人教版高一数学必修一同步课件：1.3.2（第2课时）函数奇偶性的应用.ppt

1、第2课时 函数奇偶性的应用 类型类型 一一 根据函数的奇偶性求函数解析式根据函数的奇偶性求函数解析式 【典型例题典型例题】 1.f(x)1.f(x)为为R R上的奇函数，且当上的奇函数，且当x(x(- -,0),0)时，时，f(x)=x(xf(x)=x(x- -1)1)， 则当则当x(0,+)x(0,+)时，时，f(x)=_.f(x)=_. 2.2.已知已知f(x)f(x)为偶函数，为偶函数，g(x)g(x)为奇函数，且满足为奇函数，且满足f(x)f(x)g(x)g(x) 求求f(x)f(x)，g(x).g(x). 1 x1 ， 【解题探究解题探究】1.1.对于题对于题1 1，应如何设自变量，

2、应如何设自变量x x？ 2.2.题题2 2中，如何应用中，如何应用“f(x)f(x)为偶函数，为偶函数，g(x)g(x)为奇函数为奇函数”这一条这一条 件？件？ 探究提示：探究提示： 1.1.应应“求谁设谁求谁设谁”，即在哪个区间求解析式，即在哪个区间求解析式，x x就设在哪个区就设在哪个区 间内间内. . 2.2.应用函数奇偶性，需出现应用函数奇偶性，需出现f(f(- -x)x)，g(g(- -x)x)，故用，故用- -x x代替原式代替原式 中的中的x x，列出方程组，解关于，列出方程组，解关于f(x)f(x)与与g(x)g(x)的方程组的方程组. . 【解析解析】1.1.当当x(0,+)

3、x(0,+)时，时，- -x(x(- -,0),0)， f(f(- -x)=x)=- -x(x(- -x x- -1).1).又又f(x)f(x)为为R R上的奇函数，上的奇函数， 所以所以x(0,+)x(0,+)时，时，- -f(x)=f(x)=- -x(x(- -x x- -1)1)， 即即f(x)=f(x)=- -x(x+1).x(x+1). 答案：答案：- -x(x+1)x(x+1) 2.2.由由f(x)f(x)g(x)g(x) 把把x x换成换成- -x x，得，得f(f(- -x)x)g(g(- -x)x) f(x)f(x)为偶函数，为偶函数，f(f(- -x)x)f(x).f(x

4、). 又又g(x)g(x)为奇函数，为奇函数，g(g(- -x)x)- -g(x)g(x)， f(x)f(x)g(x)g(x) 由得由得 1 x1 ， 1 x1 ， 1 . x1 22 1x f xg x. x1x1 ， 【拓展提升拓展提升】 根据函数的奇偶性求解析式的一般步骤根据函数的奇偶性求解析式的一般步骤 (1)(1)“求谁设谁求谁设谁”，即在哪个区间求解析式，即在哪个区间求解析式，x x就设在哪个区间就设在哪个区间 内内. . (2)(2)转化代入已知区间的解析式转化代入已知区间的解析式. . (3)(3)利用函数利用函数f(x)f(x)的奇偶性写出的奇偶性写出- -f(f(- -x)

5、x)或或f(f(- -x)x)，从而解出，从而解出f(x).f(x). 【变式训练变式训练】函数函数y=f(x)y=f(x)是是( (- -,+),+)上的偶函数，当上的偶函数，当x0 x0时时 f(x)=xf(x)=x2 2- -2x2x- -3 3，求函数，求函数y=f(x)y=f(x)的解析式的解析式. . 【解题指南解题指南】设设x x0 0，则，则- -x x0 0，利用偶函数的定义，利用偶函数的定义， f(f(- -x)=f(x)x)=f(x)进行转化进行转化. . 【解析解析】令令x x0 0，则，则- -x x0,0, 故故f(f(- -x)=(x)=(- -x)x)2 2-

