4.2019年全国各地中考数学压轴题汇编:几何综合(江苏专版)(解析卷).pdf
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1、 2019 年全国各地中考数学压轴题汇编(江苏专版)年全国各地中考数学压轴题汇编(江苏专版) 几何综合几何综合 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 1(2019南京)如图,在 RtABC 中,C90,AC3,BC4求作菱形 DEFG,使点 D 在边 AC 上,点 E、F 在边 AB 上,点 G 在边 BC 上 小明的作法 1如图,在边 AC 上取一点 D,过点 D 作 DGAB 交 BC 于点 G 2以点 D 为圆心,DG 长为半径画弧,交 AB 于点 E 3在 EB 上截取 EFED,连接 FG,则四边形 DEFG 为所求作的菱形 (1)证明小明所作的四边形 DEFG 是菱形 (2)小明进
2、一步探索,发现可作出的菱形的个数随着点 D 的位置变化而变化请你继续探索, 直接写出菱形的个数及对应的 CD 的长的取值范围 (1)证明:DEDG,EFDE, DGEF, DGEF, 四边形 DEFG 是平行四边形, DGDE, 四边形 DEFG 是菱形 (2)如图 1 中,当四边形 DEFG 是正方形时,设正方形的边长为 x 在 RtABC 中,C90,AC3,BC4, AB5, 则 CDx,ADx, AD+CDAC, +x3, x, CDx, 观察图象可知:0CD时,菱形的个数为 0 如图 2 中,当四边形 DAEG 是菱形时,设菱形的边长为 m DGAB, , , 解得 m, CD3,
3、如图 3 中,当四边形 DEBG 是菱形时,设菱形的边长为 n DGAB, , , n, CG4, CD, 观察图象可知:当 0CD或CD3 时,菱形的个数为 0,当 CD或CD时, 菱形的个数为 1,当CD时,菱形的个数为 2 2(2019无锡)按要求作图,不要求写作法,但要保留作图痕迹 (1)如图 1,A 为O 上一点,请用直尺(不带刻度)和圆规作出O 的内接正方形; (2)我们知道,三角形具有性质:三边的垂直平分线相交于同一点,三条角平分线相交于一点, 三条中线相交于一点,事实上,三角形还具有性质:三条高所在直线相交于一点 请运用上述性质,只用直尺(不带刻度)作图 如图 2,在ABCD
4、中,E 为 CD 的中点,作 BC 的中点 F 如图 3,在由小正方形组成的 43 的网格中,ABC 的顶点都在小正方形的顶点上,作ABC 的高 AH 解:(1)如图 1,连结 AO 并延长交圆 O 于点 C,作 AC 的中垂线交圆于点 B,D,四边形 ABCD 即为所求 (2)如图 2,连结 AC,BD 交于点 O,连结 EB 交 AC 于点 G,连结 DG 并延长交 CB 于点 F, F 即为所求 如图 3 所示,AH 即为所求 3(2019常州)【阅读】 数学中,常对同一个量(图形的面积、点的个数、三角形的内角和等)用两种不同的方法计算, 从而建立相等关系,我们把这一思想称为“算两次”“
5、算两次”也称做富比尼原理,是一种重 要的数学思想 【理解】 (1)如图 1,两个边长分别为 a、b、c 的直角三角形和一个两条直角边都是 c 的直角三角形拼成 一个梯形用两种不同的方法计算梯形的面积,并写出你发现的结论; (2)如图 2,n 行 n 列的棋子排成一个正方形,用两种不同的方法计算棋子的个数,可得等式: n2 1+3+5+7+2n1 ; 【运用】 (3)n 边形有 n 个顶点,在它的内部再画 m 个点,以(m+n)个点为顶点,把 n 边形剪成若干个 三角形,设最多可以剪得 y 个这样的三角形当 n3,m3 时,如图 3,最多可以剪得 7 个这样 的三角形,所以 y7 当 n4,m2
