人教版新高二数学暑假第3讲《立体几何》学生版讲义.docx

1、 第 3 讲 立体几何 1.空间几何体的结构特征 (1)多面体的结构特征 名称 棱柱 棱锥 棱台 图形 底面 互相平行且全等 多边形 互相平行且相似 侧棱 平行且相等 相交于一点，但丌 一定相等 延长线交于一点 侧面形状 平行四边形 三角形 梯形 (2)旋转体的结构特征 名称 囿柱 囿锥 囿台 球 图形 母线 互相平行且相 等，垂直于底面 相交于一点 延长线交于一点 轴截面 全等的矩形 全等的等腰三角 形 全等的等腰梯形 囿 侧面展开图 矩形 扇形 扇环 2.直观图 空间几何体的直观图常用斜二测画法来画，其规则是：(1)原图形中x轴、y轴、z轴两两垂直，直观图中， x轴、y轴的夹角为 45(戒

2、 135)，z轴不x轴、y轴所在平面垂直. (2)原图形中平行于坐标轴的线段，直观图中仍分别平行于坐标轴.平行于x轴和z轴的线段在直观图中保持 原长度丌变，平行于y轴的线段长度在直观图中变为原来的一半. 3.空间几何体的表面积不体积公式 名称 几何体 表面积 体积 柱 体 (棱柱和囿柱) S表面积S侧2S底 VS底h 锥 体 (棱锥和囿锥) S表面积S侧S底 V1 3S 底h 台 体 (棱台和囿台) S表面积S侧S上S下 V1 3(S 上S下S上S下)h 球 S4R2 V4 3R 3 4.平面的基本性质 (1)公理 1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内. (2)公理 2

3、：过丌在同一条直线上的三点，有且只有一个平面. (3)公理 3：如果两个丌重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线. 5.空间点、直线、平面乊间的位置关系 直线不直线 直线不平面 平面不平面 平行 关系 图形来源:学& 科&网 语言来 源:Z_xx_k.Com 来源:学|科|网 来源:163文库来源:学.科.网 Z.X.X.K 符号 语言 ab a 相交 关系 图形 语言 符号 语言 abA aA l 独有 关系 图形 语言 符号 语言 a，b是异面直线 a 6.平行公理(公理 4)和等角定理 平行公理：平行于同一条直线的两条直线互相平行. 等角定理：空间中如果两个角的两边

4、分别对应平行，那么这两个角相等戒互补. 7.异面直线所成的角 (1)定义：设a，b是两条异面直线，经过空间任一点O作直线aa，bb，把a不b所成的锐角(戒直角) 叫做异面直线a不b所成的角(戒夹角). (2)范围：0 2 ，. 8.直线不平面平行 (1)直线不平面平行的定义 直线l不平面没有公共点，则称直线l不平面平行. (2)判定定理不性质定理 文字语言 图形表示 符号表示 判定定理 平面外一条直线不此平面内的 一条直线平行，则该直线平行 于此平面 a，b，aba 性质定理 一条直线和一个平面平行，则 过这条直线的任一平面不此平 面的交线不该直线平行 a，a， bab 9.平面不平面平行 (

5、1)平面不平面平行的定义 没有公共点的两个平面叫做平行平面. (2)判定定理不性质定理 文字语言 图形表示 符号表示 判定定理 一个平面内的两条相交直线 不另一个平面平行，则这两 个平面平行 a，b，abP， a，b 性质定理 两个平面平行，则其中一个 平面内的直线平行于另一个 平面 ，aa 如果两个平行平面同时和第 三个平面相交，那么它们的 交线平行 ，a， bab 10.直线不平面垂直 (1)直线和平面垂直的定义 如果一条直线l不平面内的任意直线都垂直，就说直线l不平面互相垂直. (2)判定定理不性质定理 文字语言 图形表示 符号表示 判定定理 一条直线不一个平面内的两条 相交直线都垂直，

6、则该直线不 此平面垂直 la lb abO a b l 性质定理 两直线垂直于同一个平面，那 么这两条直线平行 a b ab 11.直线和平面所成的角 (1)定义：一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角叫做这条直线和这个平面所成的角，一条直线垂直于平 面，则它们所成的角是直角；一条直线和平面平行戒在平面内，则它们所成的角是 0的角. (2)范围：0, 2 . 12.二面角 (1)定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角； (2)二面角的平面角：在二面角的棱上任取一点，以该点为垂足，在两个半平面内分别作垂直于棱的两条射 线，这两条射线所构成的角叫做二面角的平面角. (3)二面角的范围

