中考数学压轴题二次函数与圆.doc

1、 二次函数与圆综合二次函数与圆综合 板块板块 考试要求考试要求 A 级要求 B 级要求 C 级要求 二次函数 1.能根据实际情境了解二次函数 的意义； 2.会利用描点法画出二次函数的 图像； 1.能通过对实际问题中的情境分析确定二次函数的 表达式； 2.能从函数图像上认识函数的性质； 3.会确定图像的顶点、对称轴和开口方向； 4.会利用二次函数的图像求出二次方程的近似解； 1.能用二次函数解决简单的 实际问题； 2.能解决二次函数与其他知 识结合的有关问题； 一、二次函数与圆综合 【例1】 已知：抛物线 2 :(1)(2)M yxmxm与x轴相交于 12 (0)(0)A xB x，两点， 且

2、12 xx （）若 12 0x x ，且m为正整数，求抛物线M的解析式； （）若 12 11xx，求m的取值范围； （ ） 试 判 断 是 否 存 在m， 使 经 过 点A和 点B的 圆 与y轴 相 切 于 点(0 2)C， 若 存 在 ， 求 出 2 :(1)(2)M yxmxm的值；若不存在，试说明理由； （）若直线: l ykxb过点(0 7)F，与（）中的抛物线M相交于PQ，两点，且使 1 2 PF FQ ，求直线l的 解析式 【解析】 （）解法一：由题意得， 12 20x xm 解得，2m m为正整数，1m 2 1yx 解法二：由题意知，当0x 时， 2 0(1) 0(2)0ymm

3、（以下同解法一） 解法三： 22 (1)4(2)(3)mmm， 12 (1)(3) 12 2 mm xxxm ， 又 122 020x xxm，2m （以下同解法一 ） 解法四：令0y ，即 2 (1)(2)0xmxm， 12 (1)(2)0 12 xxm xxm ， ， （以下同解法三 ） （）解法一： 1212 111010xxxx ， ，即 1212 ()10x xxx 1212 (1)2xxmx xm ， (2)(1)10mm 解得：1m m的取值范围是 1m 解法二：由题意知，当1x 时， 1(1)(2)0ymm 解得：1m m的取值范围是1m 解法三：由（）的解法三、四知， 12

4、12xxm ， 中考要求中考要求 例题精讲例题精讲 12 11xx，21m 1m m的取值范围是1m x y O D O C(0,2) B A 7 O F P2 P1 P Q2 Q1x y Q （）存在 解法一：因为过AB，两点的圆与y轴相切于点(0 2)C，所以AB，两点在y轴的同侧， 12 0x x 由切割线定理知， 2 OCOA OB， 即 2 12 2x x 1 2 4x x ， 12 4.x x 24.6mm 解法二：连接O BO C，圆心所在直线 11 222 bmm x a ， 设直线 1 2 m x 与x轴交于点D，圆心为 O ， 则 1 2 2 m O DOCO COD ，

5、2 21 (3)3 2 AB ABxxmmBD， 3 2 m BD 在RtO DB中， 222 ODDBOB 即 22 2 31 2 22 mm 解得 6m （）设 1122 ()()P xyQ xy，则 22 1122 11yxyx， 过PQ，分别向x轴引垂线，垂足分别为 112 (0)(0)P xQ x， 则 11 PPFOQQ 所以由平行线分线段成比例定理知， 1 1 POPF OQFQ 因此， 1 2 01 02 x x ，即 21 2xx 过PQ，分别向y轴引垂线，垂足分别为 2122 (0)(0)PyQy， 则 22 PPQQ所以 22 FP PFQ Q 2 2 P FFP FQF

6、Q 1 2 71 72 y y 12 212yy 22 12 22 11 212(1)1. 23241. xx xx 2 11 42xx，或 1 2x 当 1 2x 时，点(23)P ，直线l过(23)(0 7)PF， 70 32. kb kb ， 解得 7 2. b k ， 当 1 2x 时，点( 23)P ，直线l过( 23)(0 7)PF ， 70 3( 2). kb kb ， 解得 7 2. b k ， 故所求直线l的解析式为：27yx，或27yx 【例2】 已知抛物线 2 yaxbxc与 y 轴的交点为 C，顶点为 M，直线 CM 的解析式 2yx 并且线段 CM 的长为2 2 （1

