30年全国高中数学联赛试题及答案解析全集(1988-2017).docx

1、全国高中数学联赛试题及答案解析全集全国高中数学联赛试题及答案解析全集 （19881988- -2012017 7） 目录目录 2012017 7 全国高中数学联赛试题及答案解析全国高中数学联赛试题及答案解析 2012016 6 全国高中数学联赛试题及答案解析全国高中数学联赛试题及答案解析 20152015 全国高中数学联赛试题及答案解析全国高中数学联赛试题及答案解析 20142014 全国高中数学联赛试题及答案解析全国高中数学联赛试题及答案解析 20132013 全国高中数学联赛试题及答案解析全国高中数学联赛试题及答案解析 20122012 全国高中数学联赛试题及答案解析全国高中数学联赛试题及

2、答案解析 20112011 全国高中数学联赛试题及答案解析全国高中数学联赛试题及答案解析 20102010 全国高中数学联赛试题及答案解析全国高中数学联赛试题及答案解析 20092009 全国高中数学联赛试题及答案解析全国高中数学联赛试题及答案解析 20082008 全国高中数学联赛试题及答案解析全国高中数学联赛试题及答案解析 20072007 全国高中数学联赛试题及答案解析全国高中数学联赛试题及答案解析 20062006 全国高中数学联赛试题及答案解析全国高中数学联赛试题及答案解析 20052005 全国高中数学联赛试题及答案解析全国高中数学联赛试题及答案解析 20042004 全国高中数学

3、联赛试题及答案解析全国高中数学联赛试题及答案解析 20032003 全国高中数学联赛试题及答案解析全国高中数学联赛试题及答案解析 20022002 全国高中数学联赛试题及答案解析全国高中数学联赛试题及答案解析 20012001 全国高中数学联赛试题及答案解析全国高中数学联赛试题及答案解析 20002000 全国高中数学联赛试题及答案解析全国高中数学联赛试题及答案解析 1 19 99999 全国高中数学联赛试题及答案解析全国高中数学联赛试题及答案解析 1 19 99898 全国高中数学联赛试题及答案解析全国高中数学联赛试题及答案解析 1 19 99797 全国高中数学联赛试题及答案解析全国高中数

4、学联赛试题及答案解析 1 19 99696 全国高中数学联赛试题及答案解析全国高中数学联赛试题及答案解析 1 19 99595 全国高中数学联赛试题及答案解析全国高中数学联赛试题及答案解析 1 19 99494 全国高中数学联赛试题及答全国高中数学联赛试题及答案解析案解析 1 19 99393 全国高中数学联赛试题及答案解析全国高中数学联赛试题及答案解析 1 19 99292 全国高中数学联赛试题及答案解析全国高中数学联赛试题及答案解析 1 19 99191 全国高中数学联赛试题及答案解析全国高中数学联赛试题及答案解析 1 19 99090 全国高中数学联赛试题及答案解析全国高中数学联赛试题及

5、答案解析 1 19 98989 全国高中数学联赛试题及答案解析全国高中数学联赛试题及答案解析 1 19 98888 全国高中数学联赛试题及答案解析全国高中数学联赛试题及答案解析 20172017 年全国高中数学联赛年全国高中数学联赛 A A 卷试题和答案卷试题和答案 一、填空题 1. 设)(xf是 定 义在R上 的 函数 ， 对任 意实 数x有1)4()3(xfxf. 又当70 x时 ， )9(log)( 2 xxf，则)100(f的值为_. 2.若实数yx,满足1cos2 2 yx，则yxcos的取值范围是_. 3.在平面直角坐标系xOy中， 椭圆C的方程为1 109 : 22 yx ，F为

6、C的上焦点，A为C的右顶点，P是C 上位于第一象限内的动点，则四边形OAPF的面积的最大值为_. 4.若一个三位数中任意两个相邻数码的差不超过 1，则称其为“平稳数”.平稳数的个数是 5.正三棱锥ABCP中，1AB，2AP，过AB的平面将其体积平分，则棱PC与平面所成角的 余弦值为_. 6.在平面直角坐标系xOy中， 点集1 , 0 , 1,),(yxyxK.在K中随机取出三个点， 则这三点中存在两点 之间距离为5的概率为_. 7.在ABC中，M是边BC的中点，N是线段BM的中点.若 3 A，ABC的面积为3， 则ANAM 的最小值为_. 8.设两个严格递增的正整数数列 nn ba ,满足：2

