新高一数学补习资料第21讲-二次函数的应用与根的分布.doc

1、 第 1 页 共 12 页 授课类型授课类型 T 二次函数的表达式 C 二次函数图像和性质 C 二次函数的图像和性质 授课日期及时段授课日期及时段 二次函数的表达式二次函数的表达式 一、知识梳理：知识梳理： 1、二次函数的三种表达式二次函数的三种表达式 1一般式：一般式：yax2bxc(a0)； 2顶点式：顶点式：ya(xh)2k (a0)，其中顶点坐标是，其中顶点坐标是(h，k) 除了上述两种表示方法外，它还可以用另一种形式来表示为了研究另一种表示方式，我们先来研究二次函数 y ax2bxc(a0)的图象与 x 轴交点个数 当抛物线 yax2bxc(a0)与 x 轴相交时，其函数值为零，于是

2、有 ax2bxc0 并且方程的解就是抛物线 yax2bxc(a0)与 x 轴交点的横坐标（纵坐标为零） ，于是，不难发现，抛物线 y ax2bxc(a0)与 x 轴交点个数与方程的解的个数有关，而方程的解的个数又与方程的根的判别式 b2 4ac 有关，由此可知，抛物线 yax2bxc(a0)与 x 轴交点个数与根的判别式 b24ac 存在下列关系： （1）当）当 0 时，抛物线时，抛物线 yax2bxc(a0)与与 x 轴有两个交点；反过来，若抛物线轴有两个交点；反过来，若抛物线 yax2bxc(a0)与与 x 轴轴 有两个交点，则有两个交点，则 0 也成立也成立 （2）当）当 0 时，抛物线

3、时，抛物线 yax2bxc(a0)与与 x 轴有一个交点（抛物线的顶点） ；反过来，若抛物线轴有一个交点（抛物线的顶点） ；反过来，若抛物线 yax2 bxc(a0)与与 x 轴有一个交点，则轴有一个交点，则 0 也成立也成立 （3）当）当 0 时，抛物线时，抛物线 yax2bxc(a0)与与 x 轴没有交点；反过来，若抛物线轴没有交点；反过来，若抛物线 yax2bxc(a0)与与 x 轴没轴没 有交点，则有交点，则 0 也成立也成立 于是，若抛物线 yax2bxc(a0)与 x 轴有两个交点 A(x1，0)，B(x2，0)，则 x1，x2是方程 ax2bxc0 的两 根，所以 x1x2 b

4、a ，x1x2 c a ， 即 b a (x1x2)， c a x1x2 第 2 页 共 12 页 所以，yax2bxca( 2 bc xx aa ) = ax2(x1x2)xx1x2a(xx1) (xx2) 由上面的推导过程可以得到下面结论： 若抛物线若抛物线 yax2bxc(a0)与与 x 轴交于轴交于 A(x1，0)，B(x2，0)两点，则其函数关系式可以表示为两点，则其函数关系式可以表示为 ya(xx1) (x x2) (a0) 这样，也就得到了表示二次函数的第三种方法： 3交点式：交点式：ya(xx1) (xx2) (a0)，其中，其中 x1，x2是二次函数图象与是二次函数图象与 x

5、 轴交点的横坐标轴交点的横坐标 今后，在求二次函数的表达式时，我们可以根据题目所提供的条件，选用一般式、顶点式、交点式这三种表达形 式中的某一形式来解题 二、二、例题讲解：例题讲解： 【例【例 1】 已知某二次函数的最大值为 2，图像的顶点在直线 yx1 上，并且图象经过点（3，1） ，求二次函数的 解析式 分析：在解本例时，要充分利用题目中所给出的条件最大值、顶点位置，从而可以将二次函数设成顶点式， 再由函数图象过定点来求解出系数 a 解：二次函数的最大值为 2，而最大值一定是其顶点的纵坐标， 顶点的纵坐标为 2 又顶点在直线 yx1 上， 所以，2x1，x1 顶点坐标是（1，2） 设该二次

