湖北省咸宁市2020年中考数学真题试题附答案.doc

1、 湖北省咸宁市湖北省咸宁市 2020 年中考数学试题年中考数学试题 一、精心选一选（本大题共一、精心选一选（本大题共 8 小题，每小题小题，每小题 3 分，满分分，满分 24 分在每小题给出的四个选项中只分在每小题给出的四个选项中只 有一项是符合题目要求的，请在答题卷上把正确答案的代号涂黑）有一项是符合题目要求的，请在答题卷上把正确答案的代号涂黑） 1.早在两千多年前，中国人就已经开始使用负数，并运用到生产和生活中，比西方早一千多年，下列各式计 算结果为负数的是（ ） A. 3( 2) B. 3( 2) C. 3 ( 2) D. ( 3)( 2) 【答案】C 【解析】 【分析】 各式计算得到结

2、果，即可作出判断 【详解】解：A、3( 2) =1，故选项不符合； B、3 ( 2) =5，故选项不符合； C、3 ( 2) =-6，故选项符合； D、( 3) ( 2) = 3 2 ，故选项不符合； 故选 C. 【点睛】此题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键 2.中国互联网络信息中心数据显示，随着二胎政策全面开放，升学就业竞争压力的不断增大，满足用户碎片 化学习需求的在线教育用户规模持续增长，预计 2020 年中国在线教育用户规模将达到 305000000 人将 305000000 用科学记数法表示为（ ） A. 11 0.305 10 B. 8 3.05 10 C. 6

3、 3.05 10 D. 8 305 10 【答案】B 【解析】 【分析】 科学记数法的表示形式为 a 10n的形式，其中 1|a|10，n 为整数确定 n 的值时，要看把原数变成 a 时， 小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同当原数绝对值大于 10 时，n 是正数；当原数 的绝对值小于 1 时，n 是负数 【详解】解：305000000 用科学记数法表示为 3.05 108， 故选：B 【点睛】此题考查了科学记数法的表示方法科学记数法的表示形式为 a 10n的形式，其中 1|a|10，n 为 整数，表示时关键要正确确定 a 的值以及 n 的值 3.下列计算正确的是（ ） A.

4、 32aa B. 23 a aa C. 623 aaa D. 2 24 36aa 【答案】B 【解析】 【分析】 利用合并同类项，同底数幂的乘法和除法，幂的乘方和积的乘方运算法则计算即可. 【详解】解：A、32aaa，故选项不符合； B、 23 a aa，故选项符合； C、 624 aaa ，故选项不符合； D、 2 24 39aa，故选项不符合； 故选 B. 【点睛】本题考查了合并同类项，同底数幂的乘法和除法，幂的乘方和积的乘方运算，掌握运算法则是关 键. 4.如图是由 5 个完全相同的小正方体组成的几何体，则该几何体的左视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】

5、根据主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、侧面和上面看所得到的图形，从而得出该几何体的左视 图 【详解】解：该几何体的左视图是： 故选 A. 【点睛】本题考查了三视图，考验学生的思考能力和对几何体三种视图的空间想象能力 5.如图是甲、乙两名射击运动员某节训练课的 5 次射击成绩的折线统计图，下列判断正确的是（ ） A. 乙的最好成绩比甲高 B. 乙的成绩的平均数比甲小 C. 乙的成绩的中位数比甲小 D. 乙的成绩比甲稳定 【答案】D 【解析】 【分析】 根据折线统计图得出甲乙成绩的各项数据，从而判断各选项. 【详解】解：由图可知： 甲运动员的成绩为：6、7、10、8、9， 乙运动员的成绩为：

