排列组成问题经典题型与通用方法（解析版）.pdf

1、排列组合问题经典题型与通用方法排列组合问题经典题型与通用方法 解析版解析版 1.1.相邻问题捆绑法相邻问题捆绑法: :题目中规定相邻的几个元素捆绑成一个组，当作一个大元素参与排列题目中规定相邻的几个元素捆绑成一个组，当作一个大元素参与排列. . 例 1. , ,A B C D E五人并排站成一排，如果,A B必须相邻且B 在A的右边，则不同的排法有（） A、60 种B、48 种C、36 种D、24 种 解析：把,A B视为一人，且B固定在A的右边，则本题相当于 4 人的全排列， 4 4 24A 种， 答案：D. 2.2.相离问题插空排相离问题插空排: :元素相离元素相离（即不相邻即不相邻）问题

2、问题，可先把无位置要求的几个元素全排列可先把无位置要求的几个元素全排列，再把规定的相离的再把规定的相离的 几个元素插入上述几个元素的空位和两端几个元素插入上述几个元素的空位和两端. . 例 2.七人并排站成一行，如果甲乙两个必须不相邻，那么不同的排法种数是（） A、1440 种B、3600 种C、4820 种D、4800 种 解析： 除甲乙外， 其余 5 个排列数为 5 5 A种， 再用甲乙去插 6 个空位有 2 6 A种， 不同的排法种数是 52 56 3600A A 种，选B. 3.3.定序问题缩倍法定序问题缩倍法: :在排列问题中限制某几个元素必须保持一定的顺序，可用缩小倍数的方法在排列

3、问题中限制某几个元素必须保持一定的顺序，可用缩小倍数的方法. . 例 3. ,A B C D E 五人并排站成一排，如果B必须站在A的右边（ ,A B 可以不相邻）那么不同的排法有 （） A、24 种B、60 种C、90 种D、120 种 解析：B在A的右边与B在A的左边排法数相同，所以题设的排法只是 5 个元素全排列数的一半，即 5 5 1 60 2 A 种，选B. 4.4.标号排位问题分步法标号排位问题分步法: :把元素排到指定位置上把元素排到指定位置上，可先把某个元素按规定排入可先把某个元素按规定排入，第二步再排另一个元素第二步再排另一个元素，如如 此继续下去，依次即可完成此继续下去，依

4、次即可完成. . 例 4.将数字 1，2，3，4 填入标号为 1，2，3，4 的四个方格里，每格填一个数，则每个方格的标号与所 填数字均不相同的填法有（） A、6 种B、9 种C、11 种D、23 种 解析：先把 1 填入方格中，符合条件的有 3 种方法，第二步把被填入方格的对应数字填入其它三个方格， 又有三种方法；第三步填余下的两个数字，只有一种填法，共有 331=9 种填法，选B. 5.5.有序分配问题逐分法有序分配问题逐分法: :有序分配问题指把元素分成若干组，可用逐步下量分组法有序分配问题指把元素分成若干组，可用逐步下量分组法. . 例 5.（1）有甲乙丙三项任务，甲需 2 人承担，乙

5、丙各需一人承担，从 10 人中选出 4 人承担这三项任务， 不同的选法种数是（） A、1260 种B、2025 种C、2520 种D、5040 种 解析：先从 10 人中选出 2 人承担甲项任务，再从剩下的 8 人中选 1 人承担乙项任务，第三步从另外的 7 人 中选 1 人承担丙项任务，不同的选法共有 211 1087 2520C C C 种， 选C. （2）12 名同学分别到三个不同的路口进行流量的调查，若每个路口 4 人，则不同的分配方案有（） A、 444 1284 C C C 种B、 444 1284 3C C C 种 C、 443 1283 C C A 种D、 444 1284 3

6、 3 C C C A 种 答案：A. 6.6.全员分配问题分组法全员分配问题分组法: : 例 6.（1）4 名优秀学生全部保送到 3 所学校去，每所学校至少去一名，则不同的保送方案有多少种？ 高中数学资料共享群：1070171219 解析：把四名学生分成 3 组有 2 4 C种方法，再把三组学生分配到三所学校有 3 3 A种，故共有 23 43 36C A 种方 法. 说明：分配的元素多于对象且每一对象都有元素分配时常用先分组再分配. （2）5 本不同的书，全部分给 4 个学生，每个学生至少一本，不同的分法种数为（） A、480 种B、240 种C、120 种D、96 种 答案：B. 7.7.

