2020年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）真题 数学试卷（原卷版+解析版）.doc

1、绝密启用前 2020 年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷） 数学数学 注意事项 考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求 1本试卷共 4 页，均为非选择题(第 1 题第 20 题，共 20 题)。本卷满分为 160 分，考试时间为 120 分钟。 考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回. 2答题前， 请务必将自己的姓名、 准考证号用 0.5 毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置. 3请认真核对监考员从答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符. 4作答试题，必须用 0.5 毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在

2、其他位置作答一律无效. 5如需作图，须用如需作图，须用 2B 铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗. 参考公式：参考公式： 柱体的体积柱体的体积VSh，其中，其中S是柱体的底面积，是柱体的底面积，h是柱体的高是柱体的高 一、填空题：本大题共一、填空题：本大题共 14 小题，每小题小题，每小题 5 分，共计分，共计 70 分请把答案填写在分请把答案填写在答题卡相应位置上答题卡相应位置上 1.已知集合 1,0,1,2,0,2,3AB ，则AB _. 2.已知i是虚数单位，则复数 (1 i)(2i)z 的实部是_. 3.已知一组数据4,2 ,3 ,5,6a

3、a 的平均数为 4，则a的值是_. 4.将一颗质地均匀的正方体骰子先后抛掷 2次，观察向上的点数，则点数和为 5的概率是_. 5.如图是一个算法流程图，若输出y的值为2，则输入x的值是_. 6.在平面直角坐标系 xOy中，若双曲线 2 2 x a 2 5 y =1(a0)的一条渐近线方程为 y= 5 2 x，则该双曲线的离心 率是_. 7.已知 y=f(x)是奇函数，当 x0 时， 2 3 f xx ，则 f(-8)的值是_. 8.已知 2 sin () 4 = 2 3 ，则sin2的值是_. 9.如图，六角螺帽毛坯是由一个正六棱柱挖去一个圆柱所构成的已知螺帽的底面正六边形边长为 2 cm，

4、高为 2 cm，内孔半轻为 0.5 cm，则此六角螺帽毛坯的体积是_cm. 10.将函数 y= sin(2) 4 3x 的图象向右平移 6 个单位长度，则平移后的图象中与 y轴最近的对称轴的方程是 _. 11.设an是公差为 d的等差数列，bn是公比为 q的等比数列已知数列an+bn的前 n项和 2 21() n n Snnn N，则 d+q 的值是_ 12.已知 224 51( ,)x yyx yR，则 22 xy最小值是_ 13.在ABC 中，43 =90ABACBAC，D 在边 BC上，延长 AD到 P，使得 AP=9，若 3 () 2 PAmPBm PC （m 为常数） ，则 CD的长

5、度是_ 14.在平面直角坐标系 xOy中， 已知 3 (0) 2 P， A， B是圆 C： 22 1 ()36 2 xy上的两个动点， 满足PA PB， 则PAB面积的最大值是_ 二、解答题：本大题共二、解答题：本大题共 6 小题，共计小题，共计 90 分，请在分，请在答题卡指定区域答题卡指定区域 内作答，解答时应写出文字内作答，解答时应写出文字 说明、证明过程或演算步说明、证明过程或演算步骤骤 15.在三棱柱 ABC-A1B1C1中，ABAC，B1C平面 ABC，E，F分别是 AC，B1C中点 （1）求证：EF平面 AB1C1； （2）求证：平面 AB1C平面 ABB1 16.在ABC 中，

6、角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知3,2,45acB （1）求sinC的值； （2）在边 BC 上取一点 D，使得 4 cos 5 ADC ，求tanDAC值 17.某地准备在山谷中建一座桥梁，桥址位置的竖直截面图如图所示：谷底 O在水平线 MN上、桥 AB与 MN 平行， OO为铅垂线(O 在 AB 上).经测量，左侧曲线 AO 上任一点 D 到 MN 的距离 1 h(米)与 D 到 OO 的距 离 a(米)之间满足关系式 2 1 1 40 ha ；右侧曲线 BO 上任一点 F到 MN 的距离 2 h(米)与 F到 OO的距离 b(米) 之间满足关系式 3 2 1 6 800 h

