本溪满族自治县某中学八年级数学上册第十二章全等三角形小结与复习教学课件新版新人教版2.ppt

1、小结与复习第十二章 全等三角形能够完全重合的两个图形叫全等图形,能够完全重合的两个三角形叫全等三角形.把两个全等的三角形重合到一起，重合的顶点叫做对应顶点，重合的角叫做对应角.重合的边叫做对应边，要点梳理要点梳理（一）全等三角形的性质BCEF其中点A和 ,点B和 ,点C和_ _是対应顶点.AB和 ,BC和 ,AC和 是対应边.A和 ,B和 ,C和 是対应角.AD点D点E点FDEEFDFDEFABCDEF 性质:全等三角形的対应边相等,対应角相等.如下图:ABC DEF,AB=DE,BC=EF,AC=DF ,A=D,B=E,C=F .全等三角形的対应边相等全等三角形的対应角相等 应用格式:用符号

2、语言表达为:在ABC与DEF中ABC DEF.SAS 1.两边和它们的夹角対应相等的两个三角形全等(可以简写成边角边”或SAS”).FEDCBAAC=DF，C=F，BC=EF，（二）三角形全等的判定方式A=D，（已知）AB=DE，（已知）B=E，（已知）在ABC和DEF中,ABC DEF.ASA 2.有两角和它们夹边対应相等的两个三角形全等(可以简写成角边角”或ASA”.用符号语言表达为:FEDCBA 3.三边対应相等的两个三角形全等可以简写为边边边”或SSS”.ABCDEF在ABC和 DEF中,ABC DEF.SSSAB=DE，BC=EF，CA=FD，用符号语言表达为:4.有两角和其中一个角

3、的対边対应相等的两个三角形全等(可以简写成角角边”或AAS”.5.斜边和一条直角边対应相等的两个直角三角形全等.简写成斜边、直角边”或HL”.ABCDEF注意:対应相等.HL”仅适用直角三角形,书写格式应为:在Rt ABC 和Rt DEF中,AB=DE,AC=DF,RtABC RtDEF(HL)角的平分线的性质图形已知条件结论PCPCOP平分AOBPDOA于DPEOB于EPD=PEOP平分AOBPD=PEPDOA于DPEOB于E 角的平分线的判定（三）角平分线的性质与判定考点一 全等三角形的性质考点讲练考点讲练例1 如下图,已知ACE DBFCE=BF,AE=DF,AD=8,BC=21求AC的

4、长度;2试说明CEBF解:1ACE DBF,AC=BD,那么AB=DC,BC=2,2AB+2=8,AB=3,AC=3+2=5;2ACE DBF,ECA=FBD,CEBF 两个全等三角形的长边与长边,短边与短边分别是対应边,大角与大角,小角与小角分别是対应角.有対顶角的,两个対顶角一定为一対対应角.有公共边的,公共边一定是対应边.有公共角的,公共角一定是対应角.方法总结1.如下图,ABD ACD,BAC=901求B;2判断AD与BC的位置关系,并说明理由针对训练解:1ABD ACD,B=C,又BAC=90,B=C=45;2ADBC理由:ABD ACD,BDA=CDA,BDA+CDA=180,BD

5、A=CDA=90,ADBC例2 已知,ABCDCB,ACB DBC,求证:ABCDCBABCDCB(已知已知,BCCB公共边公共边,ACBDBC已知已知,证明:在ABC和DCB中,ABC DCBASA.BCAD【分析运用两角和它们的夹边対应相等两个三角形全等”进行判定 考点二 全等三角形的判定2.已知ABC和DEF,以下条件中,不能保证ABC和DEF全等的是()A.AB=DE,AC=DF,BC=EF B.A=D,B=E,AC=DFC.AB=DE,AC=DF,A=D D.AB=DE,BC=EF,C=FD针对训练3.如下图,AB与CD相交于点O,A=B,OA=OB 添加条件 ,所以 AOC BOD