6、-2(2(- -x)x)- -3=x3=x2 2+2x+2x- -3.3. 又又f(x)f(x)为偶函数，所以为偶函数，所以f(f(- -x)=f(x)x)=f(x)， 故故f(x)=xf(x)=x2 2+2x+2x- -3 3， 2 2 x2x3,x0 f x x2x3,x0. ， 类型类型 二二 函数的奇偶性和单调性的综合应用函数的奇偶性和单调性的综合应用 【典型例题典型例题】 1.1.若若f(x)f(x)是是R R上的偶函数，且在上的偶函数，且在0 0，+)+)上是增函数，则下上是增函数，则下 列各式成立的是列各式成立的是( )( ) A.f(A.f(- -2)2)f(0)f(0)f(1

7、) B.f(f(1) B.f(- -2)2)f(1)f(1)f(0)f(0) C.f(1)C.f(1)f(0)f(0)f(f(- -2) D.f(0)2) D.f(0)f(f(- -2)2)f(1)f(1) 2.2.设函数设函数f(x)f(x)在在R R上是偶函数，在区间上是偶函数，在区间( (- -，0)0)上递增，且上递增，且 f(2af(2a2 2+a+1)+a+1)f(2af(2a2 2- -2a+3)2a+3)，求，求a a的取值范围的取值范围. . 【解题探究解题探究】1.1.题题1 1中如何将中如何将f(f(- -2)2)转化为自变量在转化为自变量在0 0，+)+) 上与之相等的

8、函数值？上与之相等的函数值？ 2.2.偶函数在两个对称区间上的单调性有什么关系？解决题偶函数在两个对称区间上的单调性有什么关系？解决题2 2的的 关键点是什么？关键点是什么？ 探究提示：探究提示： 1.1.利用函数的奇偶性，因为利用函数的奇偶性，因为f(x)f(x)在在R R上是偶函数，所以上是偶函数，所以 f(f(- -2)=f(2).2)=f(2). 2.2.偶函数在两个对称区间上的单调性相反，即若一个区间是偶函数在两个对称区间上的单调性相反，即若一个区间是 增函数，则相应对称区间上为减函数增函数，则相应对称区间上为减函数. .解决本题的关键是去掉解决本题的关键是去掉 “f f”，转化为具

9、体不等式求解，转化为具体不等式求解. . 【解析解析】1.1.选选B.f(x)B.f(x)是是R R上的偶函数，所以上的偶函数，所以f(f(- -2)=f(2).2)=f(2).又又f(x)f(x) 在在0 0，+)+)上是增函数，故上是增函数，故f(0)f(0)f(1)f(1)f(2)f(2)，即，即 f(f(- -2)2)f(1)f(1)f(0).f(0). 2.2.由由f(x)f(x)在在R R上是偶函数，在区间上是偶函数，在区间( (，0)0)上递增，可知上递增，可知f(x)f(x) 在在(0(0，) )上递减上递减. . 2a2a2 2+a+1=2(a+ )+a+1=2(a+ )2

10、2+ + 0 0，2a2a2 2- -2a+3=2(a2a+3=2(a- - ) )2 2+ + 0 0， 且且f(2af(2a2 2+a+1)+a+1)f(2af(2a2 2- -2a+3)2a+3)， 2a2a2 2+a+1+a+12a2a2 2- -2a+32a+3， 即即3a3a- -2 20 0，解得，解得a a 1 4 7 8 1 2 5 2 2 . 3 【互动探究互动探究】若题若题2 2中“偶函数”改为“奇函数”，则结果如何？中“偶函数”改为“奇函数”，则结果如何？ 【解析解析】若若f(x)f(x)为为R R上的奇函数，在区间上的奇函数，在区间( (- -，0)0)上递增，则上递

11、增，则 f(x)f(x)在在(0(0，+)+)上递增，上递增， 又又f(2af(2a2 2+a+1)+a+1)f(2af(2a2 2- -2a+3)2a+3)， 2a2a2 2+a+1+a+12a2a2 2- -2a+32a+3， 即即3a3a- -2 20 0，解得，解得a a 2 . 3 【拓展提升拓展提升】 1.1.函数奇偶性和单调性的关系函数奇偶性和单调性的关系 (1)(1)若若f(x)f(x)是奇函数是奇函数, ,且且f(x)f(x)在在a,ba,b上是单调函数上是单调函数, ,则则f(x)f(x) 在在- -b,b,- -a a上也为单调函数上也为单调函数, ,且具有相同的单调性且