7、bb .已知点 B到 OO的距离为 40 米. （1）求桥 AB 的长度； （2）计划在谷底两侧建造平行于 OO 桥墩 CD和 EF，且 CE 为 80米，其中 C，E在 AB上(不包括端点). 桥墩 EF 每米造价 k(万元)、桥墩 CD每米造价 3 2 k(万元)(k0).问O E为多少米时，桥墩 CD 与 EF 的总造价 最低? 18.在平面直角坐标系 xOy中，已知椭圆 22 :1 43 xy E的左、右焦点分别为 F1，F2，点 A在椭圆 E上且在 第一象限内，AF2F1F2，直线 AF1与椭圆 E 相交于另一点 B （1）求AF1F2的周长； （2）在 x轴上任取一点 P，直线 A

8、P与椭圆 E 的右准线相交于点 Q，求OP QP的最小值； （3）设点 M 在椭圆 E上，记OAB 与MAB面积分别为 S1，S2，若 S2=3S1，求点 M 的坐标 19.已知关于 x的函数 ( ),( )yf xyg x 与( )( ,)h xkxb k bR在区间 D上恒有( )( )( )f xh xg x （1）若 22 2 2()f xxxg xxxD ，求 h(x)的表达式； （2）若 2 1 ln ,( )( )( )(0) xxgkxhkxk Df xxx ，求 k的取值范围； （3）若 422242 ( ) 2( ) (48 ( ) 4 3 0)2 2f xxxg xxh

9、xtt xttt， , 2, 2Dm n ， 求 证：7nm 20.已知数列 * () n anN的首项 a1=1，前 n项和为 Sn设 与 k是常数，若对一切正整数 n，均有 111 11 kkk nnn SSa 成立，则称此数列为k数列 （1）若等差数列 n a是1数列，求 的值； （2）若数列 n a是 3 2 3 数列，且 an0，求数列 n a的通项公式； （3）对于给定的 ，是否存在三个不同的数列 n a为3数列，且 an0?若存在，求 的取值范围；若不 存在，说明理由， 数学数学(附加题附加题) 【选做题】本题包括【选做题】本题包括 A、B、C 三小题，三小题，请选定其中两小题，

10、并在相应的答题区域内作答请选定其中两小题，并在相应的答题区域内作答 若若 多做，则按作答的前两小题评分解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤多做，则按作答的前两小题评分解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤 A选修选修 4-2：矩阵与变换：矩阵与变换 21.平面上点(2, 1)A 在矩阵 1 1 a b M 对应的变换作用下得到点(3, 4)B （1）求实数a，b的值； （2）求矩阵M的逆矩阵 1 M B选修选修 4-4：坐标系与参：坐标系与参数方程数方程 22.在极坐标系中， 已知点 1 (,) 3 A在直线:cos2l上， 点 2 (,) 6 B在圆:4sinC上 （其中0， 02）

11、（1）求 1 ， 2 的值 （2）求出直线l与圆C的公共点的极坐标 C选修选修 4-5：不等式选讲：不等式选讲 23.设xR，解不等式2| 1| 4xx 【必做题】第【必做题】第 24 题、第题、第 25 题，每题题，每题 10 分，共计分，共计 20 分请在分请在答题卡指定区域答题卡指定区域 内作答，解答时内作答，解答时 应写出文字说明、证明过程或演算步骤应写出文字说明、证明过程或演算步骤 24.在三棱锥 ABCD中，已知 CB=CD= 5,BD=2，O为 BD的中点，AO平面 BCD，AO=2，E为 AC的 中点 （1）求直线 AB与 DE 所成角的余弦值； （2）若点 F在 BC上，满足

12、 BF= 1 4 BC，设二面角 FDEC 的大小为 ，求 sin 的值 25.甲口袋中装有 2个黑球和 1个白球，乙口袋中装有 3个白球现从甲、乙两口袋中各任取一个球交换放 入另一口袋，重复 n 次这样的操作，记甲口袋中黑球个数为 Xn，恰有 2 个黑球的概率为 pn，恰有 1 个黑球 的概率为 qn （1）求 p1 q1和 p2 q2； （2）求 2pn+qn与 2pn-1+qn-1的递推关系式和 Xn的数学期望 E(Xn)(用 n表示) 绝密启用前 2020 年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷） 数学数学 注意事项 考生在答题前请认真阅读本注意