6、函数的解析式为 2 (2)1(0)ya xa， 二次函数的图像经过点（3，1） ， 2 1(3 2)1a ，解得 a2 二次函数的解析式为 2 2(2)1yx，即 y2x28x7 说明：在解题时，由最大值确定出顶点的纵坐标，再利用顶点的位置求出顶点坐标，然后设出二次函数的顶点式， 最终解决了问题因此，在解题时，要充分挖掘题目所给的条件，并巧妙地利用条件简捷地解决问题 【例【例 2】 已知二次函数的图象过点(3，0)，(1，0)，且顶点到 x 轴的距离等于 2，求此二次函数的表达式 分析一：由于题目所给的条件中，二次函数的图象所过的两点实际上就是二次函数的图象与 x 轴的交点坐标，于 是可以将函

7、数的表达式设成交点式 解法一：二次函数的图象过点(3，0)，(1，0)， 可设二次函数为 ya(x3) (x1) (a0)， 展开，得 yax22ax3a， 第 3 页 共 12 页 顶点的纵坐标为 22 124 4 4 aa a a ， 由于二次函数图象的顶点到 x 轴的距离 2， |4a|2，即 a 1 2 所以，二次函数的表达式为 y 2 13 22 xx，或 y 2 13 22 xx 分析二：由于二次函数的图象过点(3，0)，(1，0)，所以，对称轴为直线 x1，又由顶点到 x 轴的距离为 2， 可知顶点的纵坐标为 2，或2，于是，又可以将二次函数的表达式设成顶点式来解，然后再利用图象

8、过点(3，0)， 或(1，0)，就可以求得函数的表达式 解法二：二次函数的图象过点(3，0)，(1，0)， 对称轴为直线 x1 又顶点到 x 轴的距离为 2， 顶点的纵坐标为 2，或2 于是可设二次函数为 ya(x1)22，或 ya(x1)22， 由于函数图象过点(1，0)， 0a(11)22，或 0a(11)22 a 1 2 ，或 a 1 2 所以，所求的二次函数为 y 1 2 (x1)22，或 y 1 2 (x1)22 说明：上述两种解法分别从与 x 轴的交点坐标及顶点的坐标这两个不同角度，利用交点式和顶点式来解题，在今 后的解题过程中，要善于利用条件，选择恰当的方法来解决问题 【例【例

9、3】 已知二次函数的图象过点(1，22)，(0，8)，(2，8)，求此二次函数的表达式 解：设该二次函数为 yax2bxc(a0) 由函数图象过点(1，22)，(0，8)，(2，8)，可得 22, 8, 842, abc c abc 解得 a2，b12，c8 所以，所求的二次函数为 y2x212x8 通过上面的几道例题，同学们能否归纳出：在什么情况下，分别利用函数的一般式、顶点式、交点式来求二次函 数的表达式？ 第 4 页 共 12 页 三、三、强化练习强化练习 1选择题: （1）函数 yx2x1 图象与 x 轴的交点个数是 （ ） （A）0 个 （B）1 个 （C）2 个 （D）无法确定 （

10、2）函数 y1 2 (x1) 22 的顶点坐标是 （ ） （A）(1，2) （B）(1，2) （C）(1，2) （D）(1，2) 2填空： （1） 已知二次函数的图象经过与x轴交于点(1， 0)和(2， 0)， 则该二次函数的解析式可设为ya (a0) （2）二次函数 yx2+2 3x1 的函数图象与 x 轴两交点之间的距离为 3根据下列条件，求二次函数的解析式 （1）图象经过点(1，2)，(0，3)，(1，6)； （2）当 x3 时，函数有最小值 5，且经过点(1，11)； （3）函数图象与 x 轴交于两点(1 2，0)和(1 2，0)，并与 y 轴交于(0，2) 四、四、回顾总结回顾总结