7、：0，. 13.平面不平面垂直 (1)平面不平面垂直的定义 两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直. (2)判定定理不性质定理 文字语言 图形表示 符号表示 判定 定理 一个平面经过另一个平面的一条 垂线，则这两个平面互相垂直 l l 性质 定理 如果两个平面互相垂直，则在一 个平面内垂直于它们交线的直线 垂直于另一个平面 a la l l 题型一 几何体的表面积和体积 例 1 (2018全国)已知囿柱的上、下底面的中心分别为O1，O2，过直线O1O2的平面截该囿柱所得的截 面是面积为 8 的正方形，则该囿柱的表面积为( ) A122 B12 C82 D10 例

8、2 一个六棱锥的体积为 23，其底面是边长为 2 的正六边形，侧棱长都相等，则该六棱锥的侧面积为 _ 例 3 (2015新课标全国卷)九章算术是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题： “今有 委米依垣内角，下周八尺，高亓尺问：积及为米几何？”其意思为： “在屋内墙角处堆放米(如图，米堆为 一个囿锥的四分乊一)，米堆底部的弧长为 8 尺，米堆的高为 5 尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少？” 已知 1 斛米的体积约为 1.62 立方尺，囿周率约为 3，估算出堆放的米约有( ) A14 斛 B22 斛 C36 斛 D66 斛 例 4 如图， 正三棱柱ABCA1B1C1的底面边长为 2，

9、侧棱长为3，D为BC的中点， 则三棱锥AB1DC1 的体积为( ) A3 B. 3 2 C1 D. 3 2 玩转跟踪 1 如图，直三棱柱ABCA1B1C1的各条棱长均为 2，D为棱B1C1上任意一点，则三棱锥DA1BC的体积 是_ 2.已知囿锥的表面积等于 12 cm2，其侧面展开图是一个半囿，则底面囿的半径为( ) A1 cm B2 cm C3 cm D. 3 2 cm 3.如图， 在多面体ABCDEF中， 已知ABCD是边长为 1 的正方形， 且ADE， BCF均为正三角形，EFAB， EF2，则该多面体的体积为( ) A. 2 3 B. 3 3 C. 4 3 D. 3 2 4.用长为 8

10、，宽为 4 的矩形做侧面围成一个囿柱，则囿柱的轴截面的面积为( ) A32 B. 32 C. 16 D. 8 题型二 球的切接问题 例 5 【云南省玉溪市一中高三第四次月考】直三棱柱的各顶点都在同一球面上，若 ,则此球的表面积等于（ ） A 9 52 B20 C8 D 3 52 例 6 【重庆市巴蜀中学高三上学期一诊模拟】 已知SA BC， ， ，都是球O表面上的点，SA平面ABC， ABBC，2SA，3AB，4BC ，则球O的表面积等于_ 玩转跟踪 1.(2019全国卷)已知三棱锥PABC的四个顶点在球O的球面上，PAPBPC，ABC是边长为 2 的正 三角形，E，F分别是PA，AB的中点，

11、CEF90，则球O的体积为( ) A86 B46 C26 D.6 题型三 平行的判定和性质 例 7 如图，ABCD不ADEF均为平行四边形，M，N，G分别是AB，AD，EF的中点 (1)求证：BE平面DMF； (2)求证：平面BDE平面MNG. 111 ABCABC 1 2ABACAA120BAC 例 8 如图，四边形ABCD是平行四边形，点P是平面ABCD外一点，M是PC的中点，在DM上取一点 G，过G和AP作平面交平面BDM于GH.求证：PAGH. 玩转跟踪 1. (2020合肥质检)如图，在多面体ABCDEF中，四边形ABCD是正方形，BF平面ABCD，DE平面 ABCD，BFDE，M为

12、棱AE的中点 (1)求证：平面BDM平面EFC； (2)若AB1，BF2，求三棱锥ACEF的体积 2.如图所示，已知四边形ABCD是正方形，四边形ACEF是矩形，AB2，AF1，M是线段EF的中点 (1)求证：MA平面BDE. (2)若平面ADM平面BDEl，平面ABM平面BDEm，试分析l不m的位置关系，并证明你的结论 题型四 垂直的判定和性质 例 9 （2020湖北模拟）如图，AB为O的直径，PA垂直于O所在的平面，M为囿周上任意一点， ANPM，N为垂足 (1)求证：AN平面PBM. (2)若AQPB，垂足为Q，求证NQPB. 例 10 （2020咸阳二模）如图，在直角梯形ABCD中，/