13、事项及各题答题要求 1本试卷共 4 页，均为非选择题(第 1 题第 20 题，共 20 题)。本卷满分为 160 分，考试时间为 120 分钟。 考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回. 2答题前， 请务必将自己的姓名、 准考证号用 0.5 毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置. 3请认真核对监考员从答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符. 4作答试题，必须用 0.5 毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效. 5如需作图，须用 2B 铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗. 参考公式：参考公式： 柱体的体积柱体的体积VSh，其中，其中

14、S是柱体的底面积，是柱体的底面积，h是柱体的高是柱体的高 一、填空题：本大题共一、填空题：本大题共 14 小题，每小题小题，每小题 5 分，共计分，共计 70 分请把答案填写在分请把答案填写在答题卡相应位置上答题卡相应位置上 1.已知集合 1,0,1,2,0,2,3AB ，则AB _. 【答案】0,2 【分析】根据集合的交集即可计算. 【详解】1,0,1,2A ,0,2,3B 0,2AB I 故答案为：0,2. 【点睛】本题考查了交集及其运算，是基础题型 2.已知i是虚数单位，则复数 (1 i)(2i)z 的实部是_. 【答案】3 【分析】根据复数的运算法则，化简即可求得实部的值. 【详解】复

15、数 12zii 2 223ziiii 复数的实部为 3.故答案为：3. 【点睛】本题考查复数的基本概念，是基础题 3.已知一组数据4,2 ,3 ,5,6aa 的平均数为 4，则a的值是_. 【答案】2 【分析】根据平均数的公式进行求解即可 【详解】数据4,2 ,3,5,6aa的平均数为 4 4235620aa ，即2a.故答案为：2. 【点睛】本题主要考查平均数的计算和应用，比较基础 4.将一颗质地均匀的正方体骰子先后抛掷 2次，观察向上的点数，则点数和为 5的概率是_. 【答案】 1 9 【分析】分别求出基本事件总数，点数和为 5 的种数，再根据概率公式解答即可 【详解】根据题意可得基本事件

16、数总为6 636 个. 点数和为 5 的基本事件有1,4，4,1，2,3，3,2共 4 个. 出现向上的点数和为 5的概率为 41 369 P .故答案为： 1 9 . 【点睛】本题考查概率的求法，考查古典概型、列举法等基础知识，考查运算求解能力，是基础题 5.如图是一个算法流程图，若输出y的值为2，则输入x的值是_. 【答案】3 【分析】根据指数函数的性质，判断出 1yx ，由此求得x的值. 【详解】由于20 x ，所以 12yx ，解得 3x.故答案为：3 【点睛】本小题主要考查根据程序框图输出结果求输入值，考查指数函数的性质，属于基础题. 6.在平面直角坐标系 xOy中，若双曲线 2 2

17、 x a 2 5 y =1(a0)的一条渐近线方程为 y= 5 2 x，则该双曲线的离心 率是_. 【答案】 3 2 【分析】根据渐近线方程求得a，由此求得c，进而求得双曲线的离心率. 【详解】双曲线 22 2 1 5 xy a ，故5b .由于双曲线的一条渐近线方程为 5 2 yx，即 5 2 2 b a a ， 所以 22 4 53cab ，所以双曲线的离心率为 3 2 c a . 故答案为： 3 2 【点睛】本小题主要考查双曲线的渐近线，考查双曲线离心率的求法，属于基础题. 7.已知 y=f(x)是奇函数，当 x0 时， 2 3 f xx ，则 f(-8)的值是_. 【答案】4 【分析】

18、先求(8)f，再根据奇函数求( 8)f 【详解】 2 3 (8)84f ，因为 ( )f x为奇函数，所以( 8)(8)4ff 故答案为： 4 【点睛】本题考查根据奇函数性质求函数值，考查基本分析求解能力，属基础题. 8.已知 2 sin () 4 = 2 3 ，则sin2的值是_. 【答案】 1 3 【分析】直接按照两角和正弦公式展开，再平方即得结果. 【详解】 22 221 sin ()(cossin)(1 sin2 ) 4222 Q 121 (1 sin2 )sin2 233 故答案为： 1 3 【点睛】本题考查两角和正弦公式、二倍角正弦公式，考查基本分析求解能力，属基础题. 9.如图，