11、二次函数的图像和性质二次函数的图像和性质 一、知识梳理：一、知识梳理： 函数图象的函数图象的基本性质（开口方向、对称轴、顶点坐标、增减性、最值）基本性质（开口方向、对称轴、顶点坐标、增减性、最值） 第 5 页 共 12 页 1函数)0( 2 acbxaxy叫做一元二次函数. 2. 一元二次函数的图象是一条抛物线. 3任何一个二次函数)0( 2 acbxaxy都可把它的解析式配方为顶点式： a bac a b xay 4 4 ) 2 ( 2 2 . 4性质如下： （1）图象的顶点坐标为) 4 4 , 2 ( 2 a bac a b ，对称轴是直线 a b x 2 。 （2）最大（小）值 当0a，

12、函数图象开口向上，y有最小值， a bac y 4 4 2 min ，无最大值。 当0a，函数图象开口向下，y有最大值， a bac y 4 4 2 max ，无最小值。 （3）当0a，当 x 2 b a 时，y 随着 x 的增大而减小；当 x 2 b a 时，y 随着 x 的增大而增大； 当0a，当 x 2 b a 时，y 随着 x 的增大而增大；当 x 2 b a 时，y 随着 x 的增大而减小； 【说明】1.我们研究二次函数的性质常用的方法有两种：配方法和公式法。 2无论是利用公式法还是配方法我们都可以直接得出二次函数的顶点坐标与对称轴； 5二次函数的三种表达方式： 一般式：yax2bx

13、c(a0)； 顶点式：ya(xh)2k (a0)，其中顶点坐标是(h，k) 若抛物线 yax2bxc(a0)与 x 轴交于 A(x1，0)，B(x2，0)两点，则其函数关系式可以表示为 ya(xx1) (x x2) (a0) 二、二、例题讲解：例题讲解： x y O x 2 b a A 2 4 (,) 24 bacb aa x y O x 2 b a A 2 4 (,) 24 bacb aa 第 6 页 共 12 页 【例【例 1】 （）求二次函数 y3x26x1 图象的开口方向、对称轴、顶点坐标、最大值（或最小值） ，并指出 当 x 取何值时，y 随 x 的增大而增大（或减小）？并画出该函数

14、的图象 【答案】【答案】 y3x26x13(x1)24， 函数图象的开口向下；对称轴是直线 x1；顶点坐标为(1，4)； 当 x1 时，函数 y 取最大值 y4； 当 x1 时，y 随着 x 的增大而增大； 当 x1 时，y 随着 x 的增大而减小； 采用描点法画图，选顶点 A(1，4)， 与 x 轴交于点 B 2 33 (,0) 3 和 C 2 33 (,0) 3 ，与 y 轴的交点为 D(0，1)， 过这五点画出图象（如图 25 所示） 【二【二次函数的性质可以分别通过图直观地表示出来因此，在今后解决二次函数次函数的性质可以分别通过图直观地表示出来因此，在今后解决二次函数 问题时，可以借助

15、于函数图像、利用数形结合的思想方法来解决问题问题时，可以借助于函数图像、利用数形结合的思想方法来解决问题 】 函数函数 yax2bxc 图象作图要领：图象作图要领： （1） 确定开口方向：由二次项系数确定开口方向：由二次项系数 a 决定决定 （2） 确定对称轴：对称轴方程为确定对称轴：对称轴方程为 a b x 2 （3） 确确定图象与定图象与 x 轴的交点情况，轴的交点情况， 若若 0 则与则与 x 轴有两个交点， 可由方程轴有两个交点， 可由方程 x2bxc=0 求出求出若若 =0 则与则与 x 轴有一个交点，可由方程轴有一个交点，可由方程 x2bxc=0 求出求出若若 0 则与则与 x 轴

16、有无交点。轴有无交点。 （4） 确定图象与确定图象与 y 轴的交点情况轴的交点情况,令令 x=0 得出得出 y=c，所以交点坐标为（，所以交点坐标为（0，c）,由以上各要素画出草图由以上各要素画出草图. 【例【例 2】 （）把二次函数 yx2bxc 的图像向上平移 2 个单位，再向左平移 4 个单位，得到函数 yx2的图像， 求 b，c 的值 【答案】【答案】解法一：yx2bxc(x+ 2 b )2 2 4 b c ，把它的图像向上平移 2 个单位，再向左平移 4 个单位，得到 2 2 (4)2 24 bb yxc 的图像，也就是函数 yx2的图像，所以， 2 40, 2 20, 4 b b

