吉林省长春汽车经济技术开发区2016-2017学年高一数学下学期期末考试试题 理(有答案，word版).doc

1、 - 1 - 高一年级 20162017 学年度下学期期末考试 数学（理）试题 一、选择题：（共 14题，每题 5分，共 70 分，每题只有一个正确答案） 1 已知等差数列na的前n项和为S，若54 18 aa ?，则?8S( ) A.18B.36C.54D.722直线013:1 ? yaxl，直线01)1(2:2 ? yaxl，若1l/2，则a等于（ ） A 3 B 2 C 3 或 2 D 3或 2 3 在等比数列na中 ,8,16 41 ? a则?7aA 4? B 4? C ? D ? 4能保证直线与平面平行的条件是 ( ) A.直线与平面内的一条直线平行 B.直线与平面内的某条 直线不相

2、交 C.直线与平面内的无数条直线平行 D.直线与平面内的所有直线不相交 5在矩形 ABCD 中， AB=4， BC=3，沿 AC 将矩形 ABCD 折成一个直二面角 B AC D，则四面体 ABCD的外接球的体积为（ ） A B C D 6一几何体的三视图如图所示，若主视图和左视图都是等腰直角三角形，直角边长为 1，则该几何体外接球的表面积为（） A4?B3C2D 7在 ABC中，若 a、 b、 c成等比数例，且 c=2a，则 cosB等于（ ） A B C D 8 正方体CD-1 1 1 1A CD中，1BB与平面1ACD所成角的余弦值为（ ） A63B33C23D 9 若ab?，则下列不等

3、式成立的是 （） - 2 - Aln lnab?B0.3 0.3?C D3310若实数xy、满足2 4 000xyxy? ? ?，则21yz x? ?的取值范围为 ( ) A2( , 4 , )3? ? ? ?B2( , 2 , )3? ? ? ?C2 2, 3?D 4, 11 设直线 l的方程为 ：si n 2013 0? ? ?(R?)，则直线 l的倾斜角 的范围是 A? ?0,?B,42?C3,44?D3,4 2 2 4? ? ? ? ? ? ? ? ? ?12 中国古代数学著九章算术中记载了公元前344年商鞅督造一种标准量器 -商鞅铜方升，其三视图如图所 示（单位：寸），若?取3，其几

4、何体体积为13.5（立方寸），则图中x的为（ ） A. 2.4B. 1.8C. 1.6D. 1.213 在 ABC中， 内角 A,B,C 对边的边长分别为, , ,abcA为锐角，1lg lgb c?lgsinA?lg2?, 则ABC?为 （ ） A等腰三角形 B等边三角 形 C直角三角形 D等腰直角三角形 14某工作的三视图如图所示，现将该工作通过切削，加工成一个体积尽可能大的正方体新工件，并使新工件的一个面落在原工作的一个面内，则原工件材料的利用率为（材料利用率 =新工件的体积/原工件的体积） - 3 - A、89?B、827?C、224( 2 1)?D、28( 2 1)?二、填空题：（共

5、 4题，每题 5分，共 20分） 15两平行直线0962043 ? yxyx 与的距离是。 16 已知直线: 1 2 0( )l kx y k k R? ? ? ? ?,则该直线过定点 17 如图所示，正四棱锥ABCDP?的所有棱长均相等， E是PC的中 点，那么异面直线 BE与 PA所成的角的余弦值等于 ECDPA B 18如图，在ABC?中，3si n , 223ABC AB? ?，点 D在线段AC上， 且2AD DC?，433BD?，则cos ACB?_ 三、解答题：（共 5题，每题 12分，共 60分） 19 解下列关于x的不等式： - 4 - 0|)|1)(1( ? xx；0)3)(

6、 ? aaxax 20 已知,abc分别为ABC?三个内角,ABC的对边，3cos si n3b a C a C?. （ 1）求 A； （ 2）若2, 4a b c? ? ?，求 的面积 . 21已知直线l经过点 A)3,1(，求： （ 1）直线 在两坐标轴上的截距相等的直线方程； （ 2）直线l与两坐标轴的正半轴围成三角形面积最小时的直线方程 22如图，四边形ABCD与 BDEF均为菱形 ，60D AB D BF? ? ? ? ?， 且FA FC? （ 1）求证：AC?平面 BDEF； （ 2）求证：/FC平面 EAD； （ 3）求二面角A FC B?的余弦值 23已知数列?na的前n项和1

7、1( ) 22 nnnSa ? ? ? ?（ 为正整数） （ 1）令2nba?，求证数列?nb是等差数列，并求数列?na的通项公式； （ 2）令1ncan?，12T c c c? ? ? ?，试比较nT与521n?的大小，并予以证明 - 5 - 参考答案 1 D2 A3 A4 D5 C6 B 7 B8 A9 D10 B11 C 12 D13 D14 A 15 16 （ -2,1） 1733187919 解：1| ?xx且1? 4分 解：原不等式化为：0)3)( ? xaxa当0?a时，其解集为： R； 当?时，其解集为：3| ? xax； 当03 ? a时，其解集为：ax ?|或3?x； 当?