19、六角螺帽毛坯是由一个正六棱柱挖去一个圆柱所构成的已知螺帽的底面正六边形边长为 2 cm， 高为 2 cm，内孔半轻为 0.5 cm，则此六角螺帽毛坯的体积是_cm. 【答案】12 3 2 【分析】先求正六棱柱体积，再求圆柱体积，相减得结果. 【详解】正六棱柱体积为 2 3 622=12 3 4 圆柱体积为 2 1 ( )2 22 所求几何体体积为12 3 2 故答案为： 12 3 2 【点睛】本题考查正六棱柱体积、圆柱体积，考查基本分析求解能力，属基础题. 10.将函数 y= sin(2) 4 3x 的图象向右平移 6 个单位长度，则平移后的图象中与 y轴最近的对称轴的方程是 _. 【答案】

20、5 24 x 【分析】先根据图象变换得解析式，再求对称轴方程，最后确定结果. 【详解】3sin2()3sin(2) 6412 yxx 7 2()() 122242 k xkkZxkZ 当1k 时 5 24 x 故答案为： 5 24 x 【点睛】本题考查三角函数图象变换、正弦函数对称轴，考查基本分析求解能力，属基础题. 11.设an是公差为 d的等差数列，bn是公比为 q的等比数列已知数列an+bn的前 n项和 2 21() n n Snnn N，则 d+q 的值是_ 【答案】4 【分析】 结合等差数列和等比数列前n项和公式的特点， 分别求得 , nn ab的公差和公比， 由此求得dq. 【详解

21、】设等差数列 n a的公差为d，等比数列 n b的公比为q，根据题意1q . 等差数列 n a的前n项和公式为 2 11 1 222 n n ndd Pnadnan ， 等比数列 n b的前n项和公式为 1 11 1 111 n n n bq bb Qq qqq ， 依题意 nnn SPQ，即 22 11 1 21 2211 nn bbdd nnnanq qq ， 通过对比系数可知 1 1 1 2 1 2 2 1 1 d d a q b q 1 1 2 0 2 1 d a q b ，故 4dq. 故答案为：4 【点睛】本小题主要考查等差数列和等比数列的前n项和公式，属于中档题. 12.已知 2

22、24 51( ,)x yyx yR，则 22 xy的最小值是_ 【答案】 4 5 分析】 根据题设条件可得 4 2 2 1 5 y x y ，可得 42 222 22 114 + 555 yy xyy yy ，利用基本不等式即可求解. 【详解】 224 51x yy 4 2 2 1 5 y x y 422 222 222 114144 +2 555555 yyy xyy yyy ，当且仅当 2 2 14 55 y y ，即 22 31 , 102 xy时取等号. 22 xy的最小值为 4 5 . 故答案为： 4 5 . 【点睛】 本题考查了基本不等式在求最值中的应用.利用基本不等式求最值时，

23、一定要正确理解和掌握一正， 二定，三相等的内涵：一正是，首先要判断参数是否为正；二定是，其次要看和或积是否为定值（和定积 最大，积定和最小） ；三相等是，最后一定要验证等号能否成立（主要注意两点，一是相等时参数否在定义 域内，二是多次用或时等号能否同时成立）. 13.在ABC 中，43 =90ABACBAC，D 在边 BC上，延长 AD到 P，使得 AP=9，若 3 () 2 PAmPBm PC （m 为常数） ，则 CD的长度是_ 【答案】 18 5 【分析】根据题设条件可设0PAPD，结合 3 2 PAmPBm PC 与,B D C三点共线，可求得， 再根据勾股定理求出BC，然后根据余弦定

24、理即可求解. 【详解】 ,A D P三点共线 可设0PAPD 3 2 PAmPBm PC 3 2 PDmPBm PC ，即 3 2 m m PDPBPC ,B D C三点共线 3 2 1 m m ，即 3 2 9AP 3AD 4AB ,3AC ,90BAC 5BC 设CDx，CDA，则5BDx ，BDA. 根据余弦定理可得 222 cos 26 ADCDACx AD CD ， 2 222 57 cos 26 5 x ADBDAB AD BDx coscos0 2 57 0 66 5 x x x ，解得 18 5 x . CD的长度为 18 5 . 故答案为： 18 5 . 【点睛】本题考查了平