7、）求抛物线的解析式。 （2）设抛物线与 x 轴有两个交点 A（X1 ，0） 、B（X2 ，0） ，且点 A 在 B 的左侧，求线段 AB 的长。 （3）若以 AB 为直径作N，请你判断直线 CM 与N 的位置关系，并说明理由。 【解析】 （1）解法一：由已知，直线 CM：y=x2 与 y 轴交于点 C（0,2）抛物线 2 yaxbxc过点 C（0,2） ， 所以 c=2，抛物线 2 yaxbxc的顶点 M 2 4 , 24 bacb aa 在直线 CM 上， 所以 2 42 2 42 abb aa ，解得0b 或2b 若0b ，点 C、M 重合，不合题意，舍去，所以2b 即 M 11 , 2

8、aa 过 M 点作 y 轴的垂线，垂足为 Q，在 222 Rt CMQCMCQQM中， 所以， 22 11 8( )2(2) aa ，解得， 1 2 a 。 所求抛物线为： 2 1 22 2 yxx 或 2 1 22 2 yxx以下同下。 解法二：由题意得(0,2)C,设点 M 的坐标为( , )M x y 点 M 在直线2yx 上，2yx 由勾股定理得 22 (2)CMxy，2 2CM 22 (2)xy=2 2，即 22 (2)8xy 解方程组 22 2 (2)8 yx xy ，得 1 1 2 4 x y ， 2 2 2 0 x y ( 2,0)M 或(2,0)M 当( 2,4)M 时，设抛

9、物线解析式为 2 (2)4ya x，抛物线过(0,2)点， 1 2 a ， 2 1 22 2 yxx 当(2,0)M时，设抛物线解析式为 2 (2)ya x 抛物线过(0,2)点， 1 2 a ， 2 1 22 2 yxx 所求抛物线为： 2 1 22 2 yxx 或 2 1 22 2 yxx （2）抛物线与 x 轴有两个交点， 2 1 22 2 yxx不合题意，舍去。 抛物线应为： 2 1 22 2 yxx 抛物线与 x 轴有两个交点且点 A 在 B 的左侧， 2 1 220 2 xx由，得 12 4 2ABxx （3）AB 是N 的直径，r =2 2 ， N（2，0） ，又M（2，4） ，

10、MN = 4 设直线2yx 与 x 轴交于点 D，则 D（2，0） ，DN = 4，可得 MN = DN， 45MDN，作 NGCM 于 G，在Rt NGD中，sin452 2NGDN= r 即圆心到直线 CM 的距离等于N 的半径直线 CM 与N 相切 【例3】 已知：在平面直角坐标系xOy中，一次函数4ykxk的图象与x轴交于点A，抛物线 2 yaxbxc经过O， A两点 试用含a的代数式表示b； 设抛物线的顶点为D，以D为圆心，DA为半径的圆被x轴分为劣弧和优弧两部分若将劣弧沿x轴翻折， 翻折后的劣弧落在D内，它所在的圆恰与OD相切，求D半径的长及抛物线的解析式； 设点B是满足(2)中条

11、件的优弧上的一个动点，抛物线在x轴上方的部分上是否存在这样的点P，使得 4 3 POAOBA？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由 D D A O y x n m B D A E P O x y P y x B A EO D 【解析】解法一：一次函数4ykxk的图象与x轴交于点A 点A的坐标为(4，0) 抛物线 2 yaxbxc经过O、A两点 0c ，1640ab，4ba 解法二：一次函数4ykxk的图象与x轴交于点A 点A的坐标为(40，) 抛物线 2 yaxbxc经过O、A两点 抛物线的对称轴为直线2x 2 2 b x a ，4ba 由抛物线的对称性可知，DODA 点O在D上，且DO

