2020年中考复习《二次函数》最值专题训练（一）（有答案）.docx

1、第 1 页，共 20 页 2020 中考复习二次函数最值专题训练（一）中考复习二次函数最值专题训练（一） 姓名：_班级：_考号：_ 一、选择题 1. 已知二次函数 = ( )2+ 1(为常数)，在自变量 x的值满足1 3的情况 下，与其对应的函数值 y的最大值为5，则 h的值为( ) A. 3 +或1 B. 3 或3 + C. 3 或1 + D. 1 6或1 + 6 2. 已知 x，y都是常数，且满足2+ 2 + 2 + + 12 = 0，则(1 )的最小值 为( ) A. 0 B. 1 C. 2 D. 25 4 3. 已知二次函数 = 2+ 2 + 32 + 3(其中 x 是自变量)，当 2

2、时，y 随 x 的增 大而增大，且2 1时，y 的最大值为 9，则 a的值为( ) A. 1 或2 B. 2或 2 C. 2 D. 1 4. 如图， 中， = 90， = 30， = 4，点 D 是 AB 边上一 个动点，将 AD 绕点 A 逆时针旋转60得到，连接，则的最小值 是( ) A. 1 B. 3 C. 3 1 D. 3 2 5. 如图，已知边长为 4 的正方形 EFCD截去一角成为五边 形 ABCDE，其中 = 2， = 1.在 AB上找一点 P，使 得矩形 PNDM有最大面积， 则矩形 PNDM面积的最大值 是( ) A. 8 B. 12 C. 25 2 D. 14 6. 已知

3、2， 2 2 + 2 = 0， 2 2 + 2 = 0， ， 则( 1)2+ ( 1)2的 最小值是( ) A. 6 B. 3 C. 3 D. 0 第 2 页，共 20 页 7. 在 中， = 45， = 2，则 面积的最大值为( ) A. 22 B. 2 + 1 C. 2 D. 2 8. 已知 2，2 2 + 2 = 0，2 2 + 2 = 0，则( 1)2+ ( 1)2的最小 值是( ) A. 6 B. 3 C. 3 D. 0 二、填空题 9. 对于实数 a、b，我们定义符号*,+的意义为：当 时，*,+ = ；当 时，*,+ = ；如：*4,2+ = 4，*3,3+ = 3，若关于 x

4、的函数为 = * + 3, + 1+，则该函数的最小值是 10. 已知 x，y满足| 3| + | 1| = 6 | 2| | + 2|，则 + 的最大值为 _； + 的最小值为_ 11. 已知,满足3 + = 3， 在平面直角坐标系中， 动点(,)到原点(0,0)距离的最 小值=_ 12. 已知抛物线 = 2 2 + 2+ 1的顶点为 M，其中 m为常数，点 N的坐标 为(3,0)，当 m 变化时，则点 M与点 N的距离最小值为 _ 13. 已知实数 x，y满足2+ 3 + 3 = 0，则 的最大值为_ 14. 已知 x0，则当 =_时，分式 2;2:9取到最大值，最大值为_ 三、解答题 1

5、5. 如图，抛物线 = 2 2 + 3( 0)与 x轴交于 A、B 两点，交 y 轴与点 c (1)点 A 、B 、C 的坐标分别为：A：_ B_C (2)若点 E为第二象限抛物线上一动点，连接,，求四边形 BOCE 面积的最大 值，并求出此时点 E的坐标 第 3 页，共 20 页 (3)点 P 在抛物线的对称轴上，若线段 PA 绕点 P逆时针旋转90后，点 A的对应点 ,恰好也落在此抛物线上，请直接写出点 P的坐标 16. 如图，抛物线 = 2+ + 经过点(2,3)，对称轴是直线 = 1，且抛物线 与 x轴交于点(1,0) (1)求抛物线的解析式； (2)抛物线与 x 轴的另一个交点为 C

