第4讲中点模型（原卷版）.doc

1、 中考数学几何模型 4：中点模型 名师点睛 拨开云雾 开门见山 中点模型，提到中点，我们需要想到关于中点的以下知识点：三角形中线平分三角形面积，等分点 等分面积；等腰三角形“三线合一”的性质；直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；三角形中 位线平行且等于第三边的一半. 这四点使我们已经深入学习过的有关中点运用的知识点， 今天重点在结合四 点的基础上探究另外一种中点模型，我们简称“平中对模型” ，即“平行线+中点+对顶角”构造全等或相似 模型，与倍长中线法相通。 A B C D E A B C D E F E D C B A 典题探究 启迪思维 探究重点 例题例题 1. 如图，在ABC 的两边

2、AB、AC 向形外作正方形 ABDE 和 ACFG，取 BE、BC、CG 的中点 M、Q、 N求证：MQQN 变式练习变式练习 1. 如图，在ACE 中，点 B 是 AC 的中点，点 D 是 CE 的中点，点 M 是 AE 的中点，四边形 BCGF 和四边 形 CDHN 都是正方形求证：FMH 是等腰直角三角形 例题例题 2. 如图，已知 BD、CE 分别是ABC 的 AC、AB 边上的高，G、F 分别是 BC、DE 的中点求证：GF DE 变式练习变式练习 2. 如图，在ABC 中内取一点，使PBAPCA，作 PDAB 于点 D，PEAC 于点 E，求证：DE 的垂 直平分线必过 BC 的中

3、点 M 例题例题 3. 已知：AD 为ABC 的中线，AE 是ABD 的中线，ABBD，求证：AC2AE （两种证法） 变式练习变式练习 3. 如图，点 O 为线段 MN 的中点，PQ 与 MN 相交于点 O，且 PMNQ，可证PMOQNO根据上 述结论完成下列探究活动： 探究一：如图，在四边形 ABCD 中，ABDC，E 为 BC 边的中点，BAEEAF，AF 与 DC 的延长线 相交于点 F试探究线段 AB 与 AF、CF 之间的数量关系，并证明你的结论； 探究二：如图，DE、BC 相交于点 E，BA 交 DE 于点 A，且 BE：EC1：2，BAEEDF，CFAB若 AB4，CF2，求

4、DF 的长度 例题例题 4. 如图，正方形 ABCD 和正方形 EFCG 的边长分别为 3 和 1，点 F，G 分别在边 BC，CD 上，P 为 AE 的中点，连接 PG，则 PG 的长为 变式练习变式练习 4. 如图，过边长为 3 的等边ABC 的边 AB 上一点 P，作 PEAC 于 E，Q 为 BC 延长线上一点，当 PA CQ 时，连 PQ 交 AC 边于 D，则 DE 的长为 例题例题 5. 如图 1，在正方形 ABCD 的边 AB 上任取一点 E，作 EFAB 交 BD 于点 F，取 FD 的中点 G，连接 EG、 CG.易证：EG=CG 且 EGCG. （1）将BEF 绕点 B

5、逆时针旋转 90，如图 2 所示，则线段 EG 和 CG 有怎样的数量和位置关系？请直接写 出你的猜想. （2）将BEF 绕点 B 逆时针旋转 180，如图 3 所示，则线段 EG 和 CG 又有怎样的数量和位置关系？请写 出你的猜想，并加以证明. （3）将BEF 绕点 B 旋转一个任意角度，如图 4 所示，则线段 EG 和 CG 有怎样的数量和位置关系？请直 接写出结论. 变式练习变式练习 5. 请阅读下列材料： 问题：如图 1，在菱形 ABCD 和菱形 BEFG 中，点 A、B、E 在同一条直线上，P 是线段 DF 的中点，连结 PG、PC若ABCBEF60，探究 PG 与 PC 的位置关

6、系及数量关系 小聪同学的思路是：延长 GP 交 DC 于点 H，构造全等三角形，经过推理使问题得到解决 请你参考小聪同学的思路，探究并解决下列问题： （1）直接写出上面问题中线段 PG 与 PC 的位置关系及的值； （2）如图 2，在正方形 ABCD 和正方形 BEFG 中，点 A、B、E 在同一条直线上，P 是线段 DF 的中点，连 结 PG、PC，探究 PG 与 PC 的位置关系及数量关系； （3）将图 2 中的正方形 BEFG 绕点 B 顺时针旋转，原问题中的其他条件不变（如图 3） ，你在（2）中得到 的两个结论是否发生变化？写出你的猜想并加以证明 达标检测 领悟提升 强化落实 1.