12、ADAO 又由(1)知抛物线的解析式为 2 4yaxax 点D的坐标为(24a，) 当0a 时， 如图1，设D被x轴分得的劣弧为OmA，它沿x轴翻折后所得劣弧为OnA，显然OnA 所在的圆与D关于x轴对称，设它的圆心为D 点D与点D也关于x轴对称 点O在D上，且OD与D相切 点O为切点，DOOD 45DOAD OA ADO为等腰直角三角形，2 2OD 点D的纵坐标为2，42a 1 42 2 aba ， 抛物线的解析式为 2 1 2 2 yxx 当0a 时， 同理可得：2 2OD 抛物线的解析式为 2 1 2 2 yxx 综上，D半径的长为2 2，抛物线的解析式为 2 1 2 2 yxx或 2

13、1 2 2 yxx 抛物线在x轴上方的部分上存在点P，使得 4 3 POAOBA 设点P的坐标为(, x y)，且0y 当点P在抛物线 2 1 2 2 yxx上时(如图2) 点B是D的优弧上的一点 1 45 2 OBAADO， 4 60 3 POAOBA 过点P作PEx轴于点E，tan EP POE OE ， tan60 y x ，3yx 由 2 3 1 2 2 yx yxx 解得： 12 2 1 42 30 0 64 3 xx y y ，(舍去) 点P的坐标为 42 3 64 3， 当点P在抛物线 2 1 2 2 yxx 上时(如图3)，同理可得，3yx 由 2 3 1 2 2 yx yxx

14、 解得： 12 2 1 42 30 0 64 3 xx y y ，(舍去) 点P的坐标为 42 364 3， 综上，存在满足条件的点P，点P的坐标为： 42 3 64 3，或 42 364 3， 点评：本题是一道二次函数与圆的综合题，解决本题的关键是：作出将劣弧沿x轴翻折后的弧所在圆D，并 充分利用轴对称的性质本题考点：1直线与圆的位置关系(切线的性质)；2轴对称；3等腰直角三角形的 性质，4三角函数；5二次函数解析式的确定 【例4】 如图，在平面直角坐标系中，以点(04)C，为圆心，半径为4的圆交y轴正半轴于点A， AB是C的切线动点P从点A开始沿AB方向以每秒1个单位长度的速度运动，点Q从

15、O点开始沿x轴正方 向以每秒4个单位长度的速度运动，且动点P、Q从点A和点O同时出发，设运动时间为t(秒) 当1t 时，得到 1 P、 1 Q两点，求经过A、 1 P、 1 Q三点的抛物线解析式及对称轴l； 当t为何值时，直线PQ与C相切？并写出此时点P和点Q的坐标； 在的条件下，抛物线对称轴l上存在一点N，使NPNQ最小，求出点 N 的坐标并说明理由 l Q1 P1 y x Q O P C BA l Q1 P1 M y x Q O P C BA 【解析】 由题意得A， 1 P， 1 Q的坐标分别为(08)A， 1(1 8)P， 1(4 0)Q， 设抛物线解析式为 2 yaxbxc，则 8 8

16、 0164 c abc abc 2 3 a ， 2 3 b ，8c 所求抛物线为 2 22 8 33 yxx 对称轴为直线l： 1 2 x 设ta时，PQ与C切于点M 连结CP，CM，CQ，则PAPMa，4QOOMa 又CP，CQ分别平分APQ和OQP 而180APQOQP， 90CPQCQP，90PCQ CMPQ，Rt CMPRt QMC CMQM PMCM 即 44 4 a a ，2a 由于时间a只能取正数，所以2a 即当运动时间2t 时，PQ与C相切 此时：(2P，8)，(8Q，0) 点P关于直线l的对称点为( 1P ，8) 则直线P Q的解析式为： 864 99 yx 直线P Q交直线

17、l于N 1 ( 2 ， 20) 3 ，此时NPNQ最小， 1 ( 2 N， 20) 3 【例5】 如图，点40M，以点M为圆心、2为半径的圆与x轴交于点AB，已知抛物 2 1 6 yxbxc过点A和B， 与y轴交于点C 求点C的坐标，并画出抛物线的大致图象 点8Qm，在抛物线 2 1 6 yxbxc上，点P为此抛物线对称轴上一个动点，求PQPB 最小值 CE是过点C的M的切线，点E是切点，求OE所在直线的解析式 M y x O E D C B A 【解析】由已知，得20A，60B， 抛物线 2 1 6 yxbxc过点A和B， 则 2 2 1 220, 6 1 660, 6 bc bc ，解得