6、，该抛物线的对称轴上是否存在一点 M，使得 的周长最小？如果存在，请你在图中作出点 M，并求出点 M的坐标； (3)在直线 AB上方的抛物线上是否存在点 P， 使四边形 PACB的面积最大？若存在， 请求出点 P的坐标，并求出此时四边形 PACB 的最大面积 17. 如图在锐角 中， = 6，高 = 4，两动点 M、N 分别在 AB、AC 上滑动(不 包含端点)，且/，以 MN 为边长向下作正方形 MPQN，设 = ，正方形 第 4 页，共 20 页 MPQN与 公共部分的面积为 y (1)如图(1)，当正方形 MPQN的边 P 恰好落在 BC边上时，求 x 的值； (2)如图(2)， 当 P

7、Q落 外部时， 求出 y与 x的函数关系式(写出 x的取值范围)并 求出 x 为何值时 y最大，最大是多少？ 18. 旅行社为某旅游团包飞机去旅游，其中旅游社的包机费为15 000元，旅游团中每人 的飞机票按以下方式与旅行社结算；若旅游团的人数在 30或 30 以下，则飞机票每 张收费 900 元；若旅游团人数多于 30，则给予优惠，每多 1人，机票费每张减少 10 元，但旅游团的人数最多有75.设旅游团的人数为 x，每张飞机票价为 y元，旅行 社可获得的利润为 w元 (1)写出 y 与 x 之间的函数关系式； (2)写出 w与 x之间的函数关系式； (3)当旅游团的人数为多少时，旅行社可获得

8、的利润最大？最大利润为多少元？ 第 5 页，共 20 页 19. 如图， 在平面直角坐标系中， 二次函数的图象交坐标轴于(1,0)， (4,0)， (0,4) 三点，点 P是直线 BC下方抛物线上一动点 (1)求这个二次函数的解析式； (2)是否存在点 P， 使 是以 OC为底边的等腰三角形？若存在， 求出 P 点坐标； 若不存在，请说明理由； (3)动点 P运动到什么位置时， 面积最大，求出此时 P点坐标和 的最 大面积 20. 如图， 已知二次函数 = 2+ 3 2 + 的图像与 y轴交于点(0,4)， 与 x 轴交于点 B、 C，点 C 坐标为(8,0)，连接 AB、AC (1)请直接写

9、出二次函数 = 2+ 3 2 + 的表达式； (2)判断 的形状，并说明理由； (3)若点 N在 x轴上运动，当以点 A、N、C为顶点的三角形是等腰三角形时，请直 接写出此时点 N的坐标； (4)若点 N在线段 BC上运动(不与点 B、C 重合)，过点 N作/，交 AB于点 M，当 面积最大时，求此时点 N的坐标 第 6 页，共 20 页 21. 抛物线 = 1 2 2 + + 经过点(2,0)，(8,0)，(4,4) (1)求这个抛物线的表达式； (2)如图 1，若点 P在线段 BC上方的抛物线上运动，当 的面积最大时，求出 点 P 的坐标，并求出此时的 的面积 (3)如图 2，一把宽为 2

10、 的直尺的右边缘靠在直线 = 4上，当直尺向左平移过程 中刻度线 0始终在 x轴上， 直尺的右边边缘与抛物线和直线 BC分别交于G， D点 直 尺的左边边缘与抛物线和直线 BC 分别交于 F，E 点当图中四边形 DEFG 是平行 四边形时，此时直尺左边边缘与直线 BC的交点 E的刻度是多少？ 第 7 页，共 20 页 22. 如图 1，抛物线 = 2+ + 的图象与 x轴交于(1,0)，(3,0)两点，与 y 轴交 于点 C， 抛物线的对称轴与 x轴交于点 D (1)求抛物线的函数表达式； (2)如图 1，点(,)为抛物线上一点，且1 3，过点 E作/轴，交抛物 线的对称轴于点 F，作 轴于点

