第3章静电场及其边值问题的解法课件.ppt

1、第第3章章 静电场及其边值问题解法静电场及其边值问题解法The Electrostatic Field and Solution Techniques for Boundary Value Problems 主要内容主要内容 在第在第2 2章开头，我们已复习了静态场的基本方程及特性，也对一些章开头，我们已复习了静态场的基本方程及特性，也对一些简单的静态场问题作了计算。简单的静态场问题作了计算。这里将介绍两种求解静电场边值问题的方法。两种求解静电场边值问题的方法。静电场边值问题、惟一性定理静电场边值问题、惟一性定理镜像法镜像法分离变量法分离变量法2一、静电场边值问题一、静电场边值问题已知场域边界

2、上各点电位值 sfs1分布型问题分布型问题给定场源分布，求任意点给定场源分布，求任意点场强或位函数场强或位函数边值型问题边值型问题给定边界条件，求任意点给定边界条件，求任意点位函数或场强位函数或场强静态场问题静态场问题第一类第一类边界条件边界条件第二类第二类边界条件边界条件第三类第三类边界条件边界条件一、二类边界条件的线性组合，即sfs31 sfns42已知场域边界上各点电位的法向导数 sfns23.5 3.5 静电场边值问题，唯一性定理静电场边值问题，唯一性定理Electrostatic-Field Boundary-Value Problems,Uniqueness TheoremElec

3、trostatic-Field Boundary-Value Problems,Uniqueness Theorem3计算法实验法图解法边值型问边值型问题解法题解法解析法解析法数值法数值法有限差分法有限差分法有限元法有限元法边界元法边界元法矩量法矩量法镜像法镜像法分离变量法分离变量法复变函数法复变函数法格林函数法格林函数法3.5 3.5 静电场边值问题，唯一性定理静电场边值问题，唯一性定理4 惟一性定理为静电场问题的多种解法惟一性定理为静电场问题的多种解法(试探解、解析解、数值解等）试探解、解析解、数值解等）提供了思路及理论根据。提供了思路及理论根据。二、惟一性定理二、惟一性定理Uniquen

4、ess Theorem 对于任一静电场，若整个边界上的边界条件给定对于任一静电场，若整个边界上的边界条件给定(可能给出一部分可能给出一部分边界上的位函数，另一部分边界上位函数的法向导数边界上的位函数，另一部分边界上位函数的法向导数)，则空间中的场，则空间中的场就惟一地确定了。就惟一地确定了。证明见证明见P.86P.86 P.87(反证法反证法)也就是说，也就是说，满足边界条件的泊松方程或拉普拉斯方程的解是惟一的满足边界条件的泊松方程或拉普拉斯方程的解是惟一的，这就是静电场惟一性定理。这就是静电场惟一性定理。3.5 3.5 静电场边值问题，唯一性定理静电场边值问题，唯一性定理5用虚设的镜像电荷来

5、替代实际边界用虚设的镜像电荷来替代实际边界,将原来具有边界的空间变成同一媒质空间同一媒质空间，使计算简化。3.6 3.6 镜像法镜像法Image Method 确定镜像电荷的个数、位置与大小确定镜像电荷的个数、位置与大小，使镜像电荷和原电荷共同产生的场保持原有边界条件不变保持原有边界条件不变，根据唯一性定理，所得的解是唯一的。镜像法镜像法:要点：要点：6一、导体平面附近的点电荷一、导体平面附近的点电荷zxqh),(zyxpzzxqhqh0),(zyxp图3.6-1 导体平面附近的点电荷与其镜象法等效处理设一无限大接地导体平面附近有一点电荷q，它与导体板的垂直距离是h，如图3.6-1(a)所示。

6、现求（1）导体上方（即导体上方（即z0z0的空间）的电位分布的空间）的电位分布；（2）导体表面的感应电荷。3.6 3.6 镜像法镜像法7q*这时，在这时，在z0的空间里任一点的空间里任一点p(x,y,z)的电位就等于原点电荷的电位就等于原点电荷q和镜像和镜像 所产生电位的总和。所产生电位的总和。(1)设想将导体板抽去，使整个空间充满同一种媒质，在与原来点电荷对称 的位置上放置一 的镜像点电荷来代替原导体平板上的感应电荷.qzxqh),(zyxpzzxqhqh0),(zyxp 3.6 3.6 镜像法镜像法8222222)hz(yx1)hz(yx14qR1R14q于是，注意：仅对上半空间等效。*此

7、时要保证z=0平面边界条件不变，即应为零电位。可见，引入镜像电荷 后保证了边界条件不变；镜像点电荷位于z0的空间，电位仍然满足原有的方程。由惟一性定理知结果正确。qq:0RRR040Rqq故对z=0平面上任意点有RqRq44*选无穷远处为参考点无穷远处为参考点，则在z0的空间任一点p的总电位是：zxqh),(zyxpqq得 3.6 3.6 镜像法镜像法9导体表面的总感应电荷 qhqhhdqhddsQSsi0222322020)(223222002hyxqhznzzs镜像电荷 代替了导体表面所有感应电荷对上半空间的作用。qq（2）根据静电场的边界条件，求导体表面的感应电荷密度：可见，3.6 3.

