利用旋转法解几何最值问题应用举例.doc

1、 利用旋转法解几何最值问题应用举例利用旋转法解几何最值问题应用举例 一、利用旋转转化为点到直线的距离垂线段最短求最值一、利用旋转转化为点到直线的距离垂线段最短求最值 例例 1、在平面直角坐标系中，已知点、在平面直角坐标系中，已知点 A（4，0） ，点） ，点 B 为为 y 轴正半轴上一个动点，连接轴正半轴上一个动点，连接 AB，以，以 AB 为一边为一边 向下作等边向下作等边 ABC，连结，连结 OC，则，则 OC 的最小值为的最小值为 M N 解解析析：如图，将：如图，将 ABO 绕点绕点 A 逆时针旋转逆时针旋转 60 得得 AACM，并延长，并延长 MC 交交 x 轴于点轴于点 N则则点

2、点 C 在直线在直线 MN 上运动，当上运动，当 OCMN 时，时，OC 最小，最小，OCAM2，则，则 OC 的最小值为的最小值为 2 例例 2、如图，平行四边形如图，平行四边形 ABCD 中，中，B60 ，BC12，AB10，点，点 E 在在 AD 上，且上，且 AE4，点，点 F 是是 AB 上一点，连接上一点，连接 EF，将线段，将线段 EF 绕点绕点 E 逆时针旋转逆时针旋转 120 得到得到 EG，连接，连接 GD，则线段，则线段 GD 长度的最小长度的最小 值为值为 解解析析：将线段：将线段 AE 绕点绕点 E 逆时针旋转逆时针旋转 120 得到得到 EH，连接，连接 HG，过点

3、，过点 H 作作 HMAD， 四边形四边形 ABCD 是平行四边形，是平行四边形，A+B180 ，A120 ， 将线段将线段 AE 绕点绕点 E 逆时针旋转逆时针旋转 120 得到得到 EH，将线段，将线段 EF 绕点绕点 E 逆时针旋转逆时针旋转 120 得到得到 EG， EFEG4，AEEH，AEHFEG120 ， DEH60 ，AEFHEG，且，且 EFEG，AEEH，AEFHEG（SAS） AEHG120 AEH，ADHG，点点 G 的轨迹是过点的轨迹是过点 H 且平行于且平行于 AD 的直线，的直线， 当当 DGHG 时，线段时，线段 GD 长度有最小值，长度有最小值，HEM60 ，

4、EH4，HMAD， EM2，MHEM2，线段线段 GD 长度的最小值为长度的最小值为 2， 例例 3、如图，正方形、如图，正方形 ABCD 的边长为的边长为 4，E 为为 BC 上一点，且上一点，且 BE1，F 为为 AB 边上的一个动点，连接边上的一个动点，连接 EF， 以以 EF 为边向右侧作等边为边向右侧作等边 EFG，连接，连接 CG，则，则 CG 的最小值为的最小值为 解解析析：由题意可知，点：由题意可知，点 F 是主动点，点是主动点，点 G 是从动点，点是从动点，点 F 在线在线段上运动，点段上运动，点 G 也一定在直线轨迹上运动也一定在直线轨迹上运动 将将 EFB 绕点绕点 E

5、旋转旋转 60 ，使，使 EF 与与 EG 重合，得到重合，得到 EFBEHG，从而可知从而可知 EBH 为等边三角形，为等边三角形， 点点 G 在垂直于在垂直于 HE 的直线的直线 HN 上，作上，作 CMHN，则，则 CM 即为即为 CG 的最小值的最小值，作作 EPCM，可知四边形，可知四边形 HEPM 为矩形，则为矩形，则 CMMP+CPHE+EC1+，故答案为故答案为 二、利用旋转转化为三点共线求最值二、利用旋转转化为三点共线求最值 例例 4、如图，如图，PA2，PB4，将线段，将线段 PA 绕绕 P 点旋转一周，以点旋转一周，以 AB 为边作正方形为边作正方形 ABCD，则，则 P

