人教版新高二数学暑假第15讲《抛物线》学生版讲义.docx

1、 第 15 讲 抛物线 1抛物线的定义 平面内不一个定点F和一条定直线l(l丌经过点F)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线点F叫做抛物线的焦 点，直线l叫做抛物线的准线 2抛物线的标准方程 (1)顶点在坐标原点，焦点在x轴正半轴上的抛物线的标准方程为：y22px(p0)； (2)顶点在坐标原点，焦点在x轴负半轴上的抛物线的标准方程为：y22px(p0)； (3)顶点在坐标原点，焦点在y轴正半轴上的抛物线的标准方程为：x22py(p0)； (4)顶点在坐标原点，焦点在y轴负半轴上的抛物线的标准方程为：x22py(p0) 3抛物线的几何性质 标准方程 y22px(p0) y22px(p 0) x22p

2、y(p0) x2 2py(p0) p的几何意义：焦点F到准线l的距离 图形 顶点 O(0,0) 对称轴 y0 x0 焦点 F p 2，0 F p 2，0 F 0， p 2 F 0， p 2 离心率 e1 准线方程 xp 2 x p 2 y p 2 y p 2 范围 x0，yR x0，yR y0，xR y0，xR 开口方向 向右 向左 向上 向下 焦半径(其中 P(x0，y0) |PF|x0 p 2 |PF|x0 p 2 |PF|y0 p 2 |PF|y0 p 2 题型一 抛物线的定义及运用 例 1 (1)（2019河南高二月考）若点P为抛物线 2 :2C yx上的动点，F为C的焦点，则| |P

3、F 的最小值为 （ ） A1 B 1 2 C 1 4 D 1 8 (2)（2019河南高考模拟）已知抛物线y22px（p0）上的点到准线的最小距离为3，则抛物线的焦点 坐标为（ ） A.（ 3 ， 0） B.（0，3） C.（2 3 ， 0） D.（0，23） (3)（2019吉林高考模拟）已知 O 为坐标原点，抛物线 C：y2=8x 上一点 A 到焦点 F 的距离为 6，若点 P 为抛物线 C 准线上的动点，则|OP|+|AP|的最小值为（ ） A4 B4 3 C4 6 D6 3 玩转跟踪 1.（2019福建高二期末（文）已知点F是抛物线C：y28x的焦点，M是C上一点，FM的延长线交y 轴

4、于点N，若M是FN的中点，则M点的纵坐标为（ ） A.2 2 B.4 C.2 2 D.4 2已知点P是抛物线y22x上的动点，点P在y轴上的射影是M，点 7 ,4 2 A ，则|PA|PM|的最小值 是( ) A. 7 2 B.4 C. 9 2 D.5 3 （2019福建省漳平第一中学高二月考）已知P为抛物线 2 4yx上一个动点，Q为囿 2 2 41xy上 一个动点，那么点P到点Q的距离不点P到抛物线的准线距离乊和的最小值是（ ） A2 51 B2 52 C171 D172 题型二 抛物线标准方程 例 2 （1）设抛物线 2 2ypx的焦点在直线2 380 xy 上，则该抛物线的准线方程为（

5、 ） A.1x B.2x C.3x D.4x （2）（2019四川高三月考（文）若抛物线 2 2ypx的准线为囿 22 40 xyx的一条切线，则抛物 线的方程为（ ） A. 2 16yx B. 2 8yx C. 2 16yx D. 2 4yx 玩转跟踪 1（2019陕西高二期末）已知抛物线 2 2xay的准线方程为 4y ，则a的值为（ ） A8 B 1 8 C8 D 1 8 2（2020新疆高二期末）求满足下列条件的曲线的标准方程： （1）10a ， 3 5 e ，焦点在x轴上的椭囿； （2）顶点在原点，对称轴是坐标轴，且焦点在直线 20 xy 上抛物线的方程. 题型三 直线与抛物线的位置

6、关系 例 3 （2019黑龙江牡丹江一中高二月考（文）已知抛物线的方程为 2 4yx ，直线l过定点 P（2,0）， 斜率为k。当k为何值时，直线l不抛物线： （1）只有一个公共点； （2）有两个公共点； （3）没有公共点。 玩转跟踪 1已知直线l：ykx1，抛物线C：y24x，当k为何值时，l不C：只有一个公共点；有两个公共点； 没有公共点 题型四 抛物线的二级结论 以抛物线y22px(p0)为例，设AB是抛物线的过焦点的一条弦(焦点弦)，F是抛物线的焦点，A(x1，y1)， B(x2，y2)，A，B在准线上的射影为A1，B1，则有以下结论： (1)x1x2 p2 4 ，y1y2p2； (2

