第5讲角含半角模型（原卷版）.doc

1、 中考数学几何模型 5：角含半角模型 st 模型 1：截长补短模型 模型 2：共顶点模型 模型 3：对角互补模型 模型:4：中点模型 模型 5：角含半角模型 模型 6：弦图模型 模型 7：轴对称最值模型 模型 8：费马点最值模型 模型 9：隐圆模型 模型 10：胡不归最值模型 模型 11：阿氏圆最值模型 模型 12：主从联动模型 名师点睛 拨开云雾 开门见山 角含半角模型，顾名思义即一个角包含着它的一半大小的角。它主要包含：等腰直角三角形角含半角 模型；正方形中角含半角模型两种类型。解决类似问题的常见办法主要有两种：旋转目标三角形法和翻折 目标三角形法。 类型一：等腰直角三角形角含半角模型类型

2、一：等腰直角三角形角含半角模型 （1）如图，在ABC 中，AB=AC，BAC=90，点 D，E 在 BC 上，且DAE=45，则：BD2+CE2=DE2. 图示（1） 作法 1：将ABD 旋转 90 作法 2：分别翻折ABD,ACE （2）如图，在ABC 中，AB=AC，BAC=90，点 D 在 BC 上，点 E 在 BC 延长线上，且DAE=45， 则：BD2+CE2=DE2. 图示（2） （3）如图，将等腰直角三角形变成任意等腰三角形时，亦可以进行两种方法的操作处理 任意等腰三角形 类型二：正方形中角含半角模型类型二：正方形中角含半角模型 （1）如图，在正方形 ABCD 中，点 E，F 分

3、别在边 BC，CD 上，EAF=45，连接 EF，过点 A 作 AG 于 EF 于点 G，则：EF=BE+DF，AG=AD. 图示（1） 作法：将ABE 绕点 A 逆时针旋转 90 （2） 如图， 在正方形 ABCD 中， 点 E， F 分别在边 CB， DC 的延长线上， EAF=45， 连接 EF， 则： EF=DF-BE. 图示（2） 作法：将ABE 绕点 A 逆时针旋转 90 （3）如图，将正方形变成一组邻边相等，对角互补的四边形，在四方形 ABCD 中，AB=AD，BAD+ C=180，点 E，F 分别在边 BC，CD 上，EAF= 1 2 BAD，连接 EF，则：EF=BE+DF.

4、 图示（3） 作法：将ABE 绕点 A 逆时针旋转BAD 的大小 典题探究 启迪思维 探究重点 例题例题 1. 如图，正方形 ABCD 的边长为 4，点 E，F 分别在 AB，AD 上，若 CE5，且ECF45，则 CF 的长为 变式练习变式练习 1如图四边形 ABCD 中，ADBC，BCD90，ABBC+AD，DAC45，E 为 CD 上一点，且 BAE45若 CD4，则ABE 的面积为（ ） A B C D 例题例题 2. 在正方形 ABCD 中，连接 BD （1）如图 1，AEBD 于 E直接写出BAE 的度数 （2）如图 1，在（1）的条件下，将AEB 以 A 旋转中心，沿逆时针方向旋

5、转 30后得到ABE， AB与 BD 交于 M，AE的延长线与 BD 交于 N 依题意补全图 1； 用等式表示线段 BM、DN 和 MN 之间的数量关系，并证明 （3）如图 2，E、F 是边 BC、CD 上的点，CEF 周长是正方形 ABCD 周长的一半，AE、AF 分别与 BD 交于 M、N，写出判断线段 BM、DN、MN 之间数量关系的思路 （不必写出完整推理过程） 变式练习变式练习 2. （1） 【探索发现】 如图 1，正方形 ABCD 中，点 M、N 分别是边 BC、CD 上的点，MAN45，若将DAN 绕点 A 顺时 针旋转90到BAG位置， 可得MANMAG， 若MCN的周长为6，

6、 则正方形ABCD的边长为 3 （2） 【类比延伸】 如图（2） ，四边形 ABCD 中，ABAD，BAD120，B+D180，点 M、N 分别在边 BC、CD 上的点，MAN60，请判断线段 BM，DN，MN 之间的数量关系，并说明理由 （3） 【拓展应用】 如图 3，四边形 ABCD 中，ABAD10，ADC120，点 M，N 分别在边 BC，CD 上，连接 AM， MN，ABM 是等边三角形，AMAD，DN5（1） ，请直接写出 MN 的长 例题例题 3. 如图，在四边形 ABCD 中，AB=BC，A=C=90，B=135，K，N 分别是 AB，BC 上的点， 若BKN 的周长为 AB

