第22章 一元二次方程（九年级数学上册(华东师大版)）.doc

1、第 22 章 一元二次方程 221 一元二次方程 1知道一元二次方程的意义，能熟练地把一元二次方程整理成一般形式 ax2bxc 0(a0) 2在分析、揭示实际问题的数量关系并把实际问题转化为数学模型(一元二次方程)的 过程中， 使学生感受方程是刻画现实世界数量关系的工具， 增加对一元二次方程的感性认识 重点 判定一个数是否是方程的根 难点 由实际问题列出的一元二次方程解出根后，还要考虑这些根是否确定是实际问题的根 一、情境引入 教师展示多媒体，引导学生列出方程，解决问题 问题 1 绿苑小区住宅设计，准备在每两幢楼房之间，开辟面积为 900 平方米的一块长 方形绿地，并且长比宽多 10 米，那么

2、绿地的长和宽各为多少？ 【分析】设长方形绿地的宽为 x 米，不难列出方程 x(x10)900 整理可得 x210 x9000.(1) 问题 2 学校图书馆去年年底有图书 5 万册，预计到明年年底增加到 7.2 万册，求这两 年的年平均增长率 解：设这两年的年平均增长率为 x. 我们知道，去年年底的图书数是 5 万册，则今年年底的图书数是 5(1x)万册， 同样，明年年底的图书数又是今年年底的(1x)倍，即 5(1x) (1x)5(1x)2万册， 可列得方程 5(1x)27.2， 整理可得 5x210 x2.20. (2) 二、探究新知 教师指出问题，学生小组讨论，归纳 问题 1 和问题 2 分

3、别归结为解方程(1)和(2)显然，这两个方程都不是一元一次方程， 那么这两个方程与一元一次方程的区别在哪里？它们有什么共同特点呢？ 共同特点： (1)都是整式方程； (2)只含有一个未知数； (3)未知数的最高次数是 2. 【归纳总结】上述两个整式方程中都只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是 2， 这样的方程叫做一元二次方程，通常可写成如下的一般形式 ax2bxc0(a，b，c 是已知 数，a0)其中 ax2叫做二次项，a 叫做二次项系数，bx 叫做一次项，b 叫做一次项系数， c 叫做常数项 例 1 判断下列方程是否为一元二次方程： 1x20； 2(x21)3y； 2x23x10; 1

4、x2 2 x0； (x3)2(x3)2; 9x254x. 解：是；不是；是；不是；不是；是 【教学说明】(1)一元二次方程为整式方程；(2)类似这样的方程要化简后才能判断 例 2 将方程(82x)(52x)18 化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项 系数、一次项系数及常数项 解：2x213x110；2，13，11. 三、练习巩固 1将下列方程化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项系数、一次项系数 及常数项 (1)5x214x； (2)4x281； (3)4x(x2)25； (4)(3x2)(x1)8x3. 解：(1)5x24x10；5，4，1； (2)4x2810；4，0，8

5、1； (3)4x28x250；4，8，25； (4)3x27x10；3，7，1. 2根据下列问题，列出关于 x 的方程，并将其化成一元二次方程的一般形式 (1)4 个完全相同的正方形的面积之和是 25，求正方形的边长 x； (2)一个长方形的长比宽多 2，面积是 100，求长方形的长 x； (3)把长为 1 的木条分成两段，使较短一段的长与全长的积，等于较长一段的长的平方， 求较短一段的长 x. 解：(1)4x225；4x2250； (2)x(x2)100；x22x1000； (3)x(1x)2；x23x10. 3若 x2 是方程 ax24x50 的一个根，求 a 的值 解：x2 是方程 ax

6、24x50 的一个根 4a850， 解得 a3 4. 四、小结与作业 小结 1只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是 2 的整式方程，叫做一元二次方程 2一元二次方程的一般形式为 ax2bxc0(a0)，一元二次方程的项及系数都是根 据一般式定义的，这与多项式中的项、次数及其系数的定义是一致的 3在实际问题转化为数学模型(一元二次方程)的过程中，体会学习一元二次方程的必 要性和重要性 布置作业 从教材相应练习和“习题 22.1”中选取 学习本课时，可让学生先自主探索再合作交流，小组内，小组之间充分交流后概括所得 结论，从而强化学生对一元二次方程的有关概念的认识，掌握建模思想，利用一元二次方程