18、4 , 3 2. b c 则抛物线的解析式为 2 14 2 63 yxx，故C02， (说明：抛物线的大致图象要过点A、B、C，其开口方向、顶点和对称轴相对准确) 如图，抛物线对称轴l是 4x (8Q，)m抛物线上，2m 过点Q作QRx轴于点K，则80K，26QKAK， AQ 22 2 10AKQK 又60B，与20A，关于对称轴 l 对称， PQPB的最小值2 10AQ 当E在第四象限时，如图，连结EM和CM 由已知，得 2EMOC CE是M的切线，90DEM，则DEMDOC 又ODCEDM ，DEMDOC ODDECDMD， 又在DOE和MDC中， ODEMDCDOEDEODCMDMC，则

19、OECM 设CM所在直线的解析式为ykxb，CM过点02C，40M， 40, 2, kb b ，解得 1 2 2 k b 直线CM的解析式为 1 2 2 yx C A M B x y O D E 图 C A M B x y O D E Q P K 图 l 又直线OE过原点O，且OECM，则OE的解析式为 1 2 yx 当E在第一象限时，易得四边形COME为矩形，此时(4E，2) 直线OE的解析式为 1 2 yx 点评：本题难度不大，第问中，求距离和最短问题是我们在学习轴对称时的一个典型问题；第问需注意， 过圆外一点引圆的切线有两条考点：1二次函数解析式的确定；2轴对称；3切线的性质；4一次函数

20、 解析式的确定 【例6】 在平面直角坐标系xOy中，已知直线 1 l经过点20A ，和点 2 03 3 B ，直线 2 l的函数表达式为 34 3 33 yx ， 1 l与 2 l相交于点PC是一个动圆，圆心C在直线 1 l上运动，设圆心C的横坐标是a过 点C作CMx轴，垂足是点M 填空：直线 1 l的函数表达式是 ，交点P的坐标是 ，FPB的度数是 ； 当C和直线 2 l相切时，请证明点P到直线CM的距离等于C的半径R，并写出3 22R 时a的值 当C和直线 2 l不相离时，已知C的半径3 22R ，记四边形NMOB的面积为S(其中点N是直线CM 与 2 l的交点)S是否存在最大值？若存在，

21、求出这个最大值及此时a的值；若不存在，请说明理由 y x l1l2 E A O C P 43 2 1 -2 1 2 3 图甲 M y x l2 l1 O G P F E D C B A -2 4 2 1 N 图乙 M y x l2 l1 O P F E C B A -2 4 2 1 【解析】 32 3 33 yx， 13P，60 设C和直线 2 l相切时的一种情况如图甲所示，D是切点，连接CD，则CDPD 过点P作CM的垂线PG，垂足为G， 则RtRtCDPPGC30PCDCPGCPPC， 所以PGCDR 当点C在射线PA上，C和直线 2 l相切时，同理可证 取3 22R 时，13 21aR

22、，或133 2aR 当C和直线 2 l不相离时，则33 23 21a，由知，分两种情况讨论： 如图乙，当03 21a时， 1 2 334 3 () 2333 Saa 2 3 3 6 aa ， 当 3 3 3 2() 6 a 时，(满足3 21a)，S有最大值 此时 33 3 23 4() 6 S 最大值 (或 9 2 3 ) 当33 20a时， 2 3 3 6 Saa显然C和直线 2 l相切，即33 2a 时，S最大 此时 1 2 334 33 3 (33 2) 33 2 23332 S 最大值 综合以上和，当3a 或33 2a 时，存在 S 的最大值，其最大面积为 3 3 2 点评：本题共

23、3 问，这 3 问之间难度递增，且环环相扣，解决后面的问题时要注意应用前面的结论，解决第 问时要先确定a的取值范围，然后分类讨论考点：1一次函数解析式的确定；2等边三角形的判定及性质； 3直线与圆的位置关系；4全等三角形；5两函数图象交点坐标的确定；6二次函数的最值 【答案】 （1） 32 3 33 yx， 13P，60； （2）3 21a 或33 2a ； （3）当3a 或33 2a 时，存在 S 的最大值，其最大面积为 3 3 2 【例7】 已知二次函数图象的顶点在原点O，对称轴为y轴一次函数1ykx的图象与 二次函数的图象交于AB，两点(A在B的左侧)，且A点坐标为44 ，平行于x轴的直