8、a时，其解集为 ：3| ?x或?； 当3?时，其解集为： R 12 分 20（ 1）?A；（ 2）3. （ 1）由正弦定理化简已知等 式，利用三角和内角和定理及三角函数恒等变换的应用化简可得tan 3, 3AA? ? ?；（ 2）由余弦定理可得43)( 2 ? bccb，利用均值不等式可得4bc?，? ? ?，套用面积公式即可求解 . （ 1）3cos si n3b a C a C?3si n si n c os si n c os3B A C A C? ? 2分 CACACACA sinsin33cossinsincoscossin ? 4分 即3c os si n si n si n3A

9、C A C?，又sin 0C?，3cos sin3AA?即tan 3, 3? ? ? 6 分 （ 2）2 2 2 2 c osa b c bc A? ? ?，? ? 22 2 223b c bc b c bc? ? ? ? ? ? ? 8分 - 6 - 2b c bc? ?2 16bc? ? ?，即4bc?又由题意 知?. 4? ?（当2?时 等式成立） 10分 1 2 2 si n 323ABCS ? ? ? ? ? ? 12 分 21（ 1）当直线过原点时，方程为 y=3x，当直线不过原点时，设直线的方程为： x+y=k，把点（ 1，3）代入直线的方程可得 k值，即得所求的直线方程；（ 2

10、）设直线方程为：? ?1 0, 0xy abab? ? ? ?，根据三角形的面积公式和基本不等式 即可求出最值，继而得到直线方程 22（ 1）由线面垂直的判定定理得到结论；（ 2）通过证明线线平行 ,得到线面平行；（ 3） 建立空间直角坐标系O xyz?，求出平面BFC的法向量 ,易知BD?面ACF,所以面 的法向量为BD,再求出它们的夹角的 余弦值 . 试题解析：（ 1）证明：设AC与 BD相交于点O， 连接FO，因为四边形ABCD为菱形 ， 所以AC BD， 且 为 中点 ，又FA PC?， 所以FO?， 因为FO BD O?，所以?平面 EF （ 2）证明：因为四边形ABCD与 均为菱形

11、 ， 所以/AD BC，DE BF， 所以平面/FBC平面 EAD， 又FC?平面FBC， 所以/FC平面 （ 3）解：因为四边形 BDEF为菱形 ， 且60? ? ?， 所以 DBF为等边三角形 ， 因为O为 中点 ， 所以FO BD?， 故?平面ABCD 由OA，OB，OF两两垂直 ， 建立如图所示的空间直角坐标系O xyz? 设 2AB?， 因为四边形ABCD为菱形 ，60AB? ?， 则 2BD?， 所以1OB，3OA OF?， 所以(0,0,0)，( 3,0,0)A，0,1,B，( 3,0,0)C ?，(0 3)F 所以( 3,0, 3)CF ?，( 3,1,0)CB 设平面BFC的

12、法向量( , , )n x y z?， 则有0,0,n CFn CB? ?所以3 3 0,30xzxy? ? ，取1x?， 得(1, 3, 1)? ? - 7 - 易知平 面AFC的法向量为(0,1,0)v? 由二面角A FC B?是锐角 ，得| , | cos , | | | |uvnv uv? ? ?155?， 所以二面角 的余弦值为155 23 （ 1）由题意数列na的前n项和表达式，先根据1n n na S S ?求数列a的 通项n的递推关系式，再求数列b是等差数列，根据等差数列nb的通项求数列 的通项；（ 2）由（ 1）所求数列na的通项 先得c，再利用错位相减法求nT得表达式，再把

13、T与521n?作差比较大小 ，可利用数学归纳法证明 （ I）在11( ) 22 nnnSa ? ? ? ?中，令 n=1，可得1112nS a a? ? ? ? ?，即12?当2n?时，211 1 1 111( ) 2 ( )22nnn n n n n n nS a a S S a a? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?， 11n 1 112a ( ) , 2 12 nnn n na a a? ? ? ? ?n即 2112 , 1 , n 2 1nn n n n nb a b b b? ? ? ? ? ? ?n即 当 时 ， b又112 1,ba? ? ?数列?nb是首项和公

14、差均为 1的等差数列 于是1 ( 1 ) 1 2 , 2nn n n nnn n a a? ? ? ? ? ? ? ?- 8 - (II)由（ I）得11( 1)( )2 nnnnc a nn? ? ?，所以 231 1 1 12 3 ( ) 4 ( ) ( 1 ) ( )2 2 2 2 nnTn? ? ? ? ? ? ? ? ?K2 3 4 11 1 1 1 12 ( ) 3 ( ) 4 ( ) ( 1 ) ( )2 2 2 2 2 nn ? ? ? ? ? ? ? ? ?K由 -得2 3 11 1 1 11 ( ) ( ) ( ) ( 1 ) ( )2 2 2 2nnn ? ? ? ? ?

15、 ? ?K111111 ( ) 1 3 3421 ( 1 ) ( )1 2 2 21233nnnn nnnnT? ? ? ? ? ? ? ? ?5 3 5 ( 3 ) ( 2 2 1 )32 1 2 2 1 2 ( 2 1 )nn nnn n n n nT n n n? ? ? ? ? ? ? ? ?于是确定521n nT n?与的大小关系等价于比较2 2 1n n?与的大小 由 可猜想当3 2 2 1.n? ? ?时 ，证明如下： 证法 1：（ 1）当 n=3时，由上验算显示成立。 （ 2）假设1nk=+时，12 2 2 2( 2 1 ) 4 2 2( 1 ) 1 ( 2 1 ) 2( 1 ) 1kk k k k k k? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?， 所以当 时猜想成立， 综合（ 1）（ 2）可知，对一切3n?的正整数，都有2 2 1n n+证法 2： 当3n?时 0 1 2 1 0 1 1( 1 1 ) 2 2 2 1n k n n n nn n n n n n n n nC C C C C C C C C n n? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?， 综上所述，当=1,2时，521nT n +