7、的 2 倍，求KDN 的度数. 变式练习变式练习 3. 如图，正方形被两条与边平行的线段 EF，GH 分割成四个小矩形，P 是 EF 与 GH 的交点，若矩形 PFCH 的面积恰是矩形 AGPE 面积的 2 倍，试确定HAF 的大小并证明你的结论. 例题例题 4. 如图，在四边形 ABCD 中，ABAD，BCCD，ABCADC90，MANBAD （1）如图 1，将MAN 绕着 A 点旋转，它的两边分别交边 BC、CD 于 M、N，试判断这一过程中线段 BM、DN 和 MN 之间有怎样的数量关系？直接写出结论，不用证明； （2）如图 2，将MAN 绕着 A 点旋转，它的两边分别交边 BC、CD

8、的延长线于 M、N，试判断这一过 程中线段 BM、DN 和 MN 之间有怎样的数量关系？并证明你的结论； （3）如图 3，将MAN 绕着 A 点旋转，它的两边分别交边 BC、CD 的反向延长线于 M、N，试判断这 一过程中线段 BM、DN 和 MN 之间有怎样的数量关系？直接写出结论，不用证明 达标检测 领悟提升 强化落实 1. 请阅读下列材料： 问题：正方形 ABCD 中，M，N 分别是直线 CB、DC 上的动点，MAN45，当MAN 交边 CB、DC 于点 M、N（如图）时，线段 BM、DN 和 MN 之间有怎样的数量关系？ 小聪同学的思路是： 延长 CB 至 E 使 BEDN， 并连接

9、AE， 构造全等三角形经过推理使问题得到解决 请 你参考小聪同学的思路，探究并解决下列问题： （1）直接写出上面问题中，线段 BM，DN 和 MN 之间的数量关系； （2）当MAN 分别交边 CB，DC 的延长线于点 M/N 时（如图） ，线段 BM，DN 和 MN 之间的又有怎 样的数量关系？请写出你的猜想，并加以证明； （3）在图中，若正方形的边长为 16cm，DN4cm，请利用（1）中的结论，试求 MN 的长 2. （1）如图 1，在四边形 ABCD 中，ABAD，BD90，E、F 分别是边 BC、CD 上的点，且 EAFBAD试探究图中线段 BE、EF、FD 之间的数量关系 （1）小王

10、同学探究此问题的方法是：延长 EB 到点 G，使 BGDF，连结 AG，先证明ABGADF， 再证明AEGAEF，可得出结论，他的结论应是 （2）如图 2，在四边形 ABCD 中，ABAD，B+D180，E、F 分别是边 BC、CD 上的点，且 EAFBAD，上述结论是否仍然成立，并说明理由 （3）如图 3，在四边形 ABCD 中，ABAD，B+ADC180，E、F 分别是边 BC、CD 延长线上的 点，且EAFBAD， （1）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请写出它们之间 的数量关系，并证明 3. 小曼和他的同学组成了“爱琢磨”学习小组，有一次，他们碰到这样一道题： “已知正

11、方形 ABCD，点 E、 F、G、H 分别在边 AB、BC、CD、DA 上，若 EGFH，则 EGFH ”为了解决这个问题，经过思考， 大家给出了以下两个方案： 方案一：过点 A 作 AMHF 交 BC 于点 M，过点 B 作 BNEG 交 CD 于点 N； 方案二：过点 A 作 AMHF 交 BC 于点 M，过点 A 作 ANEG 交 CD 于点 N （1）对小曼遇到的问题，请在甲、乙两个方案中任选一个加以证明（如图（1） ） （2）如果把条件中的“正方形”改为“长方形” ，并设 AB2，BC3（如图（2） ） ，是探究 EG、FH 之 间有怎样的数量关系，并证明你的结论 （3）如果把条件中的“EGFH”改为“EG 与 FH 的夹角为 45” ，并假设正方形 ABCD 的边长为 1， FH 的长为（如图（3） ） ，试求 EG 的长度 4. 已知：如图，正方形 ABCD 的边长为 a，BM，DN 分别平分正方形的两个外角，且满足MAN=45，连 接 MC，NC，MN （1）填空：与ABM 相似的三角形是_，BMDN=_； （用含 a 的代数式表示） （2）求MCN 的度数； （3）猜想线段 BM，DN 和 MN 之间的等量关系并证明你的结论.