6、 时,如图 4,y 6 ;当 n5,m 3 时,y9; 对于一般的情形,在 n 边形内画 m 个点,通过归纳猜想,可得 y n+2(m1) (用含 m、 n 的代数式表示)请对同一个量用算两次的方法说明你的猜想成立 解:(1)有三个 Rt其面积分别为 ab,ab 和c2 直角梯形的面积为(a+b)(a+b) 由图形可知:(a+b)(a+b)ab+ab+c2 整理得(a+b)22ab+c2,a2+b2+2ab2ab+c2, a2+b2c2 故结论为:直角长分别为 a、b 斜边为 c 的直角三角形中 a2+b2c2 (2)n 行 n 列的棋子排成一个正方形棋子个数为 n2,每层棋子分别为 1,3,
7、5,7,2n1 由图形可知:n21+3+5+7+2n1 故答案为 1+3+5+7+2n1 (3)如图 4,当 n4,m2 时,y6, 如图 5,当 n5,m3 时,y9 方法 1对于一般的情形,在 n 边形内画 m 个点,第一个点将多边形分成了 n 个三角形,以后 三角形内部每增加一个点,分割部分增加 2 部分,故可得 yn+2(m1) 方法 2以ABC 的二个顶点和它内部的 m 个点,共(m+3)个点为顶点,可把ABC 分割成 3+2 (m1)个互不重叠的小三角形以四边形的 4 个顶点和它内部的 m 个点,共(m+4)个点为顶 点,可把四边形分割成 4+2(m1)个互不重叠的小三角形故以 n
8、 边形的 n 个顶点和它内部的 m 个点,共(m+n)个点作为顶点,可把原 n 边形分割成 n+2(m1)个互不重叠的小三角形故 可得 yn+2(m1) 故答案为:6,3;n+2(m1) 4(2019扬州)如图,AB 是O 的弦,过点 O 作 OCOA,OC 交 AB 于 P,CPBC (1)求证:BC 是O 的切线; (2)已知BAO25,点 Q 是上的一点 求AQB 的度数; 若 OA18,求的长 (1)证明:连接 OB, OAOB, OABOBA, PCCB, CPBPBC, APOCPB, APOCBP, OCOA, AOP90, OAP+APO90, CBP+ABO90, CBO90
9、, BC 是O 的切线; (2)解:BAO25, ABO25,APO65, POBAPOABO40, AQB(AOP+POB)13065; AQB65, AOB130, 的长的长23 5(2019无锡)如图 1,在矩形 ABCD 中,BC3,动点 P 从 B 出发,以每秒 1 个单位的速度,沿 射线 BC 方向移动,作PAB 关于直线 PA 的对称PAB,设点 P 的运动时间为 t(s) (1)若 AB2 如图 2,当点 B落在 AC 上时,显然PAB是直角三角形,求此时 t 的值; 是否存在异于图 2 的时刻,使得PCB是直角三角形?若存在,请直接写出所有符合题意的 t 的值?若不存在,请说
10、明理由 (2)当 P 点不与 C 点重合时,若直线 PB与直线 CD 相交于点 M,且当 t3 时存在某一时刻有 结论PAM45成立,试探究:对于 t3 的任意时刻,结论“PAM45”是否总是成立? 请说明理由 解:(1)如图 1 中, 四边形 ABCD 是矩形, ABC90, AC, PCBACB,PBCABC90, PCBACB, , , PB24 如图 21 中,当PCB90时, 四边形 ABCD 是矩形, D90,ABCD2,ADBC3, DB, CBCDDB, 在 RtPCB中,BP2PC2+BC2, t2()2+(3t)2, t2 如图 22 中,当PCB90时, 在 RtADB中
11、,DB, CB3 在 RtPCB中则有:,解得 t6 如图 23 中,当CPB90时,易证四边形 ABP为正方形,易知 t2 综上所述,满足条件的 t 的值为 2s 或 6s 或 2s (2)如图 31 中, PAM45 2+345,1+445 又翻折, 12,34, 又ADMABM,AMAM, AMDAMB(AAS), ADABAB, 即四边形 ABCD 是正方形, 如图,设APBx PAB90 x, DAPx, 易证MDABAM(HL), BAMDAM, 翻折, PABPAB90 x, DABPABDAP902x, DAMDAB45x, MAPDAM+PAD45 6(2019苏州)如图,A
