人教版高一数学必修一同步课件：2.2.1（第2课时）对数的运算.ppt

1、第2课时 对数的运算 一、对数的运算性质一、对数的运算性质 1.1.前提条件前提条件 a a的取值范围的取值范围 _ M,NM,N的取值范围的取值范围 _ a0,a0,且且a1a1 M0,N0M0,N0 2.2.运算性质运算性质 (1)log(1)loga a(MN)=_.(MN)=_. (2)Log(2)Loga a =_. =_. (3)log(3)loga aM Mn n=_.=_. logloga aM+logM+loga aN N M N logloga aM M- -logloga aN N nlognloga aM(nR)M(nR) 判断：判断：( (正确的打“正确的打“”，错误

2、的打“”，错误的打“”)”) (1)(1)积、商的对数可以化为对数的和、差积、商的对数可以化为对数的和、差.( ).( ) (2)log(2)loga axlogxloga ay=logy=loga a(x+y).( )(x+y).( ) (3)log(3)loga a( (- -2)2)2 2=2log=2loga a( (- -2).( )2).( ) 提示：提示：(1)(1)正确正确. .由对数的运算性质由对数的运算性质(1)(2)(1)(2)可知正确可知正确. . (2)(2)错误错误. .由对数的运算性质由对数的运算性质(1)(1)知其不符合性质的形式，故不知其不符合性质的形式，故不

3、 正确正确. . (3)(3)错误错误.log.loga a( (- -2)2)2 2=log=loga a2 22 2=2log=2loga a2.2. 答案：答案：(1) (2)(1) (2) (3)(3) 二、对数的换底公式二、对数的换底公式 思考：思考：换底公式的作用是什么？换底公式的作用是什么？ 提示：提示：利用换底公式可以把不同底数的对数化为同底数的对数利用换底公式可以把不同底数的对数化为同底数的对数. . 前提前提 条件条件 原对数的底数原对数的底数a a的取值范围的取值范围 _ 原对数的真数原对数的真数b b的取值范围的取值范围 _ 换底后对数的底数换底后对数的底数c c的取值

4、范围的取值范围 _ 公式公式 logloga ab=_b=_ c c log b log a a0,a0,且且a1a1 b0b0 c0,c0,且且c1c1 【知识点拨知识点拨】 1.1.对数的运算性质对数的运算性质(1)(1)的推广的推广 对于性质对于性质(1),(1),可以推广到若干个正因数的积可以推广到若干个正因数的积: : logloga a(M(M1 1M M2 2M M3 3M Mn n)=log)=loga aM M1 1+log+loga aM M2 2+ +log+loga aM Mn n(a0,(a0,且且 a1,Ma1,Mi i0,i=1,2,0,i=1,2,n).,n).

5、 2.2.对数运算性质的两个注意点对数运算性质的两个注意点 (1)(1)适用前提：对数的运算性质的适用条件是适用前提：对数的运算性质的适用条件是“同底，且真数同底，且真数 为正为正”，即，即a a0,a1,M0,a1,M0,N0,N0.0.若去掉此条件若去掉此条件, ,性质不一定性质不一定 成立，如成立，如loglog3 3( )log( )log3 3( (- -8)8)- -loglog3 3( (- -3).3). 8 3 (2)(2)可逆性：对数的运算性质具有可逆性，具体如下：可逆性：对数的运算性质具有可逆性，具体如下： logloga aM+logM+loga aN=logN=log

6、a a(MN)(a(MN)(a0,a1,M0,a1,M0,N0,N0),0),如如 lg2+lg5=lg10=1lg2+lg5=lg10=1； nlognloga aM=logM=loga aM Mn n(a(a0,a1,M0,a1,M0,nR),0,nR),如如2log2log2 23=log3=log2 23 32 2； logloga aM M- -logloga aN=logN=loga a (a(a0,a1,M0,a1,M0,N0,N0),0),如如 lg3lg3- -lg2=lglg2=lg M N 3 . 2 3.3.对数换底公式的证明对数换底公式的证明 4.4.关于换底公式的两

