第三节反比例函数的图象与性质（九年级 中考数学复习）.ppt

1、第三节第三节 反比例函数的图象与性质反比例函数的图象与性质 ( (每年每年12题，题，1014分分) ) 目 录 考点精讲考点精讲 成都成都10年真题年真题+2019诊断检测诊断检测 教材改编题教材改编题 中考试题中的核心素养中考试题中的核心素养 【对接教材】北师：九上第六章北师：九上第六章P149P157. 考点精讲考点精讲 反比例函数 的图象 与性质 反比例函数系数 k的几何意义 反比例函数 表达式的确定 k的几何意义 待定系数法 利用k的几何意义求解 根据k的几何意义 计算图形面积 反比例函数 及其应用 反比例函数的反比例函数的 图象与性质图象与性质 表达式表达式 y （k为常数，k ）

2、，反比例函数图象上的点的 横、纵坐标之积恒为k k k 0 k 0 图象（图象（ 草图）草图） k x 0 返回思维导图返回思维导图 反比例函数的反比例函数的 图象与性质图象与性质 所在象限所在象限 第第 象限（象限（x，y同号）同号） 第第 象限（象限（x，y异号）异号） 增减性增减性 在每一象限内，在每一象限内，y随随x的增大而的增大而 . 在每一象限内，在每一象限内，y随随x的增大而的增大而 . 对称性对称性 关于直线关于直线yx，yx成轴对称；关于成轴对称；关于 成中心对称成中心对称, 注：因为正比例函数和反比例函数图象都关于原点对称，故注：因为正比例函数和反比例函数图象都关于原点对称

3、，故 在同一直角坐标系中，正比例函数与反比例函数的图象若有在同一直角坐标系中，正比例函数与反比例函数的图象若有 交点，则两个交点关于原点对称交点，则两个交点关于原点对称 一、三一、三 二、四二、四 减小减小 增大增大 原点原点 返回思维导图返回思维导图 反比例函数反比例函数 中比例系数中比例系数k 的几何意义的几何意义 1.k的几何意义：在反比例函数的几何意义：在反比例函数y 的图象上任取一点的图象上任取一点 P（x，y），过这一点分），过这一点分, 别作别作x轴，轴，y轴的垂线轴的垂线PM、PN， 与坐标轴围成的矩形与坐标轴围成的矩形PMON的的, 面积面积S|xy| . 2.计算与双曲线计

4、算与双曲线y （k0）上的点有关的图形面积）上的点有关的图形面积 k x k x S AOP . S APB . S APP . （P为为P关于原关于原 点的对称点）点的对称点） S APP , （P为为P关于原点关于原点 的对称点）的对称点） |k| |k| 2 |k| 2 |k| 2|k| 返回思维导图返回思维导图 反比例函数解反比例函数解 析式的确定析式的确定 1.待定系数法待定系数法 （1）设所求反比例函数解析式为）设所求反比例函数解析式为y （k0） （2）找出图象上的一点）找出图象上的一点P（a，b）代入）代入y 中中 （3）确定反比例函数解析式）确定反比例函数解析式y 2.利用反

5、比例函数中比例系数利用反比例函数中比例系数k的几何意义求解：若题中已知面积时的几何意义求解：若题中已知面积时 考虑用考虑用k的几何意义，由面积得的几何意义，由面积得|k|，再结合图象所在象限判断，再结合图象所在象限判断k的正的正 负，从而得出负，从而得出k的值，代入解析式即可的值，代入解析式即可 k x k x ab x 返回思维导图返回思维导图 成都成都10年真题年真题+2019诊断检测诊断检测 反比例函数的图象与性质反比例函数的图象与性质（仅（仅2016年单独考查）年单独考查） 命题点命题点 1 1. （2016成都成都13题题4分）已知分）已知P1（x1，y1），），P2（x2，y2）两

6、点都在反比例函数）两点都在反比例函数 y 的图象上，且的图象上，且x1x20，则，则y1 y2. 2 x 拓展训练拓展训练 2. 若反比例函数若反比例函数y 的图象位于二、四象限，则的图象位于二、四象限，则m的取值范围是（的取值范围是（ ） A. m B. m C. m D. m 13m x 1 3 1 3 1 3 1 3 D 3. 对于反比例函数对于反比例函数y ，下列说法不正确的是（，下列说法不正确的是（ ） A. 函数值函数值y随随x的增大而增大的增大而增大 B. 图象在第二、四象限图象在第二、四象限 C. 当当k2时，它的图象经过点（时，它的图象经过点（5，1） D. 它的图象关于原点

