椭圆与双曲线的对偶性质100条.doc

1、 1 / 16 椭圆与双曲线的对偶性质 100 条 椭 圆 1 12 | 2PFPFa 2标准方程： 22 22 1 xy ab 3 1 1 | 1 PF e d 4点 P 处的切线 PT 平分 PF1F2在点 P 处的外角. 5PT 平分 PF1F2在点 P 处的外角，则焦点在直线 PT 上的射影 H 点的轨迹是以长轴 为直径的圆，除去长轴的两个端点. 6以焦点弦 PQ 为直径的圆必与对应准线相离. 7以焦点半径 PF1为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切. 8设 A1、A2为椭圆的左、右顶点，则 PF1F2在边 PF2（或 PF1）上的旁切圆，必与 A1A2 所在的直线切于 A2（或 A1）

2、. 9椭圆 22 22 1 xy ab （abo）的两个顶点为 1( ,0)Aa, 2( ,0) A a，与 y 轴平行的直线 交椭圆于 P1、P2时 A1P1与 A2P2交点的轨迹方程是 22 22 1 xy ab . 10若 000 (,)P xy在椭圆 22 22 1 xy ab 上，则过 0 P的椭圆的切线方程是 00 22 1 x xy y ab . 11若 000 (,)P x y在椭圆 22 22 1 xy ab 外 ，则过 Po 作椭圆的两条切线切点为 P1、P2，则 切点弦 P1P2的直线方程是 00 22 1 x xy y ab . 12AB 是椭圆 22 22 1 xy

3、ab 的不平行于对称轴且过原点的弦，M 为 AB 的中点，则 2 2 OMAB b kk a . 13 若 000 (,)Pxy在 椭 圆 22 22 1 xy ab 内 ， 则 被 Po 所 平 分 的 中 点弦 的 方 程 是 22 0000 2222 x xy yxy abab . 14 若 000 (,)Pxy在 椭 圆 22 22 1 xy ab 内 ， 则 过 Po 的 弦 中 点 的 轨 迹 方 程 是 22 00 2222 x xy yxy abab . 15 若PQ是 椭 圆 22 22 1 xy ab （ a b 0 ） 上 对 中 心 张 直 角 的 弦 ， 则 12 2

4、222 12 1111 (|,|)rOP rOQ rrab . 2 / 16 16若椭圆 22 22 1 xy ab （ab0）上中心张直角的弦 L 所在直线方程为 1AxBy(0)AB ,则(1) 22 22 11 AB ab ;(2) 4242 2222 2 a Ab B L a Ab B . 17给定椭圆 1 C： 222222 b xa ya b（ab0）, 2 C： 22 22222 22 () ab b xa yab ab , 则 (i) 对 1 C上 任 意 给 定 的 点 000 (,)P xy, 它 的 任 一 直 角 弦 必 须 经 过 2 C上 一 定 点 M( 2222

5、 00 2222 (,) abab xy abab . (ii)对 2 C上任一点 000 (,)Pxy在 1 C上存在唯一的点 M,使得 M的任一直角弦都经过 0 P 点. 18设 000 (,)P x y为椭圆（或圆）C: 22 22 1 xy ab (a0,. b0)上一点，P1P2为曲线 C 的 动弦,且弦 P0P1, P0P2斜率存在， 记为 k1, k 2, 则直线 P1P2通过定点 00 (,)M mxmy(1)m 的 充要条件是 2 12 2 1 1 m b k k m a . 19 过椭圆 22 22 1 xy ab (a0, b0)上任一点 00 (,)A xy任意作两条倾

6、斜角互补的直线交 椭圆于 B,C 两点，则直线 BC 有定向且 2 0 2 0 BC b x k a y （常数）. 20椭圆 22 22 1 xy ab (ab0)的左右焦点分别为 F1，F 2，点 P 为椭圆上任意一点 12 FPF，则椭圆的焦点角形的面积为 12 2 tan 2 F PF Sb ， 2 222 (tan,tan) 22 ab Pcb cc . 21若 P 为椭圆 22 22 1 xy ab （ab0）上异于长轴端点的任一点,F1, F 2是焦点, 12 PFF, 21 PF F，则tant 22 ac co ac . 22椭圆 22 22 1 xy ab （ab0）的焦半