6、 理由是 .AODCBC=D 或AOC=BODAAS 或ASA考点三 全等三角形的性质与判定的综合应用例3 如下图,在ABC中,AD平分BAC,CEAD于点G,交AB于点E,EFBC交AC于点F,求证:DEC=FEC.ABCDFEG【分析欲证DEC=FEC由平行线的性质转化为证明DEC=DCE只需要证明DEG DCG.ABCDFEG证明:CEAD,AGE=AGC=90.在AGE和AGC中,AGE=AGC，AG=AG，EAG=CAG，AGE AGC(ASA),GE=GC.AD平分BAC,EAG=CAG,.ABCDFEG在DGE和DGC中,EG=CG，EGD=CGD=90，DG=DG.DGE DG

7、C(SAS).DEG=DCG.EF/BC,FEC=ECD,DEG=FEC.利用全等三角形证明角相等,首先要找到两个角所在的两个三角形,看它们全等的条件够不够;有时会用到等角转换,等角转换的途径很多,如:余角,补角的性质、平行线的性质等,必要时要想到添加辅助线.方法总结4.如下图,OBAB,OCAC,垂足为B,C,OB=OC,BAO=CAO吗？为什么？OCBA解:BAO=CAO,理由:OBAB,OCAC,B=C=90.在RtABO和RtACO中,OB=OC,AO=AO,RtABO RtACO ,HL BAO=CAO.针对训练考点四 利用全等三角形解决实际问题例4 如下图,两根长均为12米的绳子一

8、端系在旗杆上,旗杆与地面垂直,另一端分别固定在地面上的木桩上,两根木桩离旗杆底部的距离相等吗？ABCD【分析将此题中的实际问题转化为数学问题就是证明BD=CD.由已知条件可知AB=AC,ADBC.ABCD解:相等,理由如下:ADBC,ADB=ADC=90.在RtADB和RtADC中,AD=AD，AB=AC，RtADB RtADC(HL).BD=CD.利用全等三角形可以测量一些不易测量的距离和长度,还可対某些因素作出判断,一般采用以下步骤:1先明确实际问题;2根据实际抽象出几何图形;3经过分析,找出证明途径;4书写证明过程.方法总结针对训练5.如下图,有一湖的湖岸在A、B之间呈一段圆弧状,A、B

9、间的距离不能直接测得你能用已学过的知识或方式设计测量方案,求出A、B间的距离吗？解:要测量A、B间的距离,可用如下方式:过点B作AB的垂线BF,在BF上取两点C、D,使CD=BC,再作出BF的垂线DE,使A、C、E在一条直线上,ACB=ECD,CB=CD,ABC=EDC,EDC ABCASADE=BA答:测出DE的长就是A、B之间的距离CDE考点五 角平分线的性质与判定例5 如下图,1=2,点P为BN上的一点,PCB+BAP=180 ,求证:PA=PC.【分析由角平分线的性质易想到过点P向ABC的两边作垂线段PE、PF,构造角平分线的基本图形.BACN)12PEF【证明过点P作PEBA,PFB

10、C,垂足分别为E,F.1=2,PEBA,PFBC,垂足分别为E,F.PE=PF,PEA=PFC=90.PCB+BAP=180,又BAP+EAP=180.EAP=PCB.在APE和CPF中,PEA=PFC=90，EAP=FCP，PE=PF，APE CPF(AAS),AP=CP.BACN)12PEF【证法【证法2思路分析思路分析由角是轴対称图形由角是轴対称图形,其対称轴是角平分线所在的其対称轴是角平分线所在的直线直线,所以可想到构造轴対称图形所以可想到构造轴対称图形.方式是在方式是在BC上截取上截取BD=AB,连接连接PD如下图如下图.那么有那么有PAB PDB,再证再证PDC是等腰三角形即是等腰