6、D 的最大值的最大值 为为 解解析析：将：将 PAD 绕点绕点 A 顺时针旋转顺时针旋转 90 得到得到 PAB，PD 的最大值即为的最大值即为 PB 的最大值，的最大值， PAPA，PAP90 PPPA2 PPB 中，中，PBPP+PB，PPPA2，PB4，且，且 P、D 两点落在直线两点落在直线 AB 的两侧，的两侧， 当当 P、P、B 三点共线时，三点共线时，PB 取得最大值取得最大值，此时此时 PBPP+PB2+4，即，即 PB 的最大值为的最大值为 2+4 例例 5、如图，在四边形如图，在四边形 ABCD 中，中，AB6，BC4，若，若 ACAD，且，且ACD60，则对角线，则对角线

7、 BD 的长的的长的 最大值为最大值为 解析：解析：将将 AB 绕点绕点 A 顺时针旋转顺时针旋转 60 得到线段得到线段 AK，连接，连接 BK、DK则则 AKABBK6，KAB60， DACKAB，DAKCAB， 在在DAK 和和CAB 中，中，DAKCAB（SAS）DKBC4， DK+KBBD，DK4，KBAB6 当当 D、K、B 共线时，共线时，BD 的值最大，最大值为的值最大，最大值为 DK+KB10 例例 6、如图，菱形、如图，菱形 ABCD 的边长为的边长为 4，A60 ，E 是边是边 AD 的中点，的中点，F 是边是边 AB 上的一个动点将线段上的一个动点将线段 EF 绕着点绕

8、着点 E 逆时针旋转逆时针旋转 60 得到得到 EG，连接，连接 BG、CG，则，则 BG+CG 的最小值为（的最小值为（ ） A3 B2 C4 D2+2 解解析析：如：如图，取图，取 AB 的中点的中点 N连接连接 EN，EC，GN，作，作 EHCD 交交 CD 的延长线于的延长线于 H 四边形四边形 ABCD 是菱形，是菱形，ADBD，AEED，ANNB，AEAN， A60 ，AEN 是等边三角形，是等边三角形，AENFEG60 ，AEFNEG， EAEN，EFEG，AEFNEG（SAS） ，） ，ENGA60 ，ANE60 ， GNB180 60 60 60 ，点点 G 的运动轨迹是射线

9、的运动轨迹是射线 NG，易知，易知 B，E 关于射线关于射线 NG 对称，对称， GBGE，GB+GCGE+GCEC，在，在 Rt DEH 中，中，H90 ，DE2，EDH60 ， DHDE1，EH，在，在 Rt ECH 中，中，EC2，GB+GC2， GB+GC 的最小值为的最小值为 2故选：故选：B 例例 7、如图，、如图，AB6，点，点 M 为线段为线段 AB 外一个动点，且外一个动点，且 AM2，MBMN，BMN90 ，则线段，则线段 AN 的的 最大值为最大值为 A B M N P 解解析析：如图，连接：如图，连接 BN，将将 AMN 绕着点绕着点 M 顺时针旋转顺时针旋转 90 得

10、到得到 PBM，连接，连接 AP， 则则 APM 是等腰直角三角形，是等腰直角三角形，MAMP2，BPAN，PA2， AB6，线段线段 AN 长的最大长的最大值线段值线段 BP 长的最大值，长的最大值， 当当 P 在线段在线段 BA 的延长线时，线段的延长线时，线段 BP 取得最大值最大值取得最大值最大值AB+AP6+2 三、利用旋转转化为四点共线求最值三、利用旋转转化为四点共线求最值 例例 8、如图，、如图， ABC 中，中，ABC30 ，AB4，BC5，P 是是 ABC 内部的任意一点，连接内部的任意一点，连接 PA，PB，PC， 则则 PA+PB+PC 的最小值为的最小值为 解解析析：如