25、面向量知识的应用、余弦定理的应用以及求解运算能力，解答本题的关键是设出 0PAPD 14.在平面直角坐标系 xOy中， 已知 3 (0) 2 P， A， B是圆 C： 22 1 ()36 2 xy 上的两个动点， 满足PAPB， 则PAB面积的最大值是_ 【答案】10 5 【分析】 根据条件得PCAB,再用圆心到直线距离表示三角形 PAB面积，最后利用导数求最大值. 【详解】PAPBPCABQ 设圆心C到直线AB距离为d，则 2 31 |=2 36,|1 44 ABdPC 所以 222 1 2 36(1)(36)(1) 2 PAB Sdddd V 令 222 (36)(1) (06)2(1)(

26、 236)04ydddydddd （负值舍去） 当04d时，0y ；当46d时，0y，因此当4d 时，y取最大值， 即 PAB S取最大值为10 5， 故答案为：10 5 【点睛】本题考查垂径定理、利用导数求最值，考查综合分析求解能力，属中档题. 二、解答题：本大题共二、解答题：本大题共 6 小题，共计小题，共计 90 分，请在分，请在答题卡指定区域答题卡指定区域 内作答，解答时应写出文字内作答，解答时应写出文字 说明、证明过程或演算步骤说明、证明过程或演算步骤 15.在三棱柱 ABC-A1B1C1中，ABAC，B1C平面 ABC，E，F分别是 AC，B1C 的中点 （1）求证：EF平面 AB

27、1C1； （2）求证：平面 AB1C平面 ABB1 【答案】 （1）证明详见解析； （2）证明详见解析. 【分析】 （1）通过证明 1 /EF AB，来证得/EF平面 11 ABC. （2）通过证明AB 平面 1 ABC，来证得平面 1 ABC 平面 1 ABB. 【详解】 （1）由于,E F分别是 1 ,AC BC的中点，所以 1 /EF AB. 由于EF 平面 11 ABC, 1 AB 平面 11 ABC，所以/EF平面 11 ABC. （2）由于 1 BC 平面ABC，AB平面ABC，所以 1 BCAB. 由于 1 ,ABAC ACBCC，所以AB 平面 1 ABC, 由于AB平面 1

28、ABB，所以平面 1 ABC 平面 1 ABB. 【点睛】本小题主要考查线面平行的证明，考查面面垂直的证明，属于中档题. 16.在ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知3,2,45acB （1）求sinC的值； （2）在边 BC 上取一点 D，使得 4 cos 5 ADC ，求tanDAC的值 【答案】 （1） 5 sin 5 C ； （2） 2 tan 11 DAC. 【分析】 （1）利用余弦定理求得b，利用正弦定理求得sinC. （2） 根据cosADC的值， 求得sinADC的值， 由 （1） 求得cosC的值， 从而求得sin,cosDACDAC 的值，进而求得ta

29、nDAC的值. 【详解】 （1）由余弦定理得 222 2 2cos922 325 2 bacacB ，所以5b . 由正弦定理得 sin5 sin sinsin5 cbcB C CBb . （2）由于 4 cos 5 ADC ，, 2 ADC ，所以 2 3 sin1 cos 5 ADCADC. 由于, 2 ADC ，所以0, 2 C ，所以 2 2 5 cos1 sin 5 CC . 所以sinsinDACDACsinADCC sincoscossinADCCADCC 32 5452 5 555525 . 由于0, 2 DAC ，所以 2 11 5 cos1 sin 25 DACDAC .

30、所以 sin2 tan cos11 DAC DAC DAC . 【点睛】本小题主要考查正弦定理、余弦定理解三角形，考查三角恒等变换，属于中档题. 17.某地准备在山谷中建一座桥梁，桥址位置的竖直截面图如图所示：谷底 O在水平线 MN上、桥 AB与 MN 平行， OO为铅垂线(O 在 AB 上).经测量，左侧曲线 AO 上任一点 D 到 MN 的距离 1 h(米)与 D 到 OO 的距 离 a(米)之间满足关系式 2 1 1 40 ha；右侧曲线 BO 上任一点 F到 MN 的距离 2 h(米)与 F到 OO的距离 b(米) 之间满足关系式 3 2 1 6 800 hbb .已知点 B到 OO的