7、名额分配问题隔板法名额分配问题隔板法: : 例 7：10 个三好学生名额分到 7 个班级，每个班级至少一个名额，有多少种不同分配方案？ 解析：10 个名额分到 7 个班级，就是把 10 个名额看成 10 个相同的小球分成 7 堆，每堆至少一个，可以在 10 个小球的 9 个空位中插入 6 块木板， 每一种插法对应着一种分配方案， 故共有不同的分配方案为 6 9 84C 种. 8.8.限制条件的分配问题分类法限制条件的分配问题分类法: : 例 8.某高校从某系的 10 名优秀毕业生中选 4 人分别到西部四城市参加中国西部经济开发建设， 其中甲同学 不到银川，乙不到西宁，共有多少种不同派遣方案？

8、解析：因为甲乙有限制条件，所以按照是否含有甲乙来分类，有以下四种情况： 若甲乙都不参加，则有派遣方案 4 8 A种；若甲参加而乙不参加，先安排甲有 3 种方法，然后安排其余学 生有 3 8 A方法，所以共有 3 8 3A；若乙参加而甲不参加同理也有 3 8 3A种；若甲乙都参加，则先安排甲乙， 有 7 种方法，然后再安排其余 8 人到另外两个城市有 2 8 A种，共有 2 8 7A方法.所以共有不同的派遣方法总数 为 4332 8888 3374088AAAA种. 9.9.多元问题分类法：多元问题分类法：元素多，取出的情况也多种，可按结果要求分成不相容的几类情况分别计数，最后总元素多，取出的情

9、况也多种，可按结果要求分成不相容的几类情况分别计数，最后总 计计. . 例 9 （1） 由数字 0， 1， 2， 3， 4， 5 组成没有重复数字的六位数， 其中个位数字小于十位数字的共有 （） A、210 种B、300 种C、464 种D、600 种 解析：按题意，个位数字只可能是 0，1，2，3，4 共 5 种情况，分别有 5 5 A个， 11311311313 43333323333 ,A A AA A AA A AA A 个，合并总计 300 个,选B . （2）从 1，2，3，100 这 100 个数中，任取两个数，使它们的乘积能被 7 整除，这两个数的取法（不 计顺序）共有多少种？

10、 解析：被取的两个数中至少有一个能被 7 整除时，他们的乘积就能被 7 整除，将这 100 个数组成的集合视 为全集 I,能被 7 整除的数的集合记做7,14,21,98A共有 14 个元素,不能被 7 整除的数组成的集合记 做1,2,3,4,100A 共有 86 个元素；由此可知，从A中任取 2 个元素的取法有 2 14 C，从A中任取一个， 又从A中任取一个共有 11 1486 C C，两种情形共符合要求的取法有 211 141486 1295CC C种. （3）从 1，2，3，100 这 100 个数中任取两个数，使其和能被 4 整除的取法（不计顺序）有多少种？ 解析：将1,2,3,10

11、0I 分成四个不相交的子集，能被 4 整除的数集4,8,12,100A；能被 4 除余 1 的 数 集1,5,9,97B ， 能 被 4 除 余 2 的 数 集2,6,98C ， 能 被 4 除 余 3 的 数 集 3,7,11,99D ，易见这四个集合中每一个有 25 个元素；从A中任取两个数符合要；从,B D中各取一 个数也符合要求；从C中任取两个数也符合要求；此外其它取法都不符合要求；所以符合要求的取法共有 2112 25252525 CC CC种. 10.10. 交 叉 问 题 集 合 法 ：交 叉 问 题 集 合 法 ： 某 些 排 列 组 合 问 题 几 部 分 之 间 有 交 集

12、 ， 可 用 集 合 中 求 元 素 个 数 公 式某 些 排 列 组 合 问 题 几 部 分 之 间 有 交 集 ， 可 用 集 合 中 求 元 素 个 数 公 式 ()( )( )()n ABn An Bn AB 例 10.从 6 名运动员中选出 4 人参加 4100 米接力赛，如果甲不跑第一棒，乙不跑第四棒，共有多少种 不同的参赛方案？ 解析：设全集=6 人中任取 4 人参赛的排列 ，A=甲跑第一棒的排列 ，B=乙跑第四棒的排列 ，根据求 高中数学资料共享群：1070171219 集合元素个数的公式得参赛方法共有： ( )( )( )()nIn A nB n A B 4332 6554

13、252AAAA种. 11.11.定位问题优先法：定位问题优先法：某个或几个元素要排在指定位置，可先排这个或几个元素；再排其它的元素。某个或几个元素要排在指定位置，可先排这个或几个元素；再排其它的元素。 例 11.现 1 名老师和 4 名获奖同学排成一排照相留念，若老师不站两端则有不同的排法有多少种？ 解析： 老师在中间三个位置上选一个有 1 3 A种， 4 名同学在其余 4 个位置上有 4 4 A种方法； 所以共有 14 34 72A A 种。. 12.12.多排问题单排法多排问题单排法: :把元素排成几排的问题可归结为一排考虑，再分段处理。把元素排成几排的问题可归结为一排考虑，再分段处理。