7、017 1010 ba，对任意正整数n，有 nnn aaa 12 ， nn bb2 1 ，则 11 ba 的所有可能值为_. 二、解答题 9.设mk,为实数，不等式1 2 mkxx对所有bax,成立.证明：22ab. 10.设 321 ,xxx是非负实数，满足1 321 xxx，求) 53 )(53( 32 1321 xx xxxx的最小值和最大值. 11.设复数 21,z z满足0)Re( 1 z，0)Re( 2 z，且2)R e()R e( 2 2 2 1 zz（其中)Re(z表示复数z的实部）. （1）求)Re( 21z z的最小值； （2）求 2121 22zzzz的最小值. 2017

8、2017 年全国高中数学联赛年全国高中数学联赛 A A 卷卷 二试二试 一.如图，在ABC中，ACAB，I为ABC的内心，以A为圆心，AB为半径作圆 1 ，以I为圆心， IB为半径作圆 2 ， 过点IB,的圆 3 与 1 , 2 分别交于点QP,（不同 于点B）.设IP与BQ交于点R.证明：CRBR 二.设数列 n a定义为1 1 a，, 2 , 1 , , 1 n nana nana a nn nn n .求满足 2017 3 rar的正整数r的个 数. 三.将3333方格纸中每个小方格染三种颜色之一， 使得每种颜色的小方格的个数相等.若相邻连个小方格的 颜色不同，则称它们的公共边为“分隔边

9、”.试求分隔边条数的最小值. 四.设nm,均是大于 1 的整数，nm ， n aaa, 21 是n个不超过m的互不相同的正整数， 且 n aaa, 21 互素.证明：对任意实数x，均存在一个)1 (nii，使得x mm xai ) 1( 2 ，这里y表示实数y到与 它最近的整数的距离. 20172017 年全国高中数学联赛年全国高中数学联赛 A A 卷卷 一试答案一试答案 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 20172017 年全国高中数学联赛年全国高中数学联赛 A A 卷卷 二试答案二试答案 一. 二. 三. 四. 2016 年全国高中数学联合竞赛一试（A

10、卷） 参考答案及评分标准 说明： 1. 评阅试卷时，请依据本评分标准填空题只设 8 分和 0 分两档；其他各题的评阅，请严格按照本评分标 准的评分档次给分，不要增加其他中间档次 2. 如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理、步骤正确，在评卷时可参考本评分标准适当划分档 次给分，解答题中第 9 小题 4 分为一个档次，第 10、11 小题 5 分一个档次，不要增加其他中间档次 一、填空题：本大题共 8 小题，每小题 8 分，共 64 分 1设实数a满足|119 3 aaaa，则a的取值范围是 答案：) 3 10 , 3 32 (a 解：由| aa 可得0a，原不等式可变形为 1 |119

11、1 3 a a a aa 即11191 2 a，所以) 3 4 , 9 10 ( 2 a又0a，故) 3 10 , 3 32 (a 2设复数wz,满足3|z，iwzwz47)(，其中i是虚数单位，wz,分别表示wz,的共轭复数， 则)2)(2(wzwz的模为 答案：65 解：由运算性质，)(|)(47 22 zwzwwzwzwzi，因为 2 | z与 2 | w为实数， 0)Re( zwzw，故7| 22 wz，izwzw4，又3|z，所以2| 2 w，从而 iizwzwwzwzwz81889)(2|4|)2)(2( 22 因此，)2)(2(wzwz的模为65 3正实数wvu,均不等于 1，若