7、对称它的图象关于原点对称 2 1k x A 反比例函数与一次函数结合反比例函数与一次函数结合（每年（每年12题）题） 命题点命题点 2 类型一类型一 函数值大小的计算函数值大小的计算（10年年5考）考） 4. （2011成都成都B卷卷25题题4分）在平面直角坐标系分）在平面直角坐标系xOy中，已知反比例函数中，已知反比例函数y （k0） 满足：当满足：当x0时，时，y1与与y2的大小的大小. 第5题图 解：解：(1) 一次函数一次函数y1x1的图象经过点的图象经过点A(m，2)， 2m1，解得，解得m1， 点点A的坐标为的坐标为(1，2)(3分分) 反比例函数反比例函数y2 的图象经过点的图象

8、经过点A(1，2)， 2 ，解得，解得k2， 反比例函数的表达式为反比例函数的表达式为y2 ；(5分分) k x k 1 2 x k x (2)如解图，过点如解图，过点A向向x轴作垂线，由于点轴作垂线，由于点A坐标为坐标为(1，2)，故由图象可知：，故由图象可知： 当当0x1时，时，y11时，时，y1y2.(10分分) 第5题解图 类型二类型二 公共点问题公共点问题（10年年2考）考） 6. （2013成都成都B卷卷23题题4分）若关于分）若关于t的不等式组的不等式组 恰有三个整数解，则关恰有三个整数解，则关 于于x的一次函数的一次函数y xa的图象与反比例函数的图象与反比例函数y 的图象的公

9、共点的个数的图象的公共点的个数 为为 . 2t14 ta0 1 4 32a x 0个或个或1个个 7. （2014成都成都19题题10分）如图，一次函数分）如图，一次函数ykx5（k为常数，为常数， 且且k0）的图象与反比例函数）的图象与反比例函数y 的图象交于的图象交于A（2，b），）， B两点两点. （1）求一次函数的表达式；）求一次函数的表达式； 8 x 第7题图 解：解：(1)点点A(2，b)在反比例函数在反比例函数y 的图象上，的图象上， 把点把点A(2，b)代入代入y 中得中得b ，解得，解得b4，(1分分) 点点A的坐标为的坐标为(2，4)(2分分) 又又点点A在一次函数在一次函

10、数ykx5的图象上，的图象上， 把点把点A(2，4)代入代入ykx5中得中得 42k5，解得，解得k ，(4分分) 一次函数的表达式为一次函数的表达式为y x5；(5分分) 8 x 8 x 8 2 1 2 1 2 （2）若将直线）若将直线AB向下平移向下平移m（m0）个单位长度后与反比例函数的图象有且只）个单位长度后与反比例函数的图象有且只 有一个公共点，求有一个公共点，求m的值的值. 1 2 8 x (2)直线直线AB向下平移向下平移m个单位长度后，直线解析式为个单位长度后，直线解析式为y x5m， 由于平移后的直线与反比例函数由于平移后的直线与反比例函数y 只有一个公共点，可得方程组只有一

11、个公共点，可得方程组 8 y x 1 5 2 yxm 化为关于化为关于x的方程为的方程为 x2(5m)x80， 反比例函数与一次函数的图象只有一个公共点，反比例函数与一次函数的图象只有一个公共点， b24ac0， 即即(5m)2160，解得，解得m1或或m9.(9分分) m的值为的值为1或或9.(10分分) ， 1 2 类型三类型三 反比例函数与几何图形结合反比例函数与几何图形结合（10年年8考）考） 8 . （2014成都成都B卷卷25题题4分）如图，在平面直角坐标系分）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线中，直线y x与双曲与双曲 线线y 相交于相交于A，B两点，两点，C是第一象限内双曲线

12、上一点，连接是第一象限内双曲线上一点，连接CA并延长交并延长交y轴轴 于点于点P，连接，连接BP，BC.若若PBC的面积是的面积是20，则点，则点C的坐标为的坐标为 . 3 2 6 x 第8题图 (14 3 ，9 7) 【思维教练】要求点【思维教练】要求点C的坐标，可先设的坐标，可先设BC 与与y轴交于点轴交于点D，根据，根据S PBC S PBD S PCD 20求解求解.已知直线已知直线AB与双曲线的表达式，易得与双曲线的表达式，易得A、B两点的坐标，设点两点的坐标，设点C的的 坐标为（坐标为（x0， ），利用待定系数法易将），利用待定系数法易将AC的表达式用的表达式用x0表示，进而将点表