11、 H，得到矩形 EHDF，求矩形 EHDF 周长的最 大值；并写出点 E 的坐标 (3)如图 2，在(2)的条件下， 求 的面积； 将直线 CH 绕点 C 按顺时针方向旋转得到直线 l， 当直线 l与直线 CE 重合时停 止旋转在旋转过程中，直线 l与线段 EH交于点.设点 E、H到直线 l的距离分别 为1、2，当1+ 2最大时，求直线 l旋转角度的正切值 第 8 页，共 20 页 答案和解析答案和解析 1. A 解：解：当 时，y随 x的增大而减小， 若 1 3， = 1时，y 取得最小值5， 可得：(1 )2+ 1 = 5， 解得： = 1 6或 = 1 + 6(舍)； 若1 3 ，当 =

12、 3时，y取得最小值5， 可得：(3 )2+ 1 = 5， 解得： = 3 + 6或 = 3 6(舍) 综上，h的值为1 6或3 + 6， 2. D 解： 2+ 2 + 2+ + 12 = 0 ( + )2+ ( + ) 12 = 0， 即( + 3)( + + 4) = 0， 可得 + = 3或 + = 4， 即 = + 3或 = 4， 当 = + 3时，(1 ) = (1 + 3) = 2 2 = ( 1)2 1，最小值为1， 当 = 4时，(1 ) = (1 + + 4) = 2+ 5 = ( + 5 2) 2 25 4 ，最小值为 25 4 ， 25 4 0， 2 1时，y 的最大值为

13、 9， = 1时， = + 2 + 32+ 3 = 9， 第 9 页，共 20 页 32+ 3 6 = 0， = 1，或 = 2(不合题意舍去) 4. A 解：过作 于 H点， 设 = ， 中， = 90， = 30， = 4， = 2， = 60， = 30， = 3， = 2 3， 2= 2+ (2 3) 2 = 42 43 + 4 = 4( 3 2 )2+ 1， 的最小值是 1， 5. B 解：延长 NP 交 EF 于 G点， 设 = ，则 = 4 ， /， ， = ，即 2 = 1，解得 = 2， 第 10 页，共 20 页 = = + = 2 + 2， 矩形= = (2 + 2)(4

14、 ) = 22+ 6 + 8 = 2( 3 2) 2 + 25 2 (0 1)， 2 0， = = 1， 抛物线开口向下，当 = 1时，函数有最大值为 12 6. A 解： 2 2 + 2 = 0，2 2 + 2 = 0， ，n是关于 x的方程2 2 + 2 = 0的两个根， + = 2， = 2， ( 1)2+ ( 1)2= 2 2 + 1 + 2 2 + 1 = ( + )2 2 2( + ) + 2 = 42 4 4 + 2 = 4( 1 2) 2 3， 2， 当 = 2时，( 1)2+ ( 1)2有最小值， ( 1)2+ ( 1)2的最小值= 4( 1 2) 2 3 = 4(2 1 2

15、) 2 3 = 6， 7. B 解： = 45， = = 4， 利用余弦定理 = 2:2;2 2 得出： 2 2 = 2:2;4 2 ， 2 = 2+ 2 4 2 4， 即(2 2) 4， 4 2;2 = 2(2 + 2)， 面积最大值为1 2 1 2 2(2 + 2) 2 2 = 2 + 1， 面积最大值为2 + 1 8. A 第 11 页，共 20 页 解： 2 2 + 2 = 0，2 2 + 2 = 0， ，n是关于 x的方程2 2 + 2 = 0的两个根， + = 2， = 2， ( 1)2+ ( 1)2 = 2 2 + 1 + 2 2 + 1 = ( + )2 2 2( + ) +