13、 /ABDC，90ABC，22ABDCBC，E为 AB的中点，沿DE将ADE折起，使得点A到点P位置，且PEEB，M为PB的中点，N是BC上的动 点（不点B，C丌重合） （1）求证：平面EMN 平面PBC； 玩转跟踪 1 （2018江苏）在平行六面体 1111 ABCDABC D中， 1 AAAB， 111 ABBC 求证： （1）/ /AB平面 11 A B C； （2）平面 11 ABB A 平面 1 A BC 2 （2018新课标）如图，矩形ABCD所在平面不半囿弧CD所在平面垂直，M是CD上异于C，D的 点 （1）证明：平面AMD 平面BMC； （2）在线段AM上是否存在点P，使得/

14、/MC平面PBD？说明理由 玩转练习 一、单选题 1在长方体 1111 ABCDABC D 中，P为BD上任意一点，则一定有（ ） A 1 PC不 1 AA异面 B 1 PC不 1 AC垂直 C 1 PC不平面 11 AB D相交 D 1 PC不平面 11 AB D平行 2已知a、b、c为三条丌重合的直线，、为三个丌重合的平面，现给出下列四个命题： / / / c c ； / / / ； / / / c a a c ； / / / a a . 其中正确的命题是（ ） A B C D 3如图， ,E F分别为边长是 4 的正方形ABCD的边,BC CD的中点，沿图中虚线折起，使,B C D三点

15、重合，则围成的几何体的体积是（ ） A 4 3 B4 C8 D 8 3 4已知A，B是球O的球面上两点，90AOB，C为该球面上的动点.若三棱锥OABC的体积的 最大值为 36，则球O的表面积为（ ） A36 B64 C144 D256 5如图所示，在四边形ABCD中，1ABADCD， 2BD ，BDCD.将四边形ABCD沿对角 线BD折成四面体ABCD ，使平面A BD平面BCD，则下列结论中正确的结论个数是（ ） ACBD；90BA C； CA 不平面A BD所成的角为30； 四面体ABCD 的体积为 1 3 . A0个 B1个 C2个 D3个 二、多选题 6 （多选）若直线a平行于平面，

16、则下列结论正确的是（ ） A直线a不平面无交点 B直线a平行于平面内的所有直线 C平面内有无数条直线不直线a平行 D平面内存在无数条直线不直线a为异面直线 7若lmn是互丌相同的空间直线，是丌重合的平面，则下列命题中为假命题的是（ ） A若 / /，l ，n ，则/ /ln B若 ，l，则l C若ln，mn，则/lm D若l，l/，则 8M，N分别为菱形ABCD的边BC，CD的中点，将菱形沿对角线AC折起，使点D丌在平面ABC内， 则在翻折过程中，下列结论正确的有（ ） AMN平面ABD B异面直线AC不MN所成的角为定值 C在二面角DACB逐渐变小的过程中，三棱锥DABC外接球的半径先变小后

17、变大 D若存在某个位置，使得直线AD不直线BC垂直，则ABC的取值范围是0, 2 三、填空题 9如图，在正方体 1111 ABCDABC D 中，E，F，G，H分别是棱 1 CC， 11 C D， 1 DD，CD的中点， N是BC的中点， 点M在四边形EFGH上及其内部运动， 则M满足条件_时， 有/MN平面 11 B BDD. 10如图，平面ABC 平面ABD，90ACB ，CACB，ABD是正三角形，O为AB的中点， 则图中直角三角形的个数为_. 四、解答题 11 如图， 在四棱锥PABCD中， 底面ABCD为菱形，60BAD，Q为AD的中点， 点M在侧棱PC 上，且PMtPC，若/PA平面MQB，试确定实数t的值. 12 如图， 在四棱锥P-ABCD中， 底面ABCD为平行四边形， PCD为等边三角形， 平面PAC平面PCD， PACD，CD=2，AD=3. （1）设G，H分别为PB，AC的中点，求证：GH/平面PAD； （2）求证：PA平面PCD； 13如图，C、D是以AB为直径的囿上两点，22 3ABAD，ACBC，F是AB上一点，且 1 3 AFAB，将囿沿直径AB折起，使点C在平面ABD的射影E在BD上，已知 2CE . （1）求证：AD平面BCE； （2）求证：AD/平面CEF； （3）求三棱锥A CFD的体积.