11、图，将：如图，将 ABP 绕着点绕着点 B 逆时针旋转逆时针旋转 60 ，得到，得到 DBE，连接，连接 EP，CD，ABPDBE ABPDBE，BDAB4，PBE60 ，BEPE，APDE，BPE 是等边三角形是等边三角形 EPBPAP+BP+PCPC+EP+DE,当点当点 D，点，点 E，点，点 P，点，点 C 共线时，共线时，PA+PB+PC 有最小值有最小值 CD ABC30 ABP+PBC,DBE+PBC30 ,DBC90 ,CD， 例例 9、如图，矩形、如图，矩形 ABCD 中，中，AB2，BC6，P 为矩形内一点，连接为矩形内一点，连接 PA，PB，PC，则，则 PA+PB+PC

12、 的最小值是（的最小值是（ ） A4+3 B2 C2+6 D4 解：由旋转的性质可知：解：由旋转的性质可知：PFC 是等边三角形，是等边三角形，PCPF，PBEF， PA+PB+PCPA+PF+EF，当，当 A、P、F、E 共线时，共线时，PA+PB+PC 的值最小，的值最小， 四边形四边形 ABCD 是矩形，是矩形，ABC90，tanACB， ACB30，AC2AB4，BCE60，ACE90， AE2，故选：，故选：B 四、利用旋转转化为四、利用旋转转化为圆外一定点与圆上的动点的关系圆外一定点与圆上的动点的关系求最值求最值 例例 10、如图，在四边形如图，在四边形 ABCD 中，中，ABAD

13、，BAD60，BC4，若，若 BDCD，垂足为点，垂足为点 D，则，则 对角线对角线 AC 的长的最大值为的长的最大值为 B C DA E F 解析：如图，以解析：如图，以 BC 为边作等边三角形为边作等边三角形 BCE，过点，过点 E 作作 EFBC 于点于点 F，连接连接 DE， ABBD，ABCDBE，BCBE，ABCDBE，DEAC， 在等边三角形在等边三角形 BCE 中，中，EFBC，BFBC2，EFBF22， 以以 BC 为直径作为直径作F，则点，则点 D 在在F 上，连接上，连接 DF，DFBC42， ACDEDF+EF2+2，即，即 AC 的最大值为的最大值为 2+2 练习练习

14、 1、已知、已知 x 轴上一点轴上一点 A（1，0） ，） ，B 为为 y 轴上的一动点，连接轴上的一动点，连接 AB，以，以 AB 为边作等边为边作等边 ABC 如图所示，已如图所示，已 知点知点 C 随着点随着点 B 的运动形成的图形是一条直线，连接的运动形成的图形是一条直线，连接 OC，则，则 AC+OC 的最小值是的最小值是 解解析析：将：将 ABO 绕点绕点 A 逆时针旋转逆时针旋转 60 得得 ACD，并作直线，并作直线 CD，延长，延长 AD 交交 y 轴于点轴于点 A 等边等边 ABC、等边、等边 AOD，ABAC，AOAD，BACOAD60 BACOACOADOAC，BAOC

15、AD 在在 BAO 和和 CAD 中中，BAOCAD（SAS） ，AOBADCAOB90 ADC90 ，CDAD，点点 C 随着点随着点 B 的运动形成的图形是直线的运动形成的图形是直线 CD AOA90 ，OAD60 AAO30 OAAA ADOAAA 点点 D 是是 AA的中点的中点，CDAD，CD 是是 AA的中垂线的中垂线 ACAC，AC+OCAC+OC 又又点点 C 在直线在直线 CD 上运动，所以点上运动，所以点 O、C、A三点共线时，三点共线时，AC+OC 的值最小，最小值为的值最小，最小值为 OA的长的长 在在 R AOA中，中，AOA90 ，OAD60 ，OA1，O AOA，

