精品解析:2020年山东省高考数学试卷(新高考全国Ⅰ卷)(解析版).doc
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1、 2020 年普通高等学校招生全国统一考试年普通高等学校招生全国统一考试 数学数学 注意事项:注意事项: 1答卷前,考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上答卷前,考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上. 2 回答选择题时, 选出每小题答案后, 用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑 回答选择题时, 选出每小题答案后, 用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动,如需改动, 用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号.回答非选择题时,将答案写在答题卡上回答非选择题时,将答案写在答题卡上.写在本试卷上写在本试卷上 无效无效.
2、3考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题:本题共一、选择题:本题共 8小题,每小题小题,每小题 5 分,共分,共 40 分分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是在每小题给出的四个选项中,只有一项是 符合题目要求的符合题目要求的. 1.设集合 A=x|1x3,B=x|20,则 C是椭圆,其焦点在 y轴上 B. 若 m=n0,则 C是圆,其半径为n C. 若 mn0,则 C是两条直线 【答案】ACD 【解析】 【分析】 结合选项进行逐项分析求解,0mn时表示椭圆,0mn时表示圆,0mn时表示双曲线, 0,0mn时表示两条直线. 【详解】对于 A,若
3、0mn,则 22 1mxny可化为 22 1 11 xy mn , 因为0mn,所以 11 mn , 即曲线C表示焦点在y轴上的椭圆,故 A 正确; 对于 B,若0mn,则 22 1mxny可化为 22 1 xy n , 此时曲线C表示圆心在原点,半径为 n n 的圆,故 B 不正确; 对于 C,若0mn,则 22 1mxny可化为 22 1 11 xy mn , 此时曲线C表示双曲线, 由 22 0mxny可得 m yx n ,故 C 正确; 对于 D,若0,0mn,则 22 1mxny可化为 2 1 y n , n y n ,此时曲线C表示平行于x轴的两条直线,故 D 正确; 故选:ACD
4、. 【点睛】本题主要考查曲线方程的特征,熟知常见曲线方程之间的区别是求解的关键,侧重考查数学运算 的核心素养. 10.下图是函数 y= sin(x+)的部分图像,则 sin(x+)= ( ) A. sin( 3 x) B. sin(2 ) 3 x C. cos(2 6 x) D. 5 cos(2 ) 6 x 【答案】BC 【解析】 【分析】 首先利用周期确定的值,然后确定的值即可确定函数的解析式,最后利用诱导公式可得正确结果. 【详解】由函数图像可知: 2 2362 T ,则 22 2 T ,所以不选 A, 当 2 5 36 212 x 时,1y 53 22 122 kkZ , 解得: 2 2
5、 3 kkZ, 即函数的解析式为: 2 sin 22sin 2cos 2sin2 36263 yxkxxx . 而 5 cos 2cos(2 ) 66 xx 故选:BC. 【点睛】已知 f(x)Asin(x)(A0,0)的部分图象求其解析式时,A比较容易看图得出,困难的是求 待定系数 和 ,常用如下两种方法: (1)由 2 T 即可求出 ;确定 时,若能求出离原点最近的右侧图象上升(或下降)的“零点”横坐标 x0,则 令 x00(或 x0),即可求出 . (2)代入点的坐标,利用一些已知点(最高点、最低点或“零点”)坐标代入解析式,再结合图形解出 和 ,若 对 A,的符号或对 的范围有要求,则
6、可用诱导公式变换使其符合要求. 11.已知 a0,b0,且 a+b=1,则( ) A. 22 1 2 ab B. 1 2 2 a b C. 22 loglog2ab D. 2ab 【答案】ABD 【解析】 【分析】 根据1ab,结合基本不等式及二次函数知识进行求解. 【详解】对于 A, 2 2222 1221abaaaa 2 1 2 11 2 22 a , 当且仅当 1 2 ab时,等号成立,故 A 正确; 对于 B,211aba ,所以 1 1 22 2 a b ,故 B 正确; 对于 C, 2 22222 1 logloglogloglog2 24 ab abab , 当且仅当 1 2 a