6、8、9、8、7、8， A、甲的最好成绩为 10 环，乙的最好成绩为 9 环，故选项错误； B、甲的成绩平均数为： （6+7+10+8+9） 5=8， 乙的成绩平均数为： （8+9+8+7+8） 5=8， 一样大，故选项错误； C、甲的成绩的中位数为 8，乙的成绩的中位数为 8，一样大，故选项错误； D、甲成绩的方差为 222221 68788898108 5 =2， 乙的成绩的方差为 222221 8898887888 5 =0.4， 0.42，所以乙的成绩比甲稳定，故选项正确； 故选 D. 【点睛】本题考查了平均数、中位数、方差，关键是根据甲乙的成绩计算出各项数据. 6.如图，在O中，2OA

7、，45C，则图中阴影部分 面积为（ ） A. 2 2 B. 2 C. 2 2 D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】 根据圆周角定理得出AOB=90 ，再利用 S阴影=S扇形OAB-S OAB算出结果. 【详解】解：C=45 ， AOB=90 ， OA=OB=2， S阴影=S扇形OAB-S OAB= 2 9021 2 2 3602 =2， 故选 D. 【点睛】本题考查了圆周角定理，扇形面积计算，解题的关键是得到AOB=90 . 7.在平面直角坐标系xOy中，对于横、纵坐标相等的点称为“好点”下列函数的图象中不存在 “好点”的是 （ ） A. yx B. 2yx C. 2 y x D. 2 2

8、yxx 【答案】B 【解析】 【分析】 根据“好点”的定义判断出“好点”即是直线 y=x 上的点，再各函数中令 y=x，对应方程无解即不存在“好点”. 【详解】解：根据“好点”的定义，好点即为直线 y=x 上的点，令各函数中 y=x， A、x=-x，解得：x=0，即“好点”为（0，0） ，故选项不符合； B、2xx，无解，即该函数图像中不存在“好点”，故选项符合； C、 2 x x ，解得： 2x ，经检验 2x 是原方程的解，即“好点”为（ 2，2）和（-2，-2） ， 故选项不符合； D、 2 2xxx，解得：x=0 或 3，即“好点”为（0，0）和（3，3） ，故选项不符合； 故选 B.

9、 【点睛】本题考查了函数图像上的点的坐标，涉及到解分式方程，一元二次方程，以及一元一次方程，解 题的关键是理解“好点”的定义. 8.如图，在矩形ABCD中，2AB ，2 5BC ，E 是BC的中点，将ABE 沿直线AE翻折，点 B 落 在点 F 处，连结CF，则cos ECF的值为（ ） A. 2 3 B. 10 4 C. 5 3 D. 2 5 5 【答案】C 【解析】 【分析】 根据折叠的性质得到AEB=AEF，再根据点 E 是 BC 中点可得 EF=EC，可得EFC=ECF，从而推出 ECF=AEB，求出cos AEB即可得到结果. 【详解】解：由折叠可得：AB=AF=2，BE=EF，AE

10、B=AEF， 点 E 是 BC 中点，2 5BC ， BE=CE=EF= 5， EFC=ECF，AE= 2 2 253 ， BEF=AEB+AEF=EFC+ECF， ECF=AEB， cos ECF=cos AEB= 5 3 BE AE ， 故选 C. 【点睛】本题考查了矩形的性质和折叠的性质，以及余弦的定义，解题的关键是利用折叠的性质得到 ECF=AEB. 二、细心填一填（本大题共二、细心填一填（本大题共 8 小题，每小题小题，每小题 3 分，满分分，满分 24 分请把答案填在答题卷相应题号分请把答案填在答题卷相应题号 的横线上）的横线上） 9.点 A 在数轴上的位置如图所示，则点 A 表示

11、的数的相反数是_ 【答案】-3 【解析】 【分析】 点 A 在数轴上表示的数是 3，根据相反数的含义和求法，判断出点 A 表示的数的相反数是多少即可 【详解】解：点 A 在数轴上表示的数是 3， 点 A 表示的数的相反数是-3 故答案为：-3 【点睛】此题主要考查了在数轴上表示数的方法，以及相反数的含义和求法，要熟练掌握 10.因式分解： 2 2mxmxm_ 【答案】m（x-1）2 【解析】 【分析】 先提取公因式 m，再利用完全平方公式进行因式分解即可 【详解】 2 2mxmxm 2 21m xx 2 1m x 故答案为： 2 1m x 【点睛】本题考查了因式分解的问题，掌握完全平方公式是解