7、个常见结论关于换底公式的两个常见结论 (1)log(1)loga ab bloglogb ba=1.a=1. (2)log(2)loga am mb bn n= log= loga ab.b. 其中其中a0a0，且，且a1a1，b0,b0,且且b1,mR,nR,m0.b1,mR,nR,m0. n m 类型类型 一一 对数运算性质的应用对数运算性质的应用 【典型例题典型例题】 1.(20131.(2013武汉高一检测武汉高一检测) )若若lgxlgxlgylgya a，则，则lg( )lg( )3 3lg( )lg( )3 3 等于等于( )( ) A.3a B. C.3aA.3a B. C.3

8、a- -2 D.a2 D.a 2.2.计算：计算： (1)2log(1)2log2 21010loglog2 20.040.04_._. (2) (2) _._. x 2 y 2 3 a 2 lg3 2lg2 1 lg1.2 3.3.已知已知loglog2 23=a3=a，loglog2 25=b5=b，求下列各式的值，求下列各式的值. . (1)log(1)log2 20.6. (2)log0.6. (2)log2 2 (3)(3) 【解题探究解题探究】1.1.根据哪些对数运算性质，可以把本题中所求根据哪些对数运算性质，可以把本题中所求 对数式与已知等式联系起来？对数式与已知等式联系起来？

9、2.2.形如形如nlognloga aM M的代数式可逆用对数运算的哪条性质？同底的的代数式可逆用对数运算的哪条性质？同底的 对数相加减应如何逆用对数的运算性质？对数相加减应如何逆用对数的运算性质？ 3.3.题题3 3中对数的底数都是中对数的底数都是2 2，真数情况较复杂，真数如何变形，真数情况较复杂，真数如何变形 才可以用对数的运算性质？才可以用对数的运算性质？ 30. 4 2 3 log. 125 探究提示：探究提示： 1.1.先用先用logloga aM Mn n=nlog=nloga aM M，再用，再用logloga a =log =loga aM M- -logloga aN N，

10、可将，可将lg( )lg( )3 3 化为化为3(lgx3(lgxlg2)lg2)，可将，可将lg( )lg( )3 3化为化为3(lgy3(lgylg2).lg2). 2.2.形如形如nlognloga aM M的代数式可逆用的代数式可逆用logloga aM Mn n=nlog=nloga aM.M.同底的对数相加、同底的对数相加、 减可以逆用对数的运算性质化为积、商的对数减可以逆用对数的运算性质化为积、商的对数. . 3.3.为了用对数的运算性质简化，先要把对数进行如下变形：为了用对数的运算性质简化，先要把对数进行如下变形： 即真数的位置出现即真数的位置出现2 2，3 3，5 5才可以利

11、用已知条件才可以利用已知条件. . M N x 2 y 2 1 41 4 2 3 333 0.6302 3 5 51255 ， 【解析解析】1.1.选选A.lg( )A.lg( )3 3lg( )lg( )3 3 3(lg 3(lg lg )lg ) 3 3(lgx(lgxlg2)lg2)(lgy(lgylg2)lg2)3(lgx3(lgxlgy)lgy)3a.3a. 2.(1)2log2.(1)2log2 21010loglog2 20.040.04loglog2 2(100(1000.04)0.04)loglog2 24 42.2. (2)(2) 答案：答案：(1)2 (2)1(1)2 (

12、2)1 x 2 y 2 y 2 x 2 lg 3 4 10lg3 2lg2 1lg1.2 1. lg1.2lg1.2lg1.2 3.(1)log3.(1)log2 20.6=log0.6=log2 2 =log =log2 23 3- -loglog2 25=a5=a- -b.b. (2)(2) (3)(3) 3 5 1 2 22 222 log30log2 3 5 11ab log 2log 3log 5. 22 1 1 4 4 3 4 2222 3 22 33 logloglog 3log 5 1255 11 log 33log 5a3b. 44 【拓展提升拓展提升】底数相同的对数式的化简

13、和求值的原则、方法底数相同的对数式的化简和求值的原则、方法 及注意事项及注意事项 (1)(1)基本原则基本原则 对数的化简求值一般是正用或逆用公式，对真数进行处理，对数的化简求值一般是正用或逆用公式，对真数进行处理， 选哪种策略化简，取决于问题的实际情况，一般本着便于真选哪种策略化简，取决于问题的实际情况，一般本着便于真 数化简的原则进行数化简的原则进行 (2)(2)两种常用方法两种常用方法 “收收”，将同底的两对数的和，将同底的两对数的和( (差差) )收成积收成积( (商商) )的对数；的对数； “拆拆”，将积，将积( (商商) )的对数拆成同底的两对数的和的对数拆成同底的两对数的和( (

