湖南省邵东县2017-2018学年高二数学上学期创高杯考试试题（理科）-(有答案,word版).doc

1、 - 1 - 湖南省邵东县 2017-2018学年高二数学上学期创高杯考试试题 理 一、选择题 (本大题共 12小题，每小题 5分，共 60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 ) 1“ ab 0”是“方程 ax2 by2 1表示双曲线”的 ( ) A充分非必要条件 B必要非充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 2 2017年 8月 1日是中国人民解放军建军 90 周年，中国人民银行发行了以此为主题的金银纪念币 .如图所示的是一枚 8克圆形金质纪念币，直径 22 毫米，面额 100元 .为了测算图中军旗部分的面积，现向 硬币内随机投掷 100粒芝麻，已知恰有 30 粒

2、芝麻落在军旗内，据此可估计军旗的面积大约是（ ） A. B. C. D. 3椭圆 x2 my2 1的焦点在 y 轴上，长轴长是短轴长的 2倍，则 m的值是 ( ) A 14 B 12 C 2 D 4 4某校选修乒乓球课程的学生中，高一年级有 30名，高二年级有 40 名现用分层抽样的方法在这 70名学生中抽取一个样本，已知在高一年级的学生中抽取了 6名，则在高二年级的学生中应抽取的人数为 ( ) A 6 B 8 C 10 D 12 5 已知命题: (0 , ), c os .22p x x x? ? ? ?则有关命题p的真假及p?的论述正确的是 A.假命题 ,0 0 0: ( 0 , ), c

3、 os .22p x x x? ? ? ? ?B.真命题 ,0 0 0: , , .C.假命题 ,0 0 0: ( 0 , ), c os .p x x x? ? ?D.真命题 ,0 0 0: , , .? ?6从装有 2个红球和 2个黑球的口袋内任取 2个球，那么互斥而不对立的两个事件是 ( ) A至少有一个黑球 与都是黑球 B至少有一个黑球与都是红球 - 2 - C至少有一个黑球与至少有 1个红球 D恰有 1个黑球与恰有 2个黑球 7若 611tan21co ssin ? ? ，则 ?2sin （ ） A 41? B 1211? C 41 D 1211 8若如图所示的程序框图输出的 S 的

4、值为 126，则条件 为 ( ) A n 5? B n 6? C n 7? D n 8? 9某几何体的三视图如图所示，则它的表面积是（） A 75? B 55? C.43D 7 25? 10设 F1F2是椭圆 E： 22 1( 0)xy abab? ? ? ?的左、右焦点， P为直线 32ax?上一点， F2PF1是底角为 30 的等腰三角形，则 E的离心率为 ( ) A ? B ? C 23 D 12 11 我国古代数学著作九章算术有如下问题：“今有蒲（水生植物名）生一日，长三尺；莞（植物名，俗称水葱、席子草）生一日，长一尺蒲生日自半，莞生日自倍问几何日而长等？”意思是：今有蒲生长 1 日，

5、长为 3 尺；莞生长 1 日，长为 1 尺蒲的生长逐日减半，莞的生长逐日增加 1 倍若蒲、莞长度相等，则所 需的时间约为（ ）（结果保留一位小数参考数据： ， ）（ ） A. 1.3 日 B. 1.5 日 C. 2.6 日 D. 2.8 日 12设 F为双曲线 22116 9xy?的左焦点，在 x轴上 F点的右侧有一点 A，以 FA 为直径的圆与双曲线左、右两支在 x 轴上方的交点分别为 M、 N，则 FN FMFA?的值为 ( ) A 25 B 52 C 45 D 54 二、填空题 (本大题共 4小题，每小题 5分，共 20分，将答案填在题中的横线上 ) 13在集合 ? ?( , ) 0 5

6、 0 4x y x y且 ， 内任取一个元素，能使代数式 3 4 12 0xy? 的概率为 _ - 3 - 14已知 2, 1ab?，且 ( 2 )a a b? ，则向量 a 与向量 b 的夹角是 15已知曲线 xxey? 在 0xx? 处的切线经过点 )2,1( ，则 ? 0)1( 020 xexx 16设 F1， F2分别是双曲线 )0,0(1:2222 ? babyaxC 的左、右焦点， A为双曲线的左顶点，以线段 F1， F2为直径的圆 O与双曲线的 一个交点为 P，与 y轴交于 B， D两点，且与双曲线的一条渐近线交于 M， N两点，则下列命题正确的是 （写出所有正确的命题编号） 线