12、题的关键 11.如图，请填写一个条件，使结论成立：_，/a b 【答案】1=4（答案不唯一） 【解析】 【分析】 根据平行线的判定添加条件即可. 【详解】解：如图， 若1=4，则 ab， 故答案为：1=4（答案不唯一） 【点睛】本题考查了平行线的判定，可围绕截线找同位角、内错角和同旁内角解答. 12.若关于 x 的一元二次方程 2 (2)xn有实数根，则 n 的取值范围是_ 【答案】n0 【解析】 【分析】 根据平方的非负性可得结果 【详解】解：关于 x 的一元二次方程 2 (2)xn有实数根， 而 2 (2)0 x ， n0， 故答案为：n0 【点睛】本题考查了一元二次方程的解，掌握根的判别

13、方法是解题的关键 13.某校开展以“我和我的祖国”为主题的“大合唱”活动，七年级准备从小明，小东、小聪三名男生和小红、 小慧两名女生中各随机选出一名男生和一名女生担任领唱，则小聪和小慧被同时选中的概率是_ 【答案】 1 6 【解析】 【分析】 先画树状图展示所有 6 种等可能的结果数，再找出小聪和小慧被同时选中的结果数，然后根据概率公式求 解 【详解】解：画树状图如下： 可知：共有 6 种等可能的结果，其中小聪和小慧同时被选中的情况有 1 种， 小聪和小慧被同时选中的概率是 1 6 ， 故答案为： 1 6 . 【点睛】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图展示所有等可能的结果数，再找出

14、某事件所 占有的结果数，然后根据概率公式计算这个事件的概率 14.如图， 海上有一灯塔 P， 位于小岛 A 北偏东 60 方向上， 一艘轮船从北小岛 A 出发， 由西向东航行24nmile 到达 B 处，这时测得灯塔 P 在北偏东 30 方向上，如果轮船不改变航向继续向东航行，当轮船到达灯塔 P 的正南方，此时轮船与灯塔 P 的距离是_n mile （结果保留一位小数， 31.73 ） 【答案】20.8 【解析】 【分析】 证明 ABP 是等腰三角形，过 P 作 PDAB，从而求得 PD 的长即可 【详解】解：过 P 作 PDAB 于 D， AB=24， PAB=90 -60 =30 ，PBD

15、=90 -30 =60 ， BPD=30 ， APB=30 ，即PAB=APB， AB=BP=24， 在直角 PBD 中，PD=BPsinPBD=24 3 2 =12 320.8. 故答案为：20.8. 【点睛】本题主要考查了解直角三角形的应用，正确作出垂线，转化为直角三角形的计算是解决本题的关 键 15.按一定规律排列的一列数：3， 2 3， 1 3， 3 3， 4 3， 7 3， 11 3， 18 3，若 a，b，c 表示这列数中的 连续三个数，猜想 a，b，c 满足的关系式是_ 【答案】bc=a 【解析】 【分析】 根据题目中的数字，可以发现相邻的数字之间的关系，从而可以得到 a，b，c

16、 之间满足的关系式 【详解】解：一列数：3， 2 3， 1 3， 3 3， 4 3， 7 3， 11 3， 18 3， 可发现：第 n 个数等于前面两个数的商， a，b，c 表示这列数中的连续三个数， bc=a， 故答案为：bc=a 【点睛】本题考查数字的变化类，解答本题的关键是明确题意，发现题目中数字的变化规律，求出 a，b，c 之间的关系式 16.如图，四边形ABCD是边长为 2 的正方形，点 E 是边BC上一动点（不与点 B，C 重合） ， 90AEF， 且EF交正方形外角的平分线CF于点 F，交CD于点 G，连接AF，有下列结论： ABEECG； AEEF； DAFCFE； CEF的面

