2010—2020全国卷选择填空（理科）-数列（教师版）.pdf

1、 20102020 全国全国卷卷选择填空（理科）选择填空（理科）-数列数列 【知识点1】 等差数列 【知识点2】 等比数列 【知识点3】 数列求和 【知识点4】 数列通项 1. （2012 全国，理 05/12） 已知 n a为等比数列， 47 2aa+=， 56 8aa= ，则 110 aa+= A7 B5 C5 D7 【答案】D 【解析】 47 2aa+=， 564747 84,2a aa aaa= = 或 47 2,4aa= = 47110110 4,28,17aaaaaa= = = += 47101110 2,48,17aaaaaa= = = += 来源:ZxxkCom 2. （201

2、2 全国，文 12/12 理 16/16） 数列 n a满足 1 ( 1)21 n nn aan + + =，则 n a的前60项和为 【答案】1830 【解析 1】可证明： 1414243444342424 1616 nnnnnnnnnn baaaaaaaab + =+=+=+ 1123415 15 14 1010 15161830 2 baaaaS =+=+= 【解析 2】 21 13 32 43 54 65 57 76 87 98 109 911 1110 13579115759 13579115759 1 2 3 5 7 9 2 11 13 15 17 2 19 2 2 1530 aa

3、 aa aa aa aa aa aa aa aa aa aa aa aa aaaaaaaa aaaaaaaa = += += = += = += += = += = += += +=+=+=+= += 1 21 43 65 8724601359 109 6059 1 5 9 13()()1 591171770 17 117 aa aa aa aaaaaaaa aa aa = = = =+= + += = = 2460 1770301800aaa+=+= 6024601359 ()()1800301830Saaaaaa=+=+= 3. （2013 全国 1，理 07/12） 设等差数列 n a的

4、前n项和为 n S，若 1 2 m S = ，0 m S =， 1 3 m S + =，则m = A3 B4 C5 D6 【答案】C 【解析】Sm12，Sm0，Sm13， amSmSm10(2)2，am1Sm1Sm303 dam1am321 Smma1 1 2 m m( ) 10， 1 1 2 m a = 又am1a1m13， 1 3 2 m m += m5故选 C 4. （2013 全国 1，理 12/12） 设 nnn A B C的三边长分别, nnn a b c， nnn A B C的面积为 n S，1,2,3n =若 11 bc， 111 2bca+=， 1nn aa + =， 1 2

5、 nn n ca b + + =， 1 2 nn n ba c + + =，则 A n S为递减数列 B n S为递增数列 C 21 n S 为递增数列， 2 n S为递减数列 D 21 n S 为递减数列， 2 n S为递增数列 【答案】B 2 【解析】 111 2bac=且 11 bc， 111 2acc， 11 ac， 1111111 20baacaac=， 111 bac， 又 111 bca， 1111 2acca， 1 1 2 a c ， 由题意， 11 2 nn nnn bc bca + + +=+， 11 1 2(2) 2 nnnnnn bcabca + +=+， 20 nnn

6、 bca+=， 1 22 nnn bcaa+=， 1 2 nn bca+=， 由此可知顶点 n A在以 n B、 n C为焦点的椭圆上， 又由题意， 11 2 nn nn cb bc + =， 1 1111 2 (2) 2 nn nnn abb babab + =， 111 1 () 2 nn baab + =， 1 1 1 () 2 n n ba = ， 1 111 1 ()() 2 n n baba =+， 1 1111 1 2()() 2 n nn ababac =， 2111111 1111111 333311 ()()()()() 222222 nn n aaaa Saabaaba

7、=+ 2 2121 111 31 ( )() 424 n a aba =单调递增（可证当1n =时 2 21 11 ()0) 4 a ba 故选：B 【海伦公式】()()()Sp papbpc= 公式描述：公式中, ,a b c分别为三角形三边长，p为半周长（ 2 abc p + =），S为三角形的面积。 3 4 5. （2013 全国 1，理 14/16） 若数列 n a的前n项和 21 33 nn Sa=+，则 n a的通项公式是 n a =_ 【答案】 1 ( 2)n n a = 【解析】 21 33 nn Sa=+， 当2n 时， 11 21 33 nn Sa =+ ，得 1 22 3