11、三角形即可获证可获证.证明过程请同学们自行完成!【归纳拓展角的平分线的性质是证明线段相等的常用方式.应用时要依托全等三角形发挥作用.作辅助线有两种思路,一种作垂线段构造角平分线性质基本图;另一种是构造轴対称图形.ACN)12PBD6.如下图,1=2,点P为BN上的一点,PA=PC ,求证:PCB+BAP=180.BACN)12PEF【证明过点P作PEBA,PFBC,垂足分别为E,F.1=2,PEBA,PFBC,垂足分别为E,F.PE=PF,PEA=PFC=90.PA=PC，PE=PF，在RtAPE和RtCPF中,RtPAE RtPCF(HL).针对训练 EAP=FCP.BAP+EAP=180

12、,PCB+BAP=180.想一想:此题如果不给图,条件不变,请问PCB与PAB有怎样的数量关系呢？BACN)12PEF全等三角形性质 基 本 性 质 和 其 他 重 要 性 质判定判定方式基本思路作用是证明两条线段相等和角相等的常用方式寻找现有条件包括图中隐含条件选定判定方式证明准备条件角 的 平 分 线的 性 质 定 理角 的 平 分 线的 判 定 定 理证 明 两 条 线 段 相 等证明角相等辅助线添加方式课堂小结课堂小结同学们，你们要相信梦想是价值的源泉，相信成同学们，你们要相信梦想是价值的源泉，相信成功的信念比成功本身更重要，相信人生有挫折没功的信念比成功本身更重要，相信人生有挫折没有

13、失败，相信生命的质量来自决不妥协的信念，有失败，相信生命的质量来自决不妥协的信念，考试加油考试加油!奥利给奥利给结束语结束语第二十章第二十章函数函数 课课前前热热身身随随堂堂演演练练204函数的初步应用函数的初步应用课课后后作作业业基础训练基础训练课前热身课前热身(5分钟分钟)基础训练基础训练随堂演练随堂演练(10分钟分钟)谢谢观赏谢谢观赏!Thanks!同学们，你们要相信梦想是价值的源泉，相信成同学们，你们要相信梦想是价值的源泉，相信成功的信念比成功本身更重要，相信人生有挫折没功的信念比成功本身更重要，相信人生有挫折没有失败，相信生命的质量来自决不妥协的信念，有失败，相信生命的质量来自决不妥

14、协的信念，考试加油考试加油!奥利给奥利给结束语结束语18.2.3 18.2.3 正方形正方形 除了矩形和菱形外，还有什么特殊的平行四除了矩形和菱形外，还有什么特殊的平行四边形吗？边形吗？正方形有什么性质？怎样判定一个四边形是正方形有什么性质？怎样判定一个四边形是正方形？正方形？1.能说出正方形的意义及性质能说出正方形的意义及性质.2.能说出正方形与其他特殊四边形的关系能说出正方形与其他特殊四边形的关系共性与个性共性与个性.3.知道正方形的判定方法知道正方形的判定方法.正方形正方形是我们熟悉的几何图形，它是我们熟悉的几何图形，它的四的四条边条边都都相等，四个角都是直角相等，四个角都是直角.因此，

15、因此，正方形正方形既是既是矩形矩形，又是，又是菱形菱形.正方形也是矩形，所以它具有矩形的性正方形也是矩形，所以它具有矩形的性质，四个角相等，对角线相等质，四个角相等，对角线相等.正方形也是菱形，所以正方形也具有菱形正方形也是菱形，所以正方形也具有菱形的性质，即正方形的四条边相等，对角线互相的性质，即正方形的四条边相等，对角线互相垂直，并且每条对角线平分一组对角垂直，并且每条对角线平分一组对角.正方形也是菱形，所以正方形也具有菱形正方形也是菱形，所以正方形也具有菱形的性质，即正方形的四条边相等，对角线互相的性质，即正方形的四条边相等，对角线互相垂直，并且每条对角线平分一组对角垂直，并且每条对角线