14、差差) ) (3)(3)注意事项注意事项 对于常用对数的化简要充分利用对于常用对数的化简要充分利用“lg5+lg2=lg10=1lg5+lg2=lg10=1”解题解题. . 准确应用以下结论：准确应用以下结论： logloga a1=0,log1=0,loga aa=1, =N(a0,a=1, =N(a0,且且a1,N0).a1,N0). a log N a 【变式训练变式训练】计算：计算：(1)lg14(1)lg14- -2lg +lg72lg +lg7- -lg18.lg18. (2) (3)(2) (3) 7 3 lg243 . lg9 lg 27lg83lg 10 . lg1.2 【解

15、析解析】(1)(1)方法一：方法一：lg14lg14- -2lg +lg72lg +lg7- -lg18lg18 =lg(2=lg(27)7)- -2(lg72(lg7- -lg3)+lg7lg3)+lg7- -lg(3lg(32 22)2) =lg2+lg7=lg2+lg7- -2lg7+2lg3+lg72lg7+2lg3+lg7- -2lg32lg3- -lg2=0.lg2=0. 方法二：方法二：lg14lg14- -2lg +lg72lg +lg7- -lg18lg18 =lg14=lg14- -lg( )lg( )2 2+lg7+lg7- -lg18= =lg1=0.lg18= =lg

16、1=0. 7 3 7 3 7 3 2 14 7 lg 7 ( )18 3 (2)(2) (3)(3) 5 2 lg243lg35lg35 . lg9lg32lg32 11 33 22 2 lg 3lg23lg10 lg 27lg83lg 10 3 2lg1.2 lg 10 3 lg32lg2 1 3 2 . lg32lg2 12 类型类型 二二 换底公式换底公式 【典型例题典型例题】 1.(20131.(2013重庆高一检测重庆高一检测) )式子式子 的值为的值为( )( ) A. B. C.2 D.3A. B. C.2 D.3 2.2.已知已知2 2x x5 5y y，则，则 的值为的值为_

17、 3.3.已知已知loglog18 189 9 a a，1818b b5 5，试用，试用a a，b b表示表示loglog36 3645. 45. 8 2 log 9 log 3 3 2 2 3 x y 【解题探究解题探究】1.1.题题1 1中分子和分母中的对数底数不同，如何将中分子和分母中的对数底数不同，如何将 其化为同底的对数？其化为同底的对数？ 2.2.为了把题为了把题2 2中中x x，y y表示出来，可以对已知等式作如何处理或表示出来，可以对已知等式作如何处理或 变形？变形？ 3.3.比较题比较题3 3中已知对数和所求对数的底数，解答本题若用换底中已知对数和所求对数的底数，解答本题若用

18、换底 公式应换为以什么数为底？公式应换为以什么数为底？ 探究提示：探究提示： 1.1.可以用换底公式将分子中的对数化为以可以用换底公式将分子中的对数化为以2 2为底的对数，也可为底的对数，也可 以用以用 = log= loga ab b化为同底的对数化为同底的对数. . 2.2.可以令可以令2 2x x5 5y yk(k0)k(k0)，化指数式为对数式，也可以两边，化指数式为对数式，也可以两边 取对数取对数. . 3.3.可换为以可换为以1818为底的对数，也可以化为常用对数为底的对数，也可以化为常用对数. . n m m n a logb 【解析解析】1.1.选选B.B.方法一：方法一： 方

19、法二：方法二： 2 2 2 3 82 222 log 3 2log 3 log 9log 22 3 . log 3log 3log 33 3 2 2 82 222 2 log 3 log 3 log 92 3 . log 3log 3log 33 2.2.方法一：令方法一：令2 2x x5 5y yk(k0)k(k0)， 则则x xloglog2 2k k，y yloglog5 5k k， 方法二：方法二：2 2x x5 5y y, , 两边取以两边取以2 2为底的对数得为底的对数得loglog2 22 2x x=log=log2 25 5y y, , xlogxlog2 22=ylog2=y