17、积的最大值为 1 其中正确结论的序号是_ （把正确结论的序号都填上） 【答案】 【解析】 【分析】 证明BAE=CEG，结合B=BCD 可证明 ABEECG，可判断；在 BA 上截取 BM=BE，证明 AMEECF， 可判断； 可得 AEF 为等腰直角三角形， 证明BAE+DAF=45 ， 结合BAE=CEF， FCH=45 =CFE+CEF，可判断；设 BE=x，则 BM=x，AM=AB-BM=2-x，根据 AMEECF，求 出 AME 面积的最大值即可判断. 【详解】解：四边形 ABCD 为正方形， B=BCD=90 ， AEF=90 ， AEB+CEG=90 ，又AEB+BAE=90 ，

18、 BAE=CEG， ABEECG，故正确； 在 BA 上截取 BM=BE， 四边形 ABCD 为正方形， B=90 ，BA=BC， BEM 为等腰直角三角形， BME=45 ， AME=135 ， BA-BM=BC-BE， AM=CE， CF 为正方形外角平分线， DCF=45 ， ECF=135 =AME， BAE=FEC， AMEECF（ASA） ， AE=EF，故正确； AEF 为等腰直角三角形， EAF=EFA=45 ， BAE+DAF=45 ， 而BAE=CEF，FCH=45 =CFE+CEF， DAFCFE，故正确； 设 BE=x，则 BM=x，AM=AB-BM=2-x， S AM

19、E= 1 2 x（2-x）= 2 1 2 xx， 当 x=1 时，S AME有最大值 1 2 ， 而 AMEECF， S AME=S CEF， S CEF有最大值 1 2 ，所以错误； 综上：正确结论的序号是：. 故答案为：. 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定，等腰直角三角形的判定和性质，正方 形的性质，二次函数的最值，解题的关键是添加辅助线，灵活运用全等三角形的知识解决线段的问题. 三、专心解一解（本大题共三、专心解一解（本大题共 8 小题，满分小题，满分 2 分请认真读题，冷分请认真读题，冷静思考，解答题应写出必要静思考，解答题应写出必要 的文字说明、证明过程或演

20、算步骤，请把解题过程写在答题卷相应题号的位置）的文字说明、证明过程或演算步骤，请把解题过程写在答题卷相应题号的位置） 17.（1）计算： 0 |12 | 2sin45( 2020) ； （2）解不等式组： (1)3, 293. x x 【答案】 （1）0； （2）-3x-2 【解析】 【分析】 （1）根据实数的混合运算法则计算即可； （2）分别解得两个不等式的解集，再合并即可. 【详解】解： （1）原式= 2 21 21 2 =0； （2） (1)3 293 x x ， 解不等式得：x-2， 解不等式得：x-3， 不等式组的解集为：-3x-2. 【点睛】本题考查了实数的混合运算与解不等式组，以

21、及特殊角的三角函数值，解题的关键是掌握运算法 则. 18.如图，在ABCD中，以点 B 为圆心，BA长为半径画弧，交BC于点 E，在AD上截取AF BE，连 接EF （1）求证：四边形ABEF是菱形； （2）请用无刻度的直尺 在ABCD内找一点 P，使90APB（标出点 P 的位置，保留作图痕迹，不写 作法） 【答案】 （1）见解析； （2）见解析 【解析】 【分析】 （1）根据四边形 ABCD 为平行四边形，得出 AFBE，由作图过程可知 AF=BE，结合 AB=BE 即可证明； （2）利用菱形对角线互相垂直的性质，连接 AE 和 BF，交点即为点 P. 【详解】解： （1）根据作图过程可知