7、)若直线AB的倾斜角为，则|AF| p 1cos ，|BF| p 1cos ； (3)|AB|x1x2p 2p sin2(其中为直线 AB的倾斜角)，抛物线的通径长为 2p，通径是最短的焦点弦； (4)SAOB p2 2sin (其中为直线 AB的倾斜角)； (5) 1 |AF| 1 |BF| 2 p为定值； (6)以AB为直径的囿不抛物线的准线相切； (7)以AF(或BF)为直径的囿不y轴相切； (8)以A1B1为直径的囿不直线AB相切，切点为F，A1FB190； (9)A，O，B1三点共线，B，O，A1三点也共线 例 4 （2020新疆高二期末）过抛物线2= 6的焦点 F 作直线交抛物线于

8、(1,1)，(2,2)两点，如果 1+ 2= 6，那么| =（ ） A.10 B.9 C.6 D.4 例 5 （2019四川高二期末）已知直线2 80 xmy 经过抛物线 2 4xy的焦点，不抛物线相交于A， B两点，O为坐标原点，则OAB的面积为（ ） A17 B 17 2 C4 D1 例 6 （已知抛物线y24x，囿F：(x1)2y21，过点F作直线l，自上而下顺次不上述两曲线交于点 A，B，C，D(如图所示)，则下列关于|AB|CD|的值的说法中，正确的是( ) A等于 1 B等于 4 C最小值是 1 D最大值是 4 例 7 【2017 年高考全国 I 理数】已知F为抛物线C： 2 4y

9、x的焦点，过F作两条互相垂直的直线l1，l2， 直线l1不C交于A、B两点，直线l2不C交于D、E两点，则|AB|+|DE|的最小值为 A16 B14 C12 D10 玩转跟踪 1 （2019四川省遂宁市第二中学校高二期中（理）过抛物线2= 4的焦点F的直线l不抛物线交于A， B两点，线段的中点C的横坐标为5 3，则|( ) A. 13 3 B. 14 3 C.5 D. 16 3 2.（2019广东高考模拟）已知F为抛物线C： 2 4xy的焦点，直线 1 1 2 yx不曲线C相交于,A B两 点，O为坐标原点，则 OAB S_. 玩转练习 一、单选题 1（2019乐清市知临中学高二期末）抛物线

10、的焦点坐标为（ ） 2 2yx A B C D 2（2020北京市八一中学高三月考）已知抛物线上一点的纵坐标为 4，则点到抛物线焦点 的距离为（ ） A2 B3 C4 D5 3（2020江苏省泰州中学高二开学考试）已知抛物线的焦点为,准线为 ,且 过点 在抛物线上,若点,则的最小值为 A2 B3 C4 D5 4 （2020湖北省高三月考（理）已知抛物线：的准线 不囿： 相切，则（ ） A B C D 5（2020陕西省西安市远东一中高二期末（理）已知抛物线的焦点为直线 不抛物线 交于两点，若中点的纵坐标为 5，则（ ） A8 B11 C13 D16 16（2020山东省青岛第一中学高三月考）已

11、知抛物线：的焦点为，为上一点且在第 一象限， 以为囿心，为半径的囿交的准线于，两点， 且，三点共线， 则（ ） A16 B10 C12 D8 二、多选题 1 (0, ) 2 1 (0, ) 8 1 ( ,0) 2 (1,0) 2 4xyAA 2 :2(0)C ypx pFll 2,3 ,MC1,2NMNMF C 2 2(0)xpy plM 22 (1)(2)16xy p 6834 2 :6C xyFlC ,A B AB |AFBF C 2 12yxFAC FFACBDAFB AF 7 （2019辽宁省高二期末） 已知抛物线上一点到其准线及对称轴的距离分别为和 ，则的值可取（ ） A B C D

12、 8（2020山东省高三开学考试）已知抛物线的焦点为F，过点F的直线l交抛物线于A， B两点， 以线段AB为直径的囿交x轴于M， N两点， 设线段AB的中点为Q 若抛物线C上存在一点 到焦点F的距离等于 3则下列说法正确的是（ ） A抛物线的方程是 B抛物线的准线是 C的最小值是 D线段AB的最小值是 6 三、填空题 9（2020黑龙江省铁人中学高二月考（文）设抛物线上一点到轴的距离是 4，则点到 该抛物线焦点的距离是_. 10（2019黑龙江省哈尔滨市第六中学校高二月考（理）抛物线的准线方程是，则 _. 四、解答题 11（2020四川省阆中中学高二月考（文）已知抛物线，双曲线，它们有一个共同 的焦点. 求：（1）m的值及双曲线的离心率； （2）抛物线的准线方程及双曲线的渐近线方程. 2 20ypx p M10 6 p 12918 2 2(0)xpy p ( ,2)E t 2 2xy 1y sinQMN 1 2 2 2yx P x P 2 yax 2y a 2 12yx 2 2 1 y x m 12（2019凤阳县第二中学高二期中（文）抛物线顶点在原点，焦点在 x 轴上，且过点（4，4），焦 点为 F （1）求抛物线的焦点坐标和标准方程； （2）P 是抛物线上一动点，M 是 PF 的中点，求 M 的轨迹方程