12、5loglogwvw vu ，3loglogvu wv ，则u w log的值为 答案： 5 4 解：令av u log，bw v log，则 a u v 1 log， b v w 1 log，abawvvvw vuuu loglogloglog 条件化为5baba，3 11 ba ，由此可得 4 5 ab，因此 5 4 loglogloguvu vww 4袋子 A 中装有 2 张 10 元纸币和 3 张 1 元纸币，袋子 B 中装有 4 张 5 元纸币和 3 张 1 元纸币现随机从 两个袋子中各取出两张纸币，则 A 中剩下的纸币面值之和大于 B 中剩下的纸币面值之和的概率为 答案： 35 9

13、 解：一种取法符合要求，等价于从 A 中取走的两张纸币的总面值a小于从 B 中取走的两张纸币的总面值b， 从而1055ba故只能从 A 中国取走两张 1 元纸币，相应的取法数为3 2 3 C又此时2 ab， 即从 B 中取走的两张纸币不能都是 1 元纸币，相应有18 2 3 2 7 CC种取法因此，所求的概率为 35 9 2110 54183 2 7 2 5 CC 5设 P 为一圆锥的顶点，A，B，C 是其底面圆周上的三点，满足ABC=90，M 为 AP 的中点若 AB=1， AC=2，2AP，则二面角 MBCA 的大小为 答案： 3 2 arctan 解： 由ABC=90知， AC为底面圆的

14、直径 设底面中心为O， 则PO 平面 ABC，易知1 2 1 ACAO，进而1 22 AOAPPO 设 H 为 M 在底面上的射影， 则 H 为 AO 的中点 在底面中作BCHK 于点 K，则由三垂线定理知BCMK ，从而MKH为二面角 M BCA 的平面角 因 2 1 AHMH， 结 合HK与AB平 行 知 ， 4 3 AC HC AB HK ， 即 4 3 HK， 这 样 3 2 tan HK MH MKH故二面角 MBCA 的大小为 3 2 arctan 6 设 函 数 10 cos 10 sin)( 44 kxkx xf， 其 中k是 一 个 正 整 数 若 对 任 意 实 数a， 均

15、 有 | )(1| )(Rxxfaxaxf，则k的最小值为 答案：16 解：由条件知， 10 cos 10 sin2) 10 cos 10 (sin)( 22222 kxkxkxkx xf 4 3 5 2 cos 4 1 5 sin1 2 kxkx 其中当且仅当)( 5 Zm k m x 时，)(xf取到最大值根据条件知，任意一个长为 1 的开区间) 1,(aa至 少包含一个最大值点，从而1 5 k ，即5k 反 之 ， 当5k时 ， 任 意 一 个 开 区 间 均 包 含)(xf的 一 个 完 整 周 期 ， 此 时 | )(1| )(Rxxfaxaxf成立综上可知，正整数的最小值为1615

16、 7双曲线 C 的方程为1 3 2 2 y x，左、右焦点分别为 1 F、 2 F，过点 2 F作直线与双曲线 C 的右半支交于 点 P，Q，使得PQF1=90，则PQF1的内切圆半径是 答案：17 解：由双曲线的性质知， 4312 21 FF，2 2121 QFQFPFPF 因PQF1=90，故 2 21 2 2 2 1 FFPFPF，因此 72242)()(2 222 21 2 2 2 121 PFPFPFPFPFPF从而直角PQF1的内切圆半径是 17)( 2 1 )( 2 1 )( 2 1 212111 QFQFPFPFQFPQPFr 8设 4321 ,aaaa是 1，2，100 中的

17、 4 个互不相同的数，满足 2 433221 2 4 2 3 2 2 2 3 2 2 1 1 )()(aaaaaaaaaaaa 则这样的有序数组),( 4321 aaaa的个数为 答案：40 解：由柯西不等式知， 2 433221 2 4 2 3 2 2 2 3 2 2 1 1 )()(aaaaaaaaaaaa，等号成立的充分必要条件 是 4 3 3 2 2 1 a a a a a a ， 即 4321 ,aaaa成等比数列 于是问题等价于计算满足1,2,3, 4321 aaaa,100 的等比数列 4321 ,aaaa的个数设等比数列的公比1q，且q为有理数记 m n q ，其中nm,为互素

