专题01 二次函数中线段最值问题与小马喝水问题-2020中考数学二次函数压轴试题分类精析.doc

1、 一、二次函数相关知识点梳理以及重要的公式 （一）二次函数解析式的表示方法 1. 一般式： 2 yaxbxc（a，b，c为常数，0a ） ； 2. 顶点式： 2 ()ya xhk（a，h，k为常数，0a ） ； 3. 两点式（交点式）： 12 ()()ya xxxx（0a ， 1 x， 2 x是抛物线与x轴两交点的横坐标）. 注意事项注意事项：在求解二次函数解析式的：在求解二次函数解析式的过程中，同学们根据所给的点坐标，已知抛物线上过程中，同学们根据所给的点坐标，已知抛物线上 三点的坐标，一般选用一般式已知交点坐标就用交点式，已知顶点坐标就设顶点式，这样会三点的坐标，一般选用一般式已知交点坐标

2、就用交点式，已知顶点坐标就设顶点式，这样会 有利于计算，记有利于计算，记 不住的同学就用一般式，只是计算量稍微大一点，注意多练一练解二元、三不住的同学就用一般式，只是计算量稍微大一点，注意多练一练解二元、三 元一次方程组。元一次方程组。 （二）二次函数综合题目常用的公式与定理 1.中点坐标公式（容易遗忘记错） 练习：已知 A(x1,y1)、B（x2,y2） ，那么 AB 中点坐标就是（,） 已知 A(4,6) B(-2,2)，那么 AB 中点坐标就是 （1,4） 变式练习：已知 A（4,6） ，AB 中点坐标是（2，-2） ，求 B 点坐标 （0，-10） 解析：考察了中点坐标公式的逆运用，很

3、常见。可以借助于方程运用中点公式可以列出。 设 B（x,y）,那么可以得出 =2 ,=-2 解方程算出x=0, y=-10 从而知道 B（0，-10） 2.两点间距离公式（容易遗忘记错） 练习：已知 A(4,1) B(2,2) ，根据公式：AB= = 常用的定理 1.直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半（考察频率很高） 2.直角三角形 30 角所对应的边等于斜边的一半（考察频率很高） 3.角平分线定理：角平分线上的点到角两边的距离相等。 4.垂直平分线定理：垂直平分线上的点到线段两端的距离相等。 二、二次函数问题中线段最值问题 （一）例题演示 1.如图，抛物线 y=ax2+bx+c（a0）经过

4、点 A（3，0） 、B(1,0)、C(2，1)，交 y 轴于点 M. (1)求抛物线的表达式； (2)D 为抛物线在第二象限部分上的一点，作 DE 垂直 x 轴于点 E，交线段 AM 于点 F，求线段 DF 长度的最 大值，并求此时点 D 的坐标； 【解析】 ：本题主要考查二次函数的图象与性质和二次函数的应用。 （1）把 ABC 三个点坐标分别代入抛物线的解析式中，根据待定系数法求得各系数的值，即可得该抛物线 的解析式。 （2）由（1）中的抛物线解析式求得点的坐标，再利用待定系数法即可求得直线的解析式，由题意设点、 坐标，根据两点坐标表示出所求线段 DF 的长，根据二次函数的性质即可求得最大值

5、。 解答： （1）将 A、B、C 的坐标代入抛物线的解析式中得 解得 所以抛物线的表达式为 y= - -。 （2）令 x=0, 解得 y=- 1 所以点 M 的坐标为（0,1） ，来源:学,科,网 Z,X,X,K 设直线 MA 的表达式为 y=kx+b，把 A,M 点坐标代入解得 k= ， b=1 所以直线的表达式为 y= x+1 设点 D 的坐标为（x0，- -） ， 则点 F 的坐标为（x0， xo+1） DF=- - - （ xo+1） =- x02 -x0 当 x0=- = - 时，DF 取得最大值，最大值为 ， 此时把 x0= - 代入二次函数中得 y= 即点 D 的坐标为（- ）

