第一章 勾股定理(八年级上册数学(北师大版)).doc
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1、 第一章 勾股定理 1 探索勾股定理 第 1 课时 勾股定理 1用数格子(或割、补、拼等)的方法体验勾股定理的探索过程,理解勾股定理反映的 直角三角形三边之间的数量关系,会初步运用勾股定理进行简单的计算和实际运用 2让学生经历“观察猜想归纳验证”的数学过程,并体会数形结合和特殊到一 般的思想方法 3进一步发展学生的说理和简单推理的意识及能力;进一步体会数学与现实生活的紧 密联系 4在探索勾股定理的过程中,体验获得成功的快乐通过介绍勾股定理在中国古代的 研究,激发学生热爱祖国,热爱祖国悠久文化的思想感情 重点 探索勾股定理 难点 在方格纸上通过计算面积的方法探索勾股定理 一、情境导入 课件出示:
2、 师:2002 年世界数学家大会在我国北京召开,课件显示的是本届世界数学家大会的会 标 会标中央的图案是一个与“勾股定理”有关的图形, 数学家曾建议用“勾股定理”的图 案来作为与“外星人”联系的信号今天我们就来一同探索勾股定理(板书课题) 二、探究新知 1探究直角三角形三边长度的平方的关系 课件出示如下地板砖示意图,引导学生从面积角度观察图形 师:你能发现各图中三个正方形的面积之间有何关系吗? 学生通过观察,归纳发现: 以等腰直角三角形两直角边为边长的小正方形的面积的和, 等于以斜边为边长的正方形 的面积 2探索勾股定理 师:由刚才归纳发现的结论,我们自然产生联想:一般的直角三角形是否也具有该
3、性质 呢? 课件出示题目: 同学们可自由讨论 (1)观察下面两幅图: (2)填表: A 的面积 (单位面积) B 的面积 (单位面积) C 的面积 (单位面积) 左图 右图 (3)你是怎样得到左图中正方形 C 的面积的?与同伴交流(学生可能会做出多种方法, 教师应给予充分肯定) 针对学生的解法,教师总结 学生的方法可能有: 方法一: 如图 1,将正方形 C 分割为四个完全相等的直角三角形和一个小正方形, SC41 2 23113. 方法二: 如图 2,在正方形 C 外补四个完全相等的直角三角形,形成大正方形,用大正方形的面 积减去四个直角三角形的面积,SC5241 22313. 方法三: 如图
4、 3,正方形 C 中除去中间 5 个小正方形外,将周围部分适当拼接可成为正方形,如 图 3 中的阴影部分可拼成两个小正方形,SC24513. (4)分析填入表中的数据,你发现了什么? 学生通过分析数据,归纳发现: 以直角三角形两直角边为边长的小正方形的面积的和, 等于以斜边为边长的正方形的面 积 3表述勾股定理 师:(1)你能用直角三角形的三边长 a,b,c 来表示上图中正方形的面积吗? (2)分别以 5 cm、12 cm 为直角边作出一个直角三角形,并测量斜边的长度探索发现的 规律对这个三角形仍然成立吗? 勾股定理:直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方如果用 a,b 和 c 分别表示 直
5、角三角形的两直角边和斜边,那么 a2b2c2. 数学小史: 我国是最早了解勾股定理的国家之一, 中国古代把直角三角形中较短的直角 边称为勾,较长的直角边称为股,斜边称为弦, “勾股定理”因此而得名(在西方文献中又 称为毕达哥拉斯定理) 三、举例分析 课件出示教材第 3 页“随堂练习”第 1 题 师:这是勾股定理基本图式,利用它可以求面积 指名学生上台板书解题过程 四、练习巩固 1课件出示教材第 3 页“随堂练习”第 2 题(口答) 2课件出示教材第 6 页习题 1.2 第 1 题 师:想一想,你需要求哪些线段的长度,这些长度确定吗? 独立完成,指名板演,集中讲评 师:通过这个题目可以看出勾股定