20、log2 25,5, 答案：答案： 2k 2 5k log klog 5x log 5. ylog klog 2 2 2 2 log 5x log 5. ylog 2 2 log 5 3.3.方法一：方法一：1818b b5 5，loglog18 185 5 b b， 于是于是 方法二：方法二：1818b b5 5，loglog18 185 5 b.b. 于是于是 18 18 36 1818 1818 18 18 log9 5log 45 log 45 log 36log (18 2) log 9log 5abab . 18 1 log 22a 1 log 9 18 1818 362 1818

21、 18 log9 5log 9log 5ab log 45. 182log 18log 92a log 9 方法三方法三：loglog18 189 9 a a，1818b b5 5， lg9lg9alg18alg18，lg5lg5blg18.blg18. 362 lg 9 5lg45lg9lg5 log 45 18lg362lg18lg9 lg 9 alg18blg18ab . 2lg18alg182a 【互动探究互动探究】若将题若将题3 3的条件改为“的条件改为“loglog3 32=a2=a，3 3b b=10”=10”，应如，应如 何解答？何解答？ 【解析解析】33b b=10=10，l

22、oglog3 310=b.10=b.又又loglog3 32=a,2=a, loglog3 35=log5=log3 31010- -loglog3 32=b2=b- -a,a, 2 2 3 33 36 22 22 33 3 3 3 log5 3 log 5log 3 log 45 log 2log 3log23 log 52ba2 . 2log 222a2 【拓展提升拓展提升】 1.1.利用换底公式化简求值时应注意的问题利用换底公式化简求值时应注意的问题 (1)(1)针对具体问题，选择恰当的底数针对具体问题，选择恰当的底数. . (2)(2)注意换底公式与对数运算法则结合使用注意换底公式与对

23、数运算法则结合使用. . (3)(3)换底公式的正用与逆用换底公式的正用与逆用. . (4)(4)恰当应用换底公式的两个常用结论恰当应用换底公式的两个常用结论. . 2.2.利用换底公式计算、化简、求值的思路利用换底公式计算、化简、求值的思路 【变式训练变式训练】设设x x，y y，z z均为正数，且均为正数，且3 3x x4 4y y6 6z z. .求证：求证： 【解题指南解题指南】先令先令3 3x x4 4y y6 6z zk k，再化指数式为对数式，最，再化指数式为对数式，最 后由换底公式所得结论后由换底公式所得结论( (即即logloga ab bloglogb ba=1)a=1)和

24、对数的运算性和对数的运算性 质证明质证明. . 111 . zx2y 【证明证明】设设3 3x x4 4y y6 6z zk k， 因为因为x x，y y，z z均为正数，所以均为正数，所以k1.k1. 所以所以 所以所以 即即 346 kkkk 1111 xlog kylog kzlog k log 3log 42log 2log 6 ， ， ， kkk 111 log 3log 2log 6 x2yz ， 111 . zx2y 类型类型 三三 对数运算的综合应用和实际应用对数运算的综合应用和实际应用 【典型例题典型例题】 1.1.一种放射性物质不断变化为其他物质，每经过一年剩余的一种放射性

25、物质不断变化为其他物质，每经过一年剩余的 质量约是原来的质量约是原来的75%75%，估计约经过，估计约经过_年，该物质的剩余质年，该物质的剩余质 量是原来的量是原来的 ( (结果保留结果保留1 1位有效数字位有效数字) )？(lg20.3010(lg20.3010， lg30.4771)lg30.4771) 2.2.方程方程loglog4 4(3x(3x- -1)=log1)=log4 4(x(x- -1)+log1)+log4 4(x+3)(x+3)的解为的解为_._. 3.3.已知已知lg(xlg(x2y)2y)lg(xlg(xy)y)lg2lg2lgxlgxlgylgy，求，求 的值的值

26、 1 3 x y 【解题探究解题探究】1.1.设物质的质量原来为单位设物质的质量原来为单位“1 1”，则经过，则经过x x年，年， 该物质的剩余质量如何表示？该物质的剩余质量如何表示？ 2.2.若若logloga af(x)=logf(x)=loga ag(x)g(x)，则，则f(x)f(x)与与g(x)g(x)的关系如何？的关系如何？ 3.3.由题由题3 3的已知条件可以得到哪些关于的已知条件可以得到哪些关于x x与与y y的等量关系和不等的等量关系和不等 关系？关系？ 探究提示：探究提示： 1.1.经过经过x x年，该物质的剩余质量可以表示为年，该物质的剩余质量可以表示为0.750.75x