24、线l过01，点 求一次函数与二次函数的解析式； 判断以线段tanxCA为直径的圆与直线l的位置关系，并给出证明； 把二次函数的图象向右平移2个单位，再向下平移t个单位0t ，二次函数的图象与x轴交于MN，两点， 一次函数图象交y轴于F点当t为何值时，过FMN，三点的圆的面积最小？最小面积是多少？ l y x O l H F E BA O N M C B A y x 【考点】二次函数与圆综合，直线与圆位置关系的确定，切线的性质及判定 【难度】5 星 【题型】解答 【关键词】2006 年，山东潍坊 【解析】 把( 44)A ，代入1ykx得 3 4 k ， 一次函数的解析式为 3 1 4 yx ；

25、 二次函数图象的顶点在原点，对称轴为y轴， 设二次函数解析式为 2 yax， 把( 4 4)A ，代入 2 yax得 1 4 a ，二次函数解析式为 2 1 4 yx 由 2 3 1 4 1 4 yx yx ，解得 4 4 x y 或 1 1 4 x y ，(1B， 1 ) 4 ， 过AB，点分别作直线l的垂线，垂足为 A ， B ， 则 15 4151 44 AABB ， 直角梯形AA B B 的中位线长为 5 5 25 4 28 ， 过B作BH垂直于直线 AA 于点H，则5BHA B ， 115 4 44 AH ， 2 2 1525 5 44 AB ， AB的长等于AB中点到直线l的距离的

26、 2 倍， 以AB为直径的圆与直线l相切 平移后二次函数解析式为 2 (2)yxt， 令0y ，得 2 (2)0xt ， 1 2xt， 2 2xt， 过E三点的圆的圆心一定在直线D上，点C为定点， 要使圆面积最小，圆半径应等于点F到直线2x 的距离， 此时，半径为 2，面积为4， 设圆心为CMN，中点为E，连CECM，则1CE ， 在三角形CEM中， 2 213ME ， 2 3MN ，而 21 2MNxxt，3t 当3t 时，过FMN，三点的圆面积最小，最小面积为4 点评：本题综合了函数与圆的有关知识，题目设计比较新颖，本题亮点在第(2)(3)问，这两问都需要确定圆心位 置，要求学生较好的掌握

27、圆的有关性质，并能灵活运用考点：1一次函数，二次函数解析式的确定；2直 线与圆的位置关系，3二次函数图象的平移；4圆心的性质；5点到直线垂线段最短 【答案】 （1）一次函数的解析式为 3 1 4 yx ；二次函数解析式为 2 1 4 yx （2）以AB为直径的圆与直线l相切 （3） 当3t 时，过FMN，三点的圆面积最小，最小面积为4 【例8】 如图 1，O的半径为1，正方形ABCD顶点B坐标为50，顶点D在O上运动 当点D运动到与点A、O在同一条直线上时，试证明直线CD与O相切； 当直线CD与O相切时，求OD所在直线对应的函数关系式； 设点D的横坐标为x， 正方形ABCD的面积为S， 求S与

28、x之间的函数关系式， 并求出S的最大值与最小值 图1 x y O D A B C 1 5 图2 x y O D1 A B C 1 5 E1 图3 x y O D2 A B C 1 5 E2 【考点】二次函数与圆综合，切线的性质及判定，坐标与面积 【难度】5 星 【题型】解答 【关键词】2008 年，江苏宿迁 【解析】 四边形ABCD为正方形，ADCD A、O、D在同一条直线上，90ODC，直线CD与O相切； 直线CD与O相切分两种情况： 如图 2， 设 1 D点在第二象限时，过 1 D作 11 D Ex轴于点 1 E，设此时的正方形的边长为a，则 2 22 15aa，解得4a 或3a (舍去)