14、例 12.（1）6 个不同的元素排成前后两排，每排 3 个元素，那么不同的排法种数是（） A、36 种B、120 种C、720 种D、1440 种 解析：前后两排可看成一排的两段，因此本题可看成 6 个不同的元素排成一排，共 6 6 720A 种，选C. （2）8 个不同的元素排成前后两排，每排 4 个元素，其中某 2 个元素要排在前排，某 1 个元素排在后排， 有多少种不同排法？ 解析：看成一排，某 2 个元素在前半段四个位置中选排 2 个，有 2 4 A种，某 1 个元素排在后半段的四个位置 中选一个有 1 4 A种，其余 5 个元素任排 5 个位置上有 5 5 A种，故共有 125 44

15、5 5760A A A 种排法. 13.13.“至少至少” “至多至多”问题用间接排除法或分类法问题用间接排除法或分类法: : 例 13.从 4 台甲型和 5 台乙型电视机中任取 3 台，其中至少要甲型和乙 型电视机各一台，则不同的取法 共有 （） A、140 种B、80 种C、70 种D、35 种 解析 1：逆向思考，至少各一台的反面就是分别只取一种型号，不取另一种型号的电视机，故不同的取法共 有 333 945 70CCC种,选.C 解析 2：至少要甲型和乙 型电视机各一台可分两种情况：甲型 1 台乙型 2 台；甲型 2 台乙型 1 台；故不同 的取法有 2112 5454 70C CC

16、C台,选C. 14.14.选排问题先取后排选排问题先取后排: :从几类元素中取出符合题意的几个元素从几类元素中取出符合题意的几个元素，再安排到一定的位置上再安排到一定的位置上，可用先取后排法可用先取后排法. . 例 14.（1）四个不同球放入编号为 1，2，3，4 的四个盒中，则恰有一个空盒的放法有多少种？ 解析：先取四个球中二个为一组，另二组各一个球的方法有 2 4 C种，再排：在四个盒中每次排 3 个有 3 4 A种， 故共有 23 44 144C A 种. （2）9 名乒乓球运动员，其中男 5 名，女 4 名，现在要进行混合双打训练，有多少种不同的分组方法？ 解析： 先取男女运动员各 2

17、 名， 有 22 54 C C种， 这四名运动员混和双打练习有 2 2 A中排法， 故共有 222 542 120C C A 种. 15.15.部分合条件问题排除法部分合条件问题排除法: :在选取的总数中，只有一部分合条件，可以从总数中减去不符合条件数，即为在选取的总数中，只有一部分合条件，可以从总数中减去不符合条件数，即为 所求所求. . 例 15.（1）以正方体的顶点为顶点的四面体共有（） A、70 种B、64 种C、58 种D、52 种 解析：正方体 8 个顶点从中每次取四点，理论上可构成 4 8 C四面体，但 6 个表面和 6 个对角面的四个顶点共 面都不能构成四面体，所以四面体实际共

18、有 4 8 1258C 个. （2）四面体的顶点和各棱中点共 10 点，在其中取 4 个不共面的点，不同的取法共有（） A、150 种B、147 种C、144 种D、141 种 解析：10 个点中任取 4 个点共有 4 10 C种，其中四点共面的有三种情况：在四面体的四个面上，每面内四 点共面的情况为 4 6 C，四个面共有 4 6 4C个；过空间四边形各边中点的平行四边形共 3 个；过棱上三点与 对棱中点的三角形共 6 个.所以四点不共面的情况的种数是 44 106 436141CC 种. 高中数学资料共享群：1070171219 16.16.圆排问题单排法圆排问题单排法: :把把n个不同元

19、素放在圆周个不同元素放在圆周n个无编号位置上的排列，顺序（例如按顺时钟）不同的排个无编号位置上的排列，顺序（例如按顺时钟）不同的排 法才算不同的排列，而顺序相同（即旋转一下就可以重合）的排法认为是相同的，它与普通排列的区别在法才算不同的排列，而顺序相同（即旋转一下就可以重合）的排法认为是相同的，它与普通排列的区别在 于只计顺序而首位、末位之分，下列于只计顺序而首位、末位之分，下列n个普通排列：个普通排列： 12323411 ,;,;, nnnn a a aa a a aaa aa 在圆排列中只算一种在圆排列中只算一种，因为旋转后可以重合因为旋转后可以重合，故认为相同故认为相同，n 个元素的圆排

