人教版高一数学必修一同步课件：3.2.1几类不同增长的函数模型.ppt

1、3.2 函数模型及其应用 3.2.1 几类不同增长的函数模型 三种函数模型的性质三种函数模型的性质 y=ay=ax x(a1)(a1) y=logy=loga ax(a1)x(a1) y=xy=xn n(n0)(n0) 在在(0,+)(0,+) 上的增减性上的增减性 _ _ _ 图象的变化图象的变化 随随x x增大逐渐增大逐渐 与与_ 随随x x增大逐渐与增大逐渐与 _ 随随n n值而值而 不同不同 增长速度增长速度 y=ay=ax x(a1):(a1):随着随着x x的增大的增大,y,y增长速度增长速度_,_, 会远远大于会远远大于y=xy=xn n(n0)(n0)的增长速度的增长速度,y=

2、log,y=loga ax(a1)x(a1) 的增长速度的增长速度_ 存在一个存在一个x x0 0, ,当当xxxx0 0时时, ,有有_ 增函数增函数 增函数增函数 增函数增函数 y y轴平行轴平行 x x轴平行轴平行 越来越快越来越快 越来越慢越来越慢 a ax xxxn nlogloga ax x 判断：判断：( (正确的打“正确的打“”，错误的打“”，错误的打“”)”) (1)(1)函数函数y=xy=x2 2比比y=2y=2x x增长的速度更快些增长的速度更快些.( ).( ) (2)(2)当当a a1 1，n n0 0时，在区间时，在区间(0,+)(0,+)上，对任意的上，对任意的x

3、 x，总有，总有 logloga ax xx xn na ax x成立成立.( ).( ) (3)(3)能用指数型函数能用指数型函数f(x)=abf(x)=abx x+c(a,b,c+c(a,b,c为常数为常数,a,a0,b0,b1)1)表表 达的函数模型达的函数模型, ,称为指数型函数模型，也常称为“爆炸型”函称为指数型函数模型，也常称为“爆炸型”函 数数.( ).( ) 提示：提示：(1)(1)错误错误. .由图象可知由图象可知.y=2.y=2x x的增长速度远远快于的增长速度远远快于y=xy=x2 2的的 增长速度增长速度. . (2)(2)错误错误. .不是对于任意的不是对于任意的x

4、x成立，但总存在成立，但总存在x x0 0，使得当，使得当a a1 1， n n0 0，x xx x0 0时，时，logloga ax xx xn na ax x成立成立. . (3)(3)正确正确. .指数型函数模型是能用指数型函数指数型函数模型是能用指数型函数f(x)=abf(x)=abx x+c +c (a,b,c(a,b,c为常数为常数,a,a0,b0,b1)1)表达的函数模型，其增长特点是随表达的函数模型，其增长特点是随 着自变量着自变量x x的增大的增大, ,函数值增大的速度越来越快函数值增大的速度越来越快, ,常称之为常称之为“指指 数爆炸数爆炸”. . 答案：答案：(1)(1)

5、 (2)(2) (3)(3) 【知识点拨知识点拨】 1.1.三类函数模型的增长差异三类函数模型的增长差异 (1)(1)对于幂函数对于幂函数y=xy=xn n, ,当当x x0 0，n n0 0时，时，y=xy=xn n才是增函数，当才是增函数，当n n 越大时越大时, ,增长速度越快增长速度越快. . (2)(2)指数函数与对数函数的递增前提是指数函数与对数函数的递增前提是a a1 1，又它们的图象关，又它们的图象关 于于y=xy=x对称，从而可知，当对称，从而可知，当a a越大时，越大时，y=ay=ax x增长越快；当增长越快；当a a越小越小 时，时，y=logy=loga ax(ax(a

6、1)1)增长越快，一般来说，增长越快，一般来说，a ax xlogloga ax(xx(x0,0, a a1).1). (3)(3)指数函数与幂函数，当指数函数与幂函数，当x x0,n0,n0,a0,a1 1时，可能开始时有时，可能开始时有 x xn na ax x，但因指数函数是，但因指数函数是“爆炸型爆炸型”函数函数, ,当当x x大于某一个确定大于某一个确定 值值x x0 0后后, ,就一定有就一定有a ax xx xn n. . 2.2.由增长速度确定函数模型的技巧由增长速度确定函数模型的技巧 (1)(1)增长速度不变的函数模型是一次函数模型增长速度不变的函数模型是一次函数模型. .

