第四讲 二次函数.ppt （初升高衔接教材•高一预科班数学精品课程）.ppt

1、20202020年年7 7月月1010日星期五日星期五 20202020年年7 7月月1010日星期五日星期五 一般地，如果ykxb(k，b是_， k0)，那么，y叫做x的一次函数，特别地， 当_时，一次函数ykxb就变为y kx(k为常数，k0)，这时，y叫做x的正比 例函数 知识点一 一次函数及正比例函数的概 念 常数常数 b0 20202020年年7 7月月1010日星期五日星期五 1图象图象 (1) 一次函数一次函数 ykxb 的图象是经过的图象是经过_、 _两点的一条直线两点的一条直线 (2)正比例函数正比例函数 ykx 的图象是经过的图象是经过_、_ 两点的一条直线两点的一条直线

2、(3)一次函数图象一次函数图象 ykxb 与与 x 轴的交点是轴的交点是_， 与与 y 轴的交点是轴的交点是_ 知识点二 一次函数及正比例函数的图 象和性质 (0，b) (b k， ，0) (0,0) (1，k) (b k， ，0) (0，b) 20202020年年7 7月月1010日星期五日星期五 2性质 口诀：k，b同负不过一，k正b负不过二，k 负b正不过三，k，b同正不过四 一次一次 函数函数 ykxb(k0) k0 k0 k、b 符号符号 b0 b0 b0 b0 b0 b0 图象图象 经过经过 象限象限 一、 二、一、 二、 三三 一、 三、一、 三、 四四 一、三一、三 一、 二、

3、一、 二、 四四 二、 三、二、 三、 四四 二、四二、四 性质性质 y 随随 x 的增大而增大的增大而增大 y 随随 x 的增大而减小的增大而减小 20202020年年7 7月月1010日星期五日星期五 3正比例函数图象上的点坐标符合以下几点特征正比例函数图象上的点坐标符合以下几点特征 (1)若正比例函数图象上除原点外的点为若正比例函数图象上除原点外的点为(a，b)，则，则k b a； ； (2)若正比例函数图象上的点若正比例函数图象上的点A(x1，y1)，B(x2，y2)关于原关于原 点对称，则点对称，则x1x2，y1y2； (3)若正比例函数图象上有两点若正比例函数图象上有两点M、N，则

4、有，则有k yNyM xNxM ， 其中其中M、N的坐标分别为的坐标分别为(xM，yM)、(xN，yN) 20202020年年7 7月月1010日星期五日星期五 知识点三 一次函数关系式的确定方法 因为在一次函数因为在一次函数 ykxb(k0)中有两个未知数中有两个未知数 k 和和 b， 所以，要确定其关系式，一般需要两个条件，常见的是已知所以，要确定其关系式，一般需要两个条件，常见的是已知 两点坐标两点坐标 P1(a1，b1)，P2(a2，b2)代入得代入得 b1a1kb， b2a2kb. 求出求出 k， b 的值即可，这种方法叫做待定系数法的值即可，这种方法叫做待定系数法 20202020

5、年年7 7月月1010日星期五日星期五 一般地，一个二元一次方程组都对应两个一 次函数，二元一次方程组的解就是对应一次 函数所表示直线的交点坐标；反之，两条直 线的交点坐标就是它们所对应二元一次方程 组的解 知识点四 一次函数与二元一次方程组 的关系 20202020年年7 7月月1010日星期五日星期五 1一次函数的应用常涉及的问题 (1)方案设计问题 (2)分段函数问题 (3)多种变量及其最值问题 (4)求函数解析式 知识点五 一次函数的应用 20202020年年7 7月月1010日星期五日星期五 二次函数二次函数 是初中函数的主要内是初中函数的主要内 容容.也是高中学习的重要基础也是高中

6、学习的重要基础.在初中在初中，大家已经知道大家已经知道 二次函数在自变量取任意实数时的最值情况二次函数在自变量取任意实数时的最值情况. 本讲我们将在这个基础上继续学习本讲我们将在这个基础上继续学习当自变量当自变量 在某在某 个范围内取值时个范围内取值时，函数的最值问题函数的最值问题. 2 (0)yaxbxc a x 20202020年年7 7月月1010日星期五日星期五 1反比例函数的概念 一般地，形如_的函数叫反比例函 数，其中k0，且k为_数，自变量x 的取值范围是_. 知识点六 反比例函数的概念及解析式 yk x 常常 x0 【注意】【注意】反比例函数的表达式除反比例函数的表达式除 yk