16、2 = 42 4 4 + 2 = 4( 1 2) 2 3， 当 2时，( 1)2+ ( 1)2随 a 的增大而增大， 当 = 2时，( 1)2+ ( 1)2有最小值， 原式= 4( 1 2) 2 3 = 4 (2 1 2) 2 3 = 6 9. 2 解：由题意得当 + 3 + 1时，即 1， 此时 = * + 3, + 1+ = + 3，则该函数的最小值是 2， 当 + 3 + 1时，即 2， 故该函数的最小值为 2 10. 5；1 解： | 3| + | 1| = 6 | 2| | + 2| | 3| + | 1| + | 2| + | + 2| = 6 2 3,1 2 当 = 3， = 2

17、时， + 有最大值，最大值为：3 + 2 = 5； 当 = 2， = 1时， + 有最小值，最小值为：2 + 1 = 1 第 12 页，共 20 页 11. 310 10 解：已知,满足3 + = 3，可得 = 3 3， 设动点(,)到原点(0,0)距离为 d，则有2= 2+ 2= 2+ (3 3)2= 102 18 + 9， 当 = ;18 210 = 9 10时， 2取最小值， 此时2= 81 10 81 5 + 9 = 9 10，即 = 9 10 = 310 10 ， 12. 2 解：由题意可得： = 2 2 + 2+ 1 = ( )2+ 1， 则(, 1)， 点 N 的坐标为(3,0)

18、， 2= (3 )2+ ( 1)2= 22 8 + 10 = 2( 2)2+ 2， 故 = 2时，2最小为 2， 则线段 MN 的最小值为 2 13. 7 解：由2+ 3 + 3 = 0得 = 2 3 + 3，把 y 代入 得： = 2 3 + 3 = 2 4 + 3 = ( + 2)2+ 3 + 4 7， 的最大值为 7 14. 3 1 4 解：令1 = 2;2:9 = + 9 2， 当且仅当 = 9 ，即 = 3时， 1 有最小值，其最小值为 4， 当 = 3时，最大= 1 4， 15. 解：(1)(1,0)；(3,0)；(0,3)； 第 13 页，共 20 页 (2)如图 2，过点 E

19、作 轴于点 F， 设(,2 2 + 3)(3 0)， = 2 2 + 3， = + 3， = ， 四边形= 1 2 + 1 2( + ) ， = 1 2( + 3) ( 2 2 + 3) + 1 2( 2 2 + 6) ()， = 3 2 2 9 2 + 9 2 = 3 2( + 3 2) 2 + 63 8 ， 当 = 3 2时，四边形最大，且最大值为 63 8 此时，点 E坐标为( 3 2, 15 4 )； (3) 抛物线 = 2 2 + 3的对称轴为 = 1，点 P在抛物线的对称轴上，设 (1,)， 线段 PA绕点 P逆时针旋转90后， 点 A的对应点恰好也落在此抛物线上， 当 0时， =

20、 1，1= 90，如图 3，过1作1 对称轴于 N，设对 称轴于 x轴交于点 M， 1+ = 1 + 1= 90， 1 = ， 在 1与 中， 1 = = 90 1 = 1= ， 1 ， 1 = = ， = = 2， 1( 1, + 2)，代入 = 2 2 + 3得： + 2 = ( 1)2 2( 1) + 3， 解得： = 1， = 2(舍去)， 当 0时，要使2 = 22，由图可知2点与 B 点重合， 第 14 页，共 20 页 22= 90， 2= = 2， 2(1,2)， 满足条件的点 P的坐标为(1,1)或(1,2) 解：(1)对于抛物线 = 2 2 + 3， 令 = 0，得到2 2

21、 + 3 = 0，解答 = 1或3， (1,0)，(3,0)， 令 = 0，得到 = 3， (0,3)； 故答案为(1,0)；(3,0)；(0,3)； 16. 解：(1) 对称轴是直线 = 1，且抛物线与 x轴交于点(1,0)， (3,0)， 设抛物线的解析式为 = ( + 1)( 3)， 过(2,3)， 3 (1) = 3， 解得 = 1， 抛物线的解析式为 = ( + 1)( 3) = 2+ 2 + 3； (2)连接 AB，当 A、B、M 三点共线时， 的周长最小， 设 AB的解析式为 = + ， 过 A 和 B两个点， + = 0 2 + = 3 , 解得 = 1 = 1, 直线 AB