7、(2)(2)增长速度最快即呈现增长速度最快即呈现“爆炸爆炸”式增长的函数模型应该是指式增长的函数模型应该是指 数型函数模型数型函数模型. . (3)(3)增长速度较慢的函数模型是对数型函数模型增长速度较慢的函数模型是对数型函数模型. . (4)(4)增长速度平稳的函数模型是幂函数模型增长速度平稳的函数模型是幂函数模型. . 类型类型 一一 函数模型的增长差异函数模型的增长差异 【典型例题典型例题】 1.1.下列函数中，随下列函数中，随x x的增大，增长速度最快的是的增大，增长速度最快的是( )( ) A.yA.y50 x B.y50 x B.yx x50 50 C.yC.y5050 x x D

8、.yD.yloglog50 50 x(xN x(xN* *) ) 2.2.研究函数研究函数y=0.5ey=0.5ex x- -2,y=ln(x+1),y=x2,y=ln(x+1),y=x2 2- -1 1在在0,+)0,+)上的增上的增 长情况长情况. . 【解题探究解题探究】1.1.处理函数模型增长速度差异问题的关键是什处理函数模型增长速度差异问题的关键是什 么？么？ 2.2.对数函数模型和指数函数模型的增长速度有何差异？对数函数模型和指数函数模型的增长速度有何差异？ 探究提示：探究提示： 1.1.是确定变量间的关系是确定变量间的关系, , 不能仅仅根据自变量较大时对应的不能仅仅根据自变量较

9、大时对应的 函数值比较函数值比较, ,还要看函数的变化趋势还要看函数的变化趋势. . 2.2.对数函数模型变化规律是先快后慢对数函数模型变化规律是先快后慢, ,增长速度比较平缓增长速度比较平缓, ,指指 数函数模型变化规律是先慢后快数函数模型变化规律是先慢后快, ,增长速度急剧上升增长速度急剧上升. . 【解析解析】1.1.选选C.C.由于指数函数的增长是爆炸式的，所以当由于指数函数的增长是爆炸式的，所以当x x越越 来越大时，函数来越大时，函数y=50y=50 x x增长速度最快故选增长速度最快故选C.C. 2.2.分别在同一个坐标系中画出三个函数的图象分别在同一个坐标系中画出三个函数的图象

10、( (如图如图),),从图象从图象 上可以看出函数上可以看出函数y=0.5ey=0.5ex x- -2 2的图象首先超过了函数的图象首先超过了函数y=ln(x+1)y=ln(x+1) 的图象的图象, ,然后又超过了然后又超过了y=xy=x2 2- -1 1的图象的图象, ,即存在一个即存在一个x x0 0满足满足 当当x xx x0 0时时, , ln(x+1)xln(x+1)x2 2- -10.5e1f(13)f(12)f(13)，x x1313时，时， f(x)f(x)取最小值，取最小值，用用1313名工人制作课桌，名工人制作课桌，1717名工人制作椅子名工人制作椅子 完成任务最快完成任务

11、最快 【拓展提升拓展提升】解函数应用题的四个步骤解函数应用题的四个步骤 第一步第一步: :阅读、理解题意阅读、理解题意, ,认真审题认真审题. . 读懂题中的文字叙述读懂题中的文字叙述, ,理解叙述所反映的实际背景理解叙述所反映的实际背景, ,领悟从背领悟从背 景中概括出来的数学实质景中概括出来的数学实质. .审题时要抓住题目中的关键量审题时要抓住题目中的关键量, ,善善 于联想、化归于联想、化归, ,实现应用问题向数学问题的转化实现应用问题向数学问题的转化. . 第二步第二步: :引进数学符号引进数学符号, ,建立数学模型建立数学模型. . 一般地，设自变量为一般地，设自变量为x,x,函数为