22、：AB=BE，AF=BE， 四边形 ABCD 为平行四边形， AFBE， AF=BE， 四边形 ABEF 为平行四边形， AB=BE， 平行四边形 ABEF 为菱形； （2）如图，点 P 即为所作图形， 四边形 ABEF 为菱形，则 BFAE， APB=90 . 【点睛】本题考查了菱形的判定和性质，平行四边形的性质，解题的关键是利用相应的性质进行画图. 19.如图， 已知一次函数 1 ykxb与反比例函数 2 m y x 的图象在第一、 三象限分别交于(6,1)A，( , 3)B a 两点，连接OA，OB （1）求一次函数和反比例函数的解析式； （2）AOB的面积为_； （3）直接写出 12

23、yy时 x 的取值范围 【答案】 （1） 1 1 2 2 yx， 2 6 y x ； （2）8； （3）-2x0 或 x6. 【解析】 【分析】 （1） 把 A 代入反比例函数， 根据待定系数法即可求得 m， 得到反比例函数解析式， 然后将( , 3)B a 代入， 求得 a，再根据待定系数法求得一次函数的解析式即可； （2）求出一次函数图像与 x 轴交点坐标，再利用面积公式计算即可； （3）根据图象得到一次函数图像在反比例函数图像上方时的 x 取值范围 【详解】解： （1）把(6,1)A代入反比例函数 2 m y x 得： m=6， 反比例函数的解析式为 2 6 y x ， ( , 3)B

24、a 点在反比例函数 2 m y x 图像上， -3a=6，解得 a=-2， B（-2，-3） ， 一次函数 y1=kx+b 的图象经过 A 和 B， 16 32 kb kb ，解得： 1 2 2 k b ， 一次函数的解析式为 1 1 2 2 yx； （2）(6,1)A，( 2, 3)B ，一次函数的解析式为 1 1 2 2 yx， 令 y=0，解得：x=4，即一次函数图像与 x 轴交点为（4，0） ， S AOB= 1 41 38 2 ， 故答案为：8； （3）由图象可知： 12 yy时，即一次函数图像在反比例函数图像上方， x 的取值范围是：-2x0 或 x6. 【点睛】此题是考查一次函数

25、与反比例函数的交点问题、待定系数法求一次函数解析式，待定系数法求反 比例函数解析式，待定系数法求函数解析式是中学阶段求函数解析式常用的方法，一定要熟练掌握并灵活 运用 20.随着科技进步和网络资源的丰富，在线阅读已成为很多人选择的阅读方式为了解同学们在线阅读情 况，某校园小记者随机调查了本校部分同学，并统计他们平均每天的在线阅读时间 t（单位：min） ，然后 利用所得数据绘制成如下不完整的统计图表 在线阅读时间频数分布表 组别 在线阅读时间 t （人数） A 1030t 4 B 3050t 8 C 5070t a D 7090t 16 E 90110t 2 根据以上图表，解答下列问题： （1

26、）这次被调查的同学共有_人，a_，m_； （2）求扇形统计图中扇形 D 的圆心角的度数； （3）若该校有 950 名学生，请估计全校有多少学生平均每天的在线阅读时间不少于50 min? 【答案】 （1）50，20，8； （2）115.2 ； （3）722 【解析】 【分析】 （1）根据 B 组人数和所占百分比求出被调查的学生总数，再根据 C 组所占百分比求出 a 值，最后根据 A 组人数求出所占百分比； （2）求出 D 组所占百分比，再乘以 360 即可； （3）用样本中在线阅读时间不少于50 min的总人数除以 50，再乘以全校总人数即可. 【详解】解： （1）B 组的人数为 8 人，所占百

27、分比为 16%， 被调查的同学共有 8 16%=50 人， a=50 40%=20 人，4 50 100%=8%， m=8， 故答案为：50，20，8； （2） （1-40%-16%-8%-4%） 360 =115.2 ， 则扇形统计图中扇形 D 的圆心角的度数为：115.2 ； （3）95020 16 2 50 =722 人， 全校有 722 学生平均每天的在线阅读时间不少于50 min. 【点睛】本题考查频数分布表、扇形统计图、用样本估计总体，解答本题的关键是明确题意，利用数形结 合的思想解答 21.如图，在RtABC中，90C，点 O 在AC上，以OA为半径的半圆 O 交AB于点 D，交