8、3 nnn aaa =， 即 1 2 n n a a = 111 21 33 aSa=+， 1 1a = n a是以 1 为首项，2为公比的等比数列， 1 ( 2)n n a = 5 6. （2013 全国 2，理 03/12） 等比数列 n a的前n项和为 n S，已知 321 10Saa=+， 5 9a =，则 1 a = A 1 3 B 1 3 C 1 9 D 1 9 【答案】C 【解析】设等比数列 n a的公比为q， 321 10Saa=+， 5 9a =， 2 11111 4 1 10 9 aa qa qa qa a q +=+ = ，解得 2 1 9 1 9 q a = = 1 1

9、 9 a =故选 C 7. （2013 全国 2，理 16/16） 等差数列 n a的前n项和为 n S ，已知 10 0S= 15 25S=，则 n nS的最小值为_ 【答案】49 【答案】49 【解析】设等差数列 n a的首项为 1 a，公差为d， 101 10450Sad=+=， 151 1510525Sad=+=， 1 3a= ， 2 3 d =， 2 1 (1)110 233 n n n Snadnn =+=， 32 110 33 n nSnn=，令( ) n nSf n=， 2 20 ( ) 3 f nnn =， 当 20 3 n =时，( )f n取得极值，当 20 3 n 时，

10、( )f n递增； 因此只需比较(6)f和(7)f的大小即可 (6)48f= ，(7)49f= ， 故 n nS的最小值为49故答案为49 8. （2015 全国 2，理 04/12） 已知等比数列 n a满足 1 3a =， 135 21aaa+=则 357 aaa+= A21 B42 C63 D84 6 【答案】B 【解析】 135 21aaa+=， 24 1(1 )21aqq+=又因为 1 a=3 所以 24 17qq+=， 所以 2 2q =或 2 3q = （舍去），所以 2 31 6aa q=， 24 3573(1 )42aaaaqq+=+= 9. （2015 全国 2，理 16/

11、16） 设 n S是数列 n a的前n项和，且， 11nnn aS S + =，则 n S =_ 【答案】 1 n 【解析】由已知得 111nnnnn aSSSS + =，两边同时除以 1nn SS + ，得 1 11 1 nn SS + = ，故数列 1 n S 是 以1为首项，1为公差的等差数列，则 1 1 (1) n nn S = = ，所以 1 n S n = 10. （2016 全国 1，理 03/12） 已知等差数列 n a前 9 项的和为 27， 10=8 a，则 100= a A100 B99 C98 D97 【答案】C 【解析】由已知， 1 1 93627 , 98 ad a

12、d += += 所以 11001 1,1,991 9998,adaad= =+= +=故选 C 【考点】考点等差数列及其运算 11. （2016 全国 1，理 15/16） 设等比数列 n a满足 13 10aa+=， 24 5aa+=，则 12n a aa的最大值为 【答案】64 【解析】等比数列 n a满足 13 10aa+=， 24 5aa+=， 可得 13 ()5q aa+=，解得 1 2 q = 2 11 10aq a+=，解得 1 8a = 则 22 (1)7 3 1 2 3(1) 222 121 1 8( )22 2 n nnnn n n nnn n a aaaq + + + =

13、， 当3n =或 4 时，表达式取得最大值： 12 6 2 2264=故答案为 64 【考点】等比数列及其应用 12. （2017 全国 1，理 04/12） 记 n S为等差数列 n a的前n项和若 45 24aa+=， 6 48S =，则 n a的公差为（ ） 1 1a = 7 A1 B2 C4 D8 【答案】C 【解析】 4511 3424aaadad+=+=， 61 65 648 2 Sad =+=， 联立求得 1 1 2724 61548 ad ad += += ，3 得()21 1524d=， 即624d =，所以4d =故选 C 13. （2017 全国 2，理 03/12） 我