7、如图所示，M 是ABC 的边 BC 的中点，AN 平分BAC，BNAN 于点 N，且 AB8，MN3，则 AC 的长是（ ） A12 B14 C16 D18 2. 如图，ABD 和ACE 都是直角三角形，其中ABD=ACE=90，且点 C 在 AB 上，连接 DE，M 为 DE 中点，连接 BM，CM，求证 BM=CM. 3. 如图，正方形 ABCD 中，E 为 CD 的中点，F 是 DA 的中点，连接 BE，与 CF 相交于 P，求证：APAB 4. 如图， 分别以ABC 的边 AB、 AC 为斜边向外侧构造等腰直角ABD 和等腰直角ACE， M 是 BC 中点 求 证：DMME，DMME

8、5. 已知ABC 和ADE 是等腰直角三角形，ACBADE90，点 F 为 BE 中点，连接 DF、CF （1）如图 1，当点 D 在 AB 上，点 E 在 AC 上，请判断此时线段 DF、CF 的数量关系和位置关系，并说 明理由 （2）如图 2，将ADE 绕点 A 逆时针旋转 45时，请你判断此时（1）中的结论是否仍然成立？若成立， 请证明：若不成立，请说明理由 （3）如图 3，将ADE 绕点 A 逆时针旋转 90时，若 AD2，AC3，求此时FBC 中 CF 边上的 高的长 （直接写出结果） 6. 已知：ABC 和ADE 均为等腰直角三角形，ABCADE90，ABBC，ADDE，按图 1

9、放置， 使点 E 在 BC 上，取 CE 的中点 F，连接 DF、BF （1）探索 DF、BF 的数量关系和位置关系，并证明； （2）将图 1 中ADE 绕 A 点顺时针旋转 45，再连接 CE，取 CE 的中点 F（如图 2） ，问（1）中的结 论是否仍然成立？证明你的结论； （3）将图 1 中ADE 绕 A 点转动任意角度（旋转角在 0到 90之间） ，再连接 CE，取 CE 的中点 F （如图 3） ，问（1）中的结论是否仍然成立？证明你的结论 7. 如图：在ABC 中，ABAC，EF 交 AB 于点 E，交 AC 的延长线于点 F，交 BC 于 D 且 BECF，求证： DEDF 8.

10、 （1）已知：如图 1，在ABC 中，A90，D 为 BC 中点，E 为 AB 上一点，F 为 AC 上一点，ED DF，连接 EF，求证：线段 BE、FC、EF 总能构成一个直角三角形； （2）已知：如图 2，A120，D 为 BC 中点，E 为 AB 上一点，F 为 AC 上一点，EDDF，连接 EF， 请你找出一个条件，使线段 BE、FC、EF 能构成一个等边三角形，给出证明 9. 在 RtABC 中，D 为斜边 AB 的中点，E，F 分别在 AC，BC 上，EDF90，已知 CE4，AE2， BFCF，求 AB 10. 在ABM 中，ABM45，AMBM，垂足为 M，点 C 是 BM

11、延长线上一点，连接 AC （1）如图 1，若 AB3，BC5，求 AC 的长； （2）如图 2，点 D 是线段 AM 上一点，MDMC，点 E 是ABC 外一点，ECAC，连接 ED 并延长交 BC 于点 F，且点 F 是线段 BC 的中点，求证：BDFCEF 11. （1）方法回顾 在学习三角形中位线时，为了探索三角形中位线的性质，思路如下： 第一步添加辅助线：如图 1，在ABC 中，延长 DE（D、E 分别是 AB、AC 的中点）到点 F，使得 EF DE，连接 CF； 第二步证明ADECFE，再证四边形 DBCF 是平行四边形，从而得到 DEBC，DEBC （2）问题解决 如图 2，在正

12、方形 ABCD 中，E 为 AD 的中点，G、F 分别为 AB、CD 边上的点，若 AG2，DF3， GEF90，求 GF 的长 （3）拓展研究 如图 3，在四边形 ABCD 中，A100，D110，E 为 AD 的中点，G、F 分别为 AB、CD 边上的 点，若 AG4，DF，GEF90，求 GF 的长 12. 在ABC 中，ABAC，点 F 是 BC 延长线上一点，以 CF 为边，作菱形 CDEF，使菱形 CDEF 与点 A 在 BC 的同侧，连接 BE，点 G 是 BE 的中点，连接 AG、DG （1）如图，当BACDCF90时，直接写出 AG 与 DG 的位置和数量关系； （2）如图，当BACDCF60时，试探究 AG 与 DG 的位置和数量关系， （3）当BACDCF 时，直接写出 AG 与 DG 的数量关系