7、b时,等号成立,故 C 不正确; 对于 D,因为 2 1 212ababab , 所以2ab,当且仅当 1 2 ab时,等号成立,故 D正确; 故选:ABD 【点睛】本题主要考查不等式的性质,综合了基本不等式,指数函数及对数函数的单调性,侧重考查数学 运算的核心素养. 12.信息熵是信息论中的一个重要概念.设随机变量 X所有可能的取值为1,2,n,且 1 ()0(1,2, ),1 n ii i P Xipinp ,定义 X 的信息熵2 1 ()log n ii i H Xpp .( ) A. 若 n=1,则 H(X)=0 B. 若 n=2,则 H(X)随着 1 p的增大而增大 C. 若 1 (
8、1,2, ) i pin n ,则 H(X)随着 n的增大而增大 D. 若 n=2m, 随机变量 Y 所有可能的取值为1,2,m, 且 21 ()(1,2,) jmj P Yjppjm , 则 H(X)H(Y) 【答案】AC 【解析】 【分析】 对于 A 选项,求得H X,由此判断出 A 选项的正确性;对于 B 选项,利用特殊值法进行排除;对于 C 选项, 计算出H X, 利用对数函数的性质可判断出 C选项的正确性; 对于 D选项, 计算出 ,H XH Y, 利用基本不等式和对数函数的性质判断出 D 选项的正确性. 【详解】对于 A选项,若1n ,则 1 1,1ip,所以 2 1 log 10
9、H X ,所以 A选项正确. 对于 B选项,若2n,则1,2i , 21 1pp , 所以 121121 Xlog1log1Hpppp , 当 1 1 4 p 时, 22 1133 loglog 4444 H X , 当 1 3 p 4 时, 22 3311 loglog 4444 H X , 两者相等,所以 B 选项错误. 对于 C选项,若 1 1,2, i pin n ,则 222 111 logloglogH Xnn nnn , 则H X随着n增大而增大,所以 C选项正确. 对于 D选项,若2nm,随机变量Y的所有可能的取值为1,2,m,且 21jmj P Yjpp (1,2,jm).
10、22 22 11 1 loglog mm iii ii i H Xppp p 122221222 12212 1111 loglogloglog mm mm pppp pppp . H Y 122221212 122211 111 logloglog mmmm mmmm pppppp pppppp 122221222 1222122112 1111 loglogloglog mm mmmm pppp pppppppp 由于 01,2,2 i pim,所以 21 11 iimi ppp ,所以 22 21 11 loglog iimi ppp , 所以 22 21 11 loglog ii ii
11、mi pp ppp , 所以 H XH Y,所以 D 选项错误. 故选:AC 【点睛】本小题主要考查对新定义“信息熵”的理解和运用,考查分析、思考和解决问题的能力,涉及对数运 算和对数函数及不等式的基本性质的运用,属于难题. 三、填空题:本题共三、填空题:本题共 4 小题,每小题小题,每小题 5 分,共分,共 20 分分. 13.斜率为3的直线过抛物线 C:y 2=4x 的焦点,且与 C交于 A,B两点,则 AB=_ 【答案】 16 3 【解析】 【分析】 先根据抛物线的方程求得抛物线焦点坐标, 利用点斜式得直线方程, 与抛物线方程联立消去 y并整理得到关 于 x的二次方程,接下来可以利用弦长
12、公式或者利用抛物线定义将焦点弦长转化求得结果. 【详解】抛物线的方程为 2 4yx,抛物线焦点 F坐标为 (1,0)F , 又直线 AB 过焦点 F且斜率为3,直线 AB的方程为:3(1)yx 代入抛物线方程消去 y并化简得 2 31030xx, 解法一:解得 12 1 ,3 3 xx 所以 2 12 116 |1|1 3 |3| 33 ABkxx 解法二:100 36640 设 1122 ( ,), (,)A x yB xy,则 12 10 3 xx, 过,A B分别作准线1x的垂线,设垂足分别为,C D如图所示. 12 | | |11ABAFBFACBDxx 12 16 +2= 3 xx
13、故答案为:16 3 【点睛】本题考查抛物线焦点弦长,涉及利用抛物线的定义进行转化,弦长公式,属基础题. 14.将数列2n1与3n2的公共项从小到大排列得到数列an,则an的前 n项和为_ 【答案】 2 32nn 【解析】 【分析】 首先判断出数列21n与32n项的特征,从而判断出两个数列公共项所构成新数列的首项以及公差, 利用等差数列的求和公式求得结果. 【详解】因为数列21n是以 1 为首项,以 2 为公差的等差数列, 数列32n是以 1 首项,以 3 为公差的等差数列, 所以这两个数列的公共项所构成的新数列 n a是以 1 为首项,以 6 为公差的等差数列, 所以 n a的前n项和为 2