7、 解决实际问题 222 一元二次方程的解法 222.1 直接开平方法和因式分解法 1会用直接开平方法解形如 a(xk)2b(a0，ab0)的方程 2灵活应用因式分解法解一元二次方程 3使学生了解转化的思想在解方程中的应用 重点 利用直接开平方法和因式分解法解一元二次方程 难点 合理选择直接开平方法和因式分解法较熟练地解一元二次方程 一、情境引入 教师提出问题，让学生说出作业中的解法，教师板书 问：怎样解方程(x1)2256? 解：方法 1：直接开平方，得 x1 16， 原方程的解是 x115，x217. 方法 2：原方程可变形为 (x1)22560， 方程左边分解因式，得(x116)(x116

8、)0， 即(x17)(x15)0， x170 或 x150， 原方程的解是 x115，x217. 二、探究新知 教师多媒体展示，学生板演，教师点评 例 1 用直接开平方法解下列方程： (1)(3x1)27； (2)y22y124； (3)9n224n1611. 解：(1)1 7 3 ； (2)1 2 6； (3)4 11 3 . 【教学说明】运用开平方法解形如(xm)2n(n0)的方程时，最容易出现的错误是漏 掉负根 例 2 用因式分解法解下列方程： (1)5x24x0； (2)3x(2x1)4x2； (3)(x5)23x15. 解：(1)x10，x24 5； (2)x12 3，x2 1 2；

9、 (3)x15，x22. 【教学说明】解这里的(2)(3)题时，注意整体划归的思想 三、练习巩固 教师多媒体展示出题目，由学生自主完成，分组展示结果，教师点评 1用直接开平方法解下列方程： (1)3(x1)260； (2)x24x45； (3)(x5)225； (4)x22x14. 解：(1)x11 2，x21 2； (2)x12 5，x22 5； (3)x10，x210； (4)x11，x23. 2用因式分解法解下列方程： (1)x2x0； (2)x22 3x0； (3)3x26x3; (4)4x21210； (5)(x4)2(52x)2. 解：(1)x10，x21； (2)x10，x22

10、3； (3)x1x21； (4)x111 2 ，x211 2 ； (5)x13，x21. 3把小圆形场地的半径增加 5 m 得到大圆形场地，场地面积增加了一倍，求小圆形场 地的半径 解：设小圆形场地的半径为 x m. 则可列方程 2x2(x5)2， 解得 x155 2，x255 2(舍去) 答：小圆形场地的半径为(55 2) m. 四、小结与作业 小结 1引导学生回忆用直接开平方法和因式分解法解一元二次方程的一般步骤 2对于形如 a(xk)2b(a0，ab0)的方程，只要把(xk)看作一个整体，就可转化 为 x2n(n0)的形式用直接开平方法解 3当方程出现相同因式(单项式或多项式)时，切不可

11、约去相同因式，而应用因式分解 法解 布置作业 从教材相应练习和“习题 22.2”中选取 本节课教师引导学生探讨直接开平方法和因式分解法解一元二次方程，让学生小组讨 论，归纳总结探究，掌握基本方法和步骤，合理、恰当、熟练地运用直接开平方法和因式分 解法，在整个教学过程中注意整体划归的思想 222.2 配方法 1使学生掌握配方法的推导过程，熟练地用配方法解一元二次方程 2在配方法的应用过程中体会“转化”的思想，掌握一些转化的技能 重点 使学生掌握用配方法解一元二次方程 难点 发现并理解配方的方法 一、情境引入 教师多媒体展示问题，引导学生解决问题 问题 要使一块矩形场地的长比宽多 6 m，并且面积

12、为 16 m2，场地的长和宽分别是多 少？ 解：设场地的宽为 x m，则长为(x6) m， 根据矩形面积为 16 m2，得到方程 x(x6)16， 整理得到 x26x160 二、探究新知 教师多媒体展示问题，用问题唤起学生的回忆，明确该问题的特点 探究 如何解方程 x26x160? 问题 1 通过上节课的学习，我们现在会解什么样的一元二次方程？举例说明 【教学说明】用问题唤起学生的回忆，明确我们现在会解的一元二次方程的特点：等号 左边是一个完全平方式，右边是一个非负常数，即(xm)2n(n0)，运用直接开平方法可 求解 问题 2 你会用直接开平方法解下列方程吗？ (1)(x3)225； (2)

13、x26x925； (3)x26x16； (4)x26x160. 教师重点讲解第 3 小题 解：移项，得 x26x16， 两边都加上_9_即_(6 2) 2_， 使左边配成 x2bx(b 2) 2的形式，得 _x_26_x_916_9_， 左边写成完全平方形式，得 _(x3)225_， 开平方，得_x3 5_，(降次) 即_x35_或_x35_， 解一次方程得 x1_2_，x2_8_ 【归纳总结】将方程左边配成一个含有未知数的完全平方式，右边是一个非负常数，从 而可以直接开平方求解，这种解一元二次方程的方法叫做配方法 教师展示课件，让学生自主完成以下例题，小组展示，教师点评归纳 例 1 填空：

