第2章 有理数 (华师版)七年级上册数学 .doc
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1、第 2 章 有理数 21 有理数 21.1 正数和负数 1明白生活中存在着无数表示相反意义的量,能举例说明; 2能体会引进负数的必要性和意义,建立正数和负数的数感 重点 理解正数和负数的意义 难点 体会现实生活中具有相反意义的量 一、创设情境 1回顾小学中有关数的范围及数的分类,指出小学中的“数”是为了满足生产和生活 的需要而产生发展起来的 如:0,1,2,3,1 4, 2 3. 2下面的温度怎样表示? 二、探究新知 1在日常生活中,常会遇到这样的一些量: 如:汽车向东行驶 3 千米和向西行驶 2 千米; 温度是零上 10 和零下 5 ; 收入 500 元和支出 237 元; 水位升高 1.2
2、 米和下降 0.7 米 像这样的日常生活中描述温度的零上多少摄氏度和_,水位的升高和 _, 现金的收入和_, 商品的买进和_等类 似的数量都具有相反的意义,我们称之为具有相反意义的量 2问题:你能再举几个其他的具有相反意义的量吗? 3定义:一般地,对于具有相反意义的量,我们可以把其中一种意义的量规定为正的, 用过去学过的数表示;把与它意义相反的量规定为负的,在过去学过的数(零除外)的前面放 上一个“”号来表示 如: 在表示温度时, 通常规定零上为“正”, 零下为“负”, 即零上 10 表示为 10 , 零下 5 表示为5 . (1)正数 小学学过的那些数(零除外),如 10,3,500,5.5
3、 等,都是_为了加以强调, _前可加上“”(读作“正”)号,但一般省略不写如 5 可以写成5,5 和 5 是 一样的 (2)负数 在正数的前面加上“”(读作“负”)号的数是_“”号不能省略,如: 5,0.36. (3)0 既不是_,也不是_(0 不再仅仅表示“没有”,也是正、负数的分界 点) 三、练习巩固 1(1)向东走 5 米记作5 米,那么向西走 6 米记作_; (2)获利 200 元记作200 元,那么亏损 100 元记作_; (3)前进 10 步记作_,那么后退 5 步记作_; (4)上升 10 米记作10 米,那么5 米表示_; (5)向东记为正,则12 米的意思是_; (6)海面下
4、200 米相当于_ 2如果规定一个只能上下移动的物体向上移动为正,那么: (1)物体移动3 m 表示什么意义? (2)物体移动 5 m 表示什么意义? 四、小结与作业 小结 1由于实际问题中存在着相反意义的量,所以要引入负数,这样数的范围就扩大了 2 正数就是以前学过的 0 以外的数(或在其前面加“”),负数就是在以前学过的 0 以 外的数前面加“” 作业 教材第 11 页练习第 3,4 题 本节课从学生的生活经验入手,逐步引导学生理解负数的产生是高于生活的实际需要, 我们可以用正数和负数来表示相反意义的量, 引导学生理解 0 的含义, 体验数学知识来源于 生活,又应用于生活,激发学生学习数学
5、的兴趣 21.2 有理数 1掌握有理数的概念,对有理数按照一定的标准进行分类,培养学生的分类能力; 2了解分类的标准与分类结果的相关性,初步了解“集合”的含义; 3体验分类是数学上常用的处理问题的方法 重点 正确理解有理数的概念 难点 正确理解分类的标准和按照一定的标准进行分类 一、创设情境 1我们已经学习了很多不同类型的数,通过上节课的学习,又知道了现在的数包括了 负数,下面请同学们在草稿纸上任意写出 3 个数(同时请 3 个同学在黑板上写出) 问题 1:观察黑板上的 9 个数,并给它们进行分类 2学生思考讨论和交流分类的情况 二、探究新知 1教师引导学生对写出的数字进行分类,鼓励学生自己概
