专题05 二次函数与相似三角形问题-2020中考数学二次函数压轴试题分类精析.doc

1、 一、解决此类题目的基本步骤与思路 1.抓住相似的两个目标三角形，找出已知条件（例如已知边、已知角度、已知点坐标等） 2.找现成的等量关系，例如相等的角度从而确定下来对应关系 3. 运用分类讨论思想，几种不同相似的可能性逐一讨论 4. 充分运用相似的性质，相似比或者面积比等进行列式计算 5.大胆设点坐标去做，充分利用点在函数图像上从而代入函数表达式. 注意事项注意事项：1.相似三角形的字母对应要注意相似三角形的字母对应要注意 2.分类讨论思想不要多讨论也不要漏掉，充分分类讨论思想不要多讨论也不要漏掉，充分 抓住已知条件分析抓住已知条件分析 3.运用相似比进行计算时，边之比千万不能比错了。运用相

2、似比进行计算时，边之比千万不能比错了。4.求求出有多个解时一定出有多个解时一定 要去检验是否符合要求要去检验是否符合要求 二、二次函数中相似三角形问题 （一）例题演示 如图，在平面直角坐标系 xOy 中，直线 y= x+2 与 x 轴交于点 A，与 y 轴交于点 C抛物线 y=ax2+bx+c 的对称轴是 x= 且经过 A、C 两点，与 x 轴的另一交点为点 B。 （1）求抛物线解析式。 （2） 抛物线上是否存在点 M， 过点 M 作 MN 垂直 x 轴于点 N， 使得以点 A、 M、 N 为顶点的三角形与ABC 相似？若存在，求出点 M 的坐标；若不存在，请说明理由。 【解析】 ：（1）先求

3、的直线 y=x+2 与 x 轴交点的坐标，然后利用抛物线的对称性可求得点 B 的坐标，设抛 物线的解析式为 y=a（x+4）（x-1），然后将点 C 的坐标代入即可求得 a 的值； （2）首先可证明ABCACOCBO，然后分以下几种情况分类讨论即可：当 M 点与 C 点重合， 即 M（0，2）时，MANBAC；根据抛物线的对称性，当 M（3，2）时，MANABC；当 由抛物线的对称性可知：点 A 与点 B 关于 x= 对称， 点 B 的坐标为（1，0） 抛物线 y=ax2+bx+c 过 A（4，0） ，B（1，0） 可设抛物线解析式为 y=a（x+4） （x1） 又抛物线过点 C（0，2） 2

4、=4a a= y=x2x+2 （2）在 RtAOC 中，tanCAO= 在 RtBOC 中，tanBCO= CAO=BCO， BCO+OBC=90 CAO+OBC=90 ACB=90 ABCACOCBO 如下图： 当 M 点与 C 点重合，即 M（0，2）时 MANBAC 根据抛物线的对称性，当 M（3，2）时 MANABC； 当点 M 在第四象限时 设 M（n，n2 n+2） 则 N（n，0） MN= n2+ n2 AN=n+4 当 时 MN= AN 即 n2+ n2= （n+4） 整理得：n2+2n8=0 解得：n1=4（舍） n2=2 M（2，3） 当 时 MN=2AN 即 n2+ n2

5、=2（n+4） 整理得：n2n20=0 解得：n1=4（舍） n2=5 M（5，18）来源:163文库 综上所述：存在 M1（0，2） ，M2（3，2） ，M3（2，3） ，M4（5，18） ， 使得以点 A、M、N 为顶点 的三角形与ABC 相似 【试题精炼】【试题精炼】已知抛物线 (3)(1)ya xx （a0） ，与 x 轴从左至右依次相交于 A、B 两点，与 y 轴相 交于点 C，经过点 A 的直线 3yxb 与抛物线的另一个交点为 D （1）若点 D 的横坐标为 2，求抛物线的函数解析式； （2）若在第三象限内的抛物线上有点 P，使得以 A、B、P 为顶点的三角形与ABC 相似，求点

6、 P 的坐标； 【解析】 （1）根据二次函数的交点式确定点 A、B 的坐标，求出直线的解析式，求出点 D 的坐标，求出抛 物线的解析式； 来源:163文库 当 x=2 时，y=5，则点 D 的坐标为（2，5 ） ， 点 D 在抛物线上，a（2+3） （21）=5， 解得，a=， 则抛物线的解析式为 y=（x+3） （x1）=x22x+3； （2）作 PHx 轴于 H，设点 P 的坐标为（m，n） ， 当BPAABC 时，BAC=PBA， tanBAC=tanPBA，即=， =，即 n=a（m1） ， ， 解得，m1=4，m2=1（不合题意，舍去） ， 当 m=4 时，n=5a， BPAABC，

7、=，即 AB2=ACPB， 42= ， 解得，a1=（不合题意，舍去） ，a2= ， 则 n=5a=， 点 P 的坐标为（4，） ； 当PBAABC 时，CBA=PBA， tanCBA=tanPBA，即=， =，即 n=3a（m1） ， ， 解得，m1=6，m2=1（不合题意，舍去） ， 当 m=6 时，n=21a， PBAABC，=，即 AB2=BCPB， 42= ， 解得，a1=（不合题意，舍去） ，a2 = ， 则点 P 的坐标为（6，） ， 综上所述，符合条件的点 P 的坐标为（4，）和（6，） ；学科网 . 【中考链接】【中考链接】如图，已知二次函数 2 1yxm xm（其中 0m1