7、 x外，还可以写成 外，还可以写成 y kx 1 或或 xyk(k0，x0) 20202020年年7 7月月1010日星期五日星期五 2反比例函数解析式的确定反比例函数解析式的确定 (1)方法：反比例函数解析式的确定用方法：反比例函数解析式的确定用_法，可法，可 设其解析式为设其解析式为 yk x，则可知 ，则可知 k 是唯一是唯一_，所以只要，所以只要 知道变量中的任意一对对应值便可确定知道变量中的任意一对对应值便可确定 k 的值的值 (2)步骤：步骤：设所求反比例函数的解析式为设所求反比例函数的解析式为 yk x(x 0)； 根据已知条件列出含根据已知条件列出含 k 的方程；的方程；由待入

8、法解待定系数由待入法解待定系数 k 的值；的值；把把 k 代入解析式代入解析式 yk x中 中 待定系数待定系数 待定系数待定系数 20202020年年7 7月月1010日星期五日星期五 知识点七 反比例函数的图象及性质 表达式表达式 yk x(k 0，k 为常数为常数) k k0 k0 图象图象 所在象限所在象限 第一、三象限第一、三象限 第二、四象限第二、四象限 增减性增减性 在每个象限内，在每个象限内，y 随随 x 的增大而的增大而_ 在每个象限内，在每个象限内，y 随随 x 的增大而的增大而_ 对称性对称性 关于直线关于直线 yx，yx 对称对称 减小减小 增大增大 20202020年

9、年7 7月月1010日星期五日星期五 【注意】(1)反比例函数的图象是两支双曲 线，而且双曲线无限接近于坐标轴，但永不 与坐标轴相交；(2)反比例函数的图象位置 及图象的弯曲程度都与k有关；(3)反比例函 数图象的增减性必须强调在每一个分支上比 较，不能认为在整个自变量取值范围内增大 (或减小) 20202020年年7 7月月1010日星期五日星期五 1反比例函数反比例函数yk x(k 0)中中k的几何意义的几何意义 如图，若点如图，若点P(x，y)是双曲线上任意一点，过是双曲线上任意一点，过P作作PBy 轴，作轴，作PAx轴则轴则S AOPSBOP_，S矩形矩形AOBP_. 知识点八 反比例

10、函数中k的几何意义 |k| 2 |k| 20202020年年7 7月月1010日星期五日星期五 2反比例函数图象中相关图形的面积 S AOP|k| 2 S 矩形矩形OAPB|k| SAPP1 2|k|(P、P1关于关于 原点对称原点对称) S AOBSAOE S OEFSBOF 20202020年年7 7月月1010日星期五日星期五 解一次函数与反比例函数相结合的题目时， 要注意运用把“问题的数量关系转化为图形 的性质或者把图形的性质转化为数量关 系” 在解题时要充分利用“交点在两个函数的图 象上”这个有利的条件确定函数关系式及结 合图象根据函数值确定自变量的取值范围 知识点九 反比例函数与一

11、次函数 20202020年年7 7月月1010日星期五日星期五 解反比例函数应用题的一般步骤： 1设出实际问题中的变量x. 2建立含变量x的反比例函数关系式 3确定自变量x的取值范围 4利用函数性质解决问题 5检验x是否使解析式有意义 6作答 知识点十 反比例函数的应用 20202020年年7 7月月1010日星期五日星期五 1二次函数的概念 一般地，如果yax2bxc(a 0，a、b、 c为_数)，那么y叫做x的二次函数 【注意】(1)二次函数的表达式为整式，且 二次项系数_；(2)b，c可分别为0， 也可同时为0；(3)自变量的取值范围是 _ 知识点十一 二次函数 常常 不为不为0 全体实

12、数全体实数 20202020年年7 7月月1010日星期五日星期五 2二次函数的三种表达式 (1)一般式：y_，这 种形式只能看出二次函数图象的开口方 向当知道三点坐标求解析式时，设出一般 式 (2)顶点式：y_，这种 形式不但能看出二次函数图象的开口方向， 还能看出它的对称轴xh，顶点坐标(h，k)， 最值k.当知道顶点坐标和另一点坐标求解析 式时，设出顶点式 ax2bxc(a0) a(xh)2k(a0) 20202020年年7 7月月1010日星期五日星期五 (3)交点式：交点式：y_(a0，x1，x2为抛物线为抛物线 与与 x 轴两个交点的横坐标轴两个交点的横坐标)，这种形式可以看出抛物