7、径公式： 10 |MFaex, 20 |MFaex( 1( ,0)Fc , 2( ,0) F c 00 (,)M xy). 23若椭圆 22 22 1 xy ab （ab0）的左、右焦点分别为 F1、F2，左准线为 L，则当 0e21时，可在椭圆上求一点 P，使得 PF1是 P 到对应准线距离 d 与 PF2的比例中项. 24P 为椭圆 22 22 1 xy ab （ab0）上任一点,F1,F2为二焦点，A 为椭圆内一定点，则 211 2| | 2|aAFPAPFaAF,当且仅当 2 ,A F P三点共线时，等号成立. 25椭圆 22 22 1 xy ab （ab0）上存在两点关于直线l： 0

8、 ()yk xx对称的充要条 3 / 16 件是 222 2 0 222 ()ab x ab k . 26过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线，与以长轴为直径的圆相交，则相应交点与相应 焦点的连线必与切线垂直. 27 过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线交相应准线于一点， 则该点与焦点的连线必与焦 半径互相垂直. 28P 是椭圆 cos sin xa yb （ab0）上一点，则点 P 对椭圆两焦点张直角的充要条 件是 2 2 1 1 sin e . 29设 A,B 为椭圆 22 22 (0,1) xy k kk ab 上两点，其直线 AB 与椭圆 22 22 1 xy ab 相 交于,P Q,则APBQ.

9、 30 在 椭 圆 22 22 1 xy ab 中 ， 定 长 为 2m （ o ma ） 的 弦 中 点 轨 迹 方 程 为 22 22 2 22 22 1 () cossin xy ab m ab ,其中 22 22 tan b x a y ,当0y 时, 90. 31设 S 为椭圆 22 22 1 xy ab （ab0）的通径，定长线段 L 的两端点 A,B 在椭圆上移 动 ， 记 |AB|=l， 00 (,)M xy是AB中 点 ， 则 当lS 时 ， 有 2 0max () 2 al x ce 222 (cab, c e a );当lS 时，有 22 0max ()4 2 a xbl

10、 b , 0min ()0 x. 32 椭 圆 22 22 1 xy ab 与 直 线0A xB yC有 公 共 点 的 充 要 条 件 是 22222 A aB bC. 33椭圆 22 00 22 ()() 1 xxyy ab 与直线0AxByC有公共点的充要条件是 22222 00 ()A aB bAxByC. 34设椭圆 22 22 1 xy ab （ab0）的两个焦点为 F1、F2,P（异于长轴端点）为椭圆上 任 意 一 点 ， 在 PF1F2中 ， 记 12 FPF, 12 PFF, 12 FF P， 则 有 s i n s i ns i n c e a . 35经过椭圆 22222

11、2 b xa ya b（ab0）的长轴的两端点 A1和 A2的切线，与椭圆 上任一点的切线相交于 P1和 P2，则 2 12 | |PAPAb. 36 已知椭圆 22 22 1 xy ab （ab0） ， O为坐标原点， P、 Q为椭圆上两动点， 且OPOQ. （1） 2222 1111 |OPOQab ;（2）|OP|2+|OQ|2的最大值为 22 22 4a b ab ;（3） OPQ S的最小 4 / 16 值是 22 22 a b ab . 37MN 是经过椭圆 222222 b xa ya b（ab0）过焦点的任一弦，若 AB 是经过椭 圆中心 O 且平行于 MN 的弦，则 2 |2

12、 |ABa MN. 38MN 是经过椭圆 222222 b xa ya b（ab0）焦点的任一弦，若过椭圆中心 O 的半弦OPMN，则 222 2111 |a MNOPab . 39设椭圆 22 22 1 xy ab （ab0）,M(m,o) 或(o, m)为其对称轴上除中心，顶点外的任 一点，过 M 引一条直线与椭圆相交于 P、Q 两点，则直线 A1P、A2Q(A1 ,A2为对称轴上的两 顶点)的交点 N 在直线l： 2 a x m (或 2 b y m )上. 40设过椭圆焦点 F 作直线与椭圆相交 P、Q 两点，A 为椭圆长轴上一个顶点，连结 AP 和 AQ 分别交相应于焦点 F 的椭圆