16、平分一组对角.正方形是轴对称图形吗？有几条对称轴？正方形是轴对称图形吗？有几条对称轴？是轴对称图形，有是轴对称图形，有4条对称轴条对称轴.正方形的四个角都是直角；正方形的四个角都是直角；正方形的四条边都相等；正方形的四条边都相等；正方形的对角线相等，并且互相垂直平分；正方形的对角线相等，并且互相垂直平分；正方形是轴对称图形，它有四条对称轴正方形是轴对称图形，它有四条对称轴.那么，如何判定一个四边形是正方形呢？那么，如何判定一个四边形是正方形呢？判定一个四边形为正方形的主要依据是判定一个四边形为正方形的主要依据是定义，途径有两条：定义，途径有两条：1先证它是矩形，再证它有一组邻边相等；先证它是矩

17、形，再证它有一组邻边相等；2先证它是菱形，再证它有一个角为直角先证它是菱形，再证它有一个角为直角.练习 1、1把一个长方形纸片如图那样折一下，把一个长方形纸片如图那样折一下，就可以裁出一个正方形纸片，为什么？就可以裁出一个正方形纸片，为什么？解：解：由折叠可知：由折叠可知：BD90，DAB90，四边形四边形ABCD是矩形是矩形.又又ABAD，四边形四边形ABCD是正方形是正方形.ABCD 2如果是一个长方形木板，如何从中裁如果是一个长方形木板，如何从中裁出一个最大的正方形木板呢？出一个最大的正方形木板呢？解：解：在长方形木块较长的在长方形木块较长的一边上截取一段等于较短的一条一边上截取一段等于

18、较短的一条边长，即可得到最大的正方形木边长，即可得到最大的正方形木板。板。1.在四边形在四边形ABCD中，中，O是对角线的交点，下列是对角线的交点，下列条件中，能判定这个四边形是正方形的是（条件中，能判定这个四边形是正方形的是（）A.ADBC，B=DB.AD=BC，AB CDC.AO=BO=CO=DO，ACBDD.AO=CO，BO=DO，AB=BCA或或B或或DC对正方形的判定不熟练，对正方形的判定不熟练，A、B、D只能判断四边形只能判断四边形ABCD是平行四边形或矩形或菱是平行四边形或矩形或菱形形.例例5 求证：正方形的两条对角线把这个正求证：正方形的两条对角线把这个正方形分成四个全等的等腰

19、直角三角形方形分成四个全等的等腰直角三角形.：如图，正方形：如图，正方形ABCD中，对角线中，对角线AC、BD相交于相交于O。求证：求证：ABO，BCO，CDO，DAO是全等的等腰是全等的等腰直角三角形。直角三角形。证明：证明：四边形四边形ABCD是正方形。是正方形。ACBD，ACBD，OAOBOCOD，ABO，BCO，CDO，DAO都是等腰直角三角形，都是等腰直角三角形，并并ABO BCO CDO DAO.正方形、菱形、矩形、平行四边形之间有正方形、菱形、矩形、平行四边形之间有什么关系？与同学们讨论一下什么关系？与同学们讨论一下.邻边相等邻边相等有一个直角有一个直角一组邻边相等一组邻边相等有

20、一个直角有一个直角练习 1.如图，四边形如图，四边形ABCD是一块正方形场地，小华是一块正方形场地，小华和小芳在和小芳在AB边上取定了一点边上取定了一点E，测量知，测量知EC=30m，EB=10m.这块场地的面积和对角线长分别是多少？这块场地的面积和对角线长分别是多少？解：解：四边形四边形ABCD是正方形，是正方形，B=90.在在RtBEC中，中，BCECBE2290010020 2m连接连接AC，在，在RtABC中，中，B=90，AB=BC=20 m，AC=40mS正方形正方形ABCD=BC2=20 2=800m2所以正方形的对角线长所以正方形的对角线长40m，面积为面积为800m2.2AB