17、c 解得 b8，c14 解法二：把二次函数 yx2bxc 的图像向上平移 2 个单位，再向左平移 4 个单位，得到函数 yx2的图像，等 价于把二次函数 yx2的图像向下平移 2 个单位，再向右平移 4 个单位，得到函数 yx2bxc 的图像 由于把二次函数 yx2的图像向下平移 2 个单位，再向右平移 4 个单位，得到函数 y(x4)22 的图像，即为 y x O y x1 A(1,4) D(0,1) B C 图 2.25 第 7 页 共 12 页 x28x14 的图像，函数 yx28x14 与函数 yx2bxc 表示同一个函数，b8，c14 说明：本例的两种解法都是利用二次函数图像的平移规

18、律来解决问题，所以，同学们要牢固掌握二次函数图像的 变换规律 【这两种解法反映了两种不同的思维方法：解法一，是直接利用条件进行正向的思维来解决的，其运算量相对较这两种解法反映了两种不同的思维方法：解法一，是直接利用条件进行正向的思维来解决的，其运算量相对较 大；而解法二，则是利用逆向思维，将原来的问题等价转化成与之等价的问题来解，具有计算量小的优点今后，大；而解法二，则是利用逆向思维，将原来的问题等价转化成与之等价的问题来解，具有计算量小的优点今后，我我 们在解题时，可以根据题目的具体情况，选择恰当的方法来解决问题们在解题时，可以根据题目的具体情况，选择恰当的方法来解决问题 】 【例【例 3】

19、 （1） （）如果cbxxxf 2 )(的图像关于3x对称，那么（ ） （A）)4() 1 ()3(fff （B） )4()3() 1 (fff （C）) 1 ()4()3(fff （D）) 1 ()3()4(fff 【答案】【答案】 )(xf的图像关于3x对称 又01a 抛物线开口向上，由图像可以看出)3(f是)(xf的最小值。 3431， ) 1 ()4()3(fff （2） （）如果cbxxxf 2 )(的图像关于2x对称，则) 1(f ) 1 (f。(用“”或“”填空) 【答案】【答案】)(xf的图像关于2x对称 又01a 抛物线开口向下 )2(1)2(1， ) 1 () 1(ff 【

20、点评】【点评】1.当当0a时，对称轴通过它的最低点时，对称轴通过它的最低点(此时函数有最小值此时函数有最小值)，如果这时有一个点离图象对称轴越远，则对应，如果这时有一个点离图象对称轴越远，则对应 的函数值就越大。如例的函数值就越大。如例 1(1)中当中当1x所对应的点比当所对应的点比当4x所对应的点离对称轴远，所以所对应的点离对称轴远，所以1x时对应的函数值也比时对应的函数值也比 较大。较大。 21.当当0a时，对称轴通过它的最高点时，对称轴通过它的最高点(此时函数有最大值此时函数有最大值)，如果这时有一个点离图象对称轴越远，则对，如果这时有一个点离图象对称轴越远，则对 应的函数值就越小。 如

21、例应的函数值就越小。 如例 1(2)中中当当1x所对应的点比当所对应的点比当1x所对应的点离对称轴远， 所以所对应的点离对称轴远， 所以1x对应的函数值也比对应的函数值也比 较小。较小。 【例【例 4】 （）求函数52 2 xxy 在给定区间5 , 1上的最值。 【答案】【答案】 （1）原函数化为6152 2 2 xxxy 01a 当1x时，6 min y 又1511 当5x时，106) 15( 2 max y 第 8 页 共 12 页 （2）原函数可化为： 9 10 ) 3 1 ( 2 xy，图象的对称轴是直线 3 1 x 注意到当21 x时，函数值随 x 的增大而减小 3 13 1 3 4