28、AC于 点 E，过点 D 作半圆 O 的切线DF，交BC于点 F （1）求证：BFDF； （2）若4AC ，3BC ，1CF ，求半圆 O 的半径长 【答案】 （1）见解析； （2） 13 8 【解析】 【分析】 （1）连接 OD， 根据切线的性质得到BDF+ADO=90 ， 再结合ADO=OAD，推出BDF=B，即可； （2）过 F 作 FGBD 于 G，先利用三角函数求出 BG=DG，再过点 O 作 OHAD 于 H，在 AOH 中，求 出 AO 即可. 【详解】解： （1）连接 OD， DF 和半圆相切， ODDF， BDF+ADO=90 ， ADO=OAD， OAD+BDF=90 ，又

29、C=90 ， OAD+B=90 ， BDF=B， BF=DF； （2）过 F 作 FGBD 于 G，则 GF 垂直平分 BD， 1CF ， BF=DF=2， 4AC ，3BC ，C=90 ， AB= 22 345 ， cosB= BCBG ABBF = 3 5 ， 3 25 BG ，解得：BG= 6 5 =DG， AD=AB-BD= 13 5 ， 过点 O 作 OHAD 于 H， AH=DH= 1 2 AD= 13 10 ， cosBAC= 4 5 ACAH ABAO ， AO=13 8 ， 即半圆 O 的半径长为13 8 . 【点睛】本题考查了切线的性质，相似三角形的判定和性质，等腰三角形的

30、判定和性质，解直角三角形， 解题的关键是正确寻找相似三角形，学会添加常用辅助线，属于中考常考题型 22.5 月 18 日，我市九年级学生安全有序开学复课为切实做好疫情防控工作，开学前夕，我市某校准备在 民联药店购买口罩和水银体温计发放给每个学生已知每盒口罩有 100 只，每盒水银体温计有 10 支，每盒 口罩价格比每盒水银体温计价格多 150 元用 1200 元购买口罩盒数与用 300 元购买水银体温计所得盒数相 同 （1）求每盒口罩和每盒水银体温计的价格各是多少元？ （2）如果给每位学生发放 2 只口罩和 1 支水银体温计，且口罩和水银体温计均整盒购买设购买口罩 m 盒 （m 为正整数） ，

31、则购买水银体温计多少盒能和口罩刚好配套？请用含 m 的代数式表示 （3）在民联药店累计购医用品超过 1800 元后，超出 1800 元的部分可享受 8 折优惠该校按（2）中的配 套方案购买，共支付 w 元，求 w 关于 m 的函数关系式若该校九年级有 900 名学生，需要购买口罩和水银 体温计各多少盒？所需总费用为多少元？ 【答案】（1） 每盒口罩和每盒水银体温计的价格各是 200 元， 50 元；（2）5m；（3） 4504 3603604 wm m wmm ， 需要购买口罩 18 盒，水银体温计 90 盒，所需总费用为 6840 元. 【解析】 【分析】 （1）设每盒水银体温计的价格是 x

32、 元，根据用 1200 元购买口罩盒数与用 300 元购买水银体温计的盒数相 同列出方程，求解即可； （2）先用 m 表示出需要水银体温计的支数，再表示出水银体温计的盒数； （3）分当 m4 时，当 m4 时，分别得出关系式，再合并，根据若该校九年级有 900 名学生求出口罩的盒 数 m，从而得到体温计的盒数以及总费用. 【详解】解： （1）设每盒水银体温计的价格是 x 元，则每盒口罩的价格是 x+150 元， 根据题意可得： 1200300 150 xx ， 解得：x=50， 经检验：x=50 是原方程的解， 50+150=200 元， 每盒口罩和每盒水银体温计的价格各是 200 元，50

