人教版高一数学必修一同步课件：1.1.1（第1课时）集合的含义.ppt

1、第一章 集合与函数概念 1.1 集合 1.1.1 集合的含义与表示 第1课时 集合的含义 一、元素与集合一、元素与集合 1.1.定义：定义： (1)(1)元素：一般地，把所研究的元素：一般地，把所研究的_统称为元素，常用小写的统称为元素，常用小写的 拉丁字母拉丁字母a,b,ca,b,c，表示表示. . (2)(2)集合：一些元素组成的总体，简称为集合：一些元素组成的总体，简称为_，常用大写拉丁字，常用大写拉丁字 母母A,B,CA,B,C，表示表示. . 2.2.集合相等：指构成两个集合的元素是集合相等：指构成两个集合的元素是_的的. . 3.3.集合中元素的特性：集合中元素的特性：_、_和和_

2、._. 对象对象 集集 一样一样 确定性确定性 互异性互异性 无序性无序性 4.4.元素与集合的关系元素与集合的关系 a A aA 判断：判断：( (正确的打“正确的打“”，错误的打“”，错误的打“”)”) (1)(1)在一个集合中可以找到两个相同的元素在一个集合中可以找到两个相同的元素.( ).( ) (2)(2)漂亮的花组成集合漂亮的花组成集合.( ).( ) (3)(3)本班所有的姓氏组成集合本班所有的姓氏组成集合.( ).( ) (4)(4)由由3 3个不同的元素进行排序可以构成个不同的元素进行排序可以构成6 6个不同的集合个不同的集合.( ).( ) 提示：提示：(1)(1)错误错误

3、. .集合中元素满足互异性集合中元素满足互异性. . (2)(2)错误错误. .因为什么样的花是漂亮的花不确定，所以漂亮的花因为什么样的花是漂亮的花不确定，所以漂亮的花 构不成集合构不成集合. . (3)(3)正确正确. .因为本班的姓氏是一定的，确定的，所以能组成集因为本班的姓氏是一定的，确定的，所以能组成集 合合. . (4)(4)错误错误. .集合中元素满足无序性集合中元素满足无序性. . 答案：答案：(1)(1)(2)(2)(3)(3)(4)(4) 二、常用的数集及其记法二、常用的数集及其记法 数集数集 非负整数集非负整数集 正整数集正整数集 整数集整数集 有理数集有理数集 实数集实数

4、集 符号符号 _ _ _ _ _ N N N N* *或或N N+ + Z Z Q Q R R 思思考：考：N N与与N N+ +( (或或N N* *) )有何区别？有何区别？ 提示：提示：N N+ +是所有正整数组成的集合，而是所有正整数组成的集合，而N N是由是由0 0和所有的正整和所有的正整 数组成的集合，所以数组成的集合，所以N N比比N N+ +( (或或N N* *) )多一个元素多一个元素0.0. 【知识点拨知识点拨】 1.1.对集合相关概念的理解对集合相关概念的理解 (1)(1)集合的含义：集合是数学中不加定义的原始概念，我们只集合的含义：集合是数学中不加定义的原始概念，我们

5、只 对它进行描述性说明，其本质是某些确定元素组成的总体对它进行描述性说明，其本质是某些确定元素组成的总体. . (2)(2)元素：集合中的元素：集合中的“元素元素”所指的范围非常广泛，现实生活所指的范围非常广泛，现实生活 中我们看到的、听到的、所触摸到的、所能想到的各种各样中我们看到的、听到的、所触摸到的、所能想到的各种各样 的事物或一些抽象符号等，都可以看作集合的元素的事物或一些抽象符号等，都可以看作集合的元素. . (3)(3)整体：集合是一个整体，已暗含整体：集合是一个整体，已暗含“所有所有”“”“全部全部”“”“全体全体” 的含义，因此一些对象一旦组成集合，那么这个集合就是这的含义，因

6、此一些对象一旦组成集合，那么这个集合就是这 些对象的全体，而并非个别对象些对象的全体，而并非个别对象. . 2.2.集合中元素的三个特性集合中元素的三个特性 (1)(1)确定性：指的是作为一个集合中的元素，必须是确定的，确定性：指的是作为一个集合中的元素，必须是确定的， 即一个集合一旦确定，某一个元素属于或不属于这个集合是即一个集合一旦确定，某一个元素属于或不属于这个集合是 确定的要么是该集合中的元素要么不是，二者必居其一，确定的要么是该集合中的元素要么不是，二者必居其一， 这个特性通常被用来判断涉及的总体是否构成集合这个特性通常被用来判断涉及的总体是否构成集合 (2)(2)互异性：集合中的元

