类型五 图形面积问题（解析版）.doc

1、类型五类型五 图形面积问题图形面积问题 例 1、小明的家门前有一块空地，空地外有一面长 10 米的围墙，为了美化生活环境，小明的爸爸准备靠墙 修建一个矩形花圃，他买回了 32 米长的不锈钢管准备作为花圃的围栏，为了浇花和赏花的方便，准备在 花圃的中间再围出一条宽为一米的通道及在左右花圃各放一个 1 米宽的门（木质） 花圃的长与宽如何设 计才能使花圃的面积最大？ 【答案】 ：宽 6 米，长 10 米 【解析】 ：设花圃的宽为x米，面积为S平方米 则长为：xx4342432(米) 则：)434(xxSxx344 2 4 289 ) 4 17 (4 2 x 104340x ， 2 17 6 x 6

2、4 17 ，S与x的二次函数的顶点不在自变量x的范围内， 而当 2 17 6 x内，S随x的增大而减小， 当6x时，60 4 289 ) 4 17 6(4 2 max S(平方米) 答：可设计成宽6米，长 10 米的矩形花圃，这样的花圃面积最大 例 2、某人定制了一批地砖，每块地砖（如图(1)所示）是边长为 0.4 米的正方形 ABCD，点 E、F 分别在边 BC 和 CD 上， CFE、 ABE 和四边形 AEFD 均由单一材料制成，制成 CFE、 ABE 和四边形 AEFD 的三种材料的每平方米价格依次为 30 元、20 元、10 元，若将此种地砖按图(2)所示的形式铺设，且能使中 间的阴

3、影部分组成四边形 EFGH (1)判断图(2)中四边形 EFGH 是何形状，并说明理由； (2)E、F 在什么位置时，定制这批地砖所需的材料费用最省？ 【答案】 ： （1）四边形 EFGH 是正方形 （2）当 CE=CF=0.1 米时，总费用最省 【解析】 ：(1) 四边形 EFGH 是正方形 图(2)可以看作是由四块图(1)所示地砖绕 C 点 按顺(逆)时针方向旋转 90 后得到的， 故 CE=CF =CG x CEF 是等腰直角三角形 因此四边形 EFGH 是正方形 (2)设 CE=x, 则 BE=0.4x，每块地砖的费用为 y 元 那么：y=x 30+ 0.4 (0.4-x) 20+ )

4、24. 02 . 0(10 2 xx 3 . 2) 1 . 0(10 2 x)4 . 00( x 当 x=0.1 时，y 有最小值，即费用为最省，此时 CE=CF=0.1 答：当 CE=CF=0.1 米时，总费用最省 例 3、某居民小区要在一块一边靠墙(墙长 15m)的空地上修建一个矩形花园 ABCD，花园的一边靠墙，另 三边用总长为 40m 的栅栏围成若设花园的宽为 x(m) ，花园的面积为 y(m ) (1)求 y 与 x 之间的函数关系，并写出自变量的取值范围； （2）根据（1）中求得的函数关系式，描述其图象的变化趋势；并结合题意判断当 x 取何值时，花园 的面积最大，最大面积是多少？

5、【答案】 ： （1）y=200)10(2 2 x（2）187.5 【解析】 ：)240(xxy)20(2 2 xx 200)10(2 2 x 152400x 205 .12 x 二次函数的顶点不在自变量x的范围内， 而当205 .12 x内，y随x的增大而减小， 当5 .12x时， 5 .187200)105 .12(2 2 max y(平方米) 答：当5 .12x米时花园的面积最大，最大面积是 187.5 平方米 例 4、如图，要建一个长方形养鸡场，鸡场的一边靠墙，如果用 50 m 长的篱笆围成中间有一道篱笆隔墙的 养鸡场，设它的长度为 x 米 (1)要使鸡场面积最大，鸡场的长度应为多少 m

6、？ (2)如果中间有 n(n 是大于 1 的整数)道篱笆隔墙， 要使鸡场面积最大， 鸡场的长应为多少米？比较(1)(2) 的结果，你能得到什么结论？ 【答案】 ： （1）25（2）25 【解析】 ：(1)长为 x 米，则宽为 3 50x 米，设面积为S平方米 )50( 3 1 3 50 2 xx x xS 3 625 )25( 3 1 2 x 当25x时， 3 625 max S(平方米) 即：鸡场的长度为 25 米时，面积最大 (2) 中间有n道篱笆，则宽为 2 50 n x 米，设面积为S平方米 则：)50( 2 1 2 50 2 xx nn x xS 2 625 )25( 2 1 2 n

7、 x n 当25x时， 2 625 max n S(平方米) 由(1)(2)可知，无论中间有几道篱笆墙，要使面积最大，长都是 25 米 即：使面积最大的x值与中间有多少道隔墙无关 例 5、如图，矩形 ABCD 的边 AB=6 cm，BC=8cm，在 BC 上取一点 P，在 CD 边上取一点 Q，使APQ 成直角，设 BP=x cm，CQ=y cm，试以 x 为自变量，写出 y 与 x 的函数关系式 【答案】 ：xxy 3 4 6 1 2 【解析】 ：APQ=90 , APB+QPC=90 . APB+BAP=90 , QPC=BAP，B=C=90 .ABPPCQ. , 8 6 , y x xC

