第四节特殊三角形（九年级 中考数学复习）.ppt

1、第四节第四节 特殊三角形特殊三角形 ( (每年每年13题，题，310分分) ) 目 录 考点精讲考点精讲 成都成都10年真题年真题+2019诊断检测诊断检测 教材改编题教材改编题 中考试题中的核心素养中考试题中的核心素养 【对接教材】北师：八下第一章北师：八下第一章P2P21. 考点精讲考点精讲 等腰三角形 的性质与判定 等边三角形 的性质与判定 直角三角形 的性质与判定 等腰直角三角形 的性质与判定 性质 判定 面积计算公式 性质 判定 面积计算公式 性质 判定 面积计算公式 特殊 三角形 性质 判定 面积计算公式 等腰三角形的等腰三角形的 性质与判定性质与判定 (如图如图) 性质性质 1.

2、两底角相等两底角相等 2.两腰相等两腰相等 3.它是轴对称图形，有一条对称轴它是轴对称图形，有一条对称轴 4.等腰三角形等腰三角形 、 、 . 相互重合（简记为相互重合（简记为“三线合一三线合一”） 【满分技法】在等腰三角形中进行有关计算时，常要注意以下两点：【满分技法】在等腰三角形中进行有关计算时，常要注意以下两点： （1）当已知等腰三角形的一个角时，要先确定该角是顶角还是底角，）当已知等腰三角形的一个角时，要先确定该角是顶角还是底角， 再分情况进行讨论；（再分情况进行讨论；（2）当已知等腰三角形两边时，除了确定哪条）当已知等腰三角形两边时，除了确定哪条 边作为腰或底外，一定不要忽视三角形三

3、边关系边作为腰或底外，一定不要忽视三角形三边关系 顶角的角平分线顶角的角平分线 底边上的高线底边上的高线 底边上的中线底边上的中线 图 返回思维导图返回思维导图 等腰三角形的等腰三角形的 性质与判定性质与判定 (如图如图) 判定判定 1.有两边相等的三角形是等腰三角形有两边相等的三角形是等腰三角形 2.有两角相等的三角形是等腰三角形（简记为有两角相等的三角形是等腰三角形（简记为“等角对等边等角对等边”） 【满分技法】【满分技法】 等腰三角形的判定定理是证明两条等腰三角形的判定定理是证明两条 线段相等的重要定理，是将三角形中角的相等关线段相等的重要定理，是将三角形中角的相等关 系转化为边的相等关

4、系的重要依据系转化为边的相等关系的重要依据.一般情况下，一般情况下， 在同一个三角形中，欲证边相等，先证角相等，在同一个三角形中，欲证边相等，先证角相等， 欲证角相等，先证边相等欲证角相等，先证边相等 面积计算公式：面积计算公式：S ，其中，其中a是底边长，是底边长，h是底边上的高是底边上的高 图 1 2 ah 返回思维导图返回思维导图 等边三角形的等边三角形的 性质与判定性质与判定 （如图（如图） 性质性质 1.具有等腰三角形的所有性质具有等腰三角形的所有性质 2.三边相等三边相等 3.三角相等，且每一个角都等于三角相等，且每一个角都等于 . 4.是轴对称图形，有是轴对称图形，有 条对称轴条

5、对称轴 判定判定 1.三边都相等的三角形是等边三角形三边都相等的三角形是等边三角形 2.三角都相等的三角形是等边三角形三角都相等的三角形是等边三角形 3.有一个角是有一个角是 的等腰三角形是等边三角形的等腰三角形是等边三角形 面积计算公式：面积计算公式：S ah a2，其中，其中a是等边三角形的边长，是等边三角形的边长，h 是任意边上的高是任意边上的高 1 2 3 4 60 3 60 图 返回思维导图返回思维导图 直角三角形的直角三角形的 性质与判定性质与判定 （如图（如图） 性质性质 1. 两锐角之和等于两锐角之和等于 ，即，即AB . 2. 斜边上的中线等于斜边的斜边上的中线等于斜边的 ，

6、即，即CD . 图 3. 30角所对直角边等于斜边的角所对直角边等于斜边的 ；反之，若；反之，若 一条直角边等于斜边的一半，则该直角边所对的锐一条直角边等于斜边的一半，则该直角边所对的锐 角等于角等于 ，即，即A30BC （应用（应用 时需证明）时需证明） 4. 勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等 于于 ，即，即a2b2 ) 90 90 一半一半 1 2 AB 一半一半 30 1 2 AB 斜边的平方斜边的平方 c2 返回思维导图返回思维导图 直角三角形的直角三角形的 性质与判定性质与判定 （如图（如图） 判定判定 1. 有一个角为有一个角为90的三角