13、准线于 M、N 两点，则 MFNF. 41过椭圆一个焦点 F 的直线与椭圆交于两点 P、Q, A1、A2为椭圆长轴上的顶点，A1P 和 A2Q 交于点 M，A2P 和 A1Q 交于点 N，则 MFNF. 42设椭圆方程 22 22 1 xy ab ,则斜率为 k(k0)的平行弦的中点必在直线l：ykx的共 轭直线 yk x上,而且 2 2 b kk a . 43 设 A、B、C、 D 为椭圆 22 22 1 xy ab 上四点,AB、 CD 所在直线的倾斜角分别为, ， 直线 AB 与 CD 相交于 P,且 P 不在椭圆上,则 2222 2222 | |cossin | |cossin PAP

14、Bba PCPDba . 44已知椭圆 22 22 1 xy ab （ab0）,点 P 为其上一点 F1, F 2为椭圆的焦点， 12 FPF 的外（内）角平分线为l，作 F1、F2分别垂直l于 R、S，当 P 跑遍整个椭圆时，R、S 形成 的轨迹方程是 222 xya( 2222222 ()() ()()b yace xcxycxce xc). 45设 ABC 内接于椭圆，且 AB 为的直径，l为 AB 的共轭直径所在的直线，l分 别交直线 AC、BC 于 E 和 F，又 D 为l上一点，则 CD 与椭圆相切的充要条件是 D 为 EF 的中点. 46过椭圆 22 22 1 xy ab （ab

15、0）的右焦点 F 作直线交该椭圆右支于 M,N 两点，弦 MN 的垂直平分线交 x 轴于 P，则 | |2 PFe MN . 47设 A（x1 ,y1）是椭圆 22 22 1 xy ab （ab0）上任一点，过 A 作一条斜率为 2 1 2 1 b x a y 的直线 L，又设 d 是原点到直线 L 的距离, 12 , r r分别是 A 到椭圆两焦点的距离，则 1 2 rr dab. 48已知椭圆 22 22 1 xy ab （ ab0）和 22 22 xy ab （01 ） ，一直线顺次与 它们相交于 A、B、C、D 四点，则AB=|CD. 5 / 16 49已知椭圆 22 22 1 xy

16、ab （ ab0） ,A、B、是椭圆上的两点，线段 AB 的垂直平 分线与 x 轴相交于点 0 (,0)P x, 则 2222 0 abab x aa . 50设 P 点是椭圆 22 22 1 xy ab （ ab0）上异于长轴端点的任一点,F1、F2为其焦点 记 12 FPF，则(1) 2 12 2 | 1 cos b PFPF .(2) 1 2 2 tan 2 PF F Sb . 51设过椭圆的长轴上一点 B（m,o）作直线与椭圆相交于 P、Q 两点，A 为椭圆长轴的 左顶点，连结 AP 和 AQ 分别交相应于过 B 点的直线 MN：xn于 M，N 两点,则 90MBN 2 22 () a

17、ma amb na . 52L 是经过椭圆 22 22 1 xy ab （ ab0）长轴顶点 A 且与长轴垂直的直线，E、F 是 椭圆两个焦点，e 是离心率,点PL，若EPF，则是锐角且sine或 sinarce（当且仅当| ab PH c 时取等号）. 53L 是椭圆 22 22 1 xy ab （ ab0）的准线，A、B 是椭圆的长轴两顶点,点PL， e 是离心率，EPF，H 是 L 与 X 轴的交点 c 是半焦距，则是锐角且sine或 sinarce（当且仅当| ab PH c 时取等号）. 54L 是椭圆 22 22 1 xy ab （ ab0）的准线，E、F 是两个焦点，H 是 L

18、与 x 轴的交 点，点PL，EPF,离心率为 e，半焦距为 c，则为锐角且 2 sine或 2 sinarce（当且仅当 22 | b PHac c 时取等号）. 55已知椭圆 22 22 1 xy ab （ ab0） ，直线 L 通过其右焦点 F2,且与椭圆相交于 A、B 两点，将 A、B 与椭圆左焦点 F1连结起来，则 222 2 11 2 (2) | | ab bF AFB a （当且仅当 ABx 轴时右边不等式取等号，当且仅当 A、F1、B 三点共线时左边不等式取等号）. 56设 A、B 是椭圆 22 22 1 xy ab （ ab0）的长轴两端点，P 是椭圆上的一点， PAB, PB