22、 412 3 2 2)2( 2 min fy 【例【例 5】 （）当0 x时，求函数(2)yxx 的取值范围 【答案】【答案】作出函数 2 (2)2yxxxx 在0 x内的图象 可以看出：当1x 时， min 1y ，无最大值所以，当0 x时，函数的取值范围是1y 【例【例 6】 （）已知函数 yx2，2xa，其中 a2，求该函数的最大值与最小值，并求出函数取最大值和最 小值时所对应的自变量 x 的值 分析：本例中函数自变量的范围是一个变化的范围，需要对分析：本例中函数自变量的范围是一个变化的范围，需要对 a 的取值进行讨论的取值进行讨论 【答案】【答案】 （1）当 a2 时，函数 yx2的图

23、象仅仅对应着一个点(2，4)，所以，函数的最大值和最小值都是 4，此时 x 2； （2）当2a0 时，由图 226可知，当 x2 时，函数取最大值 y4；当 xa 时，函数取最小值 y a2； （3）当 0a2 时，由图 226可知，当 x2 时，函数取最大值 y4；当 x0 时，函数取最小值 y0； （4）当 a2 时，由图 226可知，当 xa 时，函数取最大值 ya2；当 x0 时，函数取最小值 y0 三、三、强化练习强化练习 1. （）二次函数cbxaxy 2 的图象如右图，则点),( a c bM在（ ） x y O 2 a x y O 2 a a2 4 图 2.26 x y O a

24、 2 2 4 a2 2 x y O a a2 4 第 9 页 共 12 页 A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】【答案】D 2. （）已知二次函数cbxaxy 2 ，且0a，0cba，则一定有（ ） A. 04 2 acb B. 04 2 acb C. 04 2 acb D. acb4 2 0 【答案】【答案】A 3. （） 把抛物线cbxxy 2 向右平移3个单位， 再向下平移2个单位， 所得图象的解析式是53 2 xxy， 则有（ ） A. 3b，7c B. 9b，15c C. 3b，3c D. 9b，21c 【答案】【答案】A 4. （）已知反比例函数

25、 x k y 的图象如右图所示，则二次函数 22 2kxkxy的图象大致为（ ） O x y A O x y B O x y C O x y D 【答案】【答案】D 5.（）已知函数1 2 bxxy的图象经过点（3，2）. （1）求这个函数的解析式； （2）当0 x时，求使 y2 的 x 的取值范围. 【答案】【答案】 （1）函数1 2 bxxy的图象经过点（3，2） ，2139 b. 解得2b. 函数解析式为12 2 xxy. （2）当3x时，2y. 根据图象知当 x3 时，y2. 当0 x时，使 y2 的 x 的取值范围是 x3. 6.（）某公司推出了一种高效环保型洗涤用品，年初上市后，公

26、司经历了从亏损到赢利的过程，下面的二次函 O x y 第 10 页 共 12 页 数图象（部分）刻画了该公司年初以来累积利润 s（万元）与销售时间 t（月）之间的关系（即前 t 个月的利润总和 s 与 t 之间的关系）. （1）由已知图象上的三点坐标，求累积利润 s（万元）与销售时间 t（月）之间的函数关系式； （2）求截止到几月累积利润可达到 30 万元； （3）求第 8 个月公司所获利润是多少万元？ 【答案】【答案】 （1）设 s 与 t 的函数关系式为cbtats 2 ， 由题意得 ；5 . 2525 , 224 , 5 . 1 cba cba cba 或 . 0 , 224 , 5 .

27、 1 c cba cba 解得 . 0 , 2 , 2 1 c b a tts2 2 1 2 . （2）把 s=30 代入tts2 2 1 2 ，得.2 2 1 30 2 tt 解得10 1 t，6 2 t（舍去） 答：截止到 10 月末公司累积利润可达到 30 万元. （3）把7t代入，得. 5 .10727 2 1 2 s 把8t代入，得.16828 2 1 2 s 5 . 55 .1016. 答：第 8 个月获利润 5.5 万元. 四、四、回顾总结回顾总结 二次函数的图像和性质二次函数的图像和性质 第 11 页 共 12 页 一、知识梳理：一、知识梳理： 1、函数图象的平移变换与对称变换