27、 x. . 2.f(x)=g(x)2.f(x)=g(x)且且f(x)0,g(x)0.f(x)0,g(x)0. 3.3.由已知条件可以得到由已知条件可以得到x x2y2y，x xy y，x x，y y都大于都大于0 0，且，且 (x(x2y)(x2y)(xy)y)2xy.2xy. 【解析解析】1.1.假设经过假设经过x x年，该物质的剩余质量是原来的年，该物质的剩余质量是原来的 根根 据题意得：据题意得：0.750.75x x 故估计约经过故估计约经过4 4年，该物质的剩余质量是原来的年，该物质的剩余质量是原来的 答案：答案：4 4 1 3， 1 3， 0.75 1lg3 xlog 3lg3lg

28、4 lg3 4. lg3 2lg2 年 1 . 3 2.2.原方程可化为原方程可化为3x3x- -1=(x1=(x- -1)(x+3)1)(x+3)，即，即x x2 2- -x x- -2=02=0， 解得解得x=2x=2或或x=x=- -1 1， x=x=- -1 1使真数使真数3x3x- -1 1和和x x- -1 1小于小于0 0， 故方程的解是故方程的解是x=2.x=2. 答案：答案：x=2x=2 3.3.由已知条件得由已知条件得 即即 整理得整理得 x x2y2y0 0， 2.2. x2y0 xy0 x0 y0 x2yxy2xy ， ， ， ， ， xy y0 x2yxy2xy ，

29、， ， xy y0 x2yxy0 ， ， ， x y 【拓展提升拓展提升】 1.1.简单的对数方程及其解法简单的对数方程及其解法 名称名称 题型题型 解法解法 基本基本 型型 logloga af(x)=bf(x)=b 将对数式转化成指数式将对数式转化成指数式 f(x)=af(x)=ab b 同底同底 型型 logloga af(x)=logf(x)=loga ag g (x)(x) 转化成转化成f(x)=g(x),f(x)=g(x),需验根需验根 需代需代 换型换型 F(logF(loga ax)=0 x)=0 换元换元, ,令令t=logt=loga ax,x,转化成关于转化成关于t t

30、的方程的方程 2.2.解对数应用题的步骤解对数应用题的步骤 【变式训练变式训练】若若lga,lgblga,lgb是方程是方程2x2x2 2- -4x+1=04x+1=0的两个实根，则的两个实根，则 (lg )(lg )2 2的值等于的值等于_._. 【解析解析】由题意可知由题意可知lga+lgb=2,lgalga+lgb=2,lgalgb=lgb= (lg )(lg )2 2=(lga=(lga- -lgb)lgb)2 2=(lga+lgb)=(lga+lgb)2 2- -4lgalgb4lgalgb =4=4- -2=2.2=2. 答案：答案：2 2 【误区警示误区警示】本题在求解过程中，因

31、想不到本题在求解过程中，因想不到“lgalga- -lgblgb”同同 “lga+lgblga+lgb”及及“lgalgalgblgb”的等价互化，而无法求解的等价互化，而无法求解. . a b 1 , 2 a b 【易错误区易错误区】忽视对数运算中的隐含条件而出错忽视对数运算中的隐含条件而出错 【典例典例】(2013(2013南阳高一检测南阳高一检测) )作为对数运算法则：作为对数运算法则： lg(alg(ab)b)lgalgalgb(a0lgb(a0，b0)b0)是不正确的但对一些特殊是不正确的但对一些特殊 值是成立的，例如：值是成立的，例如：lg(2lg(22)2)lg2lg2lg2.l

32、g2.那么，对于所有使那么，对于所有使 lg(alg(ab)b)lgalgalgb(a0lgb(a0，b0)b0)成立的成立的a a，b b应满足的函数表应满足的函数表 达式达式a af(b)f(b)为为_ 【解析解析】lg(alg(ab)b)lgalgalgblgb，lg(alg(ab)b)lg(ab)lg(ab)， a ab babab，a a 又又a0a0，b0b0， 解得解得b1b1，a a (b1)(b1) 答案：答案：a a (b1)(b1) b . b 1 b0, b 0, b 1 b0 b10 ， ， b b1 b b1 【类题试解类题试解】已知已知2lg(x2lg(x- -2