21、BC228008002 2.如下图，在正方形如下图，在正方形ABCD中，中，H是是DC上一上一点，点，E是是CB延长线上一点，且延长线上一点，且DH=BE，请你判，请你判断断AEH的形状，并说明理由的形状，并说明理由.ABCDEHABCDEHABCDEH根底稳固 1.正方形具有而菱形不一定具有的性质是正方形具有而菱形不一定具有的性质是 A.对角线互相平分对角线互相平分 B.对角线互相垂直对角线互相垂直 C.对角线相等对角线相等 D.每一条对角线平分一组对角每一条对角线平分一组对角C 2.满足以下条件的四边形是不是正方形？满足以下条件的四边形是不是正方形？为什么？为什么？1对角线互相垂直且相等的

22、平行四边对角线互相垂直且相等的平行四边形形.2对角线互相垂直的矩形对角线互相垂直的矩形.3对角线相等的菱形对角线相等的菱形.4对角线互相垂直平分且相等的四边对角线互相垂直平分且相等的四边形形.是是是是是是是是综合应用 3.如图，正方形如图，正方形ABCD中，中，AC与与BD交于点交于点O，点，点M，N分别在分别在AC，BD上，且上，且OM=ON，求证，求证：BM=CN.证明：证明：由正方形的性质可得：由正方形的性质可得：OB=OC，BOM=CON=90，又又OM=ON,BOM CON,BM=CN.正方形的四个角都是直角；正方形的四个角都是直角；正方形的四条边都相等；正方形的四条边都相等；正方形

23、的对角线相等，并且互相垂直平分；正方形的对角线相等，并且互相垂直平分；正方形是轴对称图形，它有四条对称轴正方形是轴对称图形，它有四条对称轴.如图，四边形如图，四边形ABCD是正方形，点是正方形，点G是是BC上上的任意一点，的任意一点，DEAG于点于点E，BFDE，交，交AG于点于点F，求证：，求证：AF-BF=EF.证明：证明：BAF+DAE=90，又又DEAG，BFDE，BFAG，BAF+ABF=90，ABF=DAE.又又AB=DA，AFB=DEA=90,ABF DAE，BF=AE，AF-BF=AF-AE=EF.习题习题18.1 1.如图，四边形如图，四边形ABCD是平行四边形，对角是平行四

24、边形，对角线线AC，BD相交于点相交于点O，且，且1=2.它是一个矩它是一个矩形吗？为什么？形吗？为什么？解：解：它是一个矩形它是一个矩形.理由：理由：1=2，OB=OC，四边形四边形ABCD是平行四边形，是平行四边形，OA=OC，OB=OD，OA=OC=OB=OD，AC=BD.ABCD是矩形是矩形.2.求证：四个角都相等的四边形是矩形求证：四个角都相等的四边形是矩形.ABCD证明：证明：由四边形的内角和定理得，由四边形的内角和定理得，A+B+C+D=360，A=B=C=D，A=B=C=D=90，四边形四边形ABCD是矩形是矩形.3.一个木匠要制作矩形的踏板，他在一个对一个木匠要制作矩形的踏板

25、，他在一个对边平行的长木板上分别沿与长边垂直的方向锯边平行的长木板上分别沿与长边垂直的方向锯了两次。就能得到矩形踏板了两次。就能得到矩形踏板.为什么？为什么？解：解：如图如图ABAD，CDAD.ABCD，A=90，ADBC.四边形四边形ABCD是矩形是矩形.ABCD 4.在在RtABC中，中，C=90，AB=2AC.求求A，B的度数的度数.ACBD解：解：取取AB得中点得中点D，连接，连接CD，CD是是RtABC斜边上的中线，斜边上的中线，CD=AB=AD，AB=2AC，AC=AB，AC=CD=AD，ACD是等边三角形，是等边三角形，A=60，又，又A+B=90，B=30.1212 5.如图，

26、四边形如图，四边形ABCD是菱形，是菱形，ACD=30，BD=6.求：求：1BAD，ABC解：解：1四边形四边形ABCD是菱形是菱形.AC平分平分BCD.BCD=2ACD=230=60，BAD=BCD=60，又又ABC+BAD=180，ABC=180-BAD=180-60=120.2AB，AC的长的长.解：设解：设AC与与BD交于点交于点O，由由1BAD=60，AB=AD.知知ABD是等边三角形是等边三角形.AB=BD=6.在在RtABO中，中，AB=6，BO=BD=3，AO=AC=2AO=10.39.12 22633 36 3O 6.如图，如图，AEBF，AC平分平分BAD，且交，且交BF于