29、 由 11 RtRtBOADOE得 1111 OED EOD OABAOB 1 3 5 OE ， 11 4 5 D E ， 1 34 55 D ， 故直线OD的函数关系式为 4 3 yx ； 如图 3，设 2 D点在第四象限时，过 2 D作 22 D Ex轴于点 2 E，设此时的正方形的边长为b，则 2 22 15bb，解得3b 或4b (舍去) 由 22 RtRtBOAD OE得 2222 OED EOD OABAOB 2 4 5 OE ， 22 3 5 D E ， 2 43 55 D ，故直线OD的函数关系式为 3 4 yx 设 0 D xy，则 2 0 1yx ，由50B，得 22 (5

30、)(1)26 10DBxxx 2 11 2610135 22 SBDxx 11x 1351813 58SS 最大值最小值 ， 【答案】 （1）直线CD与O相切； （2） 4 3 yx 或 3 4 yx ； （3）135Sx，188SS 最大值最小值 ， 【例9】 如图，已知点A从10，出发，以1个单位长度/秒的速度沿x轴向正方向运动，以OA，为顶点作菱形OABC， 使点BC，在第一象限内，且60AOC；以03P，为圆心，PC为半径作圆设点A运动了t秒，求： 点C的坐标（用含t的代数式表示） ； 当点A在运动过程中，所有使P与菱形OABC的边所在直线相切的t的值 P CB O A y x1 图1

31、 P CB O A y x D 图2 P C B O A y x E 图3 P C B OA y x F H G 【考点】二次函数与圆综合，动点与几何，切线的性质及判定 【难度】5 星 【题型】解答 【关键词】2008 年，江苏无锡 【解析】 过C作CDx轴于D， 1OAt ，1OCt ， 1 cos60 2 t ODOC ， 3(1) sin60 2 t DCOC ， 点C的坐标为 13(1) 22 tt ， 当P与OC相切时（如图 1） ，切点为C，此时PCOC， cos30OCOP， 3 13 2 t ， 3 3 1 2 t （4 分） 当P与OA，即与x轴相切时（如图 2） ，则切点为

32、O，PCOP， 过P作PEOC于E，则 1 2 OEOC， 13 3 cos30 22 t OP ，3 31t 当P与AB所在直线相切时（如图 3） ，设切点为F，PF交OC于G， 则PFOC， 3(1) 2 t FGCD ， 3(1) sin30 2 t PCPFOP 过C作CHy轴于H，则 222 PHCHPC， 22 2 13(1)33(1) 3 2222 ttt ， 化简，得 2 (1)18 3(1)270tt， 解得19 36 6t ， 9 36 610t ， 9 36 61t 所求t的值是 3 3 1 2 ，3 31和9 36 61 【答案】 （1）点C的坐标为 13(1) 22

33、tt ，； （2）所求t的值是 3 3 1 2 ，3 31和9 36 61 【例10】 已知：抛物线 2 yaxbxc0a ，顶点13C，与x轴交于A、B两点，1 0A ， 求这条抛物线的解析式 如图，以AB为直径作圆，与抛物线交于点D，与抛物线对称轴交于点E，依次连接A、D、B、E，点P为 线段AB上一个动点(P与A、B两点不重合)，过点P作PMAE于M，PNDB于N，请判断 PMPN BEAD 是 否为定值？若是，请求出此定值；若不是，请说明理由 在的条件下，若点S是线段EP上一点，过点S作FGEP，FG分别与边 AE 、BE相交于点F、G(F 与A、E不重合，G与E、B不重合)，请判断

34、PAEF PBEG 是否成立若成立，请给出证明；若不成立，请 说明理由 C x y B N M A D PO E x y B N M A D PO E G HF S C 【考点】二次函数与圆综合 【难度】5 星 【题型】解答 【关键词】2008 年，山东济南 【解析】 设抛物线的解析式为 2 (1)3ya x 将1 0A ，代入： 2 01 13a ， 3 4 a 抛物线的解析式为 23 13 4 yx，即： 2 339 424 yxx 是定值，1 PMPN BEAD AB为直径，90AEB，PMAE，PMBE APMABE， PMAP BEAB 同理： PNPN ADAB + ：1 PMPN

35、APPB BEADABAB 直线EC为抛物线对称轴， EC垂直平分AB EAEB 90AEB AEB为等腰直角三角形 45EABEBA 7 分 如图，过点P作PHBE于H， 由已知及作法可知，四边形PHEM是矩形， PHME且PHMEP 在APM和PBH中 90AMPPHB ，45EABBPH PHBH 且APMPBH PAPM PBBH PAPMPM PBPHME . 8 分 在MEP和EGF中， PEFG，90FGESEG 90MEPSEG，FGEMEP 90PMEFEG ， 1 sin 22 ACACAC APC APOAAC PMEF MEEG 由、知： PAEF PBEG 【答案】

