第十四讲 简单的幂函数.ppt （初升高衔接教材•高一预科班数学精品课程）.ppt

1、 我们先来看看几个具体的问题我们先来看看几个具体的问题: (1)如果张红买了每千克1元的蔬菜x千克,所需的钱数 为y元，那么她需要支付_ y=x (元元) (2)如果正方形的边长为 x,面积为y，那么正方形的面 积_ (3)如果正方体的边长为x,体积为y，那么正方体的体 积_ (4)如果某人 x s内骑车行进1 km,那么他骑车的平均 速度 _ y=x2 y=x3 y=x-1 (km/s) 思考思考：这：这 些函数有些函数有 什么共同什么共同 的特的特 征？征？ 共同特征：函数解析式是幂的形式，且指数是常数，底共同特征：函数解析式是幂的形式，且指数是常数，底 数是自变量数是自变量. 情景引入，

2、提出问题：情景引入，提出问题： 一、幂函数概念一、幂函数概念 一般地，如果一个函数，底数是自变量一般地，如果一个函数，底数是自变量x,指数指数 是常量是常量 a ，即，即 y=xa ，这样的函数叫做，这样的函数叫做幂函数幂函数. 如如:y=x， y=x2，y=x5，y=x-1， y=x-4等都是幂函等都是幂函 数数. 注意注意:幂函数中的指数幂函数中的指数 a可以为任意实数可以为任意实数.在在 中学阶段我们只关注中学阶段我们只关注a=1，2，3，-1，1/2 学生活动学生活动1 归纳幂函数的概念归纳幂函数的概念 一、幂函数概念一、幂函数概念 (1)判断下列函数是否为幂函数判断下列函数是否为幂函

3、数. (1) y=x4 12 )2( xxy (3) y= -x2 3 )2()4( xy (5) y=x-5 (6) y=(2x)3 学生活动学生活动2 2 理解应用理解应用 (2) 幂函数幂函数y=f(x)的图像过点的图像过点(2,8),求函数的解析式求函数的解析式. 答案：答案：y=x3 一、幂函数概念一、幂函数概念 学生活动学生活动3 3 归纳幂函数的特征：归纳幂函数的特征： 1. y=xa的系数是的系数是1；其特征可归纳为“其特征可归纳为“两个两个1”， 即：系数为即：系数为1，只有，只有1项。项。 2. 底数为底数为x而不是而不是x的代数式，如的代数式，如2x或或x-2等；等； 3

4、. 幂函数幂函数y=xa中指数中指数a确定则幂函数确定。确定则幂函数确定。故用故用 待定系数法就解析式只需一个条件，如已知图像上的一个点的待定系数法就解析式只需一个条件，如已知图像上的一个点的 坐标等。坐标等。 一、幂函数概念一、幂函数概念 二、幂函数的图象二、幂函数的图象 3 yx 1 1 0 x y 2 8 -1 -1 -2 -8 例例1 画出函数画出函数f(x)=x3的图像，讨论其单调性的图像，讨论其单调性. -8 x -2 -1 0 1 2 y 1 -1 0 8 从图像上看出从图像上看出， f(x)=x3在在R上上 是增函数是增函数 解解 1.列表：列表： 2.描点作图：描点作图： 思

5、考:函数图象上横坐标互为相反数的 点的纵坐标有什么关系？ -x f(-x) x f(x) x y o A(-x,-y) A(x,y) 学生活动学生活动4 4 由图像得出奇偶函数的概念由图像得出奇偶函数的概念 奇函数定义：奇函数定义： 一般地，图像关于原点一般地，图像关于原点 对称的函数叫作对称的函数叫作奇函数奇函数 3 yx 在奇函数中，f(-x)和 f(x)的 绝对值相等，符号相反，即 f(-x)= - f(x) 结论：函数结论：函数f(x)=x3 的图像关于原点对的图像关于原点对 称。称。 （1 1）观察观察f(x)=xf(x)=x3 3的图象的图象 偶函数定义偶函数定义: : 一般地，图

6、像一般地，图像 关于关于y y轴对称的函数轴对称的函数 叫作叫作偶函数偶函数. . x y o -x x f(-x) A( x,y) A(-x,y) f(x) f(x)=x2 思考:函数图象上横坐标互为相反数的 点的纵坐标有什么关系？ f(-x)= f(x) （2 2）观察函数）观察函数f(x)=xf(x)=x2 2图像图像 在偶函数中， f(-x)和f(x)的值 相等，即 结论：函数结论：函数f(x)=x2 的图像关于的图像关于y轴对轴对 称。称。 -b,-a a ,b 对奇函数、偶函数定义的说明: (1) 函数具有奇偶性的前提是：定义域关于原点对称。 o x （2） 若f(x)为奇函数,

7、则f(-x)=f(x)成立,反之亦然。 若f(x)为偶函数, 则f(-x)= f(x) 成立,反之亦然。 （3） 当函数f(x)是奇函数或偶函数时,称函数具有奇偶性。 例例2 判断判断f(x)=-2x5和和g(x)=x4+2的奇偶性的奇偶性. 用定义证明函数奇偶性的步骤：用定义证明函数奇偶性的步骤： 1. 检验定义域是否关于原点对称检验定义域是否关于原点对称 ； 2. 求求f(-x)，化简，整理；化简，整理； 3. 比较比较f(x)与与 f(-x),如果第二步不易化简如果第二步不易化简 ， 可直接计算可直接计算f(x) + f(-x) 另：判断函数奇偶性的还可用图象法，或借用一另：判断函数奇偶

8、性的还可用图象法，或借用一 些熟知的基本函数的奇偶性些熟知的基本函数的奇偶性. . . 0, 1 , 0, 0 0,1 )(. 3 2 2 偶性，试判断这个函数的奇已知例 xx x xx xf 是奇函数成立总有综上可得，对 有时当 有时当 时，有当 ），（），解：定义域是（ )(,)()(, )0(0)0(, 0)0(,0 )(11)()( 0, 1)(,0 )(1)(1)( 0,1)(0 .000 22 2 22 2 xfxfxfRx fffx xfxxxf xxxfx xfxxxf xxxfx R （4）练习：判断下列函数奇偶性）练习：判断下列函数奇偶性 奇函数奇函数 非奇非偶函数非奇非偶函数 )() 3( ;3 , 3(,)2( ; 3 )() 1 ( 2 xf xxy x xf X(1-x),(x0) 奇函数奇函数 三、课堂小结三、课堂小结 (1) 幂函数的概念；幂函数的概念； (2) 函数奇偶性的概念及证明函数奇偶性的概念及证明.