27、点于点C，BD平分平分ABC，且交，且交AE于点于点D，连，连接接CD.求证：四边形求证：四边形ABCD是菱形是菱形.证明：证明：因为因为AEBF.DAC=BCA，ADB=CBD，AC平分平分BAD，BD平分平分ABC，ABD=CBD，BAC=BCA，AB=AD=BC，四边形四边形ABCD是菱形是菱形.7.如图，把一个长方形纸片对折两次，然如图，把一个长方形纸片对折两次，然后剪下一个角后剪下一个角.要得到一个正方形，剪口与折要得到一个正方形，剪口与折痕应成多少度的角？痕应成多少度的角？解：解：剪口应与折痕成剪口应与折痕成45角角.8.如图，为了做一个无盖纸盒，小明先在一如图，为了做一个无盖纸盒

28、，小明先在一块矩形硬纸板的四角画出四个相同的正方形，用块矩形硬纸板的四角画出四个相同的正方形，用剪刀剪下剪刀剪下.然后把纸板的四边沿虚线折起，并用胶然后把纸板的四边沿虚线折起，并用胶带粘好，一个无盖纸盒就做成了带粘好，一个无盖纸盒就做成了.纸盒的底面是纸盒的底面是什么形状？为什么？什么形状？为什么？ABCDFGE解：解：纸盒的底面是矩形纸盒的底面是矩形.如图：如图：四边形四边形ABCD是是正方形，正方形，ADC=90，EDF=90，同理同理E=F=90，四边形四边形DFGE是矩形是矩形.9.如图，在如图，在RtABC中，中，ACB=90，CDAB于点于点D，ACD=3BCD，E是斜边是斜边AB

29、的的中点中点.ECD是多少度？为什么？是多少度？为什么？解：解：E是斜边是斜边AB上的中点，即上的中点，即CE是斜边上是斜边上的中线，的中线，CE=AB=AE，A=ACE，CDAD，B+BCD=90，A+ACD=90，12ACB=90，A+B=90，A=BCD.ACD=3BCD，ACD=3A，又又ADC=90，A=22.5ECD=ACD-ECA =67.5-22.5=45 10.如图，四边形如图，四边形ABCD是菱形，点是菱形，点M，N分别分别在在AB，AD上，且上，且BM=DN，MGAD，NFAB；点点F，G分别在分别在BC，CD上，上，MG与与NF相交于点相交于点E.求求证：四边形证：四边

30、形AMEN，EFCG都是菱形都是菱形.证明：证明：四边形四边形ABCD是菱形，是菱形，AB=DA=BC=CD，BM=DN，AM=AN，MGAD，NFAB，四边形四边形AMEN是平行四边形，又是平行四边形，又AM=AN，所以所以AMEN是菱形是菱形.同理可证同理可证EFCG是菱形是菱形.11.如图，四边形如图，四边形ABCD是菱形，是菱形，AC=8，DB=6，DHAB与点与点H，求，求DH的长的长.解：解：四边形四边形ABCD是菱形是菱形.ACBD，AO=AC=4BO=BD=3，AB=5，SABD=S菱形菱形ABCD=AB DH=12，DH=1212AOBO 2212111222ACBD 122

31、45 12.1如以下图如以下图1，四边形，四边形OBCD是矩形是矩形，O，B，D三点的坐标分别是三点的坐标分别是0,0，b，0，0，d，求点，求点C的坐标的坐标.解：解：1四边形四边形OBCD是矩形，是矩形，OD=BC，OB=DC，且，且CDOD，CB垂直垂直OB.D0，d，Bb，0，Cb，d 2如以下图如以下图2，四边形，四边形ABCD是菱形，是菱形，C，D两点的坐标分别是两点的坐标分别是c，00，d，点，点A，B在坐标轴上，求在坐标轴上，求A，B两点的坐标两点的坐标.解：解：2四边形四边形ABCD是菱形，是菱形，AO=CO，BO=DO，Cc，0，A-c，0，D0，d，B0，-d，3如以下图