6、。 【试题精炼】【试题精炼】 如图，在平面直角坐标系中，点 A、C 的坐标分别为(1， 0)、(0，3)，点 B 在 x 轴上已知某二次 函数的图象经过 A、B、C 三点，且它的对称轴为直线 x1，点 P 为直线 BC 下方的二次函数图象上的一个 动点（点 P 与 B、C 不重合） ，过点 P 作 y 轴的平行线交 BC 于点 F （1）求该二次函数的解析式； （2）若设点 P 的横坐标为 m，试用含 m 的代数式表示线段 PF 的长； 【解析】分析： (1)可以采用待定系数法求二次函数的解析式,因为点 A（-1,0） C（0，-）在函数图象 上,对称轴为 x=1,也可求得 A 的对称点 B

7、的坐标为（3,0）,列方程组即可求得解析式; (2)先求得直线 BC 的解析式为 y=,则可求得点 F 的坐标为（m，- ）,再求得点 P 的纵坐标 为m2-可得线段 PF 的长;学#科网 解答：(1)设二次函数的解析式为 y=ax2+bx+c(a0a、b、c 为常数), 由抛物线的对称性知 B 点坐标为(3,0), 依题意得: 解得: 所求二次函数的解析式为 y= x2x (2)P 点的横坐标为 m, 所以 P 点的纵坐标为 m2 设直线 BC 的解析式为 y=kx+b k0, 依题意,得 所以 故直线 BC 的解析式为 y=x 点 F 的坐标为（m，） 所以 PF=（ m2） = - m2

8、+m （0m3） 当 x=- = 时,PF 有最大值 【中考链接】【中考链接】 如图，二次函数 2 2yaxbx的图像与x轴相交于点( 1,0)A ，(4,0)B，与y轴相交于点C. (1)求该函数的表达式; (2)点P为该函数在第一象限内的图像上一点，过点P作PQBC，垂足为点Q，连接PC.求线段PQ的 最大值; 解答： （1）抛物线解析式为 y=a（x+1） （x-4） ， 即 y=ax2-3ax-4a， 则-4a=2，解得 a=- ， 所以抛物线解析式为 y=- x2+ x+2； （2）作 PNx 轴于 N，交 BC 于 M，如图，BC=25， 当 x=0 时，y= y=- x2+ x+

9、2=2，则 C（0，2） ， 设直线 BC 的解析式为 y=mx+n， 把 C（0，2） ，B（4，0）得 n=2，m=- ， 直线 BC 的解析式为 y=- x+2， 设 P（t，- t2+ t+2） ，则 M（t，- t+2） ， PM=- t2+ t+2-（- t+2）=- t2+2t， NBM=NPQ， PQMBOC， PQ=-t2+t=-（t-2）2+， 当 t=2 时，线段 PQ 的最大值为 来源:学&科&网 Z&X&X&K 三、常见的小马喝水问题，最短路径问题 【涉及知识】“两点之间线段最短”，“垂线段最短”，“三角形三边关系”，“轴对称”，“平移” 【出题背景】角、三角形、菱形

10、、矩形、正方形、梯形、圆、坐标轴、抛物线等 【解题思路】找对称点实现“折”转“直”，近两年出现“三折线”转“直”等变式问题考查来源:学。科。网 常见的基本模型 第一种 作法 作 B 关于 l 的对称点 B连 A B ，与 l 交点即为 P 在直线 l 上求一点 P，使 PA+PB 值最小 原理：两点之间线段最短来源:学&科&网 PA+PB 最小值为 A B 第二种 作法 连 AB，作 AB 的中垂线与直线 l 的交点即为 P 在直线 l 上求一点 P，使PBPA的值最小 l B A l B A l P B A l P B A B 原理：垂直平分上的点到线段两端点的距离相等PBPA0 第三种 作法 作直线 AB，与直线 l 的交点即为 P来源:163文库ZXXK 在直线 l 上求一点 P，使PBPA的值最大 原理： 三角形任意两边之差小于第三边PBPAAB，PBPA的最大值AB l B A l P A B