36、（1） 2 339 424 yxx； （2）是定值，1 PMPN BEAD ； （3）成立 【例11】 如图，已知点A的坐标是1 0 ，点B的坐标是90，以AB为直径作 O ，交y轴的负半轴于点C，连 接AC、BC，过A、B、C三点作抛物线 求抛物线的解析式； 点E是AC延长线上一点，BCE的平分线CD交 O 于点D，连结BD，求直线BD的解析式； 在的条件下， 抛物线上是否存在点P， 使得PDBCBD ？如果存在， 请求出点P的坐标； 如果不存在， 请说明理由 D C E A y x BO O P1 Q1 Q2 D C E A y x BOO OOB x y A E C D P1 N M O

37、OB x y A E C D N M H G 【考点】二次函数与圆综合 【难度】5 星 【题型】解答 【关键词】2008 年，四川资阳 【解析】 以AB为直径作 O ，交y轴的负半轴于点C， 90OCAOCB， 又90OCBOBC， OCAOBC ， 又90AOCCOB ， AOCCOB， OAOC OCOB 又1 0A ，90B， 1 9 OC OC ，解得3OC (负值舍去) 03C， 3 分 设抛物线解析式为19ya xx， 30 1 09a ，解得 1 3 a ， 二次函数的解析式为 1 19 3 yxx，即 2 18 3 33 yxx AB为 O 的直径，且1 0A ，90B， 4O

38、O ，40 O ， 点E是AC延长线上一点，BCE的平分线CD交 O 于点D， 11 9045 22 BCDBCE ， 连结O D交BC于点M，则224590BO DBCD ，4OO ， 1 5 2 O DAB 45D， 设直线BD的解析式为0ykxbk 90 65 kb kb 解得 1 9. k b ， 直线BD的解析式为9yx 假设在抛物线上存在点P，使得PDBCBD ， 方法一：设射线DP交 O 于点Q，则BQCD 分两种情况(如答案图 1 所示)： 40 O ，45D，90B，03C， 把点C、D绕点 O 逆时针旋转90，使点D与点B重合，则点C与点 1 Q重合， 因此，点 1 74Q

39、，符合BQCD， 45D， 1 74Q， 用待定系数法可求出直线 1 DQ解析式为 119 33 yx 解方程组 2 119 33 18 3. 33 yx yxx ， 得 1 1 941 2 2941 ; 6 x y ， 2 2 94 1 2 2 94 1 . 6 x y ， 点 1 P坐标为 9412941 26 ，坐标为 9412941 26 ，不符合题意，舍去 1 74Q， 点 1 Q关于x轴对称的点的坐标为 2 74Q，也符合BQCD 45D， 2 74Q， 用待定系数法可求出直线 2 DQ解析式为317yx 解方程组 2 317 18 3. 33 yx yxx ， 得 1 1 3 8

40、; x y ， 2 2 14 25. x y ， 点 2 P坐标为1425，坐标为38，不符合题意，舍去 符合条件的点P有两个： 1 9412941 26 P ， 2 1425P， 方法二：分两种情况(如答案图 2 所示)： 当 1 DPCB时，能使PDBCBD 90B，03C， 用待定系数法可求出直线BC解析式为 1 3 3 yx 又 1 DPCB，设直线 1 DP的解析式为 1 3 yxn 把45D，代入可求 19 3 n ， 直线 1 DP解析式为 119 33 yx 解方程组 2 119 33 18 3. 33 yx yxx ， 得 1 1 941 2 2941 ; 6 x y ， 2 2 94 1 2 2 94 1 . 6 x y ， 点 1 P坐标为 9412941 26 ，坐标为 9412941 26 ，不符合题意，舍去 在线段O B上取一点N，使BNDM时，得SASNBDMDB，NDBCBD 由知，直线BC解析式为 1 3 3 yx 取4x ，得 5 3 y ， 5 4 3 M ， 5 3