22、的解析式为 = + 1， 当 = 1时， = 1 + 1 = 2， (1,2)； (3)设(,2+ 2 + 3)， 四边形= + = + 6， 过点 P作/轴交 AB于 N，则(, + 1)， 第 15 页，共 20 页 = 2+ + 2， = 3 2( 2 + + 2) = 3 2 2 + 3 2 + 3， 当 = 1 2时，的最大值是 27 8 ，此时(1 2, 15 4 )，且四边形的面积最大 所以四边形 PACB面积的最大值是6 + 27 8 = 75 8 17. 解：(1)当 PQ恰好落在边 BC上时， /， = ， 即 6 = 4; 4 ， = 12 5 (2)设 BC分别交 MP

23、，NQ 于 E，F，则四边形 MEFN为矩形 设 = = ，AD 交 MN于(如图2) = = ， = 4 /， = ，即 6 = 4; 4 ， = 2 3 + 4 第 16 页，共 20 页 = = ( 2 3 + 4) = 2 3 2 + 4(2.4 6)， 配方得： = 2 3( 3) 2 + 6 当 = 3时，y有最大值，最大值是 6 18. 解：(1)当0 30时， = 900； 当30 75时， = 900 10( 30) = 10 + 1200 (2)当0 30时， = 900 15000； 当30 75时， = (10 + 1200) 15000 = 102+ 1200 150

24、00 (3)当0 30时， = 900 15000随 x 的增大而增大， 所以，当 = 30时，最大= 900 30 15000 = 12000(元)； 当30 75时， = 102+ 1200 15000 = 10( 60)2+ 21000， 10 12000， 当 = 60时，最大= 21000(元) 答：旅游团的人数为 60 人时，旅行社可获得的利润最大，最大利润为 21000元 19. 解：(1)设抛物线解析式为 = 2+ + ， 把 A、B、C 三点坐标代入可得 解得 = 1 = 3 = 4 , 抛物线解析式为 = 2 3 4； (2)作 OC的垂直平分线 DP，交 OC于点 D，交

25、 BC下方抛物线于点 P，如图 1， = ，此时 P 点即为满足条件的点， (0,4)， (0,2)， 第 17 页，共 20 页 点纵坐标为2， 代入抛物线解析式可得2 3 4 = 2，解得 = 3;17 2 (小于 0，舍去)或 = 3:17 2 ， 存在满足条件的 P 点，其坐标为(3:17 2 ,2)； (3) 点 P 在抛物线上， 可设(,2 3 4)， 过 P 作 轴于点 E，交直线 BC 于点 F，如图 2， (4,0)，(0,4)， 直线 BC 解析式为 = 4， (, 4)， = ( 4) (2 3 4) = 2+ 4， = + = 1 2 + 1 2 = 1 2 ( + )

26、 = 1 2 = 1 2( 2 + 4) 4 = 2( 2)2+ 8， 当 = 2时，最大值为 8，此时2 3 4 = 6， 当 P 点坐标为(2,6)时， 的最大面积为 8 20. 解：(1)将点(0,4)、(8,0)代入 = 2+ 3 2 + 中， 得：4 = 0 = 64 + 12 + ，解得： = 4 ;1 4， 该二次函数的解析式为 = 1 4 2 + 3 2 + 4 (2)令 = 1 4 2 + 3 2 + 4中 = 0，则 1 4 2 + 3 2 + 4 = 0， 解得： = 2，或 = 8， 点 B 的坐标为(2,0)， 又点(0,4)，点(8,0)， = 25， = 45，