7、素必须是互异的，就是说，对于一个互异性：集合中的元素必须是互异的，就是说，对于一个 给定的集合，它的任何两个元素都是不同的给定的集合，它的任何两个元素都是不同的 (3)(3)无序性：集合与其中元素的排列顺序无关，如由元素无序性：集合与其中元素的排列顺序无关，如由元素a a，b b， c c与由元素与由元素b b，a a，c c组成的集合是相等的集合这个性质通常组成的集合是相等的集合这个性质通常 用来判断两个集合的关系用来判断两个集合的关系 3.3.元素和集合之间的关系元素和集合之间的关系 (1)(1)根据集合中元素的确定性可知，对任何元素根据集合中元素的确定性可知，对任何元素a a和集合和集合

8、A A，在，在 aAaA和和a a A A两种情况中有且只有一种成立两种情况中有且只有一种成立. . (2)(2)符号符号“”和和“ ”只是表示元素与集合之间的关系只是表示元素与集合之间的关系. . 4.4.对一些常用的数集及其记法要关注的两点对一些常用的数集及其记法要关注的两点 类型类型 一一 集合的判定集合的判定 【典型例题典型例题】 1.1.下列说法中正确的序号是下列说法中正确的序号是 . . 高一高一( (四四) )班学习成绩较好的同学组成一个集合；班学习成绩较好的同学组成一个集合； 中国海洋大学中国海洋大学20132013级大一新生组成一个集合；级大一新生组成一个集合； 参加参加20

9、122012年伦敦奥运会的所有国家组成一个集合；年伦敦奥运会的所有国家组成一个集合； 未来世界的高科技产品组成一个集合未来世界的高科技产品组成一个集合. . 2.2.判断下列说法是否正确，并说明理由判断下列说法是否正确，并说明理由 (1)1,0.5(1)1,0.5， 组成的集合含有四个元素组成的集合含有四个元素. . (2)(2)方程方程x x2 2+2x+1=0+2x+1=0的解集中有两个元素的解集中有两个元素. . (3)(3)组成单词组成单词chinachina的字母组成一个集合的字母组成一个集合. . 【解题探究解题探究】 1.1.集合中的元素有哪些特性？集合中的元素有哪些特性？ 2.

10、2.集合中的元素能重复吗？集合中的元素能重复吗？ 3 1 2 2 ， 探究提示：探究提示： 1.1.集合中的元素有三个特性，即确定性、互异性和无序性集合中的元素有三个特性，即确定性、互异性和无序性. . 2.2.构成集合的元素必须是不相同的，即集合元素具有互异性，构成集合的元素必须是不相同的，即集合元素具有互异性， 相同的元素只能算作一个相同的元素只能算作一个. . 【解析解析】1.1.不正确不正确. .因为成绩较好没有明确的标准因为成绩较好没有明确的标准 正确中国海洋大学正确中国海洋大学20132013级大一新生是确定的，明确的级大一新生是确定的，明确的 正确因为参加正确因为参加201220

11、12年伦敦奥运会的所有国家是确定的，年伦敦奥运会的所有国家是确定的， 明确的明确的 不正确因为高科技产品的标准不确定不正确因为高科技产品的标准不确定 答案：答案： 2.(1)2.(1)不正确对一个集合，它的元素必须是互异的，由于不正确对一个集合，它的元素必须是互异的，由于 0.50.5 ，在这个集合中只能作为一个元素，故这个集合含有，在这个集合中只能作为一个元素，故这个集合含有 三个元素三个元素 (2)(2)不正确不正确. .因为方程虽有两个相等的实根，但其解集中只有因为方程虽有两个相等的实根，但其解集中只有 一个元素一个元素- -1.1. (3)(3)正确正确. .因为组成单词因为组成单词c

12、hinachina的字母是确定的的字母是确定的. . 1 2 【拓展提升拓展提升】判断一组对象组成集合的依据及流程判断一组对象组成集合的依据及流程 (1)(1)依据：元素的确定性是判断的依据依据：元素的确定性是判断的依据. .如果考察的对象是确定如果考察的对象是确定 的，就能组成集合，否则不能组成集合的，就能组成集合，否则不能组成集合. . (2)(2)流程：找出对象流程：找出对象 判断确定性判断确定性 验证互异性验证互异性 得出结论得出结论 【变式训练变式训练】1.1.下列对象能组成集合的是下列对象能组成集合的是( )( ) A.A.充分小的负数全体充分小的负数全体 B.B.爱好音乐的一些人