16、AC+OC 的最小值为的最小值为 2、已知：、已知：AD2，BD4，以，以 AB 为一边作等边三角形为一边作等边三角形 ABC使使 C、D 两点落在直线两点落在直线 AB 的两侧的两侧 当当ADB 变化时，则变化时，则 CD 的最大值的最大值 解解析析：把：把 ADC 绕点绕点 A 顺时针旋转顺时针旋转 60 得到得到 AEB，则，则 AEAD，BEDC，EAD60 ， ADE 为等边三角形，为等边三角形，DEDA2，ADE60 ， 当当 E 点在直线点在直线 BD 上时，上时，BE 最大，最大值为最大，最大值为 2+46，CD 的最大值为的最大值为 6 3、如图，在等腰直角如图，在等腰直角

17、ABC 中，中，BAC90 ，点，点 D 是是 ABC 所在平面上一点，且满足所在平面上一点，且满足 DB6，DA10， 则则 CD 的最小值为的最小值为 E 解解析析：将：将 ADC 绕点绕点 A 顺时针旋转顺时针旋转 90 ，得到，得到 ABE则则 CDBE， ADE 是等腰直角三角形，是等腰直角三角形，ED 10AE、AD、BD 都是定值，都是定值，当当 E、B、D 三点共线时，三点共线时，BE 最小，即最小，即 CD 最小此时最小此时 BE 最小值最小值 为为 DEBD105故选：故选：A 4、如图，平行四边形如图，平行四边形 ABCD 中，中，B60 ，BC6，AB5，点，点 E 在

18、在 AD 上，且上，且 AE2，点，点 F 是是 AB 上上 一点，连接一点，连接 EF，将线段，将线段 EF 绕点绕点 E 逆时针旋转逆时针旋转 120 得到得到 EG，连接，连接 GD，则线段，则线段 GD 长度的最小值长度的最小值 为为 解解析析：将线段：将线段 AE 绕点绕点 E 逆时针旋转逆时针旋转 120 得到得到 EH，连接，连接 HG，过点，过点 H 作作 HMAD， 四边形四边形 ABCD 是平行四边形，是平行四边形，A+B180 ，A120 ， 将线段将线段 AE 绕点绕点 E 逆时针旋转逆时针旋转 120 得到得到 EH，将线段，将线段 EF 绕点绕点 E 逆时针旋转逆时

19、针旋转 120 得到得到 EG， EFEG，AEEH，AEHFEG120 ， DEH60 ，AEFHEG，且，且 EFEG，AEEH，AEFHEG（SAS） AEHG120 AEH，ADHG，点点 G 的轨迹是过点的轨迹是过点 H 且平行于且平行于 AD 的直线，的直线， 当当 DGHG 时，线段时，线段 GD 长度有最小值，长度有最小值，HEM60 ，EH2，HMAD， EM1，MH，线线段段 GD 长度的最小值为长度的最小值为， 5、如图，长方形、如图，长方形 ABCD 中，中，AB=3，BC=4，E 为为 BC 上一点，且上一点，且 BE2，F 为为 AB 边上的一边上的一 个动点， 连

20、接个动点， 连接 EF， 将， 将 EF 绕着点绕着点 E 顺时针旋转顺时针旋转 45到到 EG 的位置， 连接的位置， 连接 FG 和和 CG， 则， 则 CG 的的 最小值为最小值为 A BC D G H E F M N 解解析析：由题意可知，点：由题意可知，点 F 是主动点，点是主动点，点 G 是从动点，点是从动点，点 F 在线段上运动，点在线段上运动，点 G 也一定在直线轨迹上运动也一定在直线轨迹上运动, 将将 EFB 绕点绕点 E 旋转旋转 45 ，使，使 EF 与与 EG 重合，得到重合，得到 EFBEHG，从而可知从而可知 EBH 为等腰直角三为等腰直角三 角形，点角形，点 G

21、在垂直于在垂直于 HE 的直线的直线 HG 上，作上，作 CMHG，则，则 CM 即为即为 CG 的最小值的最小值，作作 ENCM，可知，可知 四边形四边形 HENM 为矩形，则为矩形，则 CMMN+CNHE+ 1 2 EC 3 2 1 2 6、 如图， 菱形如图， 菱形 ABCD 的边长是的边长是 6， A60 ， E 是是 AD 的中点，的中点， F 是是 AB 边上一个动点，边上一个动点， EGEF 且且GEF 60 ，则，则 GB+GC 的最小值是的最小值是 A D BC G F E A D BC G F E H 解解析析： 取： 取 AB 的中点的中点 H， 连接， 连接 HG、 H

