第一讲 数与式 （初升高衔接教材•高一预科班数学精品课程）.ppt

1、20202020年年7 7月月1010日星期五日星期五 20202020年年7 7月月1010日星期五日星期五 1正数和负数 (1)正数和负数：大于0的数叫做正数，在 正数前面加“”的数叫做负数 (2)正负数的意义：用来表示具有相反意义 的量，如“比0高的得分与比0低的得分”， “零上温度与零下温度”，“盈利额与亏损 额”，“收入与支出”都是具有相反意义的 量如向东走10米记作10米，则向西走5米 记作_米 知识点一知识点一 实数及其分类实数及其分类 5 20202020年年7 7月月1010日星期五日星期五 2有理数和无理数有理数和无理数 (1)有理数：整数与有理数：整数与_统称为有理数统称

2、为有理数 (2)无理数：无限不循环小数叫做无理数无理数：无限不循环小数叫做无理数 常见无理数的四种形式：常见无理数的四种形式：含含 的数，如的数，如 ， 2等； 等； 开方开不尽的数，如开方开不尽的数，如 2， 3， 5 2 等；等；某些三角函数某些三角函数 型的数，如型的数，如 sin60 ，cos45 ，tan30 等；等；除以上三种特殊形除以上三种特殊形 式外，还有例如式外，还有例如 1.010 010 001这样的数，也是无理数的一种这样的数，也是无理数的一种 类型类型 (3)实数：有理数和无理数统称为实数实数：有理数和无理数统称为实数 分数分数 20202020年年7 7月月1010

3、日星期五日星期五 3实数的分类实数的分类 实数实数 有理数有理数 整数整数 自然数自然数 分数分数 有限小数有限小数 或无限循或无限循 环小数环小数 正无理数正无理数 负无理数负无理数 无限不循环小数无限不循环小数 正整 数 0 负整 数 正分 数 负分 数 无理数无理数 20202020年年7 7月月1010日星期五日星期五 1数轴 (1)规定了_、_和 _的一条直线叫做数轴 (2)实数和数轴上的点是_对应的 2倒数 (1)若a、b两个实数互为倒数，则ab _. (2)除_没有倒数外，其他任何有理 数都有倒数，1的倒数是_.倒数等于它 本身的数是_. 知识点二知识点二 实数的相关概念实数的相

4、关概念 原点原点 正方向正方向 单位长度单位长度 一一 一一 1 零零 1 1 20202020年年7 7月月1010日星期五日星期五 3相反数 (1)只有_不同的两个数互为相反 数 (2)实数a的相反数是_；相反数是 它本身的数是_. (3)若a、b互为相反数，则ab_， 且|a|b|. (4)数轴上表示相反数的两个点在原点两边， 且到原点的距离相等，这两个点关于原点 _ 符号符号 a 0 0 对称对称 20202020年年7 7月月1010日星期五日星期五 4绝对值绝对值 对于任意实数对于任意实数a有：有：|a| a0 a0 a0 (1)数轴上表示数数轴上表示数a的点与原点的距离记作的点与

5、原点的距离记作|a|. (2)任何实数的绝对值都是一个非负数任何实数的绝对值都是一个非负数 a 0 a 20202020年年7 7月月1010日星期五日星期五 1利用数轴比较大小 因为数轴上右边的点表示的数总是比左边 的点表示的数大，所以负数 _0,0_正数，负数_正数 2利用绝对值比较大小 两个正数比较大小，绝对值大的较 _； 两个负数比较大小，绝对值大的 反而_ 知识点三知识点三 实数的大小比较实数的大小比较 小于小于 小于小于 小于小于 大大 小小 20202020年年7 7月月1010日星期五日星期五 3利用作差法比较大小 设a、b是任意两实数，若ab0，则 _；若ab0，则_；若ab

6、 0，则_. 4利用商值比较大小利用商值比较大小 设设 a、b 是两正实数，若是两正实数，若a b 1，则，则 ab; 若若a b 1, 则则 a b；若；若a b 1，则，则 ab. ab ab ab 20202020年年7 7月月1010日星期五日星期五 1运算法则 (1)加法：同号两数相加，取相同的符号， 并把绝对值相加；异号两数相加，绝对值相 等时和为0；绝对值不相等时，取绝对值较大 加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的 绝对值；一个数同0相加，仍得这个数如 13(13)4. 知识点四知识点四 实数的运算实数的运算 20202020年年7 7月月1010日星期五日星期五 (2)减法：