18、的 正整数，且nm 先考虑mn的情况 此时 3 3 13 14 )( m na m n aa，注意到 33,n m互素，故 3 1 m a l 为正整数 相应地， 4321 ,aaaa分别等于 lnlmnnlmlm 3223 ,，它们均为正整数这表明，对任意给定的1 m n q，满足条件并以q为公比的等 比数列 4321 ,aaaa的个数，即为满足不等式100 3 ln的正整数l的个数，即 100 3 n 由于10053，故仅需考虑 3 4 , 4 , 2 3 , 3 , 2q这些情况，相应的等比数列的个数为 20113312 64 100 64 100 27 100 27 100 8 100

19、 当mn时，由对称性可知，亦有 20 个满足条件的等比数列 4321 ,aaaa 综上可知，共有 40 个满足条件的有序数组),( 4321 aaaa 二、解答题：本大题共 3 小题，共 56 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 9 （本题满分 16 分）在ABC中，已知CBCABCBAACAB32求Csin的最大值 解：由数量积的定义及余弦定理知， 2 cos 222 acb AcbACAB 同理得， 2 222 bca BCBA ， 2 222 cba CBCA 故已知条件化为 )( 3)(2 222222222 cbabcaacb 即 222 32cba8 分 由余弦定理及基本不等

20、式，得 ab baba ab cba C 2 )2( 3 1 2 cos 2222 222 3 2 63 2 63 a b b a a b b a 所以 3 7 cos1sin 2 CC12 分 等号成立当且仅当5:6:3:cba因此Csin的最大值是 3 7 16 分 10 （本题满分 20 分）已知)(xf是 R 上的奇函数，1) 1 (f，且对任意0x，均有)() 1 (xxf x x f 求) 98 1 () 3 1 () 99 1 () 2 1 () 100 1 () 1 (ffffff) 51 1 () 50 1 (ff的值 解：设n n fan)( 1 (=1，2，3，） ，则1

21、) 1 ( 1 fa 在)() 1 (xxf x x f 中取*)( 1 Nk k x，注意到 1 1 1 1 1 1 k k k x x ，及)(xf为奇函数可知 ) 1 ( 1 ) 1 ( 1 ) 1 1 ( k f kk f kk f 5 分 即 ka a k k 1 1 ，从而 )!1( 11 1 1 1 1 1 1 nka a aa n k n k k k n 10 分 因此 49 0 50 1 50 1 101 )!99(! 1 )!100()!1( 1 iii ii iiii aa !99 2 2 2 1 !99 1 )( !99 1 !99 1 98 99 49 0 99 99

22、99 49 0 99 i ii i i CCC20 分 11 （本题满分 20 分）如图所示，在平面直角坐标系xOy中，F 是x轴正半轴上的一个动点以 F 为焦点， O 为顶点作抛物线 C设 P 是第一象限内 C 上的一点，Q 是x轴负半轴上一点，使得 PQ 为 C 的切线，且 PQ=2.圆 21,C C均与直线 OP 相切于点 P，且均与轴相切求点 F 的 坐标，使圆 1 C与 2 C的面积之和取到最小值 解：设抛物线 C 的方程是)0(2 2 ppxy，点 Q 的坐标为 )0)(0 ,(aa， 并 设 21,C C的 圆 心 分 别 为 ),(),( 222111 yxOyxO 设直线 P

23、Q 的方程为)0(mamyx，将其与 C 的方程联立，消去x可知022 2 papmyy 因为 PQ 与 C 相切于点 P，所以上述方程的判别式为0244 22 pamp，解得 p a m 2 进而可 知，点 P 的坐标为)2,(),(paayx PP 于是 )2(22 2 1|0|1| 2 apapa p a ymPQ P 由PQ=2 可得 424 2 paa 5 分 注意到 OP 与圆 21,C C相切于点 P，所以 21O OOP 设圆 21,C C 与x轴 分 别相 切于 点 M， N， 则 21,OO OO分 别是 PONPOM ,的平分线，故 21OO O=90从而由射影定理知 p