12、函数为y,y,并用并用x x表示各相关量表示各相关量, ,然后根然后根 据已知条件据已知条件, ,运用已掌握的数学知识、物理知识及其他相关知运用已掌握的数学知识、物理知识及其他相关知 识建立函数关系式识建立函数关系式, ,将实际问题转化为一个数学问题将实际问题转化为一个数学问题, ,实现问实现问 题的数学化题的数学化, ,即所谓建立数学模型即所谓建立数学模型. . 第三步第三步: :利用数学方法解答得到的常规数学问题利用数学方法解答得到的常规数学问题( (即数学模型即数学模型),), 求得结果求得结果. . 第四步第四步: :再转译成具体问题作出解答再转译成具体问题作出解答. . 【变式训练变

13、式训练】某债券市场发行三种债券，某债券市场发行三种债券，A A种面值为种面值为100100元，元， 一年到期本息和为一年到期本息和为103103元；元；B B种面值为种面值为5050元，半年到期本息和元，半年到期本息和 为为51.451.4元；元；C C种面值为种面值为100100元，但买入价为元，但买入价为9797元，一年到期本元，一年到期本 息和为息和为100100元作为购买者，分析这三种债券的收益，从小到元作为购买者，分析这三种债券的收益，从小到 大排列为大排列为( )( ) A.B,A,C B.A,C,BA.B,A,C B.A,C,B C.A,B,C D.C,A,BC.A,B,C D.

14、C,A,B 【解析解析】选选B.AB.A种债券的收益是每种债券的收益是每100100元收益元收益3 3元；元；B B种债券的利种债券的利 率为率为 所以所以100100元一年到期的本息和为元一年到期的本息和为 收益为收益为5.685.68元；元；C C种债券的利率种债券的利率 为为 100100元一年到期的本息和为元一年到期的本息和为 收益为收益为3.093.09元元 51.4 50 50 ， 2 51.4 50 100 (1)105.68 50 元 ， 100 97 97 ， 100 97 100(1)103.09 97 元 ， 【易错误区易错误区】比较大小时错用图象致误比较大小时错用图象致

15、误 【典例典例】(2012(2012南充高一检测南充高一检测) )已知函数已知函数f(x)=2f(x)=2x x和和g(x)=xg(x)=x3 3, , 在同一坐标系下作出它们的图象在同一坐标系下作出它们的图象, ,结合图象比较结合图象比较 f(8),g(8),f(2013)f(8),g(8),f(2013)，g(2013)g(2013)的大小为的大小为_._. 【解析解析】列表为：列表为： 描点、连线，得如图所示图象：描点、连线，得如图所示图象： 则函数则函数f(x)=2f(x)=2x x对应的图象为对应的图象为C C2 2, ,函数函数g(x)=xg(x)=x3 3对应的图象为对应的图象为

16、C C1 1 , , x x . - -1 1 0 0 1 1 2 2 3 3 . f(x)f(x) . 1 1 2 2 4 4 8 8 . g(x)g(x) . - -1 1 0 0 1 1 8 8 2727 . 1 2 g(1)=1,f(1)=2,g(2)=8,f(2)=4,g(9)=729,g(1)=1,f(1)=2,g(2)=8,f(2)=4,g(9)=729, f(9)=512,g(10)=1 000,f(10)=1 024,f(9)=512,g(10)=1 000,f(10)=1 024, f(1)f(1)g(1),f(2)g(1),f(2)g(2),f(9)g(2),f(9)g(