12、具有相同的单调性. . (2)(2)若若f(x)f(x)是偶函数是偶函数, ,且且f(x)f(x)在在a,ba,b上是单调函数上是单调函数, ,则则f(x)f(x) 在在- -b,b,- -a a上也为单调函数上也为单调函数, ,且具有相反的单调性且具有相反的单调性. . 2.2.利用单调性和奇偶性解不等式的方法利用单调性和奇偶性解不等式的方法 (1)(1)充分利用已知的条件，结合函数的奇偶性，把已知不等式充分利用已知的条件，结合函数的奇偶性，把已知不等式 转化为转化为f(xf(x1 1) )f(xf(x2 2) )或或f(xf(x1 1) )f(xf(x2 2) )的形式，再利用单调性脱的形

13、式，再利用单调性脱 掉掉“f f”求解求解. . (2)(2)在对称区间上根据奇函数的单调性一致，偶函数的单调性在对称区间上根据奇函数的单调性一致，偶函数的单调性 相反，列出不等式或不等式组，求解即可相反，列出不等式或不等式组，求解即可, ,同时要注意函数自同时要注意函数自 身定义域对参数的影响身定义域对参数的影响. . 【变式训练变式训练】若偶函数若偶函数f(x)f(x)在区间在区间3 3，7 7上是增函数且最大上是增函数且最大 值为值为5 5，那么，那么f(x)f(x)在区间在区间- -7 7，- -3 3上是上是( )( ) A.A.增函数且最小值是增函数且最小值是5 5 B.B.增函数

14、且最大值是增函数且最大值是5 5 C.C.减函数且最大值是减函数且最大值是5 5 D.D.减函数且最小值是减函数且最小值是5 5 【解析解析】选选C.C.偶函数图象关于偶函数图象关于y y轴对称，轴对称，f(x)f(x)在区间在区间3 3，7 7上上 是增函数，则在区间是增函数，则在区间- -7 7，- -3 3上是减函数，且最大值为上是减函数，且最大值为5.5. 【规范解答规范解答】函数奇偶性与单调性的综合应用函数奇偶性与单调性的综合应用 【典例典例】 【条件分析条件分析】 【规范解答规范解答】(1)(1)令令x x1 1=x=x2 2=1=1 得 得 f(1)=f(1)+f(1),f(1)

15、=f(1)+f(1), f(1)=0. f(1)=0. 3 3分分 (2)(2)令令x x1 1=x=x2 2= =1 1 , , 则则f(f(- -1)=01)=0， 4 4分分 令令x x1 1= =1,x1,x2 2=x=x ， ， f(f(x)=f(x)x)=f(x)， 又定义域为又定义域为x|x0 x|x0，关于原点对称，关于原点对称， f(x)f(x)为偶函数为偶函数. . 7 7分分 (3)f(4)=1,(3)f(4)=1, 又又f(xf(x1 1x x2 2)=f(x)=f(x1 1)+f(x)+f(x2 2),), f(4)+f(4)=f(4f(4)+f(4)=f(44)=f

16、(16),4)=f(16), f(16)+f(4)=f(16f(16)+f(4)=f(164)=f(64),4)=f(64), f(64)=f(4)+f(4)+f(4),f(64)=f(4)+f(4)+f(4), f(64)=3.f(64)=3. 8 8分分 f(3x+1)+f(f(3x+1)+f(6)36)3等价于等价于f(f(- -6(3x+1)3,6(3x+1)3, f(|f(|- -6(3x+1)|)f(64),6(3x+1)|)f(64), 1010分分 解得解得 1212分分 3x10, 6 3x164 ， 3511 29 x,)(,. 933 9 【失分警示失分警示】 【防范措施