6、括,最后归纳出我们已经学 过的 5 类不同的数,它们分别是正整数、零、负整数、正分数、负分数 2总结得出“整数”和“分数”统称“有理数” 3试一试:按照以上的分类,你能做出一张有理数的分类表吗?你能做出以上有理数 的分类是以什么为标准的吗?(是按照整数和分数来划分的) 4教师板书总结 分类一: 有理数 整数 正整数 零 负整数 分数 正分数 负分数 分类二: 有理数 正有理数 正整数 正分数 负有理数 负整数 负分数 5有关集合的简单知识 把一些数放在一起,就组成一个数的集合,简称数集所有有理数组成的数集叫做有理 数集类似地,所有整数组成的数集叫做整数集,所有负数组成的数集叫做负数集,所有正
7、整数与零组成的数集叫做非负整数集(即自然数集),如此等等 三、练习巩固 例 把下列各数填入相应的数集: 18,22 7 ,3.1416,0,2017,3 5,0.142857,95%. 四、小结与作业 小结 有理数按不同的标准可以分为哪几类? 作业 教材习题 2.1. 每个学生的认识水平不同, 思维水平也存在着明显的差异 教师课前预期的设计有既定 的目标, 这是必要的, 也是要充分考虑的 但怎样在实际课堂教学中更好地顺应学生的思维, 把握学生生成的一些问题并转化为有效的教学资源, 有赖于教师先进的教学理念、 良好的教 学素养和机智的驾驭技巧,这就要求教师在课堂上随时提醒自己,倾听学生的发言、关
8、注学 生的表情、关注学生的思维 22 数轴 22.1 数轴 1掌握数轴的三要素,能正确画出数轴;能将已知数在数轴上表示出来;能说出数轴 上已知点所表示的数; 2使学生受到把实际问题抽象成数学问题的训练,逐步形成应用数学的意识;对学生 渗透数形结合的思想方法; 3使学生初步了解数学来源于实践,反过来又服务于实践的辩证唯物主义观点 重点 正确掌握数轴画法和用数轴上的点表示有理数 难点 有理数和数轴上的点的对应关系 一、创设情境 1请大家看,这是一支温度计(展示温度计图片),它的用途大家是知道的,但是你会 读温度计吗?请同学们读出此时温度计所显示的温度 这样看来, 液面所在的刻度就表示此 时的温度,
9、 这说明温度计上的刻度与一些有理数建立了对应的关系, 也就是说温度计上的每 一个刻度都表示一个有理数 2在一条东西方向的马路上,有一个汽车站,汽车站东 3 m 和 7.5 m 处分别有一棵柳 树和一棵杨树,汽车站西 3 m 和 4.8 m 处分别有一棵槐树和一根电线杆,试画图表示这一情 境 二、探究新知 1观察温度计的刻度规律,你能发现什么? 学生观察温度计,从温度计上发现:刻度有正有负也有 0.结合有理数包含正数、零和负 数的特点,类比一条直线在什么样的条件下才能成为数轴,于是:因为有零,就必须在直线 上取一点,用这个点表示零(如图 1)我们把这个点叫做原点,用大写字母 O 表示,由温度 计
10、的刻度规律可知:原点的一侧表示正数,另一侧表示负数因而我们就规定原点的其中一 侧为正方向,那么另一侧就为负方向习惯上,当直线水平放置时,原点右方为正方向,原 点的左方为负方向,正方向的一侧我们用箭头表示(如图 2)现在同学们来猜想一下,正有 理数应该在图 2 的哪一个区域?负有理数呢? 知道正数在原点的右边, 那么我们用多长来表示1 呢?怎么办?我们需要规定一个单 位长度(如图 3)一旦表示 1 的点确定了,表示其他的有理数就好确定了我想请同学们举 例说明其他有理数点的确定(利用成倍的关系) 2这样能用来表示全体有理数的图形我们就找到了,我们把这种图形叫做数轴现在 我请同学们归纳一下数轴有哪几
11、个特点?(原点、正方向和单位长度)于是:规定了原点、正 方向和单位长度的直线叫做数轴 归纳数轴的规范画法: (1)三要素:原点、正方向和单位长度; (2)刻度要在直线上,且是细短线;数字在下,字母在上 3动手操作、感受数轴的画法、巩固对数轴的认识 教师活动设计:现在每一位同学都画一个数轴,根据你所画的数轴提出你的问题 学生活动设计:学生动手画数轴,在画的过程中可能有诸多问题,比如:数轴一定是水 平放置的吗?原点一定在最中间吗?单位长度究竟是什么样的一个长度?数轴可以画为射 线吗?然后学生进行交流,得到数轴规范的画法 三、练习巩固 1判断下列图形哪些是数轴? 2画出一个单位长度是 1 厘米的数轴
