18 4. 函数 )(xfy? 的图象在点 5?x 处的切线方程是 8? xy ，则 )5()5( ff ? 等于 ( ) A 1 B 2 C 0 D.12 5. 下列命题正确的个数为 （ ） Rx? 都有 02?x ” 的否定是 “ Rx? 0 使得 020 ?x ”; 3?x ” 是 “ 3?x ” 成立的充分条件 ; 2 命题 “ 若 21?m ，则方程 0222 ? xmx 有实数根 ” 的否命题 A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 6若 ? ?0 , 0 , l g l g l ga b a b a b? ? ? ? ?，

3、则 ab? 的最小值为（ ） A 8 B 6 C 4 D 2 7正四面体 ABCD 中，点 E 为 BC 中点，点 F 为 AD 中点，则异面直线AE与 CF 所成角的余弦值 ( ) A.13 B.12 C.23 D.638双曲线 122 ? ayx 的一条渐近线与直线 032 ? yx 垂直，则 a = ( ) A. 2 B.4 C. 2 D. 4 9已知点 P 在椭圆 )0(12222 ? babyax 上，点 F 为椭圆的右焦点， PF 的最大值与最小值的比为 2,则这个椭圆的离心率为 （ ） 12 13 .14 22 10 已知 ( , )Pxy 是直线 )0(04 ? kykx 上一

4、动点， PA PB、 是圆 C： 0222 ? yyx的两条切线， AB、 是切点，若四边形 PACB 的最小面积是 2，则 k 的值为 （ ） A.3 B. 212 C. 22 D.2 11直线 l 过抛物线 )0(22 ? ppxy 的焦点，且交抛物线于 BA, 两点，交其准线于 C 点 ,已知 BFCBAF 3,4| ? ,则 ?p ( ) 舒中高二统考理数 第 2页 (共 4页 ) 3 A 2 B 34 C 38 D 4 12已知边长为 23的菱形 ABCD 中， 60BAD?，沿对角线 BD 折成二面角A BD C?为 120 的四面体 ABCD ， 则 四 面 体 的 外 接 球

5、的 表 面 积 为 （ ） A 25? B 26? C 27? D 28? 二、填空题：本大题共 4小题；每小题 5分，共 20 分，把答案填写在答题纸的相应位置上 13已知方程 )(131 22 Rkkykx ? 表示焦点在 x 轴上的椭圆，则 k 的取值范围是 14. 若命题： “01,“ 2 ? kxkxRx 是真命题，则实数 k 的取值范围是 15.如右图，抛物线 pxyC 2: 21 ? 和圆 :2C 222()24ppxy? ? ?，其中0?p ,直线 l 经过 1C 的焦点，依次交 21,CC 于 DCBA , 四点，则 CDAB?的值为 . 16定义在 R 上的函数 ()fx满

6、足： ( ) 1 ( )f x f x? ? ， (0) 6f ? ， ()fx? 是 ()fx的导函数，则不等式 ( ) 5xxe f x e?（其中 e 为自然对数的底数）的解集为 . 三、解答题：本大题共 6小题，共 70分 .解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17（ 10 分） 已知函数 axexf x ?)( (a 为常数 )的图象与 y 轴交于点 A ，曲线 )(xfy? 在点 A 处的切线斜率为 1? (1)求 a 的值及函数 )(xf 的极值； (2)证明：当 0?x 时， xex ?2 18.(12 分 )已知过抛物线 )0(22 ? ppxy 的焦点，斜率为 22 的

7、直线交抛物线于4 )(,(),( 212211 xxyxByxA ?两点，且 9?AB . (1)求该抛物线的方程； (2) O 为坐标原点， C 为抛物线上一点，若 OBOAOC ? ，求 ? 的值 19 (12分 )如图甲，四边形 ABCD 中， E 是 BC 的中点， 2,5,1,2 ? ADABBCDCDB 将（图甲）沿直线 BD 折起，使二面角CBDA ? 为 o60 （如图乙） （ 1）求证： AE 平面 BDC （ 2）求点 B 到平面 ACD 的距离 20 (12 分 ) 如图，在底面为正方形的四棱锥 ABCDP? 中，侧棱 PD 底面 ABCD ，DCPD? ，点 E 是线段

8、 PC 的中点 （ 1）求异面直线 AP 与 BE 所成角的大小； （ 2）若点 F 在线段 PB 上 ，使得二面角 BDEF ? 的正弦值为 33 ，求 PBPF 的值 舒中高二统考理数 第 4页 (共 4页 ) 5 21. (12 分 ) 在平面直角坐标系 xOy 中，经过点 (02)， 且斜率为 k 的直线 l 与椭圆2 2 12x y?有两个不同的交点 P 和 Q （ 1）求 k 的取值范围； （ 2）设椭圆与 x 轴正半轴、 y 轴正半轴的交点分别为 AB， ，是否存在常数 k ，使得向量OP OQ? 与 AB 共线？如果存在，求 k 值；如果不存在，请说明理由 22 (12分 )

9、已知函数 ? ? ? ?2 lnf x kx x k R? ? ?. （ 1）试讨论函数 ?fx的单调性； （ 2）证明： ? ?4 4 4 4l n 2 l n 3 l n 4 l n 1. . . 2 ,2 3 4 2n n n Nne ? ? ? ? ? ? ?. 2017-2018学年度第二学期寒假作业检测考试 高二数学（理）答案 一、 选择题 DCABB CCBBD CD 二、填空题： 13 1ln2时， f( x)0， f(x)单调递增 所以当 x ln2 时， f(x)取得极小值，且极小值为 f(ln2) eln2 2ln2 2 ln4， f(x)无极大值 (2)令 g(x) e