13、示，进而将点P的坐的坐 标用标用x0表示，同理将表示，同理将BC的表达式用的表达式用x0表示，将点表示，将点D的坐标用的坐标用x0表示，进而求得表示，进而求得PD， 并将并将S PBC用 用x0表示出来，解方程即可求解表示出来，解方程即可求解. 0 6 x 9. （2012成都成都B卷卷24题题4分）如图，在平面直角坐标系分）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线中，直线AB与与x轴、轴、y轴轴 分别交于点分别交于点A，B，与反比例函数，与反比例函数y （k为常数，且为常数，且k0）在第一象限的图象交）在第一象限的图象交 于点于点E，F.过点过点E作作EMy轴于点轴于点M，过点，过点F作作FNx

14、轴于点轴于点N，直线，直线EM与与FN交交 于点于点C. 若若 （m为大于为大于1的常数）的常数）.记记CEF的面积为的面积为S1，OEF的面积为的面积为S2， 则则 （用含（用含m的代数式表示）的代数式表示）. k x 1BE BFm 第9题图 m1 m1 1 2 S S 10. （2018成都成都B卷卷25题题4分）设双曲线分）设双曲线y （k0）与直线）与直线yx交于交于A，B两点两点 （点（点A在第三象限），将双曲线在第一象限的一支沿射线在第三象限），将双曲线在第一象限的一支沿射线BA的方向平移，使其经的方向平移，使其经 过点过点A，将双曲线在第三象限的一支沿射线，将双曲线在第三象限的

15、一支沿射线AB的方向平移，使其经过点的方向平移，使其经过点B，平移，平移 后的两条曲线相交于后的两条曲线相交于P，Q两点，此时我们称平移后的两条曲线所围部分（如图中两点，此时我们称平移后的两条曲线所围部分（如图中 阴影部分）为双曲线的阴影部分）为双曲线的“眸眸”，PQ为双曲线的为双曲线的“眸径眸径”，当双曲线，当双曲线y （k0）的眸）的眸 径为径为6时，时，k的值为的值为 . k x k x 3 2 第10题图 11 . （2017成都成都19题题10分）如图，在平面直角坐标系分）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知正比例函数中，已知正比例函数y x 的图象与反比例函数的图象与反比例函数y

16、的图象交于的图象交于A（a，2），），B两点两点. （1）求反比例函数的表达式和）求反比例函数的表达式和B点的坐标；点的坐标； （2）P是第一象限内反比例函数图象上一点，过点是第一象限内反比例函数图象上一点，过点P作作y轴的平行线，交直线轴的平行线，交直线AB于于 点点C，连接，连接PO，若，若POC的面积为的面积为3，求点，求点P的坐标的坐标. 1 2 k x 第11题图 【思维教练】（【思维教练】（1）要求反比例函数的表达式，需先求得点）要求反比例函数的表达式，需先求得点A的坐标，将点的坐标，将点A的纵的纵 坐标代入正比例函数坐标代入正比例函数y x中，即可求得点中，即可求得点A的横坐标，

17、进而求得反比例函数的的横坐标，进而求得反比例函数的 表达式，联立正比例函数和反比例函数表达式，即可求得表达式，联立正比例函数和反比例函数表达式，即可求得B点坐标；（点坐标；（2）设点）设点P 的横坐标为的横坐标为m，由（，由（1）知反比例函数的表达式，进而可将点）知反比例函数的表达式，进而可将点P的坐标用的坐标用m表示出表示出 来，由来，由PCy轴，可知轴，可知P、C两点的横坐标相同，同理将点两点的横坐标相同，同理将点C的坐标用的坐标用m表示出来，表示出来， 根据根据S PCO 3即可求解即可求解. 1 2 解：解：(1)A(a，2)在正比例函数在正比例函数y x的图象上，将的图象上，将A(0