13、线的开口，这种形式可以看出抛物线的开口 方向，还可以看出它与方向，还可以看出它与 x 轴的交点坐标，从而得出二次方程轴的交点坐标，从而得出二次方程 a(xx1)(xx2)0 的两个解，还可以直接求出抛物线的对称的两个解，还可以直接求出抛物线的对称 轴轴 x_.当知道图象与当知道图象与 x 轴两交点坐标及另一点求解轴两交点坐标及另一点求解 析式时，设出交点式析式时，设出交点式 a(xx1)(xx2) x1x2 2 20202020年年7 7月月1010日星期五日星期五 3确定二次函数解析式方法 (1)若已知抛物线上三点的坐标，则可采用 一般式yax2bxc(a0)，利用待定系数 法求得a，b，c

14、的值 (2)若已知抛物线的顶点坐标或对称轴方程， 则可采用顶点式：ya(xh)2k(a0)，其 中顶点坐标为(h，k)，对称轴为直线xh. (3)若已知抛物线与x轴交点的横坐标，则可 采用交点式：ya(xx1)(xx2)(a0)，其中 与x轴的交点坐标为(x1,0)，(x2,0) 20202020年年7 7月月1010日星期五日星期五 二次函数的图象是一条_，它与x轴 有三种位置关系，分别是 _ 知识点十二 二次函数的图象与性质 抛物线抛物线 有两个交点，有一个交点，无交点有两个交点，有一个交点，无交点 20202020年年7 7月月1010日星期五日星期五 1二次函数yax2(a0)的图象

15、二次函数yax2(a0)的图象是一条关于y轴 对称的抛物线，顶点坐标为_当a 0时，开口向_(如图1)；当a0时， 开口向_(如图2) (0,0) 上上 下下 20202020年年7 7月月1010日星期五日星期五 2二次函数yax2bxc(a0)的图象与性 质 a0 a0 大致大致 图象图象 开口方向开口方向 向上向上 向下向下 顶点坐标顶点坐标 ( b 2a， ，4ac b2 4a ) 对称轴对称轴 直线直线 x b 2a 20202020年年7 7月月1010日星期五日星期五 增减性增减性 当当 x b 2a时， 时， y 随随 x 的的 增大而减小；增大而减小； 当当 x b 2a时，

16、 时， y 随随 x 的的 增大而增大增大而增大 当当 x b 2a时， 时，y 随随 x 的的 增大而增大；增大而增大； 当当 x b 2a时， 时，y 随随 x 的的 增大而减小增大而减小 最值最值 当当 x b 2a时， 时， y 的最小的最小 值为值为4ac b2 4a 当当 x b 2a时， 时， y 的最大的最大 值为值为4ac b2 4a 20202020年年7 7月月1010日星期五日星期五 二次函数二次函数 的图像和性质的图像和性质 2 (0)yaxbxc a 【例【例 1 1】 请您请您求求出出二次函数二次函数 2 361yxx 的的图象的开口方向图象的开口方向、对称轴、对

17、称轴方程方程、顶点坐标、最大值、顶点坐标、最大值 （或最小值） ，并指出当（或最小值） ，并指出当x取何值时，取何值时，y随随x的增大而增大（或减小）的增大而增大（或减小） ，并画出该函数的图象并画出该函数的图象 解：解： 22 361314 ()yxxx. . 函数图象的开口向下，函数图象的开口向下， 对称轴对称轴方程方程1x，顶点坐标为，顶点坐标为( (1 1，4)4)， 当当1x时，时，4 max y. . 在对称轴的左侧在对称轴的左侧，y随着随着x的增大而增大；的增大而增大； 在对称轴的右侧在对称轴的右侧，y随着随着x的增大而减小的增大而减小 ( (如图如图) ) . . 202020

18、20年年7 7月月1010日星期五日星期五 1 1一般式：一般式： 2 (0)yaxbxc a. . 2 2顶点式：顶点式：)0()( 2 akhxay，顶点坐标是，顶点坐标是),(kh 3 3交点式：交点式： 12 ()() (0)ya xxxxa，其中，其中 1 x， 2 x是二次函数图象与是二次函数图象与x轴交点的横坐标轴交点的横坐标 【例【例2 2】已知二次函数的图象过点已知二次函数的图象过点( (1 1，22)22)，(0(0，8)8)，(2(2，8)8)，求此二次函数的表达式，求此二次函数的表达式 【例【例 3 3】 已知二次函数的最大值为已知二次函数的最大值为 2 2，图像的顶点