12、B 为O 的直径,C 为O 上一点,D 是弧 BC 的中点,BC 与 AD、OD 分 别交于点 E、F (1)求证:DOAC; (2)求证:DEDADC2; (3)若 tanCAD,求 sinCDA 的值 解:(1)点 D 是中点,OD 是圆的半径, ODBC, AB 是圆的直径, ACB90, ACOD; (2), CADDCB, DCEDCA, CD2DEDA; (3)tanCAD, 设:DEa,则 CD2a,AD4a,AE3a, 3, 即AEC 和DEF 的相似比为 3, 设:EFk,则 CE3k,BC8k, tanCAD, AC6k,AB10k, sinCDA 7(2019常州)已知平
13、面图形 S,点 P、Q 是 S 上任意两点,我们把线段 PQ 的长度的最大值称为 平面图形 S 的“宽距”例如,正方形的宽距等于它的对角线的长度 (1)写出下列图形的宽距: 半径为 1 的圆: 1 ; 如图 1,上方是半径为 1 的半圆,下方是正方形的三条边的“窗户形“: 1+ ; (2)如图 2,在平面直角坐标系中,已知点 A(1,0)、B(1,0),C 是坐标平面内的点,连 接 AB、BC、CA 所形成的图形为 S,记 S 的宽距为 d 若 d2,用直尺和圆规画出点 C 所在的区域并求它的面积(所在区域用阴影表示); 若点 C 在M 上运动,M 的半径为 1,圆心 M 在过点(0,2)且与
14、 y 轴垂直的直线上对于 M 上任意点 C,都有 5d8,直接写出圆心 M 的横坐标 x 的取值范围 解:(1)半径为 1 的圆的宽距离为 1, 故答案为 1 如图 1,正方形 ABCD 的边长为 2,设半圆的圆心为 O,点 P 是O 上一点,连接 OP,PC, OC 在 RtODC 中,OC OP+OCPC, PC1+, 这个“窗户形“的宽距为 1+ 故答案为 1+ (2)如图 21 中,点 C 所在的区域是图中O,面积为 如图 22 中,当点 M 在 y 轴的右侧时,连接 AM,作 MTx 轴于 T ACAM+CM,又5d8, 当 d5 时AM4, AT2,此时 M(21,2), 当 d8
15、 时AM7, AT3,此时 M(31,2), 满足条件的点 M 的横坐标的范围为 21x31 当点 M 在 y 轴的左侧时,满足条件的点 M 的横坐标的范围为3+1x2+1 8(2019连云港)如图,在ABC 中,ABAC将ABC 沿着 BC 方向平移得到DEF,其中点 E 在边 BC 上,DE 与 AC 相交于点 O (1)求证:OEC 为等腰三角形; (2)连接 AE、DC、AD,当点 E 在什么位置时,四边形 AECD 为矩形,并说明理由 (1)证明:ABAC, BACB, ABC 平移得到DEF, ABDE, BDEC, ACBDEC, OEOC, 即OEC 为等腰三角形; (2)解:
16、当 E 为 BC 的中点时,四边形 AECD 是矩形, 理由是:ABAC,E 为 BC 的中点, AEBC,BEEC, ABC 平移得到DEF, BEAD,BEAD, ADEC,ADEC, 四边形 AECD 是平行四边形, AEBC, 四边形 AECD 是矩形 9(2019苏州)已知矩形 ABCD 中,AB5cm,点 P 为对角线 AC 上的一点,且 AP2cm如 图,动点 M 从点 A 出发,在矩形边上沿着 ABC 的方向匀速运动(不包含点 C)设动点 M 的运动时间为 t(s),APM 的面积为 S(cm2),S 与 t 的函数关系如图所示 (1)直接写出动点 M 的运动速度为 2 cm/
17、s,BC 的长度为 10 cm; (2)如图,动点 M 重新从点 A 出发,在矩形边上按原来的速度和方向匀速运动,同时,另一 个动点 N 从点 D 出发,在矩形边上沿着 DCB 的方向匀速运动,设动点 N 的运动速度为 v (cm/s)已知两动点 M,N 经过时间 x(s)在线段 BC 上相遇(不包含点 C),动点 M,N 相遇 后立即同时停止运动,记此时APM 与DPN 的面积分别为 S1(cm2),S2(cm2) 求动点 N 运动速度 v(cm/s)的取值范围; 试探究 S1S2是否存在最大值, 若存在, 求出 S1S2的最大值并确定运动时间 x 的值; 若不存在, 请说明理由。 解:(1