14、(1)x28x_16_(x_4_)2； (2)x2x_ 1 4 _(x_ 1 2 _)2； (3)4x24x_1_(2x_1_)2. 例 2 解下列方程： (1)x26x50； (2)2x26x20； (3)(1x)22(1x)40. 解：(1)x11，x25； (2)x1 5 2 3 2，x2 5 2 3 2； (3)x1 52，x2 52. 【归纳总结】利用配方法解方程应该遵循的步骤： (1)把方程化为一般形式 ax2bxc0； (2)把常数项移到方程的右边； (3)方程两边同时除以二次项系数 a； (4)方程两边同时加上一次项系数一半的平方； (5)此时方程的左边是一个完全平方式，然后利

15、用直接开平方法来解 三、练习巩固 学生独立解答以下练习，小组内交流，上台展示并讲解思路 1用配方法解下列方程： (1)2x24x80； (2)x24x20； (3)x21 2x10. 2如果 x24xy26y z2130，求(xy)z的值 四、小结与作业 小结 1用配方法解一元二次方程的步骤 2用配方法解一元二次方程的注意事项 布置作业 从教材相应练习和“习题 22.2”中选取 本节课先创设情境导入一元二次方程的解法， 引导学生将要解决的问题转化为已学过的 直接开平方法来解，从而探索出配方法的一般步骤，熟练运用配方法来解一元二次方程 222.3 公式法 1理解一元二次方程求根公式的推导过程，了

16、解公式法的概念 2会熟练应用公式法解一元二次方程 重点 求根公式的推导和公式法的应用 难点 一元二次方程求根公式的推导 一、情境引入 用配方法解方程： (1)x23x20； (2)2x23x50. 解：(1)x11，x22； (2)无解 二、探究新知 教师多媒体展示问题，引导学生利用配方法推出求根公式，学生小组展示 如果这个一元二次方程是一般形式 ax2bxc0(a0)，你能否用上面配方法的步骤 求出它的两根？ 问题 已知 ax2bxc0(a0)，试推导它的两个根 x1b b 24ac 2a ， x2b b 24ac 2a . 【分析】因为前面具体数字的题目已做得很多，现在不妨把 a，b，c

17、也当成具体数字， 根据上面的解题步骤就可以推导下去 探究 一元二次方程 ax2bxc0(a0)的根由方程的系数 a，b，c 而定，因此： (1)解一元二次方程时，可以先将方程化为一般形式 ax2bxc0，当 b24ac0 时， 将 a，b，c 代入式子 xb b 24ac 2a 就得到方程的根，当 b24ac0 时，方程有两个不相等的实数根： x1b b 24ac 2a ，x2b b 24ac 2a ； (2)当 0 时，方程有两个相等的实数根： x1x2 b 2a； (3)当 0 时，一元二次方程有两个不相等的实数根； (2)0 时，一元二次方程有两个相等的实数根； (3)0 时，一元二次方

18、程无实数根 2运用根的判别式解决具体问题时，要注意二次项系数不为 0 这一隐含条件 布置作业 从教材相应练习和“习题 22.2”中选取 本课时创设情境，启发引导，让学生充分感受理解知识的产生和发展过程，在教师适时 点拨下，学生在发现归纳的过程中积极主动地去探索，发现数学规律，培养了学生的创新意 识、创新精神及思维能力 *22.2.5 一元二次方程的根与系数的关系 1引导学生在已有的一元二次方程解法的基础上，探索出一元二次方程根与系数的关 系及其关系的运用 2通过观察、实践、讨论等活动，经历从观察、判断到发现关系的过程 重点 一元二次方程根与系数之间的关系的运用 难点 一元二次方程根与系数之间的

19、关系的运用 一、情境引入 教师课件展示，提出问题，引导学生解决问题 1完成下列表格 方程 x1 x2 x1x2 x1x2 x25x60 2 3 5 6 x23x100 2 5 3 10 问题 你发现了什么规律？ 用语言叙述你发现的规律：(两根之和为一次项系数的相反数，两根之积为常数项) 设方程 x2pxq0 的两根为 x1，x2，用式子表示你发现的规律 (x1x2p，x1x2q.) 2完成下列表格 方程 x1 x2 x1x2 x1x2 2x23x20 2 1 2 3 2 1 3x24x10 1 3 1 4 3 1 3 问题 上面发现的结论在这里成立吗？(不成立) 请完善规律： 用语言叙述发现的