19、A,BPA，c 、 e 分别是 椭圆的半焦 距离心率，则有 (1) 2 222 2|cos| | s ab PA ac co .(2) 2 tantan1 e .(3) 22 22 2 cot PAB a b S ba . 57设 A、B 是椭圆 22 22 1 xy ab （ ab0）长轴上分别位于椭圆内（异于原点） 、外 部的两点，且 A x、 B x的横坐标 2 AB xxa， （1）若过 A 点引直线与这椭圆相交于 P、Q 两 点，则PBAQBA ； （2）若过 B 引直线与这椭圆相交于 P、Q 两点，则 180PBAQBA. 6 / 16 58设 A、B 是椭圆 22 22 1 xy

20、 ab （ ab0）长轴上分别位于椭圆内（异于原点） ，外 部的两点， （1）若过 A 点引直线与这椭圆相交于 P、Q 两点， （若 B P 交椭圆于两点，则 P、 Q 不关于 x 轴对称） ，且PBAQBA ，则点 A、B 的横坐标 A x、 B x满足 2 AB xxa； （2）若过 B 点引直线与这椭圆相交于 P、Q 两点，且180PBAQBA,则点 A、B 的 横坐标满足 2 AB xxa. 59 设 ,A A是椭圆 22 22 1 xy ab 的长轴的两个端点， QQ是与 AA垂直的弦， 则直线AQ 与 AQ的交点 P 的轨迹是双曲线 22 22 1 xy ab . 60过椭圆 22

21、 22 1 xy ab （ ab0）的左焦点F作互相垂直的两条弦 AB、CD 则 222 22 82() | abab ABCD aba . 61到椭圆 22 22 1 xy ab （ ab0）两焦点的距离之比等于 ac b （c 为半焦距）的动 点 M 的轨迹是姊妹圆 222 ()xayb. 62到椭圆 22 22 1 xy ab （ ab0）的长轴两端点的距离之比等于 ac b （c 为半焦距） 的动点 M 的轨迹是姊妹圆 222 ()( ) ab xy ee . 63到椭圆 22 22 1 xy ab （ ab0）的两准线和 x 轴的交点的距离之比为 ac b （c 为 半焦距）的动点的

22、轨迹是姊妹圆 222 22 ()() ab xy ee （e 为离心率）. 64已知 P 是椭圆 22 22 1 xy ab （ ab0）上一个动点， , A A是它长轴的两个端点, 且AQAP, AQAP，则 Q 点的轨迹方程是 222 24 1 xb y aa . 65椭圆的一条直径(过中心的弦)的长，为通过一个焦点且与此直径平行的弦长和长轴 之长的比例中项. 66设椭圆 22 22 1 xy ab （ ab0）长轴的端点为 ,A A, 11 ( ,)P x y是椭圆上的点过 P 作斜率为 2 1 2 1 b x a y 的直线l，过 ,A A分别作垂直于长轴的直线交l于 ,M M,则 （

23、1） 2 |AMAMb.（2）四边形 MAAM面积的最小值是2ab. 67 已知椭圆 22 22 1 xy ab （ ab0） 的右准线l与 x 轴相交于点E， 过椭圆右焦点F 的直线与椭圆相交于 A、B 两点,点C在右准线l上，且BCx轴，则直线 AC 经过线段 EF 的中点. 68OA、OB 是椭圆 22 22 () 1 xay ab （ a0,b0）的两条互相垂直的弦，O 为坐标 7 / 16 原点，则（1）直线 AB 必经过一个定点 2 22 2 (,0) ab ab .(2) 以 O A、O B 为直径的两圆的另一 个交点 Q 的轨迹方程是 22 222 2222 ()() abab

24、 xy abab (0)x . 69( , )P m n是椭圆 22 22 () 1 xay ab （ab0）上一个定点，P A、P B 是互相垂直 的弦，则（1）直线 AB 必经过一个定点 22222 2222 2()() (,) abm abn ba abab .（2）以 P A、P B 为直径的两圆的另一个交点 Q 的轨迹方程是 22224222 22 2222222 () ()() () aba mb na bn ab xy ababab (xm且yn). 70如果一个椭圆短半轴长为 b，焦点 F1、F2到直线L的距离分别为 d1、d2，那么（1） 2 12 d db，且 F1、F 2