7、减去一个数等于加上这个数的相 反数 (3)乘法：两数相乘，同号得正，异号得负， 再将两数的绝对值相乘任何数同0相乘，仍 得0.如(2)3(23)_. (4)除法：除以一个不为0的数，等于乘以 这个数的倒数 6 20202020年年7 7月月1010日星期五日星期五 运算运算 法则法则 举例举例 零次幂零次幂 a01(a0) 501， ( 3)0_， (3)01. 负整数负整数 指数幂指数幂 a p 1 ap(a 0， p 为整为整 数数) 3 1 1 3， ， (1 2) 2 _4， (1 5) 1 _. 负数的奇负数的奇 偶次幂偶次幂 负数的奇数次幂为负数的奇数次幂为 负数， 负数的偶数次负

8、数， 负数的偶数次 幂为正数幂为正数 (2)24， (3)327. 2常见运算及法则 1 1 1 2 2 5 20202020年年7 7月月1010日星期五日星期五 3.有理数混合运算的顺序 (1)先乘方，再乘除，最后加减 (2)同级运算，从左到右进行 (3)如有括号，先做括号内的运算，按小括 号、中括号、大括号依次进行 20202020年年7 7月月1010日星期五日星期五 开方：求平方根的运算叫开方乘方与开 方互为逆运算. 【注意】平方根与立方根最根本的区别是： 负数没有平方根，但有立方根，而且任何数 的立方根都只有一个 结果结果 名称名称 被开方数被开方数a 正数正数 0 负数负数 平方

9、根平方根 a0 a 0 没有没有 算术平方根算术平方根 a0 a 0 没有没有 立方根立方根 a为实数为实数 3 a 0 3 a 知识点五知识点五 平方根平方根、算术平方根与立方根算术平方根与立方根 20202020年年7 7月月1010日星期五日星期五 1科学记数法 把一个数写成a10n的形式(其中1|a|10， n为整数)，这种记数法叫做科学记数法 (1)当原数的绝对值大于或等于1时，n等于 _ _. (2)当原数的绝对值小于1时，n是负整数， 它的绝对值等于原数中_起第一位非 零数字前零的个数(含小数点前的0) 知识点六知识点六 科学记数法及近似数科学记数法及近似数 原数的整数原数的整数

10、 位数减位数减1 左左 20202020年年7 7月月1010日星期五日星期五 2近似数 一个近似数，四舍五入到哪一位，就说这 个近似数精确到哪一位 20202020年年7 7月月1010日星期五日星期五 1定义：形如_的式子叫二次 根式 【注意】a可以代表一个数或式，但a必须 为非负数 2最简二次根式满足的两个条件 (1)_ _ (2)_ _ 知识点七知识点七 二次根式二次根式 a(a0) 被开方数不含开得尽方的因数或因式被开方数不含开得尽方的因数或因式 被开方数的因数是整数，因式是整式被开方数的因数是整数，因式是整式 20202020年年7 7月月1010日星期五日星期五 3二次根式的性质

11、二次根式的性质 (1) a_0. (2)( a)2_(a0) (3) a2_ a0 ， a0 . (4) ab_(a0，b0) (5) b a _(a0，b0) a |a| a a ab b a 20202020年年7 7月月1010日星期五日星期五 4二次根式的化简运算二次根式的化简运算 (1) ab_ (a0, b0)； (2) a b _(a0, b0) (3)进行二次根式的加减运算时，先把各个二次根式化为进行二次根式的加减运算时，先把各个二次根式化为 最简二次根式， 再把最简二次根式， 再把_， 非同类二次根式不， 非同类二次根式不 能合并能合并 a b a b 同类项合并同类项合并

12、20202020年年7 7月月1010日星期五日星期五 形如_ (A、B都是整式，且B中含 有字母，B0)的式子叫做分式 分式与整式的区别：分母中是否含有字 母 【注意】(1)是常数，不是字母；(2)分式 有意义的条件： _； (3)分式值为0的条件： _. 知识点八知识点八 分式及其意义分式及其意义 A B 分母不等于分母不等于0 分子等于分子等于0且分母不等于且分母不等于0 20202020年年7 7月月1010日星期五日星期五 1. A B A M B M， ，A B A M B M (M0，且，且M为为_) 2分式的约分分式的约分 (1)确定分子和分母公因式的方法：确定分子和分母公因式

13、的方法： 如果分子和分母都是单项式，取它们系数的最大公约如果分子和分母都是单项式，取它们系数的最大公约 数与相同字母的最低次幂的积就是它们的公因式数与相同字母的最低次幂的积就是它们的公因式 如果分子或分母是多项式，要先把多项式分解因式，如果分子或分母是多项式，要先把多项式分解因式， 再找公再找公因式因式 (2)最简分式：分子和分母没有公因式的分式最简分式：分子和分母没有公因式的分式 知识点九知识点九 分式的基本性质分式的基本性质 整式整式 20202020年年7 7月月1010日星期五日星期五 3分式的通分分式的通分 将几个异分母的分式分别化为与原来分式相等的同分母将几个异分母的分式分别化为与