8、）的图像与 x 轴交于 A、B 两点 （点 A 在点 B 的左侧） ，与 y 轴交于点 C，对称轴为直线 l设 P 为对称轴 l 上的点，连接 PA、PC，PA=PC （1）ABC 的度数为 ；来源:163文库 （2）求 P 点坐标（用含 m 的代数式表示） ； （3）在坐标轴上是否存在点 Q（与原点 O 不重合） ，使得以 Q、B、C 为顶点的三角形与PAC 相似， 且线段 PQ 的长度最小？如果存在，求出所有满足条件的点 Q 的坐标；如果不存在，请说明理由 来源:Z+xx+k.Com 解析（1）首先求出 B 点坐标，进而得出 OB=OC=m，再利用等腰直角三角形的性质求出即可；来源:163

9、文库 （2）作 PDy 轴，垂足为 D，设 l 与 x 轴交于点 E，利用勾股定理 AE2+PE2=CD2+PD2，得出 P 点坐标； （3）根据题意得出QBC 是等腰直角三角形，可得满足条件的点 Q 的坐标为： （m，0）或（0，m） ，进 而分别分析求出符合题意的答案 （2）如图 1，作 PDy 轴，垂足为 D，设 l 与 x 轴交于点 E， 由题意得，抛物线的对称轴为：x=， 设点 P 坐标为： （，n） ， PA=PC，PA2=PC2，即 AE2+PE2=CD2+PD2， y x O P C BA l （+1）2+n2=（n+m）2+（）2，解得：n=， P 点的坐标为： （，） ；

10、（3）存在点 Q 满足题意， P 点的坐标为： （，） ， PA2+PC2=AE2+PE2+CD2+PD2， =（+1）2+（）2+（+m）2+（）2=1+m2， AC2=1+m2，PA2+PC2=AC2，APC=90 ， PAC 是等腰直角三角形， 以 Q、B、C 为顶点的三角形与PAC 相似， QBC 是等腰直角三角形， 由题意可得满足条件的点 Q 的坐标为： （m，0）或（0，m） ， 如图 1，当 Q 点坐标为： （m，0）时， 若 PQ 与 x 轴垂直，则=m，解得：m= ，PQ= ， 若 PQ 与 x 轴不垂直， 则 PQ2=PE2+EQ2 =（）2+（+m）2= m22m+ =

11、（m ）2+ 0m1，当 m= 时，PQ2取得最小值，PQ 取得最小值， ，当 m= ，即 Q 点的坐标为： （ ，0）时，PQ 的长度最小， 如图 2，当 Q 点的坐标为： （0，m）时， 若 PQ 与 y 轴垂直，则=m，解得：m= ，PQ= ， 若 PQ 与 y 轴不垂直， 则 PQ2=PD2+DQ2=（）2+（m）2= m22m+ = （m ）2+， 0m1，当 m= 时，PQ2取得最小值，PQ 取得最小值， ，当 m= ，即 Q 点的坐标为： （0， ）时，PQ 的长度最小， 综上所述：当 Q 点坐标为： （ ，0）或（0， ）时，PQ 的长度最小 【巩固练习】【巩固练习】 如图，在

12、直角坐标系中有一直角三角形 AOB，O 为坐标原点，OA=1，tanBAO=3，将此三角形绕原点 O 逆时针旋转 90 ，得到DOC，抛物线 y=ax2+bx+c 经过点 A、B、C （1）求抛物线的解析式； （2）若点 P 是第二象限内抛物线上的动点，其坐标为 t， 设抛物线对称轴 l 与 x 轴交于一点 E，连接 PE，交 CD 于 F，求出当CEF 与COD 相似点 P 的坐标； 【解析】本题主要考查图形运动。 （1）先求出 A、B、C 三点的坐标，再用待定系数法求出二次函数的解析式。 （2）由抛物线的解析式可得对称轴，分类讨论CEF=90 、CFE=90 两种情况，根据相似三 角形可计

13、算出点 P 的坐标。 解答： （1）在 RtAOB 中，OA=1，tanBAO=3， OB=3OA=3 DOC 是由AOB 绕点 O 逆时针旋转 90 而得到的 DOCAOB，OC=OB=3，OD=OA=1， A、B、C 的坐标分别为（1，0） ， （0，3） （3，0） 代入解析式为：，解得： 抛物线的解析式为 y=x22x+3； （2）抛物线的解析式为 y=x22x+3， 对称轴 l=1，E 点的坐标为（1，0） 如图，当CEF=90 时，CEFCOD 此时点 P 在对称轴上，为抛物线的顶点，P（1，4） ； 当CFE=90 时，CFECOD 过点 P 作 PMx 轴于点 M，则EFCEMP ，MP=3EM P 的横坐标为 t，P（t，t22t+3） P 在二象限，PM=t22t+3，EM=1t，t22t+3=3（1t） ， 解得：t1=2，t2=3（与 C 重合，舍去） t=2 时，y=（2）22 （2）+3=3 P（2，3） 当CEF 与COD 相似时，P 点的坐标为： （1，4）或（2，3） ；