25、在L 同侧直线 L 和椭圆相切.（2） 2 12 d db，且 F1、F2在 L 同 侧直线L 和椭圆相离， （3） 2 12 d db，或 F1、F2在 L 异侧直线 L 和椭圆相交. 71AB 是椭圆 22 22 1 xy ab （ab0）的长轴，N是椭圆上的动点，过N的切线与 过 A、B 的切线交于C、D两点，则梯形 ABDC 的对角线的交点 M 的轨迹方程是 222 41(0)xa yy. 72设点 00 (,)P xy为椭圆 22 22 1 xy ab （ ab0）的内部一定点，AB 是椭圆 22 22 1 xy ab 过定点 00 (,)P xy的任一弦，当弦 AB 平行（或重合）

26、于椭圆长轴所在直线时 222222 00 max 2 () (| |) a ba yb x PAPB b . 当 弦AB垂 直 于 长 轴 所 在 直 线 时 , 222222 00 min 2 () (| |) a ba yb x PAPB b . 73椭圆焦三角形中,以焦半径为直径的圆必与以椭圆长轴为直径的圆相内切. 74椭圆焦三角形的旁切圆必切长轴于非焦顶点同侧的长轴端点. 75椭圆两焦点到椭圆焦三角形旁切圆的切线长为定值 a+c 与 a-c. 76椭圆焦三角形的非焦顶点到其内切圆的切线长为定值 a-c. 77椭圆焦三角形中,内点到一焦点的距离与以该焦点为端点的焦半径之比为常数 e(离

27、心率). 注:在椭圆焦三角形中,非焦顶点的内、外角平分线与长轴交点分别称为内、外点. 78椭圆焦三角形中,内心将内点与非焦顶点连线段分成定比 e. 79椭圆焦三角形中,半焦距必为内、外点到椭圆中心的比例中项. 80椭圆焦三角形中,椭圆中心到内点的距离、内点到同侧焦点的距离、半焦距及外点 到同侧焦点的距离成比例. 81椭圆焦三角形中,半焦距、外点与椭圆中心连线段、内点与同侧焦点连线段、外点 与同侧焦点连线段成比例. 82椭圆焦三角形中,过任一焦点向非焦顶点的外角平分线引垂线,则椭圆中心与垂足连 线必与另一焦半径所在直线平行. 83椭圆焦三角形中,过任一焦点向非焦顶点的外角平分线引垂线,则椭圆中心

28、与垂足的 距离为椭圆长半轴的长. 84椭圆焦三角形中,过任一焦点向非焦顶点的外角平分线引垂线,垂足就是垂足同侧焦 半径为直径的圆和椭圆长轴为直径的圆的切点. 85椭圆焦三角形中,非焦顶点的外角平分线与焦半径、长轴所在直线的夹角的余弦的 8 / 16 比为定值 e. 86椭圆焦三角形中,非焦顶点的法线即为该顶角的内角平分线. 87椭圆焦三角形中,非焦顶点的切线即为该顶角的外角平分线. 88椭圆焦三角形中,过非焦顶点的切线与椭圆长轴两端点处的切线相交,则以两交点为 直径的圆必过两焦点. 89. 已知椭圆 22 22 1(0,0) xy ab ab (包括圆在内)上有一点P,过点P分别作直线 b y

29、x a 及 b yx a 的平行线，与直线OP分别交于,R Q,O为原点，则：. （1） 222 |OMONa； （2） 222 |OQORb. 90. 过平面上的P点作直线 1: b lyx a 及 2: b lyx a 的平行线，分别交x轴于 ,M N， 交y轴 于,R Q. （ 1 ） 若 222 |O MO Na， 则P的 轨 迹 方 程 是 22 22 1(0,0) xy ab ab .(2) 若 222 |OQORb， 则P的 轨 迹 方 程 是 22 22 1(0,0) xy ab ab . 91. 点P为椭圆 22 22 1(0,0) xy ab ab (包括圆在内)在第一象限

30、的弧上任意一点， 过 P引x轴、y轴的平行线，交y轴、x轴于,M N，交直线 b yx a 于,Q R，记 OMQ 与ONR的面积为 12 ,S S，则： 12 2 ab SS. 92. 点P为第一象限内一点，过P引x轴、y轴的平行线，交y轴、x轴于,M N，交 直线 b yx a 于,Q R，记 OMQ与ONR的面积为 12 ,S S，已知 12 2 ab SS，则P的 轨迹方程是 22 22 1(0,0) xy ab ab . 9 / 16 双曲线 1 12 | 2PFPFa 2标准方程： 22 22 1 xy ab 3 1 1 | 1 PF e d 4点 P 处的切线 PT 平分 PF1

