2022年青岛版数学八年级上《线段的垂直平分线》立体课件2.ppt

1、线段的垂直平分线线段的垂直平分线(1)观察观察 如图如图，人字形屋顶的框架中，点人字形屋顶的框架中，点A与点与点A关关于线段于线段CD所在的直线所在的直线l 对称对称，问，问线段线段CD所在的直所在的直线线l 与线段与线段AA有什么关系有什么关系？AD=A D lAA.,发现：我们可以把人字形屋顶框架图进行简化得到以下我们可以把人字形屋顶框架图进行简化得到以下图图.点点A A与点与点AA关于直线关于直线l l 对称，如果沿直线对称，如果沿直线l l折叠，折叠，那么点那么点A A与点与点AA重合，重合，AD=ADAD=AD，1=2=901=2=90，即，即直线直线l l 既平分线段既平分线段AA

2、AA，又垂直线段，又垂直线段AA.AA.lAAD21(A)我们把垂直且平分一条线段的直线叫我们把垂直且平分一条线段的直线叫作作这条这条线段的线段的垂直平分线垂直平分线.由上可知：线段是轴对称图形，线段的垂直平由上可知：线段是轴对称图形，线段的垂直平分线是它的对称轴分线是它的对称轴.如图，在线段如图，在线段AB的垂直平分线的垂直平分线l 上任上任取一点取一点P，连接，连接PA，PB，线段，线段PA，PB之之间有什么关系间有什么关系？探究探究探究探究 作关于直线作关于直线l l 的轴反射即沿直线的轴反射即沿直线l l 对折，由对折，由于于l l 是线段是线段ABAB的垂直平分线，因此点的垂直平分线

3、，因此点A A与点与点B B重合重合.从而线段从而线段PAPA与线段与线段PBPB重合，于是重合，于是PA=PB.PA=PB.(A)(B)BAPl结论结论 线段垂直平分线上的点到线段两端线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等的距离相等.由此得出线段垂直平分线的性质定理：由此得出线段垂直平分线的性质定理：想一想想一想 我们知道线段垂直平分线上的点到线段两我们知道线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等，反过来，如果一点端的距离相等，反过来，如果一点P P到线段到线段ABAB两两端的距离端的距离PAPA与与PBPB相等，那么点相等，那么点P P在线段在线段ABAB的垂直的垂直平分线上吗？平分线上

4、吗？1 1当点当点P P在线段在线段ABAB上时，上时，因为因为PA=PB，所以点所以点P为线段为线段AB的中点，的中点，显然此时点显然此时点P在线段在线段AB的垂直平分线上的垂直平分线上.2 2当点当点P P在线段在线段ABAB外时，如以下图所示外时，如以下图所示.因为因为PA=PB，所以所以PAB是等腰三角形是等腰三角形.过顶点过顶点P作作PCAB，垂足为点，垂足为点C，从而底边从而底边AB上的高上的高PC也是底边也是底边AB上的中线上的中线.即即 PCAB，且，且AC=BC.因此直线因此直线PC是线段是线段AB的垂直平分线，的垂直平分线，此时点此时点P也在线段也在线段AB的垂直平分线上的

5、垂直平分线上.结论结论 到线段两端距离相等的点在线段的垂到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上直平分线上.由此得到线段垂直平分线的性质定理的逆定理：由此得到线段垂直平分线的性质定理的逆定理：例例 ：如图，在：如图，在ABCABC中，中，ABAB，BCBC的垂直平的垂直平 分线相交于点分线相交于点O O，连接，连接OAOA，OBOB，OC.OC.求证：点求证：点O O在在ACAC的垂直平分线上的垂直平分线上.证明证明 点点O在线段在线段AB的垂直平分线上，的垂直平分线上，OA=OB.同理同理OB=OC.OA=OC.点点O在在AC的垂直平分线上的垂直平分线上.跟踪练习跟踪练习1.如图，在如图，

6、在ABC中，中，AB的垂直平分线分别交的垂直平分线分别交 AB，BC于点于点D，E，B=30，BAC=80，求求CAE的度数的度数.答：答：CAE=50.2.：如图，点：如图，点C，D是线段是线段AB外的两点，且外的两点，且 AC=BC，AD=BD，AB与与CD相交于点相交于点O.求证：求证：AO=BO.证明：证明：AC=BC，AD=BD，点点C和点和点D在线段在线段AB的垂直平分线上，的垂直平分线上，CD为线段为线段AB的垂直平分线的垂直平分线.又又 AB与与CD相交于点相交于点OAO=BO.做一做做一做如图，线段如图，线段ABAB，作线段，作线段ABAB的垂直平分线的垂直平分线.分析：分析