33、元； （2）购买口罩 m 盒， 共有口罩 100m 个， 给每位学生发放 2 只口罩和 1 支水银体温计， 需要发放100 2 m 支水银体温计， 需要购买100105 2 m m盒水银体温计； （3）由题意可得： 令 200m+5m 50=1800， 解得：m=4， 若未超过 1800 元，即当 m4 时， 则 w=200m+5m 50=450m， 若超过 1800 元，即当 m4 时， w=（200m+5m 50-1800） 0.8+1800=360m+360， w 关于 m 的函数关系式为 4504 3603604 wm m wmm ， 若该校九年级有 900 名学生，即100 2 m

34、=900， 解得：m=18， 则360360wm=6840， 答：需要购买口罩 18 盒，水银体温计 90 盒，所需总费用为 6840 元. 【点睛】本题考查了分式方程的实际应用，一次函数的实际应用，解题的关键是理解题意，弄清口罩盒数 与体温计盒数的配套关系. 23.定义：有一组对角互余的四边形叫做对余四边形 理解： （1）若四边形ABCD是对余四边形，则A与C的度数之和为_； 证明： （2）如图 1，MN是O的直径，点, ,A B C在O上，AM，CN相交于点 D 求证：四边形ABCD是对余四边形； 探究： （3）如图 2，在对余四边形ABCD中，ABBC，60ABC ，探究线段AD，CD和

35、BD之间有怎 样的数量关系？写出猜想，并说明理由 【答案】 （1）90 或 270 ； （2）见解析； （3） 222 CDADBD，理由见解析 【解析】 【分析】 （1）分当A 和C 互余时，当B 和D 互余时，两种情况求解； （2）连接 BO，得到BON+BOM=180 ，再利用圆周角定理证明C+A=90 即可； （3）作 ABD 的外接圆 O，分别延长 AC，BC，DC，交圆 O 于 E，F，G，连接 DF，DE，EF，先证明 GF 是圆 O 的直径，得到 222 GEEFGF，再证明 ABCFEC， ACDGCE， BCDGCF， 可得 22222222 AB CFAD GCAC EF

36、AC GE， BCBDCD k GCGFCF ，从而得出 222222 AB CDAD BCAC BD，根据 ABC 为等边三角形可得 AB=AC=BC，从而得到 222 CDADBD . 【详解】解： （1）四边形ABCD是对余四边形， 当A 和C 互余时， A+C=90 ， 当B 与D 互余时， B+D=90 ， 则A+C=360 -90 =270 ， 故答案为：90 或 270 ； （2）如图，连接 BO， 可得：BON=2C，BOM=2A， 而BON+BOM=180 ， 2C+2A=180 ， C+A=90 ， 四边形ABCD是对余四边形； （3）四边形 ABCD 为对于四边形，ABC

37、=60 ， ADC=30 ， 如图，作 ABD 的外接圆 O，分别延长 AC，BC，DC，交圆 O 于 E，F，G，连接 DF，DE，EF， 则AEF=ABC=60 ，AEG=ADG=30 ， AEF+AEG=90 ，即FEG=90 ， GF 是圆 O 的直径， AB=BC， ABC 为等边三角形， ABC=AEF，ACB=ECF， ABCFEC，得： ABACBC EFFCEC ，则 2222 AB CFAC EF， 同理， ACDGCE，得： ACADCD GCGECE ，则 2222 AC GEAD GC， BCDGCF，得： BCBDCD k GCGFCF ， 可得： 22222222

38、 AB CFAD GCAC EFAC GE， 而 222 GEEFGF， 222222 AB CFAD GCAC GF， 222 222 222 CDBCBD ABADAC kkk ， 222222 AB CDAD BCAC BD， AB=BC=AC， 222 CDADBD . 【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，四边形的新定义问题，圆周角定理，等边三角形的判定和 性质，多边形内角和，解题的关键是理解对余四边形的概念，结合所学知识求证. 24.如图，平面直角坐标系中，直线 1 2 2 yx 与 x 轴交于点 A，与 y 轴交于点 B，抛物线 2 2 3 yxbxc 过点 B 且与直线相交