17、防范措施】 1.1.赋值法的应用赋值法的应用 抽象函数的求值与性质讨论，往往需要恰当地赋值，此时要抽象函数的求值与性质讨论，往往需要恰当地赋值，此时要 明确利用哪些式子说明问题，如本题中判断函数奇偶性，看明确利用哪些式子说明问题，如本题中判断函数奇偶性，看 f(f(- -x)x)与与f(x)f(x)的关系，关键是出现的关系，关键是出现f(f(- -x)x)与与f(x)f(x)之后，不要出之后，不要出 现多余变量现多余变量. . 2.2.偶函数的一个重要性质偶函数的一个重要性质 根据偶函数的定义，可得根据偶函数的定义，可得f(x)=f(|x|)f(x)=f(|x|)，从而把自变量都集中在，从而把

18、自变量都集中在 区间区间(0(0，+)+)上，应用单调性时，就可以避免分自变量在不同上，应用单调性时，就可以避免分自变量在不同 区间内的繁琐讨论，把区间内的繁琐讨论，把f(f(- -6(3x+1)6(3x+1)写成写成f(|f(|- -6(3x+1)|)6(3x+1)|)，避免，避免 对对- -6(3x+1)6(3x+1)的符号讨论的符号讨论. . 【类题试解类题试解】已知函数已知函数y=f(x)y=f(x)是定义在是定义在R R上的奇函数，且当上的奇函数，且当 x0 x0时，时，f(x)=f(x)=- -x x2 2+ax.+ax. (1)(1)当当a=a=- -2 2时，求函数时，求函数f

19、(x)f(x)的解析式的解析式. . (2)(2)若函数若函数f(x)f(x)为为R R上的单调减函数，上的单调减函数， 求求a a的范围；的范围； 若对任意实数若对任意实数m,f(mm,f(m- -1)+f(m1)+f(m2 2+t)0+t)0恒成立，求实数恒成立，求实数t t的取值的取值 范围范围. . 【解析解析】(1)(1)当当x0 x0,x0,又因为又因为f(x)f(x)为奇函数，且为奇函数，且a=a=- -2,2, 所以所以f(x)=f(x)=- -f(f(- -x)=xx)=x2 2- -2x2x，所以，所以 2 2 x2x,x0, f x x2x,x0. (2)(2)当当a0a

20、0时，对称轴时，对称轴x= 0,x= 0,所以所以f(x)=f(x)=- -x x2 2+ax+ax在在0,+)0,+) 上单调递减上单调递减, , 由于奇函数在关于原点对称的区间上单调性相同，所以由于奇函数在关于原点对称的区间上单调性相同，所以f(x)f(x) 在在( (- -,0),0)上单调递减上单调递减, , 又在又在( (- -,0),0)上上f(x)0,f(x)0,在在(0,+)(0,+)上上f(x)0,f(x)0a0时，时，f(x)f(x)在在(0(0， ) )上单调递增，在上单调递增，在( +)( +)上单调递上单调递 减，不合题意减，不合题意. . 所以函数所以函数f(x)f

21、(x)为单调减函数时，为单调减函数时，a a的范围为的范围为a0.a0. a 2 a 2 a , 2 f(mf(m- -1)+f(m1)+f(m2 2+t)0,f(m+t)0,f(m- -1)1)- -f(mf(m2 2+t),+t), 又又f(x)f(x)是奇函数，是奇函数，f(mf(m- -1)f(1)1- -t t- -m m2 2恒成立恒成立, , tt- -m m2 2- -m+1=m+1=- -(m+ )(m+ )2 2+ + 恒成立恒成立,t,t 1 2 5 4 5 . 4 1.1.若函数若函数f(x)f(x)x x3 3，xRxR，则函数，则函数y=f(y=f(- -x)x)在

22、其定义域上是在其定义域上是( )( ) A.A.单调递减的偶函数单调递减的偶函数 B.B.单调递减的奇函数单调递减的奇函数 C.C.单调递增的偶函数单调递增的偶函数 D.D.单调递增的奇函数单调递增的奇函数 【解析解析】选选B.f(B.f(- -x)=x)=- -x x3 3为奇函数，为奇函数， 设设x x1 1,x,x2 2RR，且，且x x1 1x x2 2, ,则则- -x x1 1- -x x2 2， f(f(- -x x1 1) )- -f(f(- -x x2 2) ) f(f(- -x x1 1) )f(f(- -x x2 2) )，f(f(- -x)x)为减函数为减函数. . 3

