新高一数学补习资料第8讲-基本不等式及其应用.doc
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1、、 1 / 6 主主 题题 基本不等式及其应用 教学内容教学内容 1. 掌握两个基本不等式; 2.能用基本不等式解决一些简单问题. (以提问的形式回顾)(以提问的形式回顾) 1. 证明不等式abba2 22 ,并说明 a、b 的范围及取等号的条件。 通过作差,构成完全平方公式即可证明,这里的 a、b 是任意实数,当且仅当 a=b 时取等。 2. 明不等式abba2,并说明 a、b 的范围及取等号的条件。 通过作差,构成完全平方公式即可证明,这里的 a、b 是正实数,当且仅当 a=b 时取等。 基本不等式基本不等式 1:若, a b_,则abba2 22 ,当且仅当_时取等号; 基本不等式基本不
2、等式 2:若, a b_,则ab ba 2 (或abba2) ,当且仅当_时取等号. 两个基本不等式的异同:两个基本不等式的异同: 两个基本不等式中实数ba,的取值范围是不同的,运用第二个不等式时,ba,必须都是_. 两个基本不等式中等号成立的条件:当且仅当_时取等号; 两个基本不等式的变形: 第一个不等式可变形为abba_)( 2 或 222 )(22baba,其中Rba,; 第二个不等式可变形为abba4)( 2 或 2 () 2 ab ab ,其中 Rba,. 这里的变形要让学生理解是如何得来的,同时也让学生试着去发现这些不等式都出现了哪些运算形式,有求 和,乘积,平方和,开方和。 常用
3、基本不等式 2 来求最值:当两个正数ba,的积为定值时,由abba2可得当ba 时,它们的和 有最_值; 当两个正数ba,的和为定值时, 由 2 ) 2 ( ba ab 可得当ba 时, 它们的积有最_ 值,正所谓“积定和最积定和最_,和定积最,和定积最_”. 、 2 / 6 小,大,小,大 (采用教师(采用教师引导,学生轮流回答的形式)引导,学生轮流回答的形式) 例 1. 若1ab,求ba的取值范围. 答案:当0, 0ba时,2ba,当且仅当1ba时取等号; 当0, 0ba时,2ba,当且仅当1ba时取等号. 这里学生更多的是想到第一种情况,教师讲解时可以重点讲下第二种情况,同时也让学生见识
4、遇到两个负数 和的时候,如何求解最大值 试一试:求下列各式的取值范围: (1)若0 x,求 x x 1 的取值范围; (2)求 x x 1 的取值范围; (3)求 2 2 2 1 3 x x 的取值范围. 答案: (1)2 1 2 1 x x x x,当且仅当 x x 1 即1x时取等号; (2)当0 x时,2 1 2 1 x x x x,当且仅当 x x 1 即1x时取等号; 当0 x时,2) 1 ()(2) 1 ()( x x x x,所以2 1 x x,当且仅当 x x 1 即1x时取等号; (3)由题可知,0 2 x,所以6 2 1 32 2 1 3 2 2 2 2 x x x x,当
5、且仅当 2 2 2 1 3 x x 即 4 6 1 x时取等号. 例 2. 已知) 1 , 0(, ba且ba,下列各式中最大的是( ) A. 22 ba ; B.ab2; C.ab2; D.ba. 答案:D. 由基本不等式,可排除B.C选项.又由) 1 , 0(, ba可得: 22 ba ba. 试一试:下列结论中不正确的是( ) A.0a时,2 1 a a; B.2 b a a b ; C.abba2 22 ; D. 2 )( 2 22 ba ba . 答案:B.当ba,异号时,0 a b ,等式不成立. 、 3 / 6 例 3. 已知3x,求 3 4 1 x x的最小值; 答案:84 3
6、 4 ) 3(24 3 4 3 3 4 1 x x x x x x, 当且仅当 3 4 3 x x, 即5x时取等号. 可以提问一下学生,凑出 x-3 的目的何在? 试一试:已知 5 4 x ,求 1 42 45 x x 的最大值. 答 案 : 1 42 45 x x 3 54 1 54 x x, 由 于 5 4 x ,054x, 所 以2 54 1 54 x x, 13 54 1 54 x x,当且仅当 54 1 54 x x即1x时取等号. 例 4. 当0 x时,求 x xx43 2 的最小值. 答案:当0 x时,原式73 4 x x,当且仅当 x x 4 即2x时取等号. 【当学生没有思
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