6、理可以解决什么题型? 生:在直角三角形中,已知一边和另一边,可以求出第三边 练习第 1 题和第 2 题是实际应用问题,体现了数学来源于生活,又服务于生活,意在培 养学生“用数学”的意识运用数学知识解决实际问题是数学教学的重要内容 五、小结 1知识:勾股定理:直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方如果用 a,b 和 c 分别表示直角三角形的两直角边和斜边,那么 a2b2c2. 2方法:(1) 观察探索猜想验证归纳应用; (2)“割、补、拼、接”法 3思想:(1) 特殊一般特殊; (2) 数形结合思想 六、课外作业 教材第 4 页习题 1.1 第 24 题 依据“学生是学习的主体”这一理念, 在
7、探索勾股定理的整个过程中, 本节课始终采用 学生自主探索和与同伴合作交流相结合的方式进行 教师只在学生遇到困难时, 进行引导或 组织学生通过讨论来突破难点 本节课首先创设情境激发兴趣, 再通过几个探究活动引导学生从探究等腰直角三角形这 一特殊情形,自然过渡到探究一般直角三角形,学生通过观察图形,计算面积,分析数据, 发现直角三角形三边的关系,进而得出勾股定理 第 2 课时 勾股定理的验证和简单应用 1掌握勾股定理,理解利用拼图验证勾股定理的方法,并能应用勾股定理解决一些实 际问题 2通过拼图验证勾股定理,使学生经历观察、猜想、验证的过程,进一步体会数形结 合的思想和从特殊到一般的思想 3在勾股
8、定理的验证活动中,培养探究能力和合作精神,通过对勾股定理历史的了解, 感受数学文化,增强爱国情感,并通过应用勾股定理解决实际问题,培养应用数学的意识 重点 能熟练用拼图的方法验证勾股定理 难点 用勾股定理解决实际问题 一、复习导入 教师提出问题: 1勾股定理的内容是什么?(指名学生回答) 2上节课我们仅仅是通过测量和数格子,对具体的直角三角形进行探索,发现了勾股 定理,对一般的直角三角形,勾股定理是否成立呢?这需要进一步验证,如何验证勾股定理 呢? 师: 事实上, 现在已经有数百种勾股定理的验证方法, 这节课我们也将去验证勾股定理 二、探究新知 活动 1:教师导入,小组拼图 师: 今天我们将研
9、究利用拼图的方法验证勾股定理, 请你利用自己准备的四个完全相同 的直角三角形,拼出一个以斜边为边长的正方形(请每位学生用 2 分钟时间独立拼图,再 4 人小组讨论) 活动 2:层层设问,完成验证 学生通过自主探究,小组讨论得到两个图形: 在此基础上教师提问: (1)你能用两种方法表示图1中大正方形的面积吗?(学生先独立思考, 再4人小组交流 ) (2)你能由此得出勾股定理吗?为什么?(在学生回答的基础上板书(ab)241 2ab c2,并得到 a2b2c2.) 从而利用图 1 验证了勾股定理 活动 3:自主探究,完成验证 师: 我们利用拼图的方法, 将形的问题与数的问题结合起来, 利用整式运算
10、的有关知识, 从理论上验证了勾股定理,你还能利用图 2 验证勾股定理吗? (学生先独立探究, 再小组交流, 最后请一个小组同学上台讲解利用图 2 验证勾股定理 ) 三、举例分析 1课件出示教材第 6 页“议一议” 师:怎样判断图中三角形的三边是否满足 a2b2c2? 生:分别求出网格中正方形的面积进行判断 教师巡视指导,对于学生出现的问题及时指导,特别是每个小正方形面积的得出 学生通过数格子的方法可以得出:如果一个三角形不是直角三角形,那么它的三边 a, b,c 不满足 a2b2c2. 2一个直角三角形的斜边为 20 cm ,且两直角边长度比为 34,求两直角边的长 四、练习巩固 飞机在空中水
11、平飞行,某一时刻刚好飞到一个男孩子头顶上方 4 000 m 处,过了 20 秒, 飞机距离这个男孩子头顶 5 000 m,飞机每小时飞行多少千米? 五、小结 通过这节课的学习,你有什么收获?师生共同畅谈收获 六、课外作业 1教材第 7 页习题 1.2 第 25 题 2上网或查阅有关书籍,搜集至少 1 种勾股定理的其他证法,至少 1 个勾股定理的应 用问题,一周后进行展评 勾股定理作为“千古第一定理”,其魅力在于其所具有的历史价值和应用价值,因此, 应注意充分挖掘其内涵特别是让学生进行调查,再进行展示,这极大地调动了学生的积极 性既加深了学生对勾股定理文化的理解,又培养了他们收集、整理资料的能力
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