24、aayxOPPOPONOMOyy PP 2 2222 212121 结合，就有 22 21 342apaayy 10 分 由 21 ,OPO共线，可得 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 2 y y NO MO PO PO yy yy ypa pay P P 化简得 2121 2 2 yy pa yy 15 分 令 2 2 2 1 yyT，则圆 21,C C的面积之和为T根据题意，仅需考虑 T 取到最小值的情况 根据、可知， 21 2 2 2 121 2 21 2 2 4 2)(yyyy pa yyyyT 2 22 222 2 1 )2)(34( )34(2)34( 44 4 a aa

25、 aa a 作代换 2 1at，由于02444 2 paat，所以0t于是 4324 1 324 1 3 ) 1)(13( t t t t t tt T 上式等号成立当且仅当 3 3 t，此时 3 1 11ta，因此结合得， 33 1 33 3 3 1 1 1 2 2 tt a ap 从而 F 的坐标为)0 , 33 1 ()0 , 2 ( p 20 分 2015 全国全国高中数学联赛高中数学联赛安徽省初赛试卷安徽省初赛试卷 （考试时间：（考试时间：2015 年年 7 月月 4 日日上午上午 9:0011:30） 题号题号 一 二二 总分总分 9 10 11 12 得分得分 评卷人评卷人 复核

26、人复核人 注意：注意： 1 1本试卷共本试卷共 1 12 2 小题，满分小题，满分 1 15 50 0 分；分； 2 2请请用钢笔、签字笔或圆珠笔作答；用钢笔、签字笔或圆珠笔作答； 3 3书写不要超过装订线；书写不要超过装订线； 4 4不不得得使用计算器使用计算器 一、填空题（每题一、填空题（每题 8 8 分，共分，共 6464 分）分） 1. 函数R xxxxf x， e31)(的最小值是 2. 设2 42 1 1 1 1 1 n x x xx n n n ，数列 n x的通项公式是 n x 3. 设平面向量,满足3|,|,|1，则的取值范围是 4. 设)(xf是定义域为R的具有周期2的奇函

27、数，并且0)4()3( ff，则)(xf在10, 0中至 少有 个零点 5. 设a为实数，且关于x的方程1)sin)(cos(xaxa有实根，则a的取值范围是 . 6. 给定定点) 1 , 0(P，动点Q满足线段PQ的垂直平分线与抛物线 2 xy 相切，则Q的轨迹方程 是 7. 设zxyi为复数， 其中, x y是实数，i是虚数单位， 其满足z的虚部和 1 zi z 的实部均非负， 则满足条件的复平面上的点集( , )x y所构成区域的面积是 8. 设n是正整数把男女乒乓球选手各n3人配成男双、女双、混双各n对，每位选手均不兼 项，则配对方式总数是 二、解答题（第二、解答题（第 9 题题 20

28、 分，第分，第 1012 题题 22 分，共分，共 86 分）分） 9. 设正实数ba,满足1ba求证：3 11 22 b b a a 10. 在如图所示的多面体ABCDEF中，已知CFBEAD,都与平 面ABC垂直设cCFbBEaAD， 1BCACAB求四面体ABCE与BDEF公共部分的体 积（用cba,表示） 11. 设平面四边形ABCD的四边长分别为 4 个连续的正整数。证明：四边形ABCD的面积的最 大值不是整数。 12. 已知 31 位学生参加了某次考试，考试共有 10 道题，每位学生解出了至少 6 道题求证： 存在两位学生，他们解出的题目中至少有 5 道相同 试题解答试题解答 一、

29、填空题（每题一、填空题（每题 8 8 分，共分，共 6464 分）分） 1. 当3x时，,e42)( x xxf 0e2)( x xf, 因此)(xf单调减；当 13x时，,e2)( x xf 0e)( x xf， 此时)(xf亦单调减； 当1x时， x xxf e42)(， x xf e2)(. 令0)(xf得.2lnx 因此)(xf在 2lnx处取得最小值 6-2ln2 2. 设xavxausincos， 方程有实根双曲线1uv与圆1)()( 22 avau有公共 交点. 注意到圆的圆心位于直线xy之上， 只须找到圆与双曲线相切时圆心的位置即可. 易计算得，圆与双曲线切于 A(1,1)点时