31、F2在点 P 处的内角. 5PT 平分 PF1F2在点 P 处的内角，则焦点在直线 PT 上的射影 H 点的轨迹是以长轴 为直径的圆，除去长轴的两个端点. 6以焦点弦 PQ 为直径的圆必与对应准线相交. 7以焦点半径 PF1为直径的圆必与以实轴为直径的圆外切. 8设 A1、A2为双曲线的左、右顶点，则 PF1F2在边 PF2（或 PF1）上的旁切圆，必与 A1A2所在的直线切于 A2（或 A1）. 9双曲线 22 22 1 xy ab （a0,b0）的两个顶点为 1( ,0)Aa, 2( ,0) A a，与 y 轴平行的 直线交双曲线于 P1、P2时 A1P1与 A2P2交点的轨迹方程是 22

32、 22 1 xy ab . 10若 000 (,)P xy在双曲线 22 22 1 xy ab （a0,b0）上，则过 0 P的双曲线的切线方程 是 00 22 1 x xy y ab . 11若 000 ( ,)P x y在双曲线 22 22 1 xy ab （a0,b0）外 ，则过 Po 作双曲线的两条切线 切点为 P1、P2，则切点弦 P1P2的直线方程是 00 22 1 x xy y ab . 12AB 是双曲线 22 22 1 xy ab （a0,b0）的不平行于对称轴且过原点的弦，M 为 AB 的中点，则 2 2 OMAB b kk a . 13若 000 (,)P xy在双曲线

33、22 22 1 xy ab （a0,b0）内，则被 Po 所平分的中点弦的方 程是 22 0000 2222 x xy yxy abab . 14若 000 (,)P xy在双曲线 22 22 1 xy ab （a0,b0）内，则过 Po 的弦中点的轨迹方程 是 22 00 2222 x xy yxy abab . 15 若 PQ 是 双 曲 线 22 22 1 xy ab （ b a 0 ） 上 对 中 心 张 直 角 的 弦 ， 则 12 2222 12 1111 (|,|)rOP rOQ rrab . 10 / 16 16若双曲线 22 22 1 xy ab （ba 0）上中心张直角的弦

34、 L 所在直线方程为 1AxBy(0)AB ,则(1) 22 22 11 AB ab ;(2) 4242 2222 2 | a Ab B L a Ab B . 17 给定双曲线 1 C： 222222 b xa ya b（ab0） , 2 C： 22 22222 22 () ab b xa yab ab , 则 (i) 对 1 C上 任 意 给 定 的 点 000 (,)P xy, 它 的 任 一 直 角 弦 必 须 经 过 2 C上 一 定 点 M( 2222 00 2222 (,) abab xy abab . (ii)对 2 C上任一点 000 (,)Pxy在 1 C上存在唯一的点 M,

35、使得 M的任一直角弦都经过 0 P 点. 18设 000 (,)P xy为双曲线 22 22 1 xy ab （a0,b0）上一点，P1P2为曲线 C 的动弦,且 弦 P0P1, P0P2斜率存在，记为 k1, k 2, 则直线 P1P2通过定点 00 (,)M mxmy(1)m 的充要条 件是 2 12 2 1 1 m b k k m a . 19过双曲线 22 22 1 xy ab （a0,bo）上任一点 00 (,)A xy任意作两条倾斜角互补的直 线交双曲线于 B,C 两点，则直线 BC 有定向且 2 0 2 0 BC b x k a y （常数）. 20双曲线 22 22 1 xy

36、ab （a0,bo）的左右焦点分别为 F1，F 2，点 P 为双曲线上任意 一 点 12 FPF， 则 双 曲 线 的 焦 点 角 形 的 面 积 为 12 2 t 2 F PF Sb co ， 2 222 (tan,cot) 22 ab Pcb cc . 21若 P 为双曲线 22 22 1 xy ab （a0,b0）右（或左）支上除顶点外的任一点,F1, F 2 是焦点, 12 PFF, 21 PF F，则tant 22 ca co ca （或tant 22 ca co ca ）. 22双曲线 22 22 1 xy ab （a0,bo）的焦半径公式：( 1( ,0)Fc , 2( ,0)