18、，2)代入反比例函数表代入反比例函数表 达式得达式得2 a， a4， A(4，2)，(1分分) 把把A(4，2)代入反比例函数代入反比例函数y 中，得中，得k4(2)8， 反比例函数的表达式为反比例函数的表达式为y ，(3分分) 1 2 1 2 k x 8 x1 2 yx 8 y x x14 y12 解得解得 (舍去舍去)， ， B(4，2)；(5分分) 联立方程组联立方程组 ， x24 y22 1 2 8 m (2)设点设点P的坐标为的坐标为(m， )， 点点C的坐标为的坐标为(m， m)， PC| m|， S POC PC xP，即，即3 | m| m，(7分分) 上式可整理为上式可整理为

19、|8 m2|6， 解得解得m2或或m2 ， P在第一象限，在第一象限， m0， P1(2，4)，P2(2 ， )(10分分) 8 m 1 2 8 m 1 2 1 2 1 2 1 2 7 7 4 7 7 12. （2019成都成都19题题10分）如图，在平面直角坐标系分）如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数中，一次函数y x5和和 y2x的图象相交于点的图象相交于点A，反比例函数，反比例函数y 的图象经过点的图象经过点A. （1）求反比例函数的表达式；）求反比例函数的表达式； （2）设一次函数）设一次函数y x5的图象与反比例函数的图象与反比例函数y 的图象的另一个交点为的图象的另一个交点为

20、B， 连接连接OB，求，求ABO的面积的面积. k x 1 2 1 2 第12题图 k x 解：解：(1)联立一次函数联立一次函数y x5与正比例函数与正比例函数y2x得得 ， 解得解得 ， 点点A的坐标为的坐标为(2，4) 反比例函数反比例函数y 的图象经过点的图象经过点A， k248. 反比例函数的表达式为反比例函数的表达式为y ；(5分分) 1 2 y1 2x5 y2xx2 y4 k x 8 x 点点B的坐标为的坐标为(8，1) AE4，BD1. 令令y x50，解得，解得x10， 点点C的坐标为的坐标为(10，0) CO10. S AOB S AOC S BOC OC AE OC BD

21、 104 10115.(10分分) 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 5 2 yx 8 y x (2)如解图，设直线如解图，设直线AB与与x轴交于点轴交于点C，分别过点，分别过点A，B作作x轴的垂线，垂足记为轴的垂线，垂足记为E，D. 联立得联立得 ， 解得解得 或或 ， x2 y4 x8 y1 第12题解图 13. （2018成都成都19题题10分）如图，在平面直角坐标系分）如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数中，一次函数yxb的的 图象经过点图象经过点A（2，0），与反比例函数），与反比例函数y （x0）的图象交于）的图象交于B（a，4）. （1）求一次函数和反比例函数的表达

22、式；）求一次函数和反比例函数的表达式； （2）设）设M是直线是直线AB上一点，过上一点，过M作作MNx轴，交反比例函数轴，交反比例函数y （x0）的图）的图 象于点象于点N，若，若A，O，M，N为顶点的四边形为平行四边形，求点为顶点的四边形为平行四边形，求点M的坐标的坐标. k x k x 第13题图 解：解：(1)一次函数一次函数yxb的图象经过点的图象经过点A(2，0)， 2b0， b2， 一次函数的表达式为一次函数的表达式为yx2. 一次函数与反比例函数一次函数与反比例函数y (x0)交于点交于点B(a，4)， a24， a2， B(2，4)， 将点将点B(2，4)代入反比例函数代入反比

23、例函数y 得，得，k8， 反比例函数的表达式为反比例函数的表达式为y (x0)；(4分分) k x k x 8 x (2)设设M(m2，m)，N( ，m)，当，当MNAO且且MNAO时，以时，以A，O，M，N为为 顶点的四边形是平行四边形，顶点的四边形是平行四边形， 即即| (m2)|2且且m0， 解得解得m2 或或m2 2， 点点M的坐标为的坐标为(2 2，2 )或或(2 ，2 2)(10分分) 8 m 8 m 23 2233 14. （2015成都成都19题题10分）如图，一次函数分）如图，一次函数yx4的图象与反比例函数的图象与反比例函数y （k为常数，且为常数，且k0）的图象交于）的图