27、= 10 2+ 2= 20 + 80 = 100 = 2， 为直角三角形 第 18 页，共 20 页 (3)设点 N的坐标为(,0)， 则 = 45， = (0 )2+ (4 0)2， = |8 | 以点 A、N、C为顶点的三角形是等腰三角形分三种情况： 当 = 时，即45 = (0 )2+ (4 0)2， 解得： = 8，或 = 8(舍去)， 此时点 N 的坐标为(8,0)； 当 = 时，即45 = |8 |， 解得： = 8 45，或 = 8 + 45， 此时点 N 的坐标为(8 45,0)或(8 + 45,0)； 当 = 时，即(0 )2+ (4 0)2= |8 |， 解得： = 3，

28、此时点 N 的坐标为(3,0) 综上可知：以点 A、N、C为顶点的三角形是等腰三角形时，点 N 的坐标为(8,0)、 (8 45,0)、(8 + 45,0)或(3,0) (4)设点 N的坐标为(,0)(2 8)，则 = (2) = + 2 /， ， = ( ) 2 = 1 2 = 20， = + 2， = 10， = ( ) 2 = 1 5( + 2) 2 = = 1 2 1 5( + 2) 2 = 1 5( 3) 2 + 5， 当 = 3，即点 N的坐标为(3,0)时， 面积最大，最大值为 5 21. 解：(1)将(2,0)、(4,4)代入 = 1 2 2 + + 中， 得：2 2 + =

29、0 8 4 + = 4，解得： = 5 = 8， 二次函数的解析式为 = 1 2 2 5 8； (2)如图 1，分别过点 P、C 作 、 ，垂足分别为 E、F，设点 P 的横坐标 为(, 1 2 2 5 8)， 第 19 页，共 20 页 (2,0)，(8,0)，(4,4)， 0， = | 8 (2)| = 6， = | 8 | = 8 + ， = 4 2 = 2， = | + 4| = 4， = + 梯形+ = 1 2 (8 + ) ( 1 2 2 5 8) + 1 2 ( 1 2 2 5 8 + 4) (4 ) + 1 2 2 4 1 2 6 4 = 2 12 32， = ( + 6)2+

30、 4， 当 = 6时， 的面积最大， 的面积最大值为 4， 点(6,4)； (3)设直线 BC的解析式为 = + ( 0)， 将(8,0)、(4,4)代入 = + 中， 得：8 + = 0 4 + = 4， 解得： = 1 = 8， 直线 BC 的解析式为 = + 8， 设点 D的坐标为(, + 8)，则点 E的坐标为( 2, + 6)，点 G的坐标为 (, 1 2 2 + 5 8)，点 F的坐标为( 2, 1 2( 2) 2 5( 2) 8) 四边形 DEFG 为平行四边形， = ， 即 1 2 2 + 5 8 ( + 8) = 1 2( 2) 2 5( 2) 8 ( + 6)，解得： =

31、5， 点 E 的坐标为(5 2,5 + 6)即为(7,1)， 当图中四边形 DEFG 是平行四边形时，此时直尺右边缘与直线 BC的交点 E的刻度是 1 22. 解：(1)把(1,0)，(3,0)两点坐标代入 = 2+ + ， 第 20 页，共 20 页 得到1 + = 0 9 + 3 + = 0， 解得 = 2 = 3， 抛物线的函数表达式为 = 2 2 3 (2) 抛物线的对称轴 = 1，(,2 2 3)， = 2+ 2 + 3， = 1， 矩形 EFDH的周长= 2( + ) = 2(2+ 3 + 2) = 2( 3 2) 2 + 17 2 ， 1 3 2 3， = 3 2时，矩形 EHDF的周长最大，最大值为 17 2 点(3 2, 15 4 )， (3)= 1 2 15 4 3 2 = 45 16， = 1 2 ( 1+ 2) = 1 2 (1+ 2 ) (1+ 2)最大时，CM 取得最小值， 过点 C作 时，CM 最小，此时tan = 2