14、国古代数学名著算法统宗中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一， 请问尖头几盏灯？”意思是：一座 7 层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的 2 倍，则塔的顶层共有灯（ ） A1 盏 B3 盏 C5 盏 D9 盏 【解析】设顶层灯数为 1 a，2=q， () 7 1 7 12 381 12 = a S ，解得 1 3a =故选 B 14. （2017 全国 3，理 14/16） 设等比数列 n a满足 12 1aa+=， 13 3aa =，则 4 a = _ 【解析】【解析】因为 n a 为等比数列，设公比为q 12 13 1 3 aa aa +=

15、= ，即 11 2 11 1 3 aa q aa q += = ， 显然 1q ， 1 0a ， 得1 3q= ，即 2q = ，代入式可得 1 1a =， 所以() 3 3 41 128aa q= = 15. （2018 全国 1，理 14/16） 记 n S为数列 n a的前n项和，若21 nn Sa=+，则 6 S =_ 【答案】63 16. （2019 全国 1，理 09/12） 记 n S为等差数列 n a的前n项和已知 4 0S =， 5 5a =，则( ) A25 n an= B310 n an= C 2 28 n Snn= D 2 1 2 2 n Snn= 【答案】A 【解析】

16、设等差数列 n a的公差为d， 由 4 0S =， 5 5a =，得 8 1 1 460 45 ad ad += += ， 1 3 2 a d = = ， 25 n an=， 2 4 n Snn=，故选 A 17. （2019 全国 1，理 14/16） 记 n S为等比数列 n a的前n项和若 1 1 3 a =， 2 46 aa=，则 5 S = 【答案】121 3 【解析】在等比数列中，由 2 46 aa=，得 625 11 0q aq a=， 即0q ，3q =， 则 5 5 1 (13 ) 121 3 133 S = ，故答案为121 3 18. （2019 全国 3，理 05/12

17、） 已知各项均为正数的等比数列 n a的前 4 项和为 15，且 531 34aaa=+，则 3 (a = ) A16 B8 C4 D2 【答案】C 【解析】设等比数列 n a的公比为(0)q q ， 则由前 4 项和为 15，且 531 34aaa=+，有 23 1111 42 111 15 34 aa qa qa q a qa qa += =+ ， 1 1 2 a q = = ， 2 3 24a =，故选 C 19. （2019 全国 3，理 14/16） 记 n S为等差数列 n a的前n项和，若 1 0a ， 21 3aa=，则 10 5 S S = 【答案】4 【解析】设等差数列 n

18、 a的公差为d，则 由 1 0a ， 21 3aa=可得， 1 2da=， 10110 515 10() 5() Saa Saa + = + 1 1 2(29 ) 24 ad ad + = + 9 11 11 2(218 ) 4 28 aa aa + = + ，故答案为 4 20. （2020 全国 2，理 04/12） 北京天坛的圜丘坛为古代祭天的场所，分上、中、下三层上层中心有一块圆形石板（称为天心石） ，环 绕天心石砌 9 块扇面形石板构成第一环，向外每环依次增加 9 块下一层的第一环比上一层的最后一环多 9 块，向外每环依次也增加 9 块已知每层环数相同，且下层比中层多 729 块，则三层共有扇面形石板（不 含天心石）( ) A3699 块 B3474 块 C3402 块 D3339 块 【考点】等差数列的前n项和 【答案】C 【解析】设每一层有n环，由题意可知从内到外每环之间构成等差数列，且公差9d =， 1 9a =， 由等差数列的性质可得 n S（上层） ， 2nn SS（中层） ， 32nn SS（下层）成等差数列，公差为 2 n d 且 2 322 ()() nnnn SSSSn d=， 则 2 729n d =，则9n =， 则三层共有扇面形石板 327 2726 27993402 2 n SS =+=块， 故选：C 10