22、E、HG、BE、 CE， 则， 则 AEFHEG，GHEA60 ， HGAD， 可知可知 BHGEHG，BG=GE，CE 的长就是的长就是 GB+GC 的最小值；的最小值； 在在 Rt EBC 中，中，EB3，BC6，EC3，GB+GC 的最小值的最小值 3. 7、如图，平行四边形、如图，平行四边形 ABCD 中，中，B60，BC6，AB5，点，点 E 在在 AD 上，且上，且 AE2，点，点 F 是是 AB 上一点，上一点， 连接连接 EF，将线段，将线段 EF 绕点绕点 E 逆时针旋转逆时针旋转 120得到得到 EG，连接，连接 GD，则线段，则线段 GD 长度的最小值为长度的最小值为 E

23、 A D B C F G E A D B C F G HN M 解：将线段解：将线段 AE 绕点绕点 E 逆时针旋转逆时针旋转 120得到得到 EH，连接，连接 HG，过点，过点 H 作作 HMAD， 四边形四边形 ABCD 是平行四边形，是平行四边形，A+B180，A120， 将线段将线段 AE 绕点绕点 E 逆时针旋转逆时针旋转 120得到得到 EH，将线段，将线段 EF 绕点绕点 E 逆时针旋转逆时针旋转 120得到得到 EG， EFEG4，AEEH，AEHFEG120， DEH60，AEFHEG，且，且 EFEG，AEEH，AEFHEG（SAS） AEHG120AEH， ADHG，点点

24、 G 的轨迹是过点的轨迹是过点 H 且平行于且平行于 AD 的直线，的直线， 当当 DGHG 时，线段时，线段 GD 长度有最小值，长度有最小值，HEM60，EH2，HMAD， EM1，MH，线段线段 GD 长度的最小值为长度的最小值为， 8、如图，、如图，AB8，点，点 M 为线为线段段 AB 外一个动点，且外一个动点，且 AM4，MBMN，BMN90 ，则线段，则线段 AN 的最的最 大值为大值为 解解析析：如图，连接：如图，连接 BN，将将 AMN 绕着点绕着点 M 顺时针旋转顺时针旋转 90 得到得到 PBM，连接，连接 AP， 则则 APM 是等腰直角三角形，是等腰直角三角形，MAM

25、P4，BPAN，PA4，AB8， 线段线段 AN 长的最大值线段长的最大值线段 BP 长的最大值，长的最大值， 当当 P 在线段在线段 BA 的延长线时，线段的延长线时，线段 BP 取得最大值最大值取得最大值最大值AB+AP8+4 9、如图，在、如图，在 ABC 中，中，ABC60 ，ABAC，点，点 P 是是 ABC 内一点，内一点，AB6，BC8，则，则 PA+PB+PC 的最小值是的最小值是 解解析析：如图，将：如图，将 PBF 绕点绕点 B 逆时针旋转逆时针旋转 60 得到得到 BFE，作，作 EHCB 交交 CB 的延长线于的延长线于 H ABC60 ，PBF60 ，ABPEBF，E

26、BF+BC60 ，EBC120 ， PBBF，PBF60 ，PBF 是等边三角形，是等边三角形，PBPF， PAEF，PA+PB+PCCP+PF+EF， 根据两点之间线段最短可知，当根据两点之间线段最短可知，当 E，F，P，C 共线时，共线时，PA+PB+PC 的值最小，最小值的值最小，最小值EC 的长，的长， 在在 Rt EBH 中，中，EBH60 ，EB6， BHBEcos603，EHEBsin603，CHBH+CB3+811， EC2 10、如图，如图，菱形菱形 ABCD 的边长为的边长为 4，ABC60，在菱形，在菱形 ABCD 内部有一点内部有一点 P，当，当 PA+PB+PC 值最