7、形是直角三角形的三角形是直角三角形 2. 有两个角有两个角 的三角形是直角三角形的三角形是直角三角形 3. 一条边上的一条边上的 等于这条边的一半的三角形是直角三角等于这条边的一半的三角形是直角三角 形（应用时需证明）形（应用时需证明） 4. 勾股定理逆定理：如果三角形的三边长分别为勾股定理逆定理：如果三角形的三边长分别为a，b，c，若，若 满足满足 ，那么这个三角形为直角三角形，那么这个三角形为直角三角形 【满分技法】【满分技法】1.勾股定理的逆定理是判定直角三角形的重要方法，勾股定理的逆定理是判定直角三角形的重要方法， 要先确定最长边，然后验证两条短边的平方和是否等于最长边的平要先确定最长

8、边，然后验证两条短边的平方和是否等于最长边的平 方；方；2.已知直角三角形的斜边中点时，常添加辅助线为已知直角三角形的斜边中点时，常添加辅助线为“作斜边中作斜边中 线，利用直角三角形的斜边中线等于斜边一半线，利用直角三角形的斜边中线等于斜边一半”进行求解进行求解 互余互余 中线中线 a2b2c2 面积计算公式：面积计算公式：S ab ch（a，b为直角边，为直角边，h为斜边为斜边c上的高）上的高） 1 2 1 2 图 返回思维导图返回思维导图 等腰直角三角形等腰直角三角形 的性质与判定的性质与判定 （如图（如图） 性质性质 1.两直角边相等，即两直角边相等，即AC . 2.两锐角相等且等于两锐

9、角相等且等于45，即，即A B45 判定判定 1.顶角为顶角为 的等腰三角形的等腰三角形 2.有两个角为有两个角为 的三角形的三角形 3.有一个角为有一个角为 的直角三角形的直角三角形 4.两直角边两直角边 的直角三角形的直角三角形 图 面积计算公式：面积计算公式：S ch ab a2 b2（a，b为直角边，为直角边， h是斜边是斜边c上的高）上的高） 1 2 1 2 1 2 1 2 BC 直角直角(或或90) 45 45 相等相等 返回思维导图返回思维导图 成都成都10年真题年真题+2019诊断检测诊断检测 等腰三角形的性质及判定等腰三角形的性质及判定（10年年4考，且考，且2017年在几何

10、图形综年在几何图形综 合题中涉及合题中涉及） 命题点命题点 1 1. (2013成都成都4题题3分分)如图，在如图，在ABC中，中，BC，AB5，则，则AC的长为的长为( ) A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 第1题图 D 2 . (2019成都成都12题题4分分)如图，在如图，在ABC中，中，ABAC，点，点D，E都在边都在边BC上，上， BADCAE，若，若BD9，则，则CE的长为的长为_ 【思维教练】由【思维教练】由ABAC，利用等腰三角形等边对等角可得，利用等腰三角形等边对等角可得BC，结合，结合 BAD CAE，可得，可得ABD ACE，进而得到，进而得到CEBD，即可求得，即

11、可求得CE的的 长长 第2题图 9 满分技法满分技法 1. 在等腰三角形中，已知顶角的平分线，则可得到底边的中线和高，即可得到在等腰三角形中，已知顶角的平分线，则可得到底边的中线和高，即可得到 垂直和中点，再利用这些条件，寻找所要求证的边或角的关系垂直和中点，再利用这些条件，寻找所要求证的边或角的关系 2. 要证明一个三角形是等边三角形，可考虑：要证明一个三角形是等边三角形，可考虑：(1)直接证明三条边相等；直接证明三条边相等；(2)证明证明 三个角相等；三个角相等；(3)先证明是等腰三角形，再证明含有先证明是等腰三角形，再证明含有60的角的角 3. 等腰三角形的判定定理是证明两条线段相等的重

12、要定理，是将三角形中角的等腰三角形的判定定理是证明两条线段相等的重要定理，是将三角形中角的 相等关系转化为边的相等关系的重要依据一般情况下，在同一个三角形中，相等关系转化为边的相等关系的重要依据一般情况下，在同一个三角形中， 要证边相等，先证角相等；要证角相等，先证边相等要证边相等，先证角相等；要证角相等，先证边相等 3. (2018成都成都11题题4分分)等腰三角形的一个底角为等腰三角形的一个底角为50，则它的顶角的度数为，则它的顶角的度数为_ 80 拓展训练拓展训练 4. 等腰三角形两边分别为等腰三角形两边分别为2，3，则该三角形的周长是，则该三角形的周长是( ) A. 7 B. 8 C.