20、列数有个元素的圆排列数有 !n n 种种. .因此可将某个元素固定展成单排，其它的因此可将某个元素固定展成单排，其它的1n元素全排列元素全排列. . 例 16.有 5 对姐妹站成一圈，要求每对姐妹相邻，有多少种不同站法？ 解析：首先可让 5 位姐姐站成一圈，属圆排列有 4 4 A种，然后在让插入其间，每位均可插入其姐姐的左边和 右边，有 2 种方式，故不同的安排方式 5 24 2768种不同站法. 说明：从n个不同元素中取出m个元素作圆形排列共有 1 m n A m 种不同排法. 17.17.可重复的排列求幂法可重复的排列求幂法: :允许重复排列问题的特点是以元素为研究对象，元素不受位置的约束

21、，可逐一安允许重复排列问题的特点是以元素为研究对象，元素不受位置的约束，可逐一安 排元素的位置，一般地排元素的位置，一般地n个不同元素排在个不同元素排在m个不同位置的排列数有个不同位置的排列数有 n m种方法种方法. . 例 17.把 6 名实习生分配到 7 个车间实习共有多少种不同方法？ 解析：完成此事共分 6 步，第一步；将第一名实习生分配到车间有 7 种不同方案，第二步：将第二名实习 生分配到车间也有 7 种不同方案，依次类推，由分步计数原理知共有 6 7种不同方案. 18.18.复杂排列组合问题构造模型法复杂排列组合问题构造模型法: : 例 18.马路上有编号为 1，2，3，9 九只路

22、灯，现要关掉其中的三盏，但不能关掉相邻的二盏或三盏， 也不能关掉两端的两盏，求满足条件的关灯方案有多少种？ 解析：把此问题当作一个排对模型，在 6 盏亮灯的 5 个空隙中插入 3 盏不亮的灯 3 5 C种方法,所以满足条件 的关灯方案有 10 种. 说明：一些不易理解的排列组合题，如果能转化为熟悉的模型如填空模型，排队模型，装盒模型可使问题 容易解决. 19.19.元素个数较少的排列组合问题可以考虑枚举法元素个数较少的排列组合问题可以考虑枚举法: : 例 19.设有编号为 1，2，3，4，5 的五个球和编号为 1，2，3，4，5 的盒子现将这 5 个球投入 5 个盒子 要求每个盒子放一个球，并

23、且恰好有两个球的号码与盒子号码相同，问有多少种不同的方法？ 解析：从 5 个球中取出 2 个与盒子对号有 2 5 C种，还剩下 3 个球与 3 个盒子序号不能对应，利用枚举法分析， 如果剩下 3，4，5 号球与 3，4，5 号盒子时，3 号球不能装入 3 号盒子，当 3 号球装入 4 号盒子时，4，5 号球只有 1 种装法，3 号球装入 5 号盒子时，4，5 号球也只有 1 种装法，所以剩下三球只有 2 种装法，因 此总共装法数为 2 5 220C 种. 20.20.复杂的排列组合问题也可用分解与合成法复杂的排列组合问题也可用分解与合成法: : 例 20.（1）30030 能被多少个不同偶数整

24、除？ 解析：先把 30030 分解成质因数的形式：30030=23571113；依题意偶因数 2 必取，3，5，7，11， 13 这 5 个因数中任取若干个组成成积，所有的偶因数为 012345 555555 32CCCCCC个. （2）正方体 8 个顶点可连成多少队异面直线？ 解析：因为四面体中仅有 3 对异面直线，可将问题分解成正方体的 8 个顶点可构成多少个不同的四面体， 从正方体 8 个顶点中任取四个顶点构成的四面体有 4 8 1258C 个，所以 8 个顶点可连成的异面直线有 3 58=174 对. 高中数学资料共享群：1070171219 21.21.利用对应思想转化法利用对应思想

25、转化法: :对应思想是教材中渗透的一种重要的解题方法，它可以将复杂的问题转化为简单对应思想是教材中渗透的一种重要的解题方法，它可以将复杂的问题转化为简单 问题处理问题处理. . 例 21.（1）圆周上有 10 点，以这些点为端点的弦相交于圆内的交点有多少个？ 解析：因为圆的一个内接四边形的两条对角线相交于圆内一点，一个圆的内接四边形就对应着两条弦相交 于圆内的一个交点，于是问题就转化为圆周上的 10 个点可以确定多少个不同的四边形，显然有 4 10 C个，所 以圆周上有 10 点，以这些点为端点的弦相交于圆内的交点有 4 10 C个. （2）某城市的街区有 12 个全等的矩形组成，其中实线表示马路，从A到B的最短路径有多少种？ 解析：可将图中矩形的一边叫一小段，从A到B最短路线必须走 7 小段，其中：向东 4 段，向北 3 段； 而且前一段的尾接后一段的首，所以只要确定向东走过 4 段的走法，便能确定路径，因此不同走法有 4 7 C种. 高中数学资料共享群：1070171219