14、原来分式相等的同分母 的分式叫做通分通分的依据是分式的基本性质的分式叫做通分通分的依据是分式的基本性质“ A B A M B M” ”通分的关键是确定几个分式的最简公分母通分的关键是确定几个分式的最简公分母 20202020年年7 7月月1010日星期五日星期五 寻找最简公分母的方法寻找最简公分母的方法 (1)取各分式的分母中系数的最小公倍数取各分式的分母中系数的最小公倍数 (2)各分式的分母中所有字母或因式都要取到各分式的分母中所有字母或因式都要取到 (3)相同字母相同字母(或因式或因式)的幂取指数最大的的幂取指数最大的 (4)所得的系数的最小公倍数与各字母所得的系数的最小公倍数与各字母(或

15、因式或因式)的最高次的最高次 幂的积即为最简公分母幂的积即为最简公分母 分式分式 1 x2y， ， x yz， ， y xz2的最简公分母是 的最简公分母是_. x2yz2 20202020年年7 7月月1010日星期五日星期五 知识点十知识点十 分式的运算分式的运算 1加减法：加减法：a c b c _，a b c d _. 2乘除法：乘除法：a b c d _，a b c d a b d c _. 3乘方：乘方：(a b) n _.(n为整数为整数) 4混合运算：混合运算：先算乘方与开方，再算乘除，进行约分先算乘方与开方，再算乘除，进行约分 化简后，最后进行加减运算，如有括号，先算括号里的

16、，运化简后，最后进行加减运算，如有括号，先算括号里的，运 算的结果必须是算的结果必须是_分式或整式分式或整式 a b c ad bc bd ac bd ad bc an bn 最简最简 20202020年年7 7月月1010日星期五日星期五 【注意】(1)分式化简的一般过程：有括 号先计算括号里面的(加减法关键是通分)； 除法变为乘法；分子分母能因式分解的先 进行分解；约分；进行加减运算：a.通分： 关键是寻找公分母；b.分子合并同类项；得 出代数式 (2)分式化简求值是在分式化简的基础上， 代入数字求代数式的值(代值过程中要注意使 分式有意义，即所代值不能使分母为零)特 别强调：不要把分子的

17、化简与解分式方程的 变形相混淆，随意将分母去掉 20202020年年7 7月月1010日星期五日星期五 在初中在初中，我们已学习了实数我们已学习了实数，知道字母可以表示数知道字母可以表示数，用代用代 数式也可以表示数数式也可以表示数，我们把实数和代数式简称为我们把实数和代数式简称为数与式数与式代数代数 式中有整式式中有整式（多项式多项式、单项式单项式）、分式分式、根式根式它们具有实数它们具有实数 的属性的属性，可以进行运算可以进行运算在多项式的乘法运算中在多项式的乘法运算中，我们学习了我们学习了 乘法公式乘法公式（平方差公式与完全平方公式平方差公式与完全平方公式），并且知道乘法公式并且知道乘法

18、公式 可以使多项式的运算简便可以使多项式的运算简便由于在高中学习中还会遇到更复杂由于在高中学习中还会遇到更复杂 的多项式乘法运算的多项式乘法运算，因此本节中将因此本节中将拓展乘法公式的内容拓展乘法公式的内容，补充补充 三个数和的完全平方公式三个数和的完全平方公式、立方和立方和、立方差公式立方差公式在根式的运在根式的运 算中算中，我们已学过被开方数是实数的根式运算我们已学过被开方数是实数的根式运算，而在高中数学而在高中数学 学习中学习中，经常会接触到经常会接触到被开方数是字母被开方数是字母的情形的情形，但在初中却没但在初中却没 有涉及有涉及，因此本节中要补充因此本节中要补充基于同样的原因基于同样

19、的原因，还要补充还要补充“繁繁 分式分式”等有关内容等有关内容 20202020年年7 7月月1010日星期五日星期五 一、乘法公式一、乘法公式 【公式公式1】平方差公式平方差公式 22 ()()abab ab 【公式公式2】完全平方公式完全平方公式 222 ()2abaabb 【公式公式3】完全立方公式完全立方公式 33223 ()33abaa babb 【公式公式4】完全平方公式完全平方公式 2222 ()222abcabcabbcca 【例例1】计算计算 22 1 (2) 3 xx 22 222222 432 1 :(2 ) 3 111 ()(2 )( )2(2)22(2 ) 333 8