24、象交于A（1，a），），B两点两点. （1）求反比例函数的表达式及点）求反比例函数的表达式及点B的坐标；的坐标； （2）在）在x轴上找一点轴上找一点P，使，使PAPB的值最小，求满足条件的点的值最小，求满足条件的点P的坐标及的坐标及PAB 的面积的面积. k x 第14题图 解：解：(1)点点A(1，a)在一次函数在一次函数yx4的图象上，的图象上， a143， A(1，3)，(1分分) 又又点点A在反比例函数在反比例函数y 的图象上，的图象上， 3 ，即，即k3， 反比例函数的表达式为反比例函数的表达式为y ，(2分分) k x k 1 3 x 联立得联立得 ，(3分分) yx4 3 y x

25、 解得解得 或或 (舍去舍去)， x11 y13 x23 y21 点点B(3，1)；(5分分) (2)如解图，作点如解图，作点B关于关于x轴的对称点轴的对称点B，则点，则点B坐标为坐标为(3，1)， 连接连接AB交交x轴于点轴于点P，则点，则点P即为所求，即为所求，(6分分) 点点A(1，3)，点，点B(3，1)， 设直线设直线AB的解析式为的解析式为y2k2xb(k20)， 则有则有 ，解得，解得 ， 直线直线AB的解析式为的解析式为y22x5，(7分分) 令令y20，解得点，解得点P( ，0)，(8分分) 过点过点P作作PQ垂直于垂直于x轴，交直线轴，交直线AB于点于点Q，则点，则点Q(

26、， )，(9分分) S PAB S PBQ S PAQ (xBxQ) PQ (xQxA) PQ (xBxA) PQ 2 .(10分分) 3k2b 13k2b k22 b5 5 2 5 2 3 2 1 2 1 2 1 2 1 2 2 3 2 3 第14题解图 15. （2016成都成都19题题10分）如图，在平面直角坐标系分）如图，在平面直角坐标系xOy中，正比例函数中，正比例函数ykx的图的图 象与反比例函数象与反比例函数y 的图象都经过点的图象都经过点A（2，2）. （1）分别求这两个函数的表达式；）分别求这两个函数的表达式； （2）将直线）将直线OA向上平移向上平移3个单位长度后与个单位长

27、度后与y轴交于点轴交于点B，与反比例函数图象在第四，与反比例函数图象在第四 象限的交点为象限的交点为C，连接，连接AB，AC，求点，求点C的坐标及的坐标及ABC的面积的面积. m x 第15题图 解：解：(1)ykx和和y 都经过点都经过点A(2，2)， 22k，2 ， 得得k1，m4，(3分分) 这两个函数的表达式分别为这两个函数的表达式分别为yx，y ；(5分分) m x m 2 4 x (2)如解图，连接如解图，连接OC，将直线，将直线OA：yx向上平移向上平移3个单位长度后得到的直线个单位长度后得到的直线BC 的表达式为的表达式为yx3.(6分分) B(0，3)， 联立联立 ，解得，解

28、得 或或 (舍去舍去)， 故点故点C的坐标为的坐标为(4，1)，(8分分) OABC，OB3，且，且BC为为OBC与与ABC的一条公共边，的一条公共边， S ABC S BOC OB xC 346.(10分分) yx3 4 y x x4 y11 x21 y24 1 2 1 2 第15题解图 教材改编题教材改编题 1. （北师九上（北师九上P155随堂练习第随堂练习第2题改编）在下列四个反比例函数中：题改编）在下列四个反比例函数中：y ， y ，y ，y ，在其图象所在象限内，在其图象所在象限内，y的值随的值随x值的增大而减值的增大而减 小的是（小的是（ ） A. B. C. D. 1 2x 0

29、.3 x 10 x 7 100 x 2. （北师九上（北师九上P157习题习题6.3第第2题改编）已知点（题改编）已知点（x1，y1），（），（x2，y2），（），（x3，y3），）， （x4，y4）都在反比例函数）都在反比例函数y 的图象上，且的图象上，且0x1x2，x4x30，用，用“”将将y1，y2， y3，y4连接起来是：连接起来是： . 1 x y3y4y2y1 C 3. （北师九上（北师九上P162复习题第复习题第11题改编）一次函数题改编）一次函数ykxb的图象与反比例函数的图象与反比例函数 y 的图象相交于的图象相交于A（1，m），），B（n，1）两点）两点. （1）这个一次函数的表达式为）这个一次函数的表达式为 ； （2）根据函数图象写出使一次函数值大于反比例函数值的）根据函数图象写出使一次函数值大于反比例函数值的x的取值范围的取值范围 为为 . 2 x yx1 x1或或0 x2 点击链接至练习册点击链接至练习册 W