12、,并用刻度尺画出表示下列各数的点: 15, 0, 2, 2, 2.5. 3如图: 写出数轴上的点 A,B,C,D,E,F 表示的有理数 四、小结与作业 小结 1数轴的三要素是什么? 2在数轴上,正数和负数分别是怎样排列的? 作业 教材第 16 页习题第 2,3,4 题 本节课从生活中的实际入手,由温度计的具体形象,引出数轴的概念,总结归纳出数轴 的三要素和数轴上数字的排列规律要求学生学会画出数轴,学会在数轴上表示出有理数, 初步渗透数形结合的思想 22.2 在数轴上比较数的大小 1通过观察数轴上点的位置关系,初步学会利用数轴比较有理数的大小; 2初步认识图形和数量的对应关系 重点 负数和零的大
13、小比较 难点 如何启发学生自己得到有理数的大小比较的方法,并认识其合理性 一、创设情境 在小学,我们已知学会比较两个正数的大小,那么,引进负数后,怎样比较两个有理数 的大小呢?例如:1 与2 哪个大?1 与 0 哪个大?3 与4 哪个大? 二、探究新知 1探寻规律(教材 P17 探索) (1)请任意写出两个正数,在下面的数轴上画出表示它们的点 你所写的两个数是_,观察在数轴上表示它们的点,我们可以发现, 较大的数的对应点在较小的数的对应点的_边 (2)生活中,同学们能判断两个气温的高低吗? 某日哈尔滨的气温为9 ,泉州的气温为 12 ,该日_的气温较高; 把温度计如下图横放,我们可以发现,_的
14、气温会显示在右边 2总结规律(教材 P17 概括) 规律 1:把温度计横过来放,就像一条数轴,类似于气温的高低,我们可以知道,在数 轴上表示的两个数,右边的数总_左边的数 规律 2:从数轴上可以发现,表示正数的点都在原点的_,表示负数的点都在原 点的_,所以,我们说:正数都_零,负数都_零,正数都比负数 _ 3用“”、“”或“”填空: 1_2;1_0;3_4. 三、练习巩固 1判断下列各数是否存在?如果存在,把它们写出来 (1)最小的正整数:_, _; (2)最小的负整数:_, _; (3)最大的正整数:_, _; (4)最小的整数:_, _. 2如图所示的是数 a,b 在数轴上的位置,下列判
15、断正确的一项是( ) Aa1 Cb1 Db3,则|a3|_,|3a|_. 4若|a2|0,则 a_;若|b4|0,则 b_. 5计算:(1)|8|8|3|; (2)|6.5|5.5|. 6给出下列说法:互为相反数的两个数的绝对值相等;绝对值等于本身的数只有 正数;不相等的两个数绝对值不相等;绝对值相等的两个数一定相等其中正确的有 ( ) A0 个 B1 个 C2 个 D3 个 四、小结与作业 小结 1对绝对值概念的理解可以从其几何意义和代数意义两方面考虑从几何方面看,一 个数 a 的绝对值就是数轴上表示数 a 的点与原点的距离,它具有非负性;从代数方面看,一 个正数的绝对值是它本身,一个负数的
16、绝对值是它的相反数,零的绝对值是零 2求一个数的绝对值注意先判断这个数是正数还是负数 作业 教材第 24 页练习第 1,2,3 题 绝对值是中学数学中一个非常重要的概念, 它具有非负性, 在数学中有着广泛的应用 本 节从几何与代数的角度阐述绝对值的概念, 重点是让学生掌握求一个已知数的绝对值, 对绝 对值的几何意义、 代数定义的导出, 对“负数的绝对值是它的相反数”的理解是教学中的难 点 25 有理数的大小比较 1掌握有理数大小的比较方法,会利用绝对值比较两个负数的大小 2利用各种方法比较有理数的大小,培养逻辑思维能力 3情感体验:通过化归思想意识,让学生在学习新知识时与旧知识建立联系,学习新
17、 的数学知识,解决新的数学问题,养成全面分析的习惯;通过有趣的教学活动,体验教学活 动的探索性与创造性,并获得成功的体验,并在与同学的交流中培养协作精神 重点 运用法则,借助数轴比较两个有理数的大小 难点 利用绝对值概念比较两个负数的大小 一、创设情境 1我们怎样利用数轴比较两个有理数的大小呢? 2 我们应该怎么样去比较两个负数的大小呢?例如2 与5 哪个较大呢?用我们前面 所学的知识来比较,就是画出数轴,在数轴上标上2 与5 两个点,因为在数轴上右边的 数大于左边的数, 所以52; 根据“两个负数,绝对值大的反而小”,得出结论:25. 因此得出步骤: 分别求出两个负数的绝对值; 比较两个绝对