30、，圆心坐标为2/21 或2/21 .圆与双曲线 切于 B(-1,-1)点时，圆心坐标为2/21 或2/21 . 因此，a 的取值范围为 2 2 1 , 2 2 1 2 2 1, 2 2 1a 3. 由 42 1 31 1 1 n n n x x x和 42 12 212 1 1 n n n x x x，可得 2 1 1 2 3 12 1 2 3 12 1 n n n n n x x x x 故 22 22 232 32 nn nn n x 4. 2 17 2 991 2 1222 4 9 4 122 以上等号均可取到故的取值范围是 4 9 , 2 17 5. 由题设可知)()()(xfxfxf

31、。令 x=0 得0)(f。 另一方面， 0.)4()4()42(fff 类似地，03)-f(2 因此，)(xf在10, 0中的零点 一定包含34 ,3 , 32 , 44 ,2 , 4 , 32 , 3 , 420,这 11 个零点 6. 设PQ的垂直平分线l与抛物线 2 xy 相切于),( 2 tt，切向为)2 ,1(t. 则l的方程为 2 )(2ttxty设),(yxQ，由PQ与l垂直且PQ中点在l上，可得 2 2 1 ) 1( 0) 1(2 ttxy ytx 由解得 y x t 22 ，代入得Q的轨迹方程为 0) 1)(1(2) 12( 22 yyxy， 2 1 , 1y 7. 0 )1

32、( )1()1( i1 i)1( Re 1 i Re 22 yx yyxx yx yx z z 等价于 2 1 2 2 1 2 2 1 )()(yx . 又由于0y，故满足条件的点集构成了圆的一部分，计算得 其面积为 8 23 8. 从 3n 名男选手中选取 2n 人作为男双选手有 2 3 n n C种选法， 把他们配成 n 对男双选手有 (2 )! 2! n n n 种配对方式。女选手类似。把 n 个男选手和 n 个女选手配成 n 对混双有 n!种配对方式。因此， 配对方式总数是 nn n n n n n n n n CC 23 2 2 2 3 2) !( )!3( ! 2 ! 二、二、 解

33、答题（解答题（第第 9 题题 20 分，第分，第 1012 题每题题每题 22 分，共分，共 86 分分） 9. 证明：对任意)1 ,0(a，由均值不等式有 .4 1 42 1 4 a a a a -（5 分） 因此， aaa a aaa a a244 1 44 1 222 -（15 分） 同理，对于任意)1 ,0(b，.2 1 2 b b b 因此，322 11 22 ba b b a a-（20 分） 10. 设HCEBFGBDAE，则四面体BEGH是ABCE与BDEF的公共部分 -（5 分） 易计算得：G到直线AB的距离 ba ab d 1 ，-（10 分） G到平面BCFE的距离 a

34、d d 2 3 1 2 ， -（15 分） H到直线BC的距离 cb bc d 3 ， 2 3 db S BEH -（20 分） 因此， )(12 3 3 3 2 cbba bdS V BEH BEGH -（22 分） 11. 不妨设ABCD是凸四边形，其面积为 S记DAdCDcBCbABa，。由 DcddcBabbaAC DcdBabS cos2cos2 ，sin 2 1 sin 2 1 22222 ， 可得 DcdBabdcba DcdBabS coscos2/)( ，sinsin2 2222 ，-（8 分） 两遍平方和得 )()()( 4 1 )( 4 1 )( )( 4 1 )cos(

35、2)()(4 222222 22222222 dcbacdbabdcaadcb dcbacdab dcbaDBabcdcdabS 等号成立当且仅当 DB，即DCBA,四点共圆-（16 分） 现根据假设dcba,为四个连续整数).1(3,2,1,nnnnn 由此 )3)(2)(1(nnnnS. 显然 .133 22 nnSnn 因此，S 不是整数。 -（22 分） 12. 证明：设S是所有试题的集合， i S是第i位学生解出的试题的集合， ii SST题目即证 存在ji 使得5 ji SS -（5 分） 不妨设iTS ii ，4 6S共有120 3 10 C个三元子集， 每个 i T恰包含 4