7、：根据根据“到线段两端到线段两端距离相等的点在线段的垂直距离相等的点在线段的垂直平分线上，要作线段平分线上，要作线段ABAB的的垂直平分线，关键是找出到垂直平分线，关键是找出到线段线段ABAB两端距离相等的两点两端距离相等的两点.想一想想一想如何过一点如何过一点P P作直线作直线l l的垂线呢？的垂线呢？分析：由于两点确定一条直线，分析：由于两点确定一条直线，因此我们可以通过在直线上作线段的因此我们可以通过在直线上作线段的垂直平分线来找出垂线上的另一点，垂直平分线来找出垂线上的另一点，从而确定直线的垂线从而确定直线的垂线.分式概念分式概念 如果整式如果整式A A除以整式除以整式B,B,可以表示

8、成可以表示成B B中含有字母中含有字母，那么称式子，那么称式子 为为分式分式.BA整式和分式整式和分式统称有理式统称有理式。其中，其中，A叫做分式的叫做分式的分子分子，B叫做叫做分式的分式的分母分母。BA回忆与思考回忆与思考分式有无意义及值为分式有无意义及值为0 0 在分式中，分母的值不能是在分式中，分母的值不能是零。分式中的分母如果是零，那么分零。分式中的分母如果是零，那么分式没有意义。式没有意义。因为零不能作为除数，所以因为零不能作为除数，所以分数的分母不能是零。分数的分母不能是零。在分式中，当分子为零而分在分式中，当分子为零而分母不为零时，分式的值为零。母不为零时，分式的值为零。分式是表

9、示具体情景中数量的分式是表示具体情景中数量的模型，分式是分数的模型，分式是分数的“代数化，代数化，所以其性质与运算是完全类似的。所以其性质与运算是完全类似的。数学分式与现实世界密切联数学分式与现实世界密切联系。系。以前用字母表示数量关系是整式，以前用字母表示数量关系是整式，以后表示数量关系的式子可以是以后表示数量关系的式子可以是分式。分式。区分整式与分式的依据？分式成立有条件吗？区分整式与分式的依据？分式成立有条件吗？1当当a=1，2时，分别求分式时，分别求分式 的值。的值。aa212当a取何值时，分式 无意义？aa214当当a取何值时，分式取何值时，分式 值为零？值为零？aa21(3当a取何

10、值时，分式 有意义？aa21w 分式和分数也有类似的性质分式和分数也有类似的性质.w 分式的根本性质：分式的分子与分母都乘以分式的根本性质：分式的分子与分母都乘以(或或除以除以)同一个不等于零的整式，分式的值不变，同一个不等于零的整式，分式的值不变，用式子表示是：用式子表示是：w 上式中的上式中的A，B，M三个字母都表示整式，三个字母都表示整式，其中其中B必须含有字母，除必须含有字母，除A可等于零外，可等于零外，B，M都不能等于零都不能等于零.因为假设因为假设B=0，分式无意义；，分式无意义；假设假设M=0，那么不管乘或除以分式的分母，那么不管乘或除以分式的分母，都将使分式无意义都将使分式无意

11、义.或MBMABAMBMABA(其中其中M是不等于零的整式是不等于零的整式)根本性质根本性质分数的根本性质与分式的根本性质有什么区别分数的根本性质与分式的根本性质有什么区别?w在分数的根本性质中，分子与分母是都乘以在分数的根本性质中，分子与分母是都乘以(或除以或除以)同一个不等于零的数，分数的值不同一个不等于零的数，分数的值不变，这个变，这个“数是一个具体的、唯一确定的数是一个具体的、唯一确定的值；而在分式的根本性质中，分式的分子与值；而在分式的根本性质中，分式的分子与分母那么是都乘以分母那么是都乘以(或除以或除以)同一个不等于零同一个不等于零的整式，分式的值不变，的整式，分式的值不变，“整式

12、的值是随整式的值是随整式中字母的取值不同而变化的，所以它的整式中字母的取值不同而变化的，所以它的值是变化的值是变化的.分数与分式的乘除法法那么类似 w 分数的乘除法法那么分数的乘除法法那么:w 两个分数相乘两个分数相乘,把分把分子相乘的积作为积的子相乘的积作为积的分子分子,把分母相乘的把分母相乘的积作为积的分母积作为积的分母;w 两个分数相除两个分数相除,把除把除式的分子分母颠倒位式的分子分母颠倒位置后置后,再与被除式相再与被除式相乘乘.w 分式的乘除法法那么分式的乘除法法那么:w 两个分式相乘两个分式相乘,把分把分子相乘的积作为积的子相乘的积作为积的分子分子,把分母相乘的把分母相乘的积作为积

13、的分母积作为积的分母;w 两个分式相除两个分式相除,把除把除式的分子分母颠倒位式的分子分母颠倒位置后置后,再与被除式相再与被除式相乘乘.2;.1adbcdcabcdabacbdcdab 乘方运算乘方运算 计算以下各题计算以下各题:.23.4;.3;.2;9423.13242222227224232323222axaaxaxaxaxyyxyxxyxyaayxyxanmmnmnya同分母分式加减法法那么与同分母分式加减法法那么与同分母分数加减法的法那么同分母分数加减法的法那么类似类似 同分母分数加同分母分数加减法的法那么减法的法那么:分母不变分母不变,分子分子相加减相加减.同分母分式加同分母分式加