20、2 21 2 2. 339 xx xxxxxx xxxx 解解 原原式式 多项式乘法的结果一般是按某个字母的多项式乘法的结果一般是按某个字母的降幂或升幂降幂或升幂排列排列 请同学们证明请同学们证明 20202020年年7 7月月1010日星期五日星期五 一、乘法公式一、乘法公式 【公式公式5】立方和公式立方和公式 2233 ()()ab aabbab 【公式公式6】立方差公式立方差公式 2233 ()()ab aabbab 请同学们证明请同学们证明 【例例2】计算：计算： 2 (1) (4)(164)mmm 22 11111 (2) ()() 5225104 mnmmnn 42 (3) (2)

21、(2)(416)aaaa 2222 2 (4) (2)()xxyyxxyy 333 :464.mm解解 原原式式 3333 1111 :()(). 521258 mnmn解解 原原式式= = 24222 336 :(4)(44 )()464.aaaaa解解 原原式式= = 2222 2223326336 :() () ()()()2. xyxxyy xyxxyyxyxx yy 解解 原原式式= = 在进行代数式在进行代数式 运算时运算时，要观察代要观察代 数式的结构数式的结构是否满是否满 足乘法公式的结足乘法公式的结 构构 20202020年年7 7月月1010日星期五日星期五 一、乘法公式一

22、、乘法公式 【例例3】计算：计算： 23 3 1 310,.xxx x 已已知知求求的的值值 2 2 2 22 : 310 1 0 3 11 ()(1) 11 ()()33(33)18. xx xx x xx xx xx xx 解解 原原式式= = 333222 3()(:)abcabcabc abcabbcca请请证证明明 333223 2333 22 222 ()() =()()3=()3() ()()()3 (. : ) abcab aabbc abababcabab abc abcabc abcab abc abcabbcca 证证明明 20202020年年7 7月月1010日星期五日

23、星期五 二、指数式二、指数式 ,. n na nNaa aa 个个 当当时时 0 ,(1)1(0),nQaa当当时时零零指指数数 1 (2)(0), n n aa a 负负指指数数 (3) (0,). n mn m aaam n分分数数指指数数为为正正指指数数 (1), (2)(), (3)()( ,0,) mnm n mnmn nnn aaa aa aba ba bm nZ 幂幂的的运运算算法法则则 20202020年年7 7月月1010日星期五日星期五 二、指数式二、指数式 【例例4】求下列各式的值：求下列各式的值： 213 324 16 8 ,100,(). 81 222 333 1 2

24、 11 22 33 44 3 32 2 433 433 :8(2 )224, 111 100, 10 100(10 ) 1622327 ()(). 813328 解解 【例例5】计算下列各式计算下列各式 53211111 33668224 8 (1) (2)( 6)( 3), (2) () .a ba ba bp q 552112111111 336632623622 3311 8844 0 2 88823 3 :(1) (2)( 6)( 3)444 , (2) ()() (). a ba ba bababa p p qpqp q q 解解 20202020年年7 7月月1010日星期五日星期

25、五 三、根式三、根式 式子式子 叫做二次根式，性质：叫做二次根式，性质： (0)a a 2 2 1 0 2 3 00 4 00 ( )()(), ( )|, ( )(,), ( )(,). aa a aa abab ab bb ab aa 20202020年年7 7月月1010日星期五日星期五 三、根式三、根式 :(1)|32|31| 23311, (1)(2)23 (2) (2)=|1|2|. (1)(2)1 (1x2) xxxx xx xx 解解原原式式= = 原原式式 化去绝对值符号但字母的范围未知时，要对字母的取值分类讨论化去绝对值符号但字母的范围未知时，要对字母的取值分类讨论 202

26、02020年年7 7月月1010日星期五日星期五 三、根式三、根式 2 22 22 3(23)3(23) :(1)63 3, 23(23)(23) (2)=. 2 (3)=22 2 2 2 22 23 2. aba bab abab x x xx xxxxxxx 解解原原式式= = 原原式式 原原式式 20202020年年7 7月月1010日星期五日星期五 四、分式四、分式 20202020年年7 7月月1010日星期五日星期五 四、分式四、分式 2 22 2 3961 : 2(3)(3)(39)(9) 161 3(3)(3)2(3) 2(3)12(1)(3) 2(3)(3) (3)3 . 2(3)(3)2(3) xxxx xxxxxx x xxxx xxx xx xx xxx 解解 原原式式 说明：说明：(1) 分式的乘除运算一般化为乘法进行，当分子、分母为多项分式的乘除运算一般化为乘法进行，当分子、分母为多项 式时，应先因式分解再进行约分化简；式时，应先因式分解再进行约分化简； (2) 分式的计算结果应是最简分式或整式分式的计算结果应是最简分式或整式