8、Q BP PC AB xxy 3 4 6 1 2 例 6、如图，小明的父亲在相距 2 米的两棵树间拴了一根绳子，给他做了一个简易的秋千，拴绳子的地方 距地面高都是 2.5 米，绳子自然下垂呈抛物线状，身高 1 米的小明距较近的那棵树 0.5 米时，头部刚好接 触到绳子，则绳子的最低点距地面的距离为多少米？ 【答案】 ：0.5 【解析】 ：如图所示建立直角坐标系 则：设caxy 2 将点) 1 , 5 . 0(，)5 . 2 , 1 (代入， ca ca 5 . 2 )5 . 0(1 2 ，解得 5 . 0 2 c a 5 . 02 2 xy 顶点)5 . 0 , 0(，最低点距地面 0.5 米

9、 例 7、小李想用篱笆围成一个周长为 60 米的矩形场地，矩形面积 S(单位：平方米)随矩形一边长 x(单位： 米)的变化而变化 （1）求 S 与 x 之间的函数关系式，并写出自变量 x 的取值范围； （2）当 x 是多少时，矩形场地面积 S 最大？最大面积是多少？ 【答案】 ： （1） （2）15,225 【解析】 ： （1）根据题意，得xxx x S30 2 260 2 自变量的取值范围是 （2）01a，S有最大值 当时， 答：当为 15 米时，才能使矩形场地面积最大，最大面积是 225 平方米 例 8、随着绿城南宁近几年城市建设的快速发展，对花木的需求量逐年提高某园林专业户计划投资种植

10、花卉及树木，根据市场调查与预测，种植树木的利润与投资量成正比例关系，如图 12-所示；种 植花卉的利润与投资量成二次函数关系，如图 12-所示(注：利润与投资量的单位：万元) （1）分别求出利润与关于投资量的函数关系式； （2）如果这位专业户以 8 万元资金投入种植花卉和树木，他至少获得多少利润？他能获取的最大利 润是多少？ 【答案】 ： （1）关于投资量的函数关系式是= ，2 y关于投资量的函数关系式是 2 2 2 1 xy （2） 当8x时，z的最大值为 32 【解析】 ： （1）设=,由图 12-所示，函数=的图像过（1，2） ，所以 2=， 故利润关于投资量的函数关系式是=； 因为该抛

11、物线的顶点是原点，所以设 2 y=，由图 12-所示，函数 2 y=的图像过（2，2） ，所以 ， 故利润 2 y关于投资量的函数关系式是 2 2 2 1 xy ； （2）设这位专业户投入种植花卉万元（） ，则投入种植树木(x8)万元， 他获得的利润是万元，根据题意，得 = 21 yy+= = 0 2 1 a当时，的最小值是 14； 他至少获得 14 万元的利润 因为，所以在对称轴2x的右侧， z随x的增大而增大 所以，当8x时，z的最大值为 32 例 9、如图，把一张长 10cm，宽 8cm 的矩形硬纸板的四周各剪去一个同样大小的正方形，再折合成一个 无盖的长方体盒子（纸板的厚度忽略不计）

12、（1）要使长方体盒子的底面积为 48cm2，那么剪去的正方形的边长为多少？ （2）你感到折合而成的长方体盒子的侧面积会不会有更大的情况？如果有，请你求出最大值和此时剪 去的正方形的边长；如果没有，请你说明理由； （3）如果把矩形硬纸板的四周分别剪去 2 个同样大小的正方形和 2 个同样形状、同样大小的矩形，然 后折合成一个有盖的长方体盒子，是否有侧面积最大的情况；如果有，请你求出最大值和此时剪去的正方 形的边长；如果没有，请你说明理由 【答案】 ： （1）1（2）40.5（3）最大面积为cm2 【解析】 ： （1）设正方形的边长为cm， 则 即 解得（不合题意，舍去） ， 剪去的正方形的边长为

13、 1cm （2）有侧面积最大的情况 设正方形的边长为cm，盒子的侧面积为cm2， 则与的函数关系式为： 即 改写为 当时， 即当剪去的正方形的边长为 2.25cm 时， 长方体盒子的侧面积最大为 40.5cm2 （3）有侧面积最大的情况 设正方形的边长为cm，盒子的侧面积为cm2 若按图 1 所示的方法剪折，则与的函数关系式为： x x xxy 2 210 2)28(2 即 当时， 若按图 2 所示的方法剪折， 则与的函数关系式为：x x xxy 2 28 2)210(2 即 当时， 比较以上两种剪折方法可以看出，按图 2 所示的方法剪折得到的盒子侧面积最大，即当剪去的正方形 的边长为cm 时

14、，折成的有盖长方体盒子的侧面积最大，最大面积为cm2 例 10、一座拱桥的轮廓是抛物线型(如图 16 所示)，拱高 6m，跨度 20m，相邻两支柱间的距离均为 5m （1）将抛物线放在所给的直角坐标系中(如图 17 所示)，求抛物线的解析式； （2）求支柱的长度； （3）拱桥下地平面是双向行车道(正中间是一条宽 2m 的隔离带)，其中的一条行车道能否并排行驶宽 2m、高 3m 的三辆汽车(汽车间的间隔忽略不计)？请说明你的理由 【答案】 ： （1）抛物线的表达式是 （2）5.5（3）能通过 【解析】 ： （1）根据题目条件，的坐标分别是 设抛物线的解析式为， 将的坐标代入， 得 解得 所以抛物线的表达式是 （2）可设，于是 从而支柱的长度是米 （3）设是隔离带的宽， 是三辆车的宽度和，则点坐标是 过点作垂直交抛物线于， 则 根据抛物线的特点，可知一条行车道能并排行驶这样的三辆汽车