8、6 镜像法镜像法10二、导体劈间的点电荷二、导体劈间的点电荷。，镜像电荷的总数是对12 nNn),(yxPyxqqqqB2R1R3R4Rao1234C2b3xBCq213456qqqqq图3.6-2 导体体劈间点电荷的镜象，n设有两块接地半无限大导体平板相交成角 ，且 n为正整数，交角内置一点电荷（或一线电荷）。现采用镜像法求角内的电场分布。为了不改变原有边界条件（即导体板处电位为零）和交角 内的源分布，试求镜像的位置，以及镜像的个数。轮流找出镜像电荷及轮流找出镜像电荷及镜像电荷的镜像，直镜像电荷的镜像，直到最后的镜像电荷与到最后的镜像电荷与原电荷重合为止。原电荷重合为止。只有n为整数时，最后

9、镜像才能和原电荷重合；导体交角内任一点的电场就等于N个镜像电荷与原电荷在该点产生场的总和。可见，;32N，;1N，;53N，3.6 3.6 镜像法镜像法注意：11 镜像法小结镜像法小结*镜像法的理论基础理论基础是静电场惟一性定理；*镜像法的实质实质是用虚设的镜像电荷替代边界上感应电荷的分布用虚设的镜像电荷替代边界上感应电荷的分布，使计算场域为无限大均匀介质；*镜像法的关键关键是确定镜像电荷的个数、位置及大小；*应用镜像法解题时，注意：注意：镜像电荷只能放在待求场域以外的区域。叠加时，叠加时，要注意场的适用区域，它只对该区域等效。3.6 3.6 镜像法镜像法作业：3.21,3.2312*只有当场

10、域边界与正交坐标面重合(或平行)时，才可确定积分常数，从而得到边值问题的特解。一、解题的一般步骤：一、解题的一般步骤：(a)根据边界形状选定坐标系，写出对应的边值问题（微分方程和边界条件）；(b)分离变量，将一个偏微分方程分离成几个常微分方程,并得出通解表达式得出通解表达式；(c)利用给定的边界条件确定积分常数利用给定的边界条件确定积分常数，最终得到电位函数的特解。3.7 分离变量法分离变量法The Method of Separation of Variables*分离变量法是一种最经典的微分方程解法。分离变量法是一种最经典的微分方程解法。*采用正交坐标系可用分离变量法得出拉普拉斯方程或波动

11、方程的通解;13二、直角坐标中的分离变量法二、直角坐标中的分离变量法拉普拉斯方程 0222222zyx)()(),(yYxXzyx设因此02222dyYdXZdxXdYZ0112222dyYdYdxXdX即可得0122dxXdXx于是有2221xkdxXdX2221ykdyYdY02222yx二维问题：0z022yxkk式中写为如下形式0222XkdxXdx0222YkdyYdy以方程0222XkdxXdx为例通解的形式是)(sincos()(),(10000yshkDychkCxkBxkAyDCxBAyxnnnnnnnnn3.7 3.7 分离变量法分离变量法14表表3.7-1 直角坐标系中解

12、的形式的选择直角坐标系中解的形式的选择3.7 3.7 分离变量法分离变量法0222XkdxXdx（方程：）15例1图示一无限长金属管，其三壁接地，另一壁与三壁绝缘且保持电位为 (V)，金属管截面为矩形，边长为a、b，试求金属管内电位的分布。axsin100图 金属管的截面(a)B.C.:（D域内）（1）022222yxaxaxbyaxybyaxbyxsin100000)0,()0,0(0,)0,0(（b）（a）（c）(d）(b)Eq.:解3.7 3.7 分离变量法分离变量法16(C)解式：)()(),(yxyxxkBxkAxxxsincos)(有限区域，周期性，取:xyDshkyCchkyDs

13、hyCchyxx)(取有限区域，非周期性，:yxxyxykjjkkkk故,223.7 3.7 分离变量法分离变量法17(d)定常数：0aksin:)b(BCx由 3,2,1 ,nankx xksinBx0A),a(BCx得由 yDshky,0C:)c(BCx0得由图3.71 双曲函数aynshaxnAyxnn1sin),(axnsinabnshAaxsin100:)d(BC1nn由比较系数法：比较系数法：时，当1n axabshAaxsinsin1001abshA10010A1nn 时，当ayshaxabshyxsin100),(（D域内）3.7 3.7 分离变量法分离变量法18例例3.73.

14、72 2 xxBeAex),(22yyyxkjjkkk解解02222yx（a）BC:dUy0),0(cy0),(ax0)0,(bdx0),(X(x):无限区域非周期 yDyCykDykCyyysincossincos（b）Eq.:（c）解式:Y(y)：有限区域周期性dys试求 1、槽内电位函数 2、槽内电场强度矢量 3、y=d处内壁的面电荷密度),(yxyxE,1 1、宽为d的导体槽如图所示。其两壁接地，且沿x方向无限延伸，槽底对地电位为U0，xd00U0y0图3.7-3 导体槽3.7 3.7 分离变量法分离变量法19由B.C.(a)可得 yDyCsin,0由B.C.(b)3,2,1,ndn至

15、此，得11sinsin),(ndxnnndxndyneAdynADeyx确定傅立叶系数:,6,4,20,5,3,141cos2)(cos2sin2000000nnnUnnUdyndUdnddydynUdAdbndyoUdynAonn,sin1由B.C.(c)知0B dxnxAeAex由B.C.(d)dynenUyxaxnnsin14),(,5,3,10所以（d）定常数3.7 3.7 分离变量法分离变量法202、,5,3,10,5,3,10cossin4cossin)(14),(EndxnaxnndyndynedUdyndynednnUyxyxyx作业作业 a)3.25,3.27 b)3.26,3.27 c)3.27,3.29dxnnnndxndydydysedUnedUEyDn5,3,1005,3,100014cos43、3.7 3.7 分离变量法分离变量法2、