37、F c 当 00 (,)M xy在右支上时， 10 |MFexa, 20 |MFexa. 当 00 (,)M xy在左支上时， 10 |MFexa , 20 |MFexa . 23若双曲线 22 22 1 xy ab （a0,b0）的左、右焦点分别为 F1、F2，左准线为 L，则 当 1e21时，可在双曲线上求一点 P，使得 PF1是 P 到对应准线距离 d 与 PF2的比例中 项. 24P 为双曲线 22 22 1 xy ab （a0,b0）上任一点,F1,F2为二焦点，A 为双曲线内一定 11 / 16 点，则 21 | 2|AFaPAPF,当且仅当 2 ,A F P三点共线且P和 2 ,

38、A F在 y 轴同侧时， 等号成立. 25双曲线 22 22 1 xy ab （a0,b0）上存在两点关于直线l： 0 ()yk xx对称的充要 条件是 222 2 0 222 ()ab x ab k . 26过双曲线焦半径的端点作双曲线的切线，与以长轴为直径的圆相交，则相应交点与 相应焦点的连线必与切线垂直. 27过双曲线焦半径的端点作双曲线的切线交相应准线于一点，则该点与焦点的连线必 与焦半径互相垂直. 28P 是双曲线 sec tan xa yb （a0，b0）上一点，则点 P 对双曲线两焦点张直角的 充要条件是 2 2 1 1tan e . 29设 A,B 为双曲线 22 22 xy

39、k ab （a0,b0，0,1kk）上两点，其直线 AB 与双 曲线 22 22 1 xy ab 相交于,P Q,则APBQ. 30 在 双 曲 线 22 22 1 xy ab 中 ， 定 长 为 2m （ m ） 0 ） 的 弦 中 点 轨 迹 方 程 为 22 22 2 22 22 1 () cossin xy ab m ab ,其中 22 22 tan b x a y ,当0y 时, 90. 31设 S 为双曲线 22 22 1 xy ab （a0,bo）的通径，定长线段 L 的两端点 A,B 在双曲 线 上 移 动 ， 记 |AB|=l， 00 (,)M xy是AB中 点 ， 则 当l

40、S 时 ， 有 2 0m i n () 2 al x ce 222 (cab, c e a );当lS 时，有 22 0min ()4 2 a xbl b . 32双曲线 22 22 1 xy ab （a0,b0）与直线0AxByC有公共点的充要条件是 22222 A aB bC. 33双曲线 22 00 22 ()() 1 xxyy ab （a0,b0）与直线0AxByC有公共点 的充要条件是 22222 00 ()A aB bAxByC. 34设双曲线 22 22 1 xy ab （a0,b0）的两个焦点为 F1、F2,P（异于长轴端点）为双 曲线上任意一点，在 PF1F2中，记 12 F

41、PF, 12 PFF, 12 FF P，则有 sin (sinsin) c e a . 35经过双曲线 22 22 1 xy ab （a0,b0）的实轴的两端点 A1和 A2的切线，与双曲线 12 / 16 上任一点的切线相交于 P1和 P2，则 2 12 | |PAPAb. 36已知双曲线 22 22 1 xy ab （ba 0） ，O 为坐标原点，P、Q 为双曲线上两动点， 且OPOQ.（1） 2222 1111 |OPOQab ;（2）|OP|2+|OQ|2的最小值为 22 22 4a b ba ;（3） OPQ S的最小值是 22 22 a b ba . 37MN 是经过双曲线 22

42、22 1 xy ab （a0,b0）过焦点的任一弦(交于两支)，若 AB 是 经过双曲线中心 O 且平行于 MN 的弦，则 2 |2 |ABa MN. 38MN 是经过双曲线 22 22 1 xy ab （ab0）焦点的任一弦(交于同支)，若过双曲线 中心 O 的半弦OPMN，则 222 2111 |a MNOPab . 39设双曲线 22 22 1 xy ab （a0,b0）,M(m,o)为实轴所在直线上除中心，顶点外的任 一点，过 M 引一条直线与双曲线相交于 P、Q 两点，则直线 A1P、A2Q(A1 ,A2为两顶点)的交 点 N 在直线l： 2 a x m 上. 40设过双曲线焦点 F