7、段 BD是双曲线的虚轴； PF1F2的面积为 b2； 若 MAN=120，则双曲线 C的离心率为 ； PF1F2的内切圆的圆心到 y轴的距离为 a 三、解答题 (本大题共 6小题，共 70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 ) 17（本题满分 10分）已知数列 ?na 的前 n 项和为 nS ，且对任意正整数 n ，都有 3 24nnaS?成立 （）记 2lognnba? ，求数列 ?nb 的通项公式； （）设11nnnc bb?，求数列 ?nc 的前 n 项和 nT 18 （本题满分 12分） 在 ABC 中，角 A， B， C的对边依次为 a， b， c，满足 acosB bcos

8、A 2ccos C. ( )求角 C的大小； ( )若 ABC的周长为 3，求 ABC面积 S的最大值 19（ 12 分） 一个袋中装有四个形状大小完全相同的球，球的编号分别为 1， 2， 3， 4 （ 1） 从袋中随机取出两个球，求取出的球的编号之和不大于 4的概率； （ 2）先从袋中随机取一个球，该球的编号为 m，将球放回袋中，然后再从袋中随机取一个球，该球的编号为 n，求 n m 2的概 率 - 4 - 20（本题满分 12分）如图， 三棱柱 1 1 1ABC ABC? 侧棱垂直于底面 ， 4AB? ， 3AC BC?，D 为 AB 的中点 （ 1） 求证： 1/AC 平面 1BCD ；

9、 （ 2） 若 11AB AC? ，求二面角 11A CD B?的余弦值 21.（本题满分 12分） 已知函数 f(x)= )(ln Raxxax ? (1)求函数 f(x)的单调区间 . (2)若函数 f(x)在 (1,+ )上单调递增 ,求 a的取值范围 . 22 （本题满分 12 分）在平面直角坐标系 xoy 中，椭圆 C： 22 1( 0)xy abab? ? ? ?的离心率 是32，且直线 1l： 1xyab?被椭圆 C截得的弦长为 5 （ ）求椭圆 C的标准方程； （ ）若直线 1l与圆 D ： 22 6 4 0x y x y m? ? ? ? ?相切： （ i）求圆 D 的标准方

10、程； （ ii）若直线 2l过定点 ? ?3,0，与椭圆 C交于不同的两点 E、 F，与圆 D交于不同的两点 M 、 N ，求 EF MN?的取值范围 - 5 - 理科数学试卷答案 一、选择题 CDAB DDBBABCC 二、填空题 13 710 14 34?15 2 16 三、解答题 17解： (1) 21nbn?(2) 69n nT n? ?18 解： ( )因为 acosB bcosA 2ccosC?sinAcosB sin BcosA 2sin CcosC， 即 sin(A B) 2sin CcosC， 而 sin(A B) sin C0， 则 cos C 12， 又 C (0， )，

11、 所以 C 3.(5分 ) ( )由余弦定理得 a2 b2 ab (3 a b)2， 化简得 3 ab 2(a b)， (8分 ) 而 a b 2 ab， 故 3 ab 4 ab， 解得 ab 3或 ab 1.(10分 ) 若 ab 3， 则 a， b至少有一个不小于 3， 这与 ABC的周长为 3矛盾； 若 ab 1， 则当 a b 1时 ， ab取最大值 1 综上 ， 知 ABC的最大面积值为 Smax 43 (12 分 ) 19解：（ 1） 从袋子中随机取两个球，其一切可能的结果组成的基本事件有 1 和 2， 1和 3， 1 和 4， 2和 3， 2和 4， 3和 4，共六个 从袋中随机