27、小值最小 时时 PB 的长的长为为 B C A D P 解解析析：将将APC 绕点绕点 C 顺时针旋转顺时针旋转 60，得到，得到DEC，连接，连接 PE、DE，则，则当当 B、P、E、D 四点共线时，四点共线时， PA+PB+PC 值最小，最小值为值最小，最小值为 BD 将将APC 绕点绕点 C 顺时针旋转顺时针旋转 60，得到，得到DEC，APCDEC，CPCE，PCE60， PCE 是等边三角形，是等边三角形，PECECP，EPCCEP60 菱形菱形 ABCD 中，中，ABPCBPABC30，PCBEPCCBP30， PCBCBP30，BPCP，同理，同理，DECE，BPPEED 连接连

28、接 AC，交，交 BD 于点于点 O，则，则 ACBD在在 RtBOC 中，中，BOC90，OBC30，BC4， BOBC cosOBC42，BD2BO4，BPBD 即当即当 PA+PB+PC 值最小时值最小时 PB 的长为的长为 11、 如图， 四边形如图， 四边形 ABCD 中，中， AB3， BC2， ACAD， ， ACD60， 则对角线， 则对角线 BD 长的最大值为 （长的最大值为 （ ） A5 B2 C2 D1 解析：如图，在解析：如图，在 AB 的左侧作等边三角形的左侧作等边三角形ABK，连接，连接 DK则则 AKABBK3，KAB60， DACKAB，DAKCAB， 在在DA

29、K 和和CAB 中，中，DAKCAB（SAS） ，） ，DKBC2， DK+KBBD，DK2，KBAB3， 当当 D、K、B 共线时，共线时，BD 的值最大，最大值为的值最大，最大值为 DK+KB5故选：故选：A 12、如图，在四边形如图，在四边形 ABCD 中，中，ABAD，BAD60，BC4，若对角线，若对角线 BDCD 于点于点 D，则对，则对 角线角线 AC 的最大值为的最大值为 解：如图解：如图，将，将ABC 绕点绕点 B 顺时针旋转顺时针旋转 90得得DBM， ABDCBM60，ABCDBM，ABDB，BCBM，ABCDBM， ACMD，欲求，欲求 AC 的最大值，只要求出的最大值

30、，只要求出 DM 的最大值即可，的最大值即可， BC4定值，定值，BDC90，点，点 D 在以在以 BC 为直径的为直径的O 上运动，上运动， 由图象可知，当点由图象可知，当点 D 在在 BC 上方，上方，DMBC 时，时，DM 的值最大，最大值的值最大，最大值2+2， AC 的最大值为的最大值为 2+2 13、如图在四边形、如图在四边形 ABCD 中，中，BCCD，BCD90若若 AB4cm，AD3cm，则对角线，则对角线 AC 的最大值的最大值 为为 cm 解解析析：如图，在直线：如图，在直线 AB 的右侧作等腰直角三角形的右侧作等腰直角三角形ABE，使得，使得，EBEA，AEB90 AB

31、4cm，AEBE2，ABEDBC45，ABDEBC， ABDEBC，AD3cm，ECcm，ACAE+EC， ACAC 的最大值为的最大值为cm. 14、如图，已知如图，已知ABC，以，以 AC 为边在为边在ABC 外作等腰外作等腰ACD，其中，其中 ACAD若若ABC30，ACD 45，AC2，则，则 B、D 之间距离的最大值为之间距离的最大值为 解：如图，在解：如图，在ACD 的外部作等边三角形的外部作等边三角形ACO，以，以 O 为圆心为圆心 OA 为半径作为半径作O ABCAOC30，点，点 B 在在O 上运动，作上运动，作 OEDA 交交 DA 的延长线于的延长线于 E 在在 RtAOE 中，中，OAAC2，EAO30，OEOA1，AE， 在在 RtODE 中，中，DEAE+AD2+，DO+， 当当 B、O、D 共线时，共线时，BD 的值最大，最大值为的值最大，最大值为 OB+OD2+