23、333 1221 xxxx0 ， 2.2.已知已知f(x)f(x)是定义在是定义在R R上的奇函数，当上的奇函数，当x0 x0时，时，f(x)f(x)x x2 2- -2x2x， 则则f(x)f(x)在在R R上的表达式是上的表达式是( )( ) A.y=x(xA.y=x(x- -2) B.y=x(|x|+2)2) B.y=x(|x|+2) C.y=|x|(xC.y=|x|(x- -2) D.y=x(|x|2) D.y=x(|x|- -2)2) 【解析解析】选选D.D.由由x0 x0，f(x)f(x)x x2 2- -2x2x，f(x)f(x)是定义在是定义在R R上的奇上的奇 函数得：当函数

24、得：当x x0 0时，时，- -x x0 0，f(x)f(x)- -f(f(- -x)x)- -(x(x2 2+2x)+2x)， 即即f(x)f(x)x(|x|x(|x|- -2).2). x x2 ,x0, f x xx2 ,x0 ， 3.3.定义在定义在R R上的偶函数上的偶函数f(x)f(x)在在0 0，) )上是增函数，若上是增函数，若f(a)f(a) f(b)f(b)，则一定可得，则一定可得( )( ) A.aA.ab B.ab B.ab b C.|a|C.|a|b| D.0a|b| D.0ab b或或a ab0b0 【解析解析】选选C.C.对于定义域为对于定义域为R R的偶函数，若

25、的偶函数，若x0 x0，则，则 f(|x|)f(|x|)f(x)f(x)；若；若x x0 0，则，则f(|x|)f(|x|)f(f(- -x)x)f(x).f(x).所以，定义所以，定义 域为域为R R的偶函数的偶函数f(x)f(x)对于任意对于任意xRxR，有，有f(|x|)f(|x|)f(x)f(x)于是由于是由 f(a)f(a)f(b)f(b)，可得，可得f(|a|)f(|a|)f(|b|)f(|b|)而而|a|0|a|0，再由，再由f(x)f(x)在在 0 0，) )上是增函数可得上是增函数可得|a|a|b|b|，故选，故选C.C. 4.4.函数函数f(x)=xf(x)=x3 3+ax

26、+ax，f(1)=3f(1)=3，则，则f(f(- -1)1)_._. 【解析解析】显然显然f(x)f(x)是奇函数，是奇函数，f(f(- -1)1)- -f(1)f(1)- -3.3. 答案：答案：- -3 3 5.5.若函数若函数f(x)f(x)(k(k- -2)x2)x2 2+(k+(k- -1)x+31)x+3是偶函数，则是偶函数，则f(x)f(x)的递减的递减 区间是区间是_._. 【解析解析】利用函数利用函数f(x)f(x)是偶函数，则是偶函数，则k k- -1=01=0，k=1k=1，所以，所以 f(x)=f(x)=- -x x2 2+3+3，其单调递减区间为，其单调递减区间为0

27、 0，) ) 答案：答案：0 0，) ) 6.f(x)6.f(x)是定义在是定义在( (，5 5, ,5 5，) )上的奇函数，且上的奇函数，且 f(x)f(x)在在5 5，) )上单调递减，试判断上单调递减，试判断f(x)f(x)在在( (，5 5 上的单调性，并用定义给予证明上的单调性，并用定义给予证明 【解析解析】f(x)f(x)在在( (- -，- -5 5上单调递减上单调递减. .任取任取x x1 1x x x2 25,5,因因f(x)f(x)是奇函数且在是奇函数且在5 5，) )上单调递减，上单调递减， 所以所以f(f(x x1 1) f() f(x x2 2) )- -f(xf(x1 1)f(x)f(x2 2) )，即，即 f(x)f(x)在在( (- -,- -5 5上是单调减函数上是单调减函数. .