14、减法的法那么减法的法那么:分母不变分母不变,分子分子相加减相加减.异分母分式加减法法那么与异分母分式加减法法那么与异分母分数加减法的法那么异分母分数加减法的法那么类似类似 异分母分数加减法的法那异分母分数加减法的法那么么:通分，把异分母分数化为通分，把异分母分数化为同分母分数同分母分数.异分母分式加减异分母分式加减法的法那么法的法那么:通分，把异分母通分，把异分母分式化为同分母分式化为同分母分式分式.约分与通分约分与通分最大公因式与最简公分母最大公因式与最简公分母 最大公因式最大公因式:分子分母系数的分子分母系数的最大公约数；最大公约数；分子分母中相同分子分母中相同因式的最低次幂因式的最低次幂

15、.最简公分母最简公分母:各分母系数的最各分母系数的最小公倍数；小公倍数；各分母中所有不各分母中所有不同因式的最高次同因式的最高次幂幂.要比较两个量要比较两个量ab的大小的大小,我们只要我们只要对对ab作减法运算作减法运算,如果如果:a-b0,那么那么ab;如果如果:a-b=0,那么那么a=b;如果如果:a-b0,那么那么ab.议一议议一议 上面所得到的方程有什么共同特点？这样的方程怎么称呼上面所得到的方程有什么共同特点？这样的方程怎么称呼?分母中都含有未知数分母中都含有未知数.分母分母中含有中含有未知数未知数的方程叫做的方程叫做分式方程分式方程452600480 xx2050004800 xx

16、3000150009000 xx解分式方程一般需要哪几个步骤解分式方程一般需要哪几个步骤?1、去分母去分母2、去括号、去括号3、移项、移项4、合并同类项、合并同类项5、把未知项的系数化为、把未知项的系数化为16、验根验根关键：找最简公分母关键：找最简公分母依据：等式的根本性质依据：等式的根本性质2各分母中所有不同因式的各分母中所有不同因式的最高次幂最高次幂.各分母系数的最小公倍数各分母系数的最小公倍数注意注意如果分母是如果分母是多项式，首多项式，首先要进行因先要进行因式分解式分解 方法方法目的：把分式方程化为整目的：把分式方程化为整 式方程。式方程。注意：分数线的括号作用注意：分数线的括号作用

17、整式方程整式方程 去分母去分母 解整式方程解整式方程 转化转化解分式方程容易犯的错误主要有：解分式方程容易犯的错误主要有：(1)去分母时，原方程的整式局部漏乘去分母时，原方程的整式局部漏乘(2)约去分母后，分子是多项式时，约去分母后，分子是多项式时，要注要注意添括号意添括号 (3)增根不舍掉增根不舍掉.(4)列分式方程解应用题的一般步骤列分式方程解应用题的一般步骤1.审审:分析题意分析题意,找出数量关系和相等关系找出数量关系和相等关系.2.设设:选择恰当的未知数选择恰当的未知数,注意单位和语言完整注意单位和语言完整.3.列列:根据数量和相等关系根据数量和相等关系,正确列出代数式和方正确列出代数

18、式和方程程.4.解解:认真仔细认真仔细.5.验验:有有三次三次检验检验.6.答答:注意单位和语言完整注意单位和语言完整.且答案要生活化且答案要生活化.1.1.编写一道与下面分式方程相编写一道与下面分式方程相符的实际问题符的实际问题.510250 xx跟踪练习跟踪练习2.2.农机厂职工到距工厂农机厂职工到距工厂1515千米的某地去检修农机，一局部人千米的某地去检修农机，一局部人骑自车走，过了骑自车走，过了4040分钟，其余的人乘汽车出发，他们同时到分钟，其余的人乘汽车出发，他们同时到达，汽车的速度是自行车速度的达，汽车的速度是自行车速度的3 3倍，求两种车的速度。倍，求两种车的速度。3.甲、乙两人骑自行车各行甲、乙两人骑自行车各行28公里，甲比乙快公里，甲比乙快 小时，甲与乙速度比为小时，甲与乙速度比为8：7，求两人速度。，求两人速度。14解：设甲的速度解：设甲的速度8x千米千米/时，时，乙的速度是乙的速度是7x千米千米/时。时。41828728xx4.一船在静水中每小时航行一船在静水中每小时航行20千米，顺水航行千米，顺水航行72千米的时间恰好等于逆水航行千米的时间恰好等于逆水航行48千米的时间，千米的时间，求每小时的水流速度。求每小时的水流速度。解：设水流每小时流动解：设水流每小时流动x千米。千米。72482020 xx