13、爱好音乐的一些人 C.C.某班本学期视力较差的同学某班本学期视力较差的同学 D.D.某校某班某一天所有课程某校某班某一天所有课程 【解析解析】选选D.AD.A，B B，C C的对象不确定，唯有的对象不确定，唯有D D某校某班某一天某校某班某一天 所有课程是确定的，故能形成集合的是所有课程是确定的，故能形成集合的是D.D. 2.2.指出下列集合中的元素：指出下列集合中的元素： (1)young(1)young中的字母组成的集合中的字母组成的集合. . (2)book(2)book中的字母组成的集合中的字母组成的集合. . 【解析解析】(1)(1)单词单词youngyoung中的字母互不相同，其组

14、成的集合中中的字母互不相同，其组成的集合中 有有5 5个元素，分别是个元素，分别是y y，o o，u u，n n，g.(2)g.(2)单词单词bookbook中的字母有中的字母有 两个是相同的，其组成的集合中元素有两个是相同的，其组成的集合中元素有3 3个，分别是个，分别是b b，o o，k.k. 类型类型 二二 元素和集合的关系元素和集合的关系 【典型例题典型例题】 1.(20131.(2013临沂高一检测临沂高一检测) )下列所给关系中正确的个数是下列所给关系中正确的个数是( )( ) RR； Q Q；0N0N* *；| |4|4| N N* *. . A.1 B.2 C.3 D.4A.1

15、 B.2 C.3 D.4 2.2.设直线设直线y y2x2x3 3上的点集为上的点集为P P，点，点(2,7)(2,7)与点集与点集P P的关系为的关系为 (2,7)_P(2,7)_P(填“填“”或“”或“ ”).). 3 【解题探究解题探究】1.1.常用数集有哪些？分别是指哪些数组成的集常用数集有哪些？分别是指哪些数组成的集 合？合？ 2.2.判断一个元素是否是某个集合的元素的关键是什么？判断一个元素是否是某个集合的元素的关键是什么？ 探究提示：探究提示： 1.1.常用的数集有常用的数集有“N N”，表示非负整数集；，表示非负整数集；“N N* *”或或“N N+ +”， 表示正整数集；表示

16、正整数集；“Z Z”，表示整数集；，表示整数集；“Q Q”，表示有理数集；，表示有理数集； “R R”，表示实数集，表示实数集. . 2.2.判断一个元素是否属于某个集合，关键是看这个元素是否判断一个元素是否属于某个集合，关键是看这个元素是否 具有这个集合中元素的特征，若具备就是，否则不是具有这个集合中元素的特征，若具备就是，否则不是. . 【解析解析】1.1.选选B.B.根据各数集的意义可知，正确，错根据各数集的意义可知，正确，错 误误 2.2.直线直线y y2x2x3 3上的点的横坐标上的点的横坐标x x和纵坐标和纵坐标y y具有具有y y2x2x3 3的的 关系，即只要具备此关系的点就是

17、集合关系，即只要具备此关系的点就是集合P P的元素的元素. .由于当由于当x x2 2 时，时，y y2 22 23 37 7，故，故(2,7)P.(2,7)P. 答案：答案： 【互动探究互动探究】题题2 2中，集合中，集合P P不变，则不变，则2 2与集合与集合P P的关系是什么？的关系是什么？ (3,4)(3,4)与集合与集合P P又有什么关系？又有什么关系？ 【解题指南解题指南】充分理解数集和点集的区别是正确解答本题的充分理解数集和点集的区别是正确解答本题的 关键关键. . 【解析解析】由于由于2 2是实数，而集合是实数，而集合P P是点集，故是点集，故2 2 P P； 由于当由于当x

18、x3 3时，时，y y2 23 33 39494，故，故(3,4)(3,4) P.P. 【拓展提升拓展提升】判断元素和集合关系的两种方法判断元素和集合关系的两种方法 直直 接接 法法 如果集合中的元素是直接给出的如果集合中的元素是直接给出的, ,只要判断该元素只要判断该元素 在已知集合中是否出现即可在已知集合中是否出现即可. .此时应首先明确集合此时应首先明确集合 是由哪些元素构成是由哪些元素构成. . 推推 理理 法法 对于某些不便直接表示的集合对于某些不便直接表示的集合, ,只要判断该元素是只要判断该元素是 否满足集合中元素所具有的特征即可否满足集合中元素所具有的特征即可. .此时应首先此