39、于另一点 5 3 , 2 4 C （1）求抛物线的解析式； （2）点 P 是抛物线上的一动点，当PAOBAO时，求点 P 的坐标； （3）点 5 ( ,0)0 2 N nn 在 x 轴的正半轴上，点(0,)Mm是 y 轴正半轴上的一动点，且满足 90MNC 求 m 与 n 之间的函数关系式； 当 m 在什么范围时，符合条件的 N 点的个数有 2 个？ 【答案】 （1） 2 27 2 36 yxx ； （2） 5 3 , 2 4 或（3， 1 2 ）或（-2，-3） ； （3） 2 410 33 mnn ； 0m 25 12 【解析】 【分析】 （1）利用一次函数求出 A 和 B 的坐标，结合点

40、 C 坐标，求出二次函数表达式； （2）当点 P 在 x 轴上方时，点 P 与点 C 重合，当点 P 在 x 轴下方时，AP 与 y 轴交于点 Q，求出 AQ 表达 式，联立二次函数，可得交点坐标，即为点 P； （3）过点 C 作 CDx 轴于点 D，证明 MNONCD，可得 MONO NDCD ，整理可得结果； 作以 MC 为直径的圆 E，根据圆 E 与线段 OD 的交点个数来判断 M 的位置，即可得到 m 的取值范围. 【详解】解： （1）直线 1 2 2 yx 与 x 轴交于点 A，与 y 轴交于点 B， 令 x=0，则 y=2，令 y=0，则 x=4， A（4，0） ，B（0，2） ，

41、 抛物线 2 2 3 yxbxc 经过 B（0，2） ， 5 3 , 2 4 C ， 2 32255 4342 c bc ，解得： 7 6 2 b c ， 抛物线的表达式为： 2 27 2 36 yxx ； （2）当点 P 在 x 轴上方时，点 P 与点 C 重合，满足PAOBAO， 5 3 , 2 4 C ， 5 3 , 2 4 P ， 当点 P 在 x 轴下方时，如图，AP 与 y 轴交于点 Q， PAOBAO， B，Q 关于 x 轴对称， Q（0，-2） ，又 A（4，0） ， 设直线 AQ 的表达式为 y=px+q，代入， 2 04 q pq ，解得： 1 2 2 p q ， 直线 A

42、Q 的表达式为： 1 2 2 yx，联立得： 2 1 2 2 27 2 36 yx yxx ，解得：x=3 或-2， 点 P 的坐标为（3， 1 2 ）或（-2，-3） ， 综上，当PAOBAO时，点 P 的坐标为： 5 3 , 2 4 或（3， 1 2 ）或（-2，-3） ； （3）如图，MNC=90 ，过点 C 作 CDx 轴于点 D， MNO+CND=90 ， OMN+MNO=90 ， CND=OMN,又MON=CDN=90 ， MNONCD， MONO NDCD ，即53 24 mn n ， 整理得： 2 410 33 mnn ； 如图，MNC=90 ， 以 MC 为直径画圆 E， 5

43、 ( ,0)0 2 N nn ， 点 N 在线段 OD 上（不含 O 和 D） ，即圆 E 与线段 OD 有两个交点（不含 O 和 D） ， 点 M 在 y 轴正半轴， 当圆 E 与线段 OD 相切时， 有 NE= 1 2 MC，即 NE2= 1 4 MC2， M（0，m） ， 5 3 , 2 4 C ， E（ 5 4 ， 3 82 m ） ， 2 3 82 m = 22 153 424 m ， 解得：m= 25 12 ， 当点 M 与点 O 重合时，如图， 此时圆 E 与线段 OD（不含 O 和 D）有一个交点， 当 0m 25 12 时，圆 E 与线段 OD 有两个交点， 故 m 的取值范围是：0m 25 12 . 【点睛】本题是二次函数综合，考查了求二次函数表达式，相似三角形的判定和性质，圆周角定理，一次 函数表达式，难度较大，解题时要充分理解题意，结合图像解决问题.