10、x x2，则 g( x) ex 2x. 由 (1)得 g( x) f(x) f(ln2)0， 故 g(x)在 R上单调递增，又 g(0) 10，因此，当 x0时， g(x)g(0)0，即 x2ex. 18.(12分 ) 解 (1)直线 AB的方程是 y 2 2? ?x p2 ，与 y2 2px联立，从而有 4x2 5px p2 0， Zx 所以 x1 x2 5p4. 由抛物线定义得 |AB| x1 x2 p 9， 所以 p 4，从而抛物线方程是 y2 8x. (2)由 p 4，知 4x2 5px p2 0可化为 x2 5x 4 0， 从而 x1 1， x2 4， y1 2 2， y2 4 2，

11、从而 A(1， 2 2)， B(4,4 2) 设 OC (x3， y3) (1， 2 2) (4,4 2) (4 1,4 2 2 2)， 又 y23 8x3， 所以 2 2(2 1)2 8(4 1)，即 (2 1)2 4 1， 解得 0，或 2. 19 (12分 ) （）证明：如图 4，取 BD 中点 M，连接 AM， ME. 因为 AB=AD= 2，所以 AM BD， 因为 DB=2， DC=1， BC= 5，满足： DB 2+DC 2=BC 2， 所以 BCD是以 BC为斜边的直角三角形， BD DC，因为 E是 BC 的中点，所以 ME为 BCD的中位线， ?ME 12CD， ?ME B

12、D， ME=12 AME是二面角 A-BD-C的平面角， AME?= 60. M BD?， ME BD?且 AM、 ME 是平面 AME内两条相交于点 M的直线， BD AEM?平 面， AE?平面 AEM， AE?. 2AB AD?， 2DB?， ABD?为等腰直角三角形，1 12AM BD? ? ?，在 AME中，由余弦定理得： 2 2 2 32 c os 2A E A M M E A M M E A M E A E? ? ? ? ? ? ? ?，2 2 21A E M E A M A E M E? ? ? ? ? ?， ，B D M E M B D B D C M E B D C? ?

13、?， 平 面 ， 平 面， AE BDC?平 面. （ ）解法一：等体积法 . 解法二：如图 5，以 M 为原点， MB所在直线为 x轴， ME所在直线为 y轴， 平行于 EA的直线为 z 轴，建立空间直角坐标系， 图 4 图 5 7 则由（ ）及已知条件可知 B(1， 0， 0)，1002E?， ，130 22A ， ， D ( 1 0 0)? ， ，C ( 1 1 0)?， ，.则131 ( 0 1 0)22A B CD? ? ? ? ?， ， ， ， ， ，131 22AD ? ? ? ?， ， ，设平面 ACD的法向量为 n= ()x y z， ， 则13 0 022 0 0n A D

14、 x y zn CD y? ? ? ? ? ? ? ?， ，令 3x? ，则 z=-2， ( 3 0 2)n? ? ?， ， ， 记点 B到平面 ACD的距离为 d，则AB ndn?，所以 d3 0 3 2 2173 ) 0 ( 2)? ? ?(. 20 (12分 ) （ 1） 6 ；（ 2） 12 21. (12分 ) （ 1）由已知条件，直线 l 的方程为 2y kx? ， 代入椭圆方程得 2 2( 2 ) 12x kx? ? ?整理得 221 2 2 1 02 k x kx? ? ? ? 直线 l 与椭圆有两个不同的交点 P 和 Q 等价于 2 2 218 4 4 2 02k k k?

15、? ? ? ? ? ?， 解得 22k? 或 22k? 即 k 的取值范围为 22? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?， ， （ 2）设 1 1 2 2( ) ( )P x y Q x y， ， ，则 1 2 1 2()O P O Q x x y y? ? ? ?， 由方程，12 24212kxx k? ? ? ? 又 1 2 1 2( ) 2 2y y k x x? ? ? ? 而 ( 2 0 ) ( 0 1 ) ( 2 1 )A B A B ?， ， ， ， ， 所以 OP OQ? 与 AB 共线等价于 1 2 1 22 ( )x x y y? ? ? ?，将代入上式

16、，解得 22k? 由（ 1）知 22k? 或 22k? ，故没有符合题意的常数 k 22 (12分 ) 8 16.（ 1） 0k? 时， ()fx在 (0, )? 上递减， 0k? 时， 1(0, )2x k?时递减 ， 1( , )2x k? ?时递增； （ 2）令 ( ) 0fx? ，则， 22lnln xkx x k x? ? ?设2ln() xx x? ?，由于31 2 ln() xx x? ? ?，令31 2 ln( ) 0xx x? ? ?得 xe? ， 当 (0, )xe? 时， ( ) 0x? ? ， ()x? 单调递增， 当 ( , )xe? ? 时， ( ) 0x? ? ，

17、 ()x? 单调递减 所以m a x 1( ) ( ) 2xe e?， 所以当 1 , )2k e? ? 时，2lnxk x?对 (0, )? 恒成立，即2ln 1 ( 2)2x xxe?， 从而42ln 1 1 ( 2 )2x xx e x? ? ?从而得到42ln 1 1 ( 2 )2n nn e n? ? ?，可得4222ln 1 1 ( 2 )2nniii ni e i?（又因为2 2 21 1 1 1 1 1+2 3 1 2 2 3 ( 1 )n n n? ? ? ? ? ? ? ?， 而 1 1 1 1 1 1 1 1 11 1 11 2 2 3 ( 1 ) 2 2 3 1n n n n n? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?( 2)n?， 所以2 2 21 1