19、时应首先 明确已知集合的元素具有什么特征明确已知集合的元素具有什么特征, ,即该集合中元即该集合中元 素要符合哪种表达式或满足哪些条件素要符合哪种表达式或满足哪些条件. . 【变式训练变式训练】集合集合A A是由形如是由形如m m n(mZn(mZ，nZ)nZ)的数构成的数构成 的，试判断的，试判断 是不是集合是不是集合A A中的元素中的元素. . 【解析解析】 2 2 2 2 1 1，而，而2Z,1Z2Z,1Z， 2 2 A A，即，即 A.A. 3 1 23 1 23 33 3 1 23 类型类型 三三 集合中元素互异性的简单应用集合中元素互异性的简单应用 【典型例题典型例题】 1.1.已

20、知集合已知集合A A是由是由0 0，m m，m m2 23m3m2 2三个元素组成的集合，且三个元素组成的集合，且 2A2A，则实数，则实数m m为为( )( ) A.2 B.3A.2 B.3 C.0C.0或或3 D.0,2,33 D.0,2,3均可均可 2.2.设由设由2,4,62,4,6构成的集合为构成的集合为A A，若实数，若实数a a满足满足aAaA时，时，6 6aAaA， 则则a a_._. 【解题探究解题探究】1.1.题题1 1集合中含有三个元素，那么集合中含有三个元素，那么2 2到底是哪个到底是哪个 元素？元素？ 2.2.题题2 2中实数中实数a a有几种选择的可能？利用哪个条件

21、判断？有几种选择的可能？利用哪个条件判断？ 探究提示：探究提示： 1.1.要么要么m=2m=2，要么，要么m m2 23m3m2=22=2，此时应分类讨论，并利用集，此时应分类讨论，并利用集 合元素的互异性进行检验合元素的互异性进行检验. . 2.a2.a有三种选择的可能，分别是有三种选择的可能，分别是2 2，4 4，6 6，可利用，可利用6 6- -a a是否属于是否属于 A A判断判断. . 【解析解析】1.1.选选B.B.若若m=2m=2，则，则2 22 23 32 22=02=0，不满足互异性；，不满足互异性； 若若m m2 23m3m2=22=2，则，则m=0m=0或或3 3，显然当

22、，显然当m=0m=0时不满足元素的互异时不满足元素的互异 性，故性，故m=3.m=3. 2.A2.A中的三个元素是中的三个元素是2,4,62,4,6， 当当a a2 2时，时，6 6a a4A4A，适合题意；，适合题意； 当当a a4 4时，时，6 6a a2A2A，也适合题意；，也适合题意； 当当a a6 6时，时，6 66 60 0 A A，不合题意，不合题意 a a的值为的值为2 2或或4.4. 答案：答案：2 2或或4 4 【拓展提升拓展提升】互异性在解决集合问题中的运用互异性在解决集合问题中的运用 在解决集合中元素的问题时，互异性是至关重要的，利用集在解决集合中元素的问题时，互异性是

23、至关重要的，利用集 合元素的特性求参数取值涉及分类讨论的思想方法合元素的特性求参数取值涉及分类讨论的思想方法. .在解题中在解题中 遇到参数的代数式，要采用分类讨论的方法进行研究遇到参数的代数式，要采用分类讨论的方法进行研究. . 【变式训练变式训练】由由a a2 2,2,2a a，4 4组成一个集合组成一个集合A A，A A中含有中含有3 3个元素，个元素， 则实数则实数a a的取值可以是的取值可以是( )( ) A.1 B.A.1 B.- -2 C.6 D.22 C.6 D.2 【解析解析】选选C.C.因因A A中含有中含有3 3个元素，即个元素，即a a2 2,2,2a a，4 4互不相

24、等，互不相等， 将选项中的数值代入验证知选将选项中的数值代入验证知选C.C. 【易错误区易错误区】忽视集合中元素的互异性致误忽视集合中元素的互异性致误 【典例典例】已知集合已知集合A A中含有两个元素中含有两个元素a a和和a a2 2，若，若1A1A，则实数，则实数a a 的值为的值为( )( ) A.1 B.A.1 B.- -1 C.11 C.1或或- -1 D.1 D.以上都不对以上都不对 【解析解析】选选B.B.若若1A1A，则，则a=1a=1或或a a2 2=1=1， 解得解得a=1a=1或或- -1.1. (1)(1)当当a=1a=1时时 ，集合 ，集合A A中元素为中元素为1 1