18、)t2.5s 时,函数图象发生改变, t2.5s 时,M 运动到点 B 处, 动点 M 的运动速度为:2cm/s, t7.5s 时,S0, t7.5s 时,M 运动到点 C 处, BC(7.52.5)210(cm), 故答案为:2,10; (2)两动点 M,N 在线段 BC 上相遇(不包含点 C), 当在点 C 相遇时,v(cm/s), 当在点 B 相遇时,v6(cm/s), 动点 N 运动速度 v(cm/s)的取值范围为cm/sv6cm/s; 过 P 作 EFAB 于 F,交 CD 于 E,如图 3 所示: 则 EFBC,EFBC10, , AC5, , 解得:AF2, DEAF2,CEBF
19、3,PF4, EPEFPF6, S1SAPMSAPF+S梯形PFBMSABM42+(4+2x5)35(2x5) 2x+15, S2SDPMSDEP+S梯形EPMCSDCM26+(6+152x)35(152x)2x, S1S2(2x+15)2x4x2+30 x4(x)2+, 2.57.5,在 BC 边上可取, 当 x时,S1S2的最大值为 10(2019淮安)如图,AB 是O 的直径,AC 与O 交于点 F,弦 AD 平分BAC,DEAC,垂 足为 E (1)试判断直线 DE 与O 的位置关系,并说明理由; (2)若O 的半径为 2,BAC60,求线段 EF 的长 解:(1)直线 DE 与O 相
20、切, 连结 OD AD 平分BAC, OADCAD, OAOD, OADODA, ODACAD, ODAC, DEAC,即AED90, ODE90,即 DEOD, DE 是O 的切线; (2)过 O 作 OGAF 于 G, AF2AG, BAC60,OA2, AGOA1, AF2, AFOD, 四边形 AODF 是菱形, DFOA,DFOA2, EFDBAC60, EFDF1 11 (2019连云港)问题情境:如图 1,在正方形 ABCD 中,E 为边 BC 上一点(不与点 B、C 重合), 垂直于 AE 的一条直线 MN 分别交 AB、AE、CD 于点 M、P、N判断线段 DN、MB、EC
21、之间的 数量关系,并说明理由 问题探究:在“问题情境”的基础上 (1)如图 2,若垂足 P 恰好为 AE 的中点,连接 BD,交 MN 于点 Q,连接 EQ,并延长交边 AD 于点 F求AEF 的度数; (2)如图 3,当垂足 P 在正方形 ABCD 的对角线 BD 上时,连接 AN,将APN 沿着 AN 翻折,点 P 落在点 P处,若正方形 ABCD 的边长为 4,AD 的中点为 S,求 PS 的最小值 问题拓展:如图 4,在边长为 4 的正方形 ABCD 中,点 M、N 分别为边 AB、CD 上的点,将正方 形 ABCD 沿着 MN 翻折,使得 BC 的对应边 BC恰好经过点 A,CN 交
22、 AD 于点 F分别过点 A、F 作 AGMN,FHMN,垂足分别为 G、H若 AG,请直接写出 FH 的长 问题情境: 解:线段 DN、MB、EC 之间的数量关系为:DN+MBEC;理由如下: 四边形 ABCD 是正方形, ABEBCD90,ABBCCD,ABCD, 过点 B 作 BFMN 分别交 AE、CD 于点 G、F,如图 1 所示: 四边形 MBFN 为平行四边形, NFMB, BFAE, BGE90, CBF+AEB90, BAE+AEB90, CBFBAE, 在ABE 和BCF 中, ABEBCF(ASA), BECF, DN+NF+CFBE+EC, DN+MBEC; 问题探究:
23、 解:(1)连接 AQ,过点 Q 作 HIAB,分别交 AD、BC 于点 H、I,如图 2 所示: 四边形 ABCD 是正方形, 四边形 ABIH 为矩形, HIAD,HIBC,HIABAD, BD 是正方形 ABCD 的对角线, BDA45, DHQ 是等腰直角三角形,HDHQ,AHQI, MN 是 AE 的垂直平分线, AQQE, 在 RtAHQ 和 RtQIE 中, RtAHQRtQIE(HL), AQHQEI, AQH+EQI90, AQE90, AQE 是等腰直角三角形, EAQAEQ45,即AEF45; (2)连接 AC 交 BD 于点 O,如图 3 所示: 则APN 的直角顶点
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