12、取出的球的编号之和不大于 4的事件共有 1和 2， 1和 3两个 因此所求事件的概率为 13 （ 2）先从袋中随机取一个球，记下编号为 m，放回后，在从袋中随机取一个球，记下编号为 n，其中一切可能的结果 (m， n)有： (1， 1)， (1， 2)， (1， 3)， (1， 4)， (2， 1)， (2，2)， (2， 3)， (2， 4)， (3， 1)， (3， 2)， (3， 3)， (3， 4)， (4， 1)， (4， 2)， (4， 3)， (4，4)，共 16个 所有满足条件 n m 2的事件为 (1， 3)(1， 4)(2， 4)，共 3个， 所以满足条件 n m 2的事件

13、的概率为 P1 316 - 6 - 1C 1A 1B MDA BC1A 1C 1B DA BCxyz故满足条件 n m 2的事件的概率为 1 P1 1 316 1316 20 方法一：（ 1）证明：以 D 为坐标原点，以 ,DBDC 方向为 x 轴， y 轴正方向建立空间直角坐标系，则 ( 0 , 0 , 0 ) , ( 2 , 0 , 0 ) , ( 2 , 0 , 0 ) , ( 0 , 5 , 0 )D A B C? ， 设 1AA h? ，则 1 1 1( 2 , 0 , ), ( 2 , 0 , ), ( 0 , 5 , )A h B h C h? ， (0, 5 0)DC ? ，

14、1 (2,0, )DB h? 设平面 1BCD 的法向量为 ( , , )n x y z? ，则 1,n DC n DB?， 5020yx hz? ? ?，取 ( ,0, 2)nh?， 1 (2, 5, )AC h? ， 1 2 2 0AC n h h? ? ? ? ， 1/AC n ， 1AC? 平面 1BCD ， DM? 平面 1BCD ， 1/AC 平面 1BCD （ 2） 11AB AC? ， 11( 4 , 0 , ) ( 2 , 5 , )A B h A C h? ? ?， ， 211 8 0 , 2 2A B A C h h? ? ? ? ? ， 平面 1BCD 的法向量为 (2

15、 2,0, 2)n ?， 类似可取平面 1ACD 的法向量为 ( 2,0,1)m? ， 21c o s , 3| 2 3 3nmnm nm? ? ? ? ? ?， 故二面角 11A CD B?的平面角的余弦值为 13 方法二：（ 1）证明：连 1BC ，交 1CB 于点 M ，连 MD ， ,DM 分别为 1,ABCB 的中点， 1 /AC MD ， 1AC? 平面 1BCD ， DM? 平面 1BCD ， 1/AC 平面 1BCD （ 2） ,A C B C A D D B C D A B? ? ? ， 1AA? 底面 ,ABC CD? 底面 ABC ， 1AA CD? ， - 7 - 1

16、1 1 1,A A A B A A A A B A D B? 平 面， 11CD A DB? 平 面 ， 11,AD DB ? 平面 11ADB ， 11,C D A D C D B D? 11ADB? 即二面角 11A CD B?的平面角， 1AB? 平面 11ADB ， 11CD A DB? 平 面 ， 1CD AB? ， 又 11AB AC? ， 11,C D A C C C D A C? ? 平面 1ACD ， 1AB? 平面 1ACD ， 1AD ? 平面 1ACD ， 11,AB AD? 设 1AA h? ，则 142hh?， 22h? ， 11 2 3,A D B D? 又 11

17、4AB? ， 2 2 2 2 2 21 1 1 111 211 ( 2 3 ) ( 2 3 ) 4 1c o s 23 2 ( 2 3 )A D B D A BA D B A D B D? ? ? ? ? ?， 故二面角 11A CD B?的平面角的余弦值为 13 21. - 8 - 22 解： （）由已知得直线 1l过定点 ? ?,0a， ? ?0,b， 225ab?， 又32ca?， 2 2 2a b c?，解得 2 4a?， 1b?， 故所求椭圆 C的标准方程为2 2 14x y? ?.3 分 （）（ i）由（）得直线 1l的方程为12x y?，即 2 2 0xy? ? ?， 又圆 D的标准方程为 ? ? ? ?223 2 1 3x y m? ? ? ? ?， 圆心为 ? ?3,2，圆的半径 223 2 2 2 512r ? ? ?， 圆 D的标准方程为 ? ? ? ?223 2 5xy? ? ? ?