17、9),f(10)g(9),f(10)g(10)g(10)， 1 1x x1 12,92,9x x2 210,x10,x1 18 8x x2 22013.2013. 从图象上知，当从图象上知，当x x1 1x xx x2 2时，时，f(x)f(x)g(x),g(x), 当当x xx x2 2时，时，f(x)f(x)g(x),g(x),且且g(x)g(x)在在(0,+)(0,+)上是增函数上是增函数, , f(2 013)f(2 013)g(2 013)g(2 013)g(8)g(8)f(8).f(8). 答案：答案： f(2 013)f(2 013)g(2 013)g(2 013)g(8)g(8

18、)f(8)f(8) 【类题试解类题试解】已知已知1616x x2020，利用图象可判断出，利用图象可判断出 和和loglog2 2x x 的大小关系为的大小关系为_._. 1 2 x 【解析解析】作出作出f(x)= f(x)= 和和g(x)=logg(x)=log2 2x x的图象的图象, ,如图所示如图所示: : 由图象可知由图象可知: :在在(0,4)(0,4)内内, , loglog2 2x; x=4x; x=4或或x=16x=16时时, =log, =log2 2x;x; 在在(4,16)(4,16)内内 loglog2 2x;x;在在(16,20)(16,20)内内 loglog2

19、2x.x. 答案：答案： loglog2 2x x 1 2 x 1 2 x 1 2 x 1 2 x 1 2 x 1 2 x 【误区警示误区警示】 【防范措施防范措施】 1.1.函数图象的掌握函数图象的掌握 对于一些基本的初等函数的图象，要掌握好图象的最基本的对于一些基本的初等函数的图象，要掌握好图象的最基本的 特征，能够分辨出各函数对应的图象的差别特征，能够分辨出各函数对应的图象的差别. .如本例中主要是如本例中主要是 指数函数和幂函数图象的区别，只要把握好指数函数的图象指数函数和幂函数图象的区别，只要把握好指数函数的图象 呈指数爆炸增长，增长速度快，就好区别呈指数爆炸增长，增长速度快，就好区

20、别. . 2.2.函数值的大小比较函数值的大小比较 在比较函数值的大小时，结合函数图象的特征，利用数形结在比较函数值的大小时，结合函数图象的特征，利用数形结 合的思想来判断合的思想来判断. .如本例中判断出如本例中判断出1 1x x1 12,92,9x x2 21010，从而，从而 得出得出x x1 18 8x x2 22 0132 013，这样结合函数的单调性从而判断出，这样结合函数的单调性从而判断出 f(8),g(8),f(2 013)f(8),g(8),f(2 013)，g(2 013)g(2 013)的大小的大小. . 1.1.对于函数对于函数f(x)=xf(x)=x2 2，g(x)=

21、2g(x)=2x x，h(x)=logh(x)=log2 2x x，当，当x(4,+)x(4,+)时，时， 三个函数的增长速度的比较，下列选项中正确的是三个函数的增长速度的比较，下列选项中正确的是( )( ) A.f(x)A.f(x)g(x)g(x)h(x) B.g(x)h(x) B.g(x)f(x)f(x)h(x)h(x) C.g(x)C.g(x)h(x)h(x)f(x) D.f(x)f(x) D.f(x)h(x)h(x)g(x)g(x) 【解析解析】选选B.B.对幂函数、指数函数、对数函数增长速度的比较：对幂函数、指数函数、对数函数增长速度的比较： 直线上升、指数爆炸、对数增长直线上升、指

22、数爆炸、对数增长, ,故当故当x(4,+)x(4,+)时时, , h(x)h(x)f(x)f(x)g(x).g(x). 2.2.某厂原来月产量为某厂原来月产量为a a，1 1月份增产月份增产10%10%，2 2月份比月份比1 1月份减产月份减产 10%10%，设，设2 2月份产量为月份产量为b b，则，则( )( ) A.a=b B.aA.a=b B.ab b C.aC.ab D.b D.无法比较无法比较a,ba,b的大小的大小 【解析解析】选选B.b=a(1+10%)(1B.b=a(1+10%)(1- -10%)10%)， b=a(1b=a(1- - ),a),ab.b.故选故选B.B. 1