32、如以下图3，四边形，四边形OBCD是正方是正方形，形，O，D两点的坐标分别为两点的坐标分别为0，0，0，d.求求B，C两点的坐标两点的坐标.解：解：3四边形四边形OBCD为为正方形正方形,OD=DC=BC，且且CBOB，CDDO，又又D0，d，Bd，0，Cd，d.13.如图，如图，E，F，M，N分别是正方形分别是正方形ABCD四条边上的点，四条边上的点，且且AE=BF=CM=DN.试判断四边试判断四边形形EFMN是什么图形？并证明你的结论是什么图形？并证明你的结论.解：解：四边形四边形EFMN是正方形是正方形.证明：证明：四边形四边形ABCD 是正方形，是正方形，AB=BC=CD=DA，A=B

33、=C=D=90，又又AE=BF=CM=DN，AN=DM=CF=BE，AEN BFE CMF DNM，EN=NM=MF=FE，四边形四边形EFMN为菱形为菱形.BFE+BEF=90，BEF+AEN=90。NEF=90，四边形四边形EFMN为正方形为正方形.14.如图，将等腰三角形纸片如图，将等腰三角形纸片ABC沿底边沿底边BC上上的高的高AD剪成两个三角形剪成两个三角形.用这两个三角形你能拼成用这两个三角形你能拼成多少种平行四边形？试一试，分别求出它们的对多少种平行四边形？试一试，分别求出它们的对角线的长角线的长.解：解：能拼成三种平行四边形能拼成三种平行四边形.（1）如图）如图1的矩形的矩形.

34、其对角线长为其对角线长为m.（2）如图）如图2的平行四边形，的平行四边形，其两条对角线长分别为其两条对角线长分别为n，（3）如图）如图3的平行四边形，的平行四边形，其两条对角线的长分别为其两条对角线的长分别为h，hn 224nh 224 15.如图，四边形如图，四边形ABCD是正方形，是正方形，G是是BC上任意上任意一点，一点，DEAG于点于点E，BFDE，且交，且交AG于点于点F，求，求证：证：AF-BF=EF.证明：证明：四边形四边形ABCD是正方形，是正方形，AB=AD，BAD=90，DEAG，BFDE，AFB=90，ABF+BAF=90，BAF+DAE=90，ABF=DAE，ABF D

35、AE，AE=BF，EF=AF-AE=AF-BF.16.如图，在如图，在ABC中，中，BD与与CE相交于点相交于点O，BO与与OD的长度有什么关系？的长度有什么关系？BC边上的中线是否一边上的中线是否一定过点定过点O？为什么？提示：分别作？为什么？提示：分别作BO，CO的中的中点点M，N，连接，连接ED，EM，MN，ND.解：解：1BO=2OD；2BC边上的中线一定过边上的中线一定过O点点.证明：证明：1作作BO中点中点M，CO的的中点中点N，连，连ED，EM，MN，ND.ED是是ABC的中位线，的中位线，ED BC，又又MN是是OBC的中位线，的中位线，MN BC，ED MN，四边形四边形EMND是平行四边形，是平行四边形，OM=OD，又，又OM=BO，BO=2OD；（2）三角形三边的中线交于一点）三角形三边的中线交于一点.121212 17.如图是一块正方形草地，要在上面修建两如图是一块正方形草地，要在上面修建两条交叉的小路，使得这两条小路将草地分成的四条交叉的小路，使得这两条小路将草地分成的四局部面积相等，你有多少种方法？并与你的同学局部面积相等，你有多少种方法？并与你的同学交流一下交流一下.解：有多种方法：只要解：有多种方法：只要小路交于正方形对角线的交点小路交于正方形对角线的交点且两条小路互相垂直，那么满且两条小路互相垂直，那么满足条件足条件.