20、规律：(两根之和为一次项系数与二次项系数之比的相反数，两根 之积为常数项与二次项系数之比) 设方程 ax2bxc0 的两根为 x1，x2，用式子表示你发现的规律 (x1x2b a，x1x2 c a.) 二、探究新知 教师多媒体展示，提出问题，引导学生根据求根公式推出根与系数之间的关系 通过以上活动你发现了什么规律？对一般的一元二次方程 ax2bxc0(a0)这一规 律是否成立？试通过求根公式加以说明 ax2bxc0 的两根 x1_b b 24ac 2a _， x2b b 24ac 2a ，x1x2b a，x1x2 c a 教师课件展示问题，学生可自主完成，小组内交流，教师点评 例 1 不解方程

21、，求下列方程的两根之和与两根之积： (1)x26x150； (2)3x27x90； (3)5x14x2. 解：(1)x1x26，x1x215； (2)x1x27 3，x1x23； (3)x1x25 4，x1x2 1 4. 例 2 已知方程 2x2kx90 的一个根是3，求另一个根及 k 的值 解：另一个根为3 2，k3. 三、练习巩固 可由学生自主完成抢答，教师点评 1不解方程，求下列方程的两根之和与两根之积： (1)x23x15； (2)5x214x2； (3)x23x210； (4)4x21440； (5)3x(x1)2(x1)； (6)(2x1)2(3x)2. 2两根均为负数的一元二次方

22、程是( ) A7x212x50 B6x213x50 C4x221x50 Dx215x80 四、小结与作业 小结 1一元二次方程的根与系数的关系 2一元二次方程根与系数的关系成立的前提条件 布置作业 从教材相应练习和“习题 22.2”中选取 本节课先由学生探究特殊一元二次方程的根与系数的关系， 再猜想一般一元二次方程的 根与系数的关系，并从理论上加以推导证明，加深学生对知识的理解，培养学生严密的逻辑 思维能力 223 实践与探索 使学生利用一元二次方程的知识解决实际问题， 学会将实际问题转化为数学模型来建立 一元二次方程 重点 列一元二次方程解决实际问题 难点 寻找实际问题中的等量关系 一、情境

23、引入 问题 1 学校生物小组有一块长 32 m，宽 20 m 的矩形试验田，为了管理方便，准备沿 平行于两边的方向纵、横各开辟一条等宽的小道，要使种植面积为 540 m2，小道的宽应是 多少？ 问题 2 某药品经过两次降价，每瓶零售价由 56 元降为 31.5 元，已知两次降价的百分 率相同，求每次降价的百分率 二、探究新知 教师引导学生分析解决问题， 并让学生一题多解， 同时要注意检验所解得的结果是否符 合实际意义 问题 1 【分析】问题中的等量关系很明显，即抓住种植面积为 540 m2来列方程，设小 道的宽为 x m，如何来表示种植面积？ 方法一：如图，由题意得 322032x20 xx2

24、540. 方法二：如图，采用平移的方法更简便 由题意可得 (20 x)(32x)540， 解得 x150，x22， 由题意可得 x20，x2. 问题 2 【分析】这是增长率问题，问题中的数量关系很明了，即原价 56 元经过两次 降价降为 31.5 元，设每次降价的百分率为 x，由题意得 56(1x)231.5， 解得 x10.25，x21.75(舍去) 三、练习巩固 1青山村种的水稻前年平均每公顷产量为 7200 kg，今年平均每公顷产量为 8450 kg， 求水稻每公顷产量的年平均增长率 2用一根长 40 cm 的铁丝围成一个长方形，要求长方形的面积为 75 cm2. (1)求此长方形的宽；

25、 (2)能围成一个面积为 101 cm2的长方形吗？如能，说明围法； (3)若设围成一个长方形的面积为 S(cm2)， 长方形的宽为 x(cm)， 求 S 与 x 的函数关系式， 并求出当 x 为何值时，S 的值最大，最大面积为多少？ 四、小结与作业 小结 1列一元二次方程解应用题的步骤：审、设、找、列、解、答最后要检验根是否符 合实际意义 2用一元二次方程解决特殊图形问题时，通常要先画出图形，利用图形的面积找相等 关系列方程 3若平均增长(降低)率为 x，增长(或降低)前的基数是 a，增长(或降低)n 次后的量是 b， 则有 a(1 x)nb(常见 n2) 布置作业 从教材相应练习和“习题 22.3”中选取 本课时从创设情境入手， 让学生体会数学建模思想， 学会分析问题并利用一元二次方程 解决实际问题，举一反三，培养学生的创新意识和实践能力，同时通过合作交流培养学生参 与合作的意识