23、 100 3.3.在股票买卖过程中，经常用两种曲线来描述价格变化情况，在股票买卖过程中，经常用两种曲线来描述价格变化情况， 一种是即时价格曲线一种是即时价格曲线y=f(x)y=f(x)，另一种是平均价格曲线，另一种是平均价格曲线y=g(x)y=g(x)， 如如f(2)=3f(2)=3表示股票开始买卖后表示股票开始买卖后2 2小时的即时价格为小时的即时价格为3 3元；元；g(2)=3g(2)=3 表示表示2 2小时内的平均价格为小时内的平均价格为3 3元，下面给出了四个图象，实线表元，下面给出了四个图象，实线表 示示y=f(x)y=f(x)，虚线表示，虚线表示y=g(x)y=g(x)，其中最有可

24、能正确的是，其中最有可能正确的是( )( ) 【解析解析】选选C.C.即时价格若一直下跌，则平均价格也应该一直即时价格若一直下跌，则平均价格也应该一直 下跌，故排除下跌，故排除A,DA,D；即时价格若一直上升，则平均价格也应一；即时价格若一直上升，则平均价格也应一 直上升，排除直上升，排除B.(B.(也可以由也可以由x x从从0 0开始增大时，开始增大时，f(x)f(x)与与g(x)g(x)应在应在 y y轴上有相同起点，排除轴上有相同起点，排除A,D)A,D)，故选，故选C.C. 4.4.某种病毒经某种病毒经3030分钟繁殖为原来的分钟繁殖为原来的2 2倍，且知病毒的繁殖规律倍，且知病毒的繁

25、殖规律 为为y=ey=ekt kt( (其中 其中k k为常数，为常数，t t表示时间，单位：小时，表示时间，单位：小时，y y表示病毒个表示病毒个 数数) )，则，则k k_，经过，经过5 5小时，小时，1 1个病毒能繁殖为个病毒能繁殖为_个个 【解析解析】当当t t0.50.5时，时，y y2 2， k=2ln2k=2ln2，y=ey=e2tln2 2tln2，当 ，当t t5 5时，时， y=2y=210 10 1 024.1 024. 答案：答案：2ln2 1 0242ln2 1 024 k 2 2e， 5 5某商品价格前两年每年递增某商品价格前两年每年递增20%20%，后两年每年递减

26、，后两年每年递减20%20%，则，则 四年后的价格与原来的价格比较，变化情况是四年后的价格与原来的价格比较，变化情况是_ 【解析解析】设原来商品价格为设原来商品价格为1 1个单位，则个单位，则 1 1(1(120%)20%)2 2(1(120%)20%)2 20.92160.921692.16%92.16%， 减少了减少了7.84%.7.84%. 答案：答案：减少了减少了7.84%7.84% 6.6.在不考虑空气阻力的情况下，火箭的最大速度在不考虑空气阻力的情况下，火箭的最大速度vm/svm/s和燃料质量和燃料质量 MkgMkg、火箭、火箭( (除燃料外除燃料外) )质量质量mkgmkg的关系

27、是的关系是v=2000ln(1+ )v=2000ln(1+ )，则当，则当 燃料质量是火箭质量的多少倍时，火箭的最大速度可达燃料质量是火箭质量的多少倍时，火箭的最大速度可达12km/s12km/s？ 【解析解析】依题意知依题意知2000ln(1+ )=120002000ln(1+ )=12000， ln(1+ )=6,1+ =eln(1+ )=6,1+ =e6 6, ,故故 =e=e6 6- -1.1. 故当燃料质量是火箭质量的故当燃料质量是火箭质量的e e6 6- -1 1倍时倍时, ,火箭的最大速度可达火箭的最大速度可达 12km/s.12km/s. M m M m M m M m M m