13、 7或或8 D. 9 5. 如图，在如图，在ABC中，中，ABAC，M是边是边BC的中点，的中点，BD平分平分 ABC，交，交AM于点于点E，交，交AC于点于点D，若，若AED64，则，则 BAC的度数为的度数为( ) A. 32 B. 64 C. 76 D. 82 第5题图 C C 6. 如图，在如图，在ABC中，中，ABAC，点，点D、E、F分别为分别为AB、BC、AC边上的点，且边上的点，且 BECF，BDCE. (1)求证：求证：DEF是等腰三角形；是等腰三角形； (2)当当A40时，求时，求DEF的度数的度数 第6题图 (1)证明：证明：ABAC， BC， 在在DBE和和ECF中，中

14、， BECF BC， BDCE DBE ECF(SAS)， DEEF， DEF是等腰三角形；是等腰三角形； (2)如解图，如解图，DBE ECF， 13，24， ABAC，A40， B (18040)70. 12110. 32110. DEF70. 第6题解图 1 2 直角三角形的性质及判定直角三角形的性质及判定（常在几何图形综合题中涉及常在几何图形综合题中涉及） 命题点命题点 2 基础训练基础训练 7. 如图，在如图，在ABC中，中，ACB90，BC的垂直平分线交的垂直平分线交 AB于点于点D，垂足为，垂足为E，连接，连接CD，当，当AB10，B30时，时， ACD的周长为的周长为( ) A

15、. 12 B. 14 C. 15 D. 16 8. 满足下列条件的满足下列条件的ABC不是直角三角形的是不是直角三角形的是( ) A. BC1，AC2，AB B. BC1，AC2，AB C. BCACAB345 D. ABC345 第7题图 C D 35 9 . 如图，在如图，在ABC中，中，AB4，AC3，BC5，DE是是BC的垂直平分线，的垂直平分线，DE 分别交分别交BC、AB于点于点D、E.求求AE的长的长 【思维教练】连接【思维教练】连接EC，根据垂直平分线的性质易得，根据垂直平分线的性质易得ECBE，设，设AEx，则，则 可将可将CE用用x表示出来，在表示出来，在RtACE中，利用

16、勾股定理即可求解中，利用勾股定理即可求解 第9题图 解：如解图，连接解：如解图，连接CE. 在在ABC中，中，AB4，AC3，BC5， 又又423252， 即即AB2AC2BC2， ABC是直角三角形，是直角三角形，A90， DE是是BC的垂直平分线，的垂直平分线， ECEB， 设设AEx，则，则EC4x. 在在RtACE中，中，x232(4x)2. 解得解得x ，即，即AE的长是的长是 . 第9题解图 7 8 7 8 教材改编题教材改编题 (北师八下北师八下P35复习题第复习题第16题题)如图，在如图，在ABC中，中，ABAC，AB的垂直平分线交的垂直平分线交 AB于点于点D，交，交AC于点

17、于点E.已知已知BCE的周长为的周长为8，ACBC2，求，求AB与与BC的长的长 教材母题1图 教材母题教材母题 1 解：解：BCE的周长为的周长为8， BEECBC8. DE是是AB的垂直平分线，的垂直平分线， AEBE， AEECBC8， 即即ACBC8， ACBC2， AC5，BC3， ABAC， AB5. 对接中考对接中考 1. (2019南充南充)如图，在如图，在ABC中，中，AB的垂直平分线交的垂直平分线交AB于点于点D，交，交BC于点于点E， 若若BC6，AC5，则，则ACE的周长为的周长为( ) A. 8 B. 11 C. 16 D. 17 第1题图 B (北师八下北师八下P7

18、7第第1题题)如图，在如图，在RtABC中，中，A50，点，点D在斜边在斜边AB上，如上，如 果果ABC经过旋转后与经过旋转后与EBD重合，那么这一旋转的旋转中心是哪个点？旋转重合，那么这一旋转的旋转中心是哪个点？旋转 角是多少度？角是多少度？ 解：解：ACB90，A50， ABC905040， 由旋转的性质得由旋转的性质得RtABCRtEBD， ABEB，EBDABC40， 旋转中心是旋转中心是B点，旋转角是点，旋转角是EBD40. 教材母题2图 教材母题教材母题 2 对接中考对接中考 2. (2019眉山眉山)如图，在如图，在RtABC中，中，B90，AB5，BC12，将，将ABC绕绕 点点A逆时针旋转得到逆时针旋转得到ADE，使得点，使得点D落在落在AC上，则上，则tanECD的值为的值为_ 第2题图 3 2 点击链接至练习册点击链接至练习册 W