36、个三元子集 因 此，存在ji 使得 ji TT ,包含相同的三元子集，3 ji TT -（15 分）从而， 52 jijijiji TTSSSSSS-（22 分） 2014 年全国高中数学联赛安徽省初赛试卷 一、填空题（每题8分，共64分） 1. 函数 2 2 23 () 45 xx yxR xx 的值域是_. 2. 函数tan(2013 )tan(2014 )tan(2015 )yxxx在0, 中的零点个数是_ 3. 设定点(2,1)A，动点B在x轴上，动点C在直线yx上，则ABC的周长的最小值是_ 4. 设 12 ,P P是平面上两点， 21k P 是 2k P关于 1 P的对称点， 22

37、k P 是 21k P 关于 2 P的对称点, * kN若 12 | 1PP ，则 20132014 |PP_ 5. 已知四面体ABCD的侧面展开图如下图所示，则其体积是_ 6. 设复数z满足 1 | 2z z ，则|z的取值范围是_ 7. 设动点( ,0),(1, )P tQt，其中参数0,1t，则线段PQ扫过的平面区域的面积是_ 8. 从正12边形的顶点中取出4个顶点，它们两两不相邻的概率是_ 二、解答题（第9 91010题每题2121分，第11111212题2222分，共8686分） 9. 已知正实数, ,x y z满足1xyz求证：0 222 zyxzyx xyyzzx 10. 设数列

38、 n a满足 2 11 3 1,1 2 n n n a aan a 求证： （1） 当2n时， n a严格单调递减（2） 当1n时， 2 1 2 |3| 2 3 1 n n n r a r ，这里23r 11. 已知平面凸四边形ABCD的面积为1求证： | 42 2ABACADBCBDCD 12. 求证：（1）方程 3 10xx 恰有一个实根，并且是无理数； （2）不是任何整数系数二次方程 2 0 ( , ,0)axbxca b cZ a的根 2014 年全国高中数学联赛安徽省初赛试卷答案 2007 年安徽省高中数学竞赛初赛试题年安徽省高中数学竞赛初赛试题 一一.选择题选择题 1.如果集合.

39、AB同时满足1.2.3.4AB 1AB ,1 ,1AB就称有序集对,A B为 “好集对” 。 这里的有序集对,A B意指当AB，,A BB A和是不同的集对，那么“好集对”一共有（ ）个。 64862ABCD .设函数 lg 101 x f x , 1 22 xx ff 方程的解为( ) 2222 .loglg21.lg log 101.lg lg21.loglog 101ABCD3.设 100101102499500A是一个 1203 位的正整数,由从 100 到 500 的全体三位数按顺序排列而成那么 A 除以 126 的余数是( ) 4.在直角ABC中, 90C,CD为斜边上的高,D 为

40、垂足. ,1ADa BDb CDab.设数列 k u 的通项为 122 1,1,2,3, k kkkk k uaababbk 则( ) 200820072006200820072006 2008200720082007 2007200820082007 uuuuuu uuuu AB CD 5.在正整数构成的数列 1.3.5.7删去所有和 55 互质的项之后,把余下的各项按从小到大的顺序排成一个新 的数列 n a,易见 12345 1,3,7,9,13aaaaa那么 2007 _a192759 55 ABCD2831 9597 6.设 0 0 1 cos3 1 cos3 A B 000 000

41、1+cos7 + 1+cos111+cos87 1-cos7 + 1-cos111-cos87 + + + + 则 :A B ABCD 22 2-12+1 22 2-2+ 7.边长均为整数且成等差数列,周长为 60 的钝角三角形一共有_种. 8.设2007n,且n为使得 n n ia=2- 22+ 2取实数值的最小正整数,则对应此n的 n a为 9. 若 正 整 数n恰 好 有4个 正 约 数 , 则 称n为 奇 异 数 , 例 如6,8,10都 是 奇 异 数 . 那 么 在 27,42,69,111,125,137,343,899,3599,7999 这 10 个数中奇异数有_个. 10.平行六面体 1111 ABCDABC D中,顶点A出发的三条棱 1, ,AB ADAA的长度分别为 2,3,4,且两两夹角都 为60那么这个平行六面体的四条对角线 1111 ,AC BD DB CA的长度(按顺序