18、值的大小; 根据“两个负数,绝对值大的反而小”做出正确的判断 三、练习巩固 1大于4 的负整数的个数是( ) A2 个 B3 个 C4 个 D无数个 2冬季某天我国三个城市的最高气温分别是10 ,1 ,7 ,把它们从高到低 排列正确的是( ) A10 7 1 B7 10 1 C1 7 10 D1 10 7 3比较大小:3_2.(用“”“5?要讲清 楚这一点,利用数轴较直观,从特殊的例子到一般的规律 另外在讲解例题的时候,首先得强调是在两个负数的前提下,再比较绝对值,所以应先 看是怎样的两个数进行比较,正数之间的比较我们早已会了,我们也知道正数大于负数而 有时候我们也往往需要对一些数先进行化简再
19、比较, 这一点在练习中有很多同学还是没有注 意到 26 有理数的加法 26.1 有理数的加法法则 1了解有理数加法的意义,理解有理数加法法则的合理性; 2能运用有理数加法法则,正确进行有理数加法运算 重点 有理数的加法法则 难点 异号两数相加的法则 一、创设情境 1一位学生在一条东西向的跑道上,先走了 20 米,又走了 30 米,能否确定他现在位 于原来位置的哪个方向,与原来位置相距多少米? 2我们知道,求两次运动的总结果可以用加法来解答,可是上述问题不能得到确定 的答案,其原因是什么呢? 二、探究新知 1全班交流:将研究结果进行整理,得到以下几种情形为了把这一问题说得明确些, 现规定向东为正
20、,向西为负 (1)若两次都是向东走,则一共向东走了 50 米,他现在位于原来位置的东边 50 米处, 写成算式是(20)(30)50. 这一运算过程在数轴上可表示为如下图: (2)若两次都是向西走,则他现在位于原来位置的西边 50 米处,写成算式是(20)( 30)50. (3)若第一次向东走 20 米,第二次向西走 30 米,在数轴上表示如下图: 写成算式是(20)(30)10. 我们可以看到,这位同学位于原来位置的西边 10 米处 (4)若第一次向西走 20 米,第二次向东走 30 米,同样可结合数轴上表示可以看到,这 位同学位于原来位置的东边 10 米处,写成算式是(20)(30)10.
21、 小结:后两种情形中两个加数的正负号不同,通常可称异号 2请同学们再来试一试,把下列算式中的各个加数不妨仍可看作运动的方向和路程, 完成下列填空: (5)(3)( ); (4)(10)( ); (3)(8)( ); (8)3( ) 3你能发现得到的结果与两个加数的正负号及绝对值之间有什么关系吗? 4再看两种特殊情形: (5)第一次向西走了 20 米,第二次向东走了 20 米,写成算式是(20)(20)( ); (6)第一次向西走了 20 米,第二次没有走,写成算式是(20)0( ) 5从以上(1)(6)写出的算式中,你能探索总结出一些规律吗?由此可推出如下有理数 加法法则: (1)同号两数相加
22、,取与加数相同的正负号,并把绝对值相加; (2)绝对值不相等的异号两数相加,取绝对值较大的加数的正负号,并用较大的绝对值 减去较小的绝对值; (3)互为相反数的两个数相加得零; (4)一个数与零相加,仍得这个数 三、练习巩固 1计算: (1)10(4); (2)(9)7; (3)(15)(32); (4)(9)0; (5)100(99); (6)(0.5)4.4. 2填空: (1)( )(3)8; (2)( )(3)8; (3)(3)( )1; (4)(3)( )0. 3两个有理数相加,和是否一定大于每个加数? 四、小结与作业 小结 1今天这节课主要学习了什么内容?哪位同学来小结一下? 2从上
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