28、函数图象的平移变换与对称变换 1平移变换平移变换 问题 1 在把二次函数的图象进行平移时，有什么特点？依据这一特点，可以怎样来研究二次函数的图象平移？ 我们不难发现：在对二次函数的图象进行平移时，具有这样的特点只改变函数图象的位置、不改变其形状， 因此，在研究二次函数的图象平移问题时，只需利用二次函数图象的顶点式研究其顶点的位置即可 2对称变换对称变换 问题 2 在把二次函数的图象关于与坐标轴平行的直线进行对称变换时，有什么特点？依据这一特点，可以怎样 来研究二次函数的图象平移？ 我们不难发现：在把二次函数的图象关于与坐标轴平行的直线进行对称变换时，具有这样的特点只改变函数 图象的位置或开口方

29、向、不改变其形状，因此，在研究二次函数图象的对称变换问题时，关键是要抓住二次函数的顶 点位置和开口方向来解决问题 二、例题讲解：二、例题讲解： 【例【例 1】 求把二次函数 yx24x3 的图象经过下列平移变换后得到的图象所对应的函数解析式： （1）向右平移 2 个单位，向下平移 1 个单位； （2）向上平移 3 个单位，向左平移 2 个单位 分析：由于平移变换只改变函数图象的位置而不改变其形状（即不改变二次项系数） ，所以只改变二次函数图象 的顶点位置（即只改变一次项和常数项） ，所以，首先将二次函数的解析式变形为顶点式，然后，再依据平移变换后 的二次函数图象的顶点位置求出平移后函数图像所对

30、应的解析式 解：二次函数 y2x24x3 的解析式可变为 y2(x1)21， 其顶点坐标为(1，1) （1）把函数 y2(x1)21 的图象向右平移 2 个单位，向下平移 1 个单位后， 其函数图象的顶点坐标是(3，2)， 所以，平移后所得到的函数图象对应的函数表达式就为 y2(x3)22 （2） 把函数 y2(x1)21 的图象向上平移 3 个单位， 向左平移 2 个单位后， 其函数图象的顶点坐标是(1， 2)， 所以，平移后所得到的函数图象对应的函数表达式就为 y2(x1)22 【例【例 2】求把二次函数 y2x24x1 的图象关于下列直线对称后所得到图象对应的函数解析式： （1）直线 x

31、1； 第 12 页 共 12 页 （2）直线 y1 解： （1）如图 227，把二次函数 y2x24x1 的图象关于直线 x 1 作对称变换后，只改变图象的顶点位置，不改变其形状 由于 y2x24x12(x1)21，可知，函数 y2x24x1 图象的顶 点为 A(1,1)，所以，对称后所得到图象的顶点为 A1(3，1)，所以，二次 函数 y2x24x1 的图象关于直线 x1 对称后所得到图象的函数解析式为 y 2(x3)21，即 y2x212x17 （2）如图 228，把二次函数 y2x24x1 的图象关于直线 x1 作对称 变换后，只改变图象的顶点位置和开口方向，不改变其形状 由于 y2x2

32、4x12(x1)21， 可知， 函数 y2x24x1 图象的顶点为 A(1, 1)，所以，对称后所得到图象的顶点为 B(1，3)，且开口向下，所以，二次函数 y 2x24x1的图象关于直线y1对称后所得到图象的函数解析式为y2(x1)2 3，即 y2x24x1 三、强化练习三、强化练习 1选择题： 把函数 y(x1)24 的图象向左平移 2 个单位，向下平移 3 个单位，所得图象对应的解析式为 （ ） （A）y (x1)21 （B）y(x1)21 （C）y(x3)24 （D）y(x3)21 2某商场销售一批名脾衬衫，平均每天可售出 20 件，每件盈利 40 元，为了扩大销售，增加盈利，尽快减少库存， 商场决定采取适当的降价措施经调查发现每件衬衫降价 1 元， 商场平均每天可多售出 2 件： （1）若商场平均每天要盈利 1200 元，每件衬衫要降价多少元， （2）每件衬衫降价多少元时，商场平均每天盈利最多? 四、回顾总结四、回顾总结 x y O y A(1,1) B(1，3) 图2.28 x y O x1 A(1,1) A1(3,1) 图 2.27