25、和和1 1，不满足集合元素的互异，不满足集合元素的互异 性，故性，故a1.a1. (2)(2)当当a=a=- -1 1时时 ，集合 ，集合A A中含有两个元素中含有两个元素- -1 1和和1 1，符合集合元素，符合集合元素 的互异性的互异性. . 综上所述，综上所述，a=a=- -1.1. 【类题试解类题试解】集合集合A A中含有三个元素中含有三个元素0 0，1 1，x x，且，且x x2 2AA，则实，则实 数数x x的值为的值为( )( ) A.0 B.1 C.A.0 B.1 C.- -1 D.11 D.1或或- -1 1 【解析解析】选选C.C.当当x x0,10,1，1 1时，都有时，

26、都有x x2 2AA，但考虑到集合，但考虑到集合 元素的互异性，元素的互异性，x0 x0，x1x1，故，故x=x=1.1. 【误区警示误区警示】 【防范措施防范措施】 1.1.分类讨论思想的运用分类讨论思想的运用 解答含有字母的元素与集合之间关系的问题时，要有分类讨解答含有字母的元素与集合之间关系的问题时，要有分类讨 论的意识论的意识. .如本例中由如本例中由1A1A，可知，可知a=1a=1或或a a2 2=1.=1. 2.2.集合元素互异性的作用集合元素互异性的作用 求解与集合有关的字母参数时，需利用集合元素的互异性来求解与集合有关的字母参数时，需利用集合元素的互异性来 检验所求参数值是否符

27、合要求检验所求参数值是否符合要求. .如本例中对所求出的如本例中对所求出的1 1与与- -1 1分分 别进行检验别进行检验. . 1.1.下列各组对象中不能组成集合的是下列各组对象中不能组成集合的是( )( ) A.A.某科教文化股份有限公司的全体员工某科教文化股份有限公司的全体员工 B.B.文化书店的所有书刊文化书店的所有书刊 C.2013C.2013年考入清华大学的全体学生年考入清华大学的全体学生 D.D.美国美国NBANBA的篮球明星的篮球明星 【解析解析】选选D. AD. A，B B，C C中的元素：员工、书刊、学生都有明中的元素：员工、书刊、学生都有明 确的对象，而确的对象，而D D

28、中对象不确定，中对象不确定，“明星明星”没有具体明确的标没有具体明确的标 准准 2.2.设集合设集合A A只含一个元素只含一个元素a a，则下列表示正确的是，则下列表示正确的是( )( ) A.aA B.aA.aA B.a A A C.aA D.aC.aA D.aA A 【解析解析】选选C.C.本题考查元素与集合之间的关系，显然本题考查元素与集合之间的关系，显然A,B,DA,B,D不不 正确，由题意知正确，由题意知C C正确正确. . 3.3.若以方程若以方程x x2 2- -5x+6=05x+6=0和方程和方程x x2 2- -x x- -2=02=0的解为元素的集合为的解为元素的集合为M

29、M， 则则M M中元素的个数为中元素的个数为( )( ) A.1 B.2 C.3 D.4A.1 B.2 C.3 D.4 【解析解析】选选C.C.方程方程x x2 2- -5x+6=05x+6=0的解为的解为2 2，3 3，方程，方程x x2 2- -x x- -2=02=0的解的解 为为2 2，- -1 1，故集合，故集合M M中有中有3 3个元素，分别是个元素，分别是2,32,3，- -1.1. 4.4.设设A A表示“中国所有省会城市”组成的集合，则：表示“中国所有省会城市”组成的集合，则： 深圳深圳 _A_A，广州，广州_A (_A (填“填“”或“”或“ ”).). 【解析解析】深圳不

30、是省会城市，故深圳深圳不是省会城市，故深圳 A A；广州是省会城市，；广州是省会城市， 故广州故广州A.A. 答案：答案： 5.5.由实数由实数x x，x x， ， 所组成的集合中元素最多所组成的集合中元素最多 有有 个个 【解析解析】 |x|x|，而，而 x x，故集合里面元素最多有，故集合里面元素最多有2 2 个个 答案：答案：2 2 2 x 33 x 33 x 2 x 6.6.设设A A是由满足不等式是由满足不等式x6x6的自然数组成的集合，若的自然数组成的集合，若aAaA且且 3aA3aA，求，求a a的值的值. . 【解析解析】aAaA且且3aA3aA， 解得解得a2.a2.又又aNaN，a=0a=0或或1.1. a6 3a6 ， ，