33、y)=lgx+lgy2y)=lgx+lgy，则，则 的的 值为值为_._. 1 2 log(x y ) 【解析解析】由已知条件得由已知条件得 2.2. 2lg(x2lg(x- -2y)=lgx+lgy,lg(x2y)=lgx+lgy,lg(x- -2y)2y)2 2=lg(xy)=lg(xy)， (x(x- -2y)2y)2 2=xy,x=xy,x2 2- -5xy+4y5xy+4y2 2=0,( )=0,( )2 2- -5 5 +4=0+4=0， =4=4或或 =1(=1(舍去舍去) )， 答案：答案：4 4 x0 y0 x2y0 ， ， ， x y x y x y x y x y 4 1

34、 222 x log(x y )loglog24. y 【误区警示误区警示】 【防范措施防范措施】 1.1.注意真数的取值范围注意真数的取值范围 在解与对数有关的问题时，一定要考虑真数的取值范围，以在解与对数有关的问题时，一定要考虑真数的取值范围，以 防出现疏漏防出现疏漏. .例如，本例中的例如，本例中的a,b,a+ba,b,a+b都在真数上，一定要确都在真数上，一定要确 保它们都大于保它们都大于0.0. 2.2.注意变量之间的关联关系注意变量之间的关联关系 多个变量出现在同一个关系式中，变量的取值范围会受到相多个变量出现在同一个关系式中，变量的取值范围会受到相 互限制，如本例中求互限制，如本

35、例中求b b的取值范围时，不仅要满足的取值范围时，不仅要满足b0b0，而且，而且 要满足要满足a a 0.0. b b1 1.1.已知已知a0a0且且a1,a1,则则logloga a2+log2+loga a =( )=( ) A.0 B. C.1 D.2A.0 B. C.1 D.2 【解析解析】选选A.A. 1 2 1 2 aaaa 11 log 2loglog (2)log 10. 22 2.log2.log3 38log8log2 23 3( )( ) A.2 B.3 C.4 D.9A.2 B.3 C.4 D.9 【解析解析】选选B.B. 3 32 lg2lg33lg2 lg3 log

36、 8 log 33. lg3 lg2lg3 lg2 3.3.已知已知a aloglog3 32 2，那么，那么loglog3 38 82log2log3 36 6用用a a表示为表示为( )( ) A.aA.a- -2 B.5a2 B.5a- -2 2 C.3aC.3a- -(1+a)(1+a)2 2 D.3aD.3a- -a a2 2- -1 1 【解析解析】选选A.A.由由loglog3 38 82log2log3 36 63log3log3 32 22(log2(log3 32 2loglog3 33)3) 3a3a2(a2(a1)1)a a2.2. 4.4.已知已知lna=0.2lna

37、=0.2，则，则ln =_.ln =_. 【解析解析】ln =lneln =lne- -lna=1lna=1- -0.2=0.8.0.2=0.8. 答案：答案：0.80.8 e a e a 5.5.若若a0a0，且，且a1a1，b0,b0,且且b1,b1,则由换底公式可知则由换底公式可知 所以所以 试利用此结论计算试利用此结论计算 =_.=_. 【解析解析】 答案：答案：1 1 ab lgblga log b,log a, lgalgb a b 1 log b log a ， 37 11 log 21log 21 37 1111 lg21lg21 log 21log 21 lg3lg7 lg

38、3 7lg3lg7 1. lg21lg21lg21 6.6.求下列各式的值：求下列各式的值： (1)log(1)log3 31818- -loglog3 32.2. (2)(2) (3) (3) (4)(4) 5 lg 100. 2 3 66 log 4log 98 . 89 15 lglglg12.5log 9 log 8. 28 【解析解析】(1)log(1)log3 31818- -loglog3 32=log2=log3 3 =log =log3 39=2.9=2. (2)(2) (3)(3) (4)(4) 18 2 2 5 5 22 lg 100lg10lg10. 55 22 3 33 666 2 3 22 3 6 log 4log 98log4 92 log 62222. 89 15 lglglg12.5log 9 log 8 28 18125lg9 lg8 lg() 2510lg8 lg9 lg10 11 10.