14、(1) 1632 2 n n nnn , 故答案为: 2 32nn. 【点睛】该题考查的是有关数列的问题,涉及到的知识点有两个等差数列的公共项构成新数列的特征,等 差数列求和公式,属于简单题目. 15.某中学开展劳动实习, 学生加工制作零件, 零件的截面如图所示 O 为圆孔及轮廓圆弧 AB 所在圆的圆心, A 是圆弧 AB与直线 AG的切点,B是圆弧 AB 与直线 BC的切点,四边形 DEFG 为矩形,BCDG,垂足为 C,tanODC= 3 5 ,BHDG,EF=12 cm,DE=2 cm,A到直线 DE 和 EF 的距离均为 7 cm,圆孔半径为 1 cm,则图中阴影部分的面积为_cm2
15、【答案】 5 4 2 【解析】 【分析】 利用 3 tan 5 ODC求出圆弧AB所在圆的半径,结合扇形的面积公式求出扇形AOB的面积,求出直角 OAH的面积,阴影部分的面积可通过两者的面积之和减去半个单位圆的面积求得. 【详解】设OBOAr,由题意7AMAN,12EF ,所以5NF , 因为5AP,所以45AGP , 因为/BHDG,所以45AHO , 因为AG与圆弧AB相切于A点,所以OAAG, 即OAH为等腰直角三角形; 在直角OQD中, 2 5 2 OQr , 2 7 2 DQr , 因为 3 tan 5 OQ ODC DQ ,所以 3 25 2 2125 22 rr , 解得 2 2
16、r ; 等腰直角OAH的面积为 1 1 2 22 24 2 S ; 扇形AOB的面积 2 2 13 2 23 24 S , 所以阴影部分的面积为 12 15 4 22 SS . 故答案为: 5 4 2 . 【点睛】本题主要考查三角函数在实际中应用,把阴影部分合理分割是求解的关键,以劳动实习为背景, 体现了五育并举的育人方针. 16.已知直四棱柱 ABCDA1B1C1D1的棱长均为 2, BAD=60 以 1 D为球心,5为半径的球面与侧面 BCC1B1 的交线长为_ 【答案】 2 2 . 【解析】 【分析】 根据已知条件易得 1 D E 3 , 1 DE 侧面 11 BCCB,可得侧面 11
17、BCCB与球面的交线上的点到E的距离为 2,可得侧面11 BCCB与球面的交线是扇形EFG的弧FG,再根据弧长公式可求得结果. 【详解】如图: 取 11 BC的中点为E, 1 BB的中点为F, 1 CC的中点为G, 因为BAD60 ,直四棱柱 1111 ABCDABC D的棱长均为 2,所以 111 D BC为等边三角形,所以 1 D E 3 , 111 D EBC, 又四棱柱 1111 ABCDABC D为直四棱柱,所以 1 BB 平面 1111 DCBA,所以 111 BBBC, 因为 1111 BBBCB,所以 1 DE 侧面 11 BCCB, 设P为侧面 11 BCCB与球面的交线上的
18、点,则 1 DEEP, 因为球的半径为5, 1 3DE ,所以 22 11 |5 32EPDPDE, 所以侧面 11 BCCB与球面的交线上的点到E的距离为 2, 因为| |2EFEG,所以侧面 11 BCCB与球面的交线是扇形EFG的弧FG, 因为 11 4 B EFC EG ,所以 2 FEG , 所以根据弧长公式可得 2 2 22 FG . 故答案为: 2 2 . 【点睛】本题考查了直棱柱的结构特征,考查了直线与平面垂直的判定,考查了立体几何中的轨迹问题, 考查了扇形中的弧长公式,属于中档题. 四、解答题:本题共四、解答题:本题共 6 小题,共小题,共 70分。解答应写出文字说明、证明过
19、程或演算步骤。分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17.在3ac ,sin 3cA, 3cb这三个条件中任选一个,补充在下面问题中,若问题中的三角 形存在,求c的值;若问题中的三角形不存在,说明理由 问题:是否存在ABC,它的内角, ,A B C的对边分别为, ,a b c,且sin3sinAB=, 6 C ,_? 注:如果选择多个条件分别解答,按第一个解答计分 【答案】详见解析 【解析】 【分析】 解法一:由题意结合所给的条件,利用正弦定理角化边,得到 a,b 的比例关系,根据比例关系,设出长度长 度,由余弦定理得到c的长度,根据选择的条件进行分析判断和求解. 解法二:利用诱导公式
20、和两角和的三角函数公式求得tanA的值,得到角, ,A B C的值,然后根据选择的条 件进行分析判断和求解. 【详解】解法一:解法一: 由sin3sinAB=可得:3 a b , 不妨设3 ,0am bm m, 则: 222222 3 2cos323 2 cababCmmm mm ,即c m. 选择条件选择条件的解析:的解析: 据此可得: 2 333acm mm ,1m,此时1cm. 选择条件选择条件的解析:的解析: 据此可得: 222222 2 31 cos 222 bcammm A bcm , 则: 2 13 sin1 22 A ,此时: 3 sin3 2 cAm,则:2 3cm . 选择
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