43、 作直线与双曲线相交 P、Q 两点，A 为双曲线长轴上一个顶点， 连结 AP 和 AQ 分别交相应于焦点 F 的双曲线准线于 M、N 两点，则 MFNF. 41过双曲线一个焦点 F 的直线与双曲线交于两点 P、Q, A1、A2为双曲线实轴上的顶 点，A1P 和 A2Q 交于点 M，A2P 和 A1Q 交于点 N，则 MFNF. 42设双曲线方程 22 22 1 xy ab ,则斜率为 k(k0)的平行弦的中点必在直线l：ykx的 共轭直线 yk x上,而且 2 2 b kk a . 43设 A、B、C、D 为双曲线 22 22 1 xy ab （a0,bo）上四点,AB、CD 所在直线的倾 斜

44、 角 分 别 为, ， 直 线AB与CD相 交 于P, 且P不 在 双 曲 线 上 , 则 2222 2222 | |cossin | |cossin PAPBba PCPDba . 44已知双曲线 22 22 1 xy ab （a0,b0）,点 P 为其上一点 F1, F 2为双曲线的焦点， 12 FPF的外（内）角平分线为l，作 F1、F2分别垂直l于 R、S，当 P 跑遍整个双曲线时， R、S 形成的轨迹方程是 222 xya( 322224223222 ()()() ()a b xcabxb ca cxc yab c y). 45设 ABC 三顶点分别在双曲线上，且 AB 为的直径，l

45、为 AB 的共轭直径所在 的直线，l分别交直线 AC、BC 于 E 和 F，又 D 为l上一点，则 CD 与双曲线相切的充要 条件是 D 为 EF 的中点. 46过双曲线 22 22 1 xy ab （a0,b0）的右焦点 F 作直线交该双曲线的右支于 M,N 13 / 16 两点，弦 MN 的垂直平分线交 x 轴于 P，则 | |2 PFe MN . 47 设 A （x1 ,y1） 是双曲线 22 22 1 xy ab （a0,b0） 上任一点， 过 A 作一条斜率为 2 1 2 1 b x a y 的直线 L，又设 d 是原点到直线 L 的距离, 12 , r r分别是 A 到双曲线两焦点

46、的距离，则 1 2 rr dab. 48已知双曲线 22 22 1 xy ab （a0,b0）和 22 22 xy ab （01 ） ，一条直线顺 次与它们相交于 A、B、C、D 四点，则AB=|CD. 49已知双曲线 22 22 1 xy ab （a0,b0）,A、B 是双曲线上的两点，线段 AB 的垂直 平分线与 x 轴相交于点 0 (,0)P x, 则 22 0 ab x a 或 22 0 ab x a . 50设 P 点是双曲线 22 22 1 xy ab （a0,b0）上异于实轴端点的任一点,F1、F2为其 焦点记 12 FPF，则(1) 2 12 2 | 1 cos b PFPF

47、.(2) 1 2 2 cot 2 PF F Sb . 51设过双曲线的实轴上一点 B（m,o）作直线与双曲线相交于 P、Q 两点，A 为双曲线 实轴的左顶点，连结 AP 和 AQ 分别交相应于过 B 点的直线 MN：xn于 M，N 两点,则 90MBN 2 22 () ama amb na . 52L 是经过双曲线 22 22 1 xy ab （a0,b0）焦点 F 且与实轴垂直的直线，A、B 是 双曲线实轴的两个焦点，e 是离心率,点PL，若EPF，则是锐角且 1 sin e 或 1 sinarc e （当且仅当| ab PH c 时取等号）. 53L 是经过双曲线 22 22 1 xy a

48、b （a0,b0）的实轴顶点 A 且与 x 轴垂直的直线，E、 F 是双曲线的准线与 x 轴交点,点PL，e 是离心率，EPF，H 是 L 与 X 轴的交点 c 是半焦距，则是锐角且 1 sin e 或 1 sinarc e （当且仅当| ab PA c 时取等号）. 54L 是双曲线 22 22 1 xy ab （a0,b0）焦点 F1且与 x 轴垂直的直线，E、F 是双曲 线准线与 x 轴交点， H 是 L 与 x 轴的交点， 点PL，EPF,离心率为 e，半焦距为 c， 则为锐角且 2 1 sin e 或 2 1 sinarc e （当且仅当 22 1 | b PFac c 时取等号）. 55已知双曲线 22 22 1 xy ab （a0,b0） ，直线 L 通过其右焦点 F2,且与双曲线右支交 于 A、B 两点，将 A、B 与双曲线左焦点 F1连结起来，则 222 11 2 (2) | | ab