19、在直线，图像的顶点在直线1yx上，并且图象经过点（上，并且图象经过点（3 3，1 1） ，） ， 求求此此二次函数的解析式二次函数的解析式 解：解：设该二次函数为设该二次函数为 2 (0)yaxbxc a 由由条件条件得得 222 812 4288 abca cb abcc . . 所求的二次函数为所求的二次函数为 2 2128yxx 解：解：由条件易知由条件易知顶点坐标是（顶点坐标是（1 1，2 2） ，） ， 设该二次函数的解析式为设该二次函数的解析式为 2 (2)1(0)ya xa， 图像经过点（图像经过点（3 3，1 1） ，） ， 2 1(32)12aa 二次函数的解析式为二次函数的

20、解析式为 2 2(2)1yx，即，即 2 287yxx 二、二次函数的三种表示方式二、二次函数的三种表示方式 20202020年年7 7月月1010日星期五日星期五 二、二次函数的三种表示方式二、二次函数的三种表示方式 【例【例 4 4】已知二次函数的图象过点已知二次函数的图象过点( (3 3，0)0)，(1(1，0)0)，且顶点到，且顶点到x轴的距离等于轴的距离等于 2 2，求此二次函数的，求此二次函数的 表达式表达式 解：解：法一法一 二次函数的图象过点二次函数的图象过点( (3 3，0)0)，(1(1，0)0)， 可设二次函数为可设二次函数为(3)(1) (0)ya xxa，即即 2 2

21、3yaxaxa. . 顶点的纵坐标为顶点的纵坐标为 22 124 4 4 aa a a ， 二次函数图象的顶点到二次函数图象的顶点到x轴的距离轴的距离为为 2 2， 1 | 4 | 2 2 aa 二次函数的表达式为二次函数的表达式为 2 13 22 yxx或或 2 13 22 yxx 解：解：法二法二 二次函数的图象过点二次函数的图象过点( (3 3，0)0)，(1(1，0)0)， 对称轴为直线对称轴为直线1x 又顶点到又顶点到x轴的距离为轴的距离为 2 2， 顶点的纵坐标为顶点的纵坐标为 2 2 或或2 2 可设二次函数为可设二次函数为 2 (1)2ya x或或 2 (1)2ya x. .

22、函数图象过点函数图象过点(1(1，0)0)， 1 2 a 二次函数的表达式为二次函数的表达式为 2 13 22 yxx或或 2 13 22 yxx 说明：说明：在今后的解题过程中，要善于利用条件，选择恰当的方法来解决问题在今后的解题过程中，要善于利用条件，选择恰当的方法来解决问题 通过上面的几道例题，同学们能否归纳出：在什么情况下，分别利用函数的一般式、顶点式、交点通过上面的几道例题，同学们能否归纳出：在什么情况下，分别利用函数的一般式、顶点式、交点 式来求二次函数的表达式来求二次函数的表达式？式？ 20202020年年7 7月月1010日星期五日星期五 三、二次函数的最值问题三、二次函数的最

23、值问题 【例【例 5 5】当当22x 时，求函数时，求函数 2 23yxx的最大值和最小值的最大值和最小值 解：解：作出函数的图象作出函数的图象当当1x 时时， min 4y ，当当2x 时时， max 5y 【例【例 6 6】当当12x时，求函数时，求函数 2 1yxx 的最大值和最小值的最大值和最小值 解：解：作出函数的图象作出函数的图象当当1x 时时， max 1y ，当当2x 时时， min 5y 20202020年年7 7月月1010日星期五日星期五 三、二次函数的最值问题三、二次函数的最值问题 由上述两例可以看到，由上述两例可以看到，二次函数在自变量二次函数在自变量x的给定范围内的给定范围内，对应的图象是抛物线上的一段对应的图象是抛物线上的一段那么最高那么最高 点的纵坐标即为函数的最大值点的纵坐标即为函数的最大值，最低点的纵坐标即为函数的最小值最低点的纵坐标即为函数的最小值 根据二次函数对称轴的位置根据二次函数对称轴的位置，函数在所给自变量函数在所给自变量x的范围的图象形状各异的范围的图象形状各异下面给出一些常见情况下面给出一些常见情况：