31、距离为 40 米. （1）求桥 AB 的长度； （2）计划在谷底两侧建造平行于 OO 的桥墩 CD和 EF，且 CE为 80 米，其中 C，E在 AB上(不包括端点). 桥墩 EF 每米造价 k(万元)、桥墩 CD每米造价 3 2 k(万元)(k0).问O E为多少米时，桥墩 CD 与 EF 的总造价 最低? 【答案】 （1）120米（2）20OE米 【分析】 （1）根据 A,B高度一致列方程求得结果； （2）根据题意列总造价的函数关系式，利用导数求最值，即得结果. 【详解】 （1）由题意得 23 11 |406 40 | 80 40800 O AO A | | 8040120ABO AO B

32、米 （2）设总造价为 ( )f x万元， 2 1 |80160 40 O O，设|O Ex ， 32 131 ( )(1606 )160(80) ,(040) 800240 f xkxxkxx 322 1336 ( )(160),( )()020 8008080080 f xkxxfxkxxx (0 舍去) 当020x时，( )0fx ；当2040x时，( )0fx ，因此当20x=时， ( )f x取最小值， 答：当20OE米时，桥墩 CD 与 EF的总造价最低. 【点睛】本题考查实际成本问题、利用导数求最值，考查基本分析求解能力，属中档题. 18.在平面直角坐标系 xOy中，已知椭圆 22

33、 :1 43 xy E的左、右焦点分别为 F1，F2，点 A在椭圆 E上且在 第一象限内，AF2F1F2，直线 AF1与椭圆 E 相交于另一点 B （1）求AF1F2的周长； （2）在 x轴上任取一点 P，直线 AP与椭圆 E 的右准线相交于点 Q，求OP QP的最小值； （3）设点 M 在椭圆 E上，记OAB 与MAB 的面积分别为 S1，S2，若 S2=3S1，求点 M 的坐标 【答案】 （1）6； （2）-4； （3）2,0M或 212 , 77 . 【分析】 （1）根据椭圆定义可得 12 4AFAF，从而可求出 12 AFF 的周长； （2）设 0,0 P x，根据点A在椭圆E上，且在

34、第一象限， 212 AFFF，求出 3 1, 2 A ，根据准线方程得Q 点坐标，再根据向量坐标公式，结合二次函数性质即可出最小值； （3） 设出设 11 ,M x y， 点M到直线AB的距离为d， 由点O到直线AB的距离与 21 3SS， 可推出 9 5 d ， 根据点到直线的距离公式，以及 11 ,M x y满足椭圆方程，解方程组即可求得坐标. 【详解】 （1）椭圆E的方程为 22 1 43 xy 1 1,0F , 2 1,0F 由椭圆定义可得： 12 4AFAF. 12 AFF 的周长为426 （2）设 0,0 P x，根据题意可得 0 1x . 点A在椭圆E上，且在第一象限， 212

35、AFFF 3 1, 2 A 准线方程为4x 4, Q Qy 2 00000 ,04,4244 Q OP QPxxyxxx ，当且仅当 0 2x 时取等号. OP QP的最小值为4. （3）设 11 ,M x y，点M到直线AB的距离为d. 3 1, 2 A ， 1 1,0F 直线 1 AF的方程为 3 1 4 yx 点O到直线AB的距离为 3 5 ， 21 3SS 21 131 33 252 SSABAB d 9 5 d 11 3439xy 22 11 1 43 xy 联立解得 1 1 2 0 x y ， 1 1 2 7 12 7 x y . 2,0M或 212 , 77 . 【点睛】本题考查

36、了椭圆的定义，直线与椭圆相交问题、点到直线距离公式的运用，熟悉运用公式以及根 据 21 3SS推出 9 5 d 是解答本题的关键. 19.已知关于 x的函数 ( ),( )yf xyg x 与( )( ,)h xkxb k bR在区间 D上恒有( )( )( )f xh xg x （1）若 22 2 2()f xxxg xxxD ，求 h(x)的表达式； （2）若 2 1 ln ,( )( )( )(0) xxgkxhkxk Df xxx ，求 k的取值范围； （3）若 422242 ( ) 2( ) (48 ( ) 4 3 0)2 2f xxxg xxh xtt xttt， , 2, 2Dm

37、 n ， 求 证：7nm 【答案】 （1） 2h xx； （2）0,3k； （3）证明详见解析 【分析】 （1）求得 f x与 g x的公共点，并求得过该点的公切线方程，由此求得 h x的表达式. （2）先由 0h xg x，求得k的一个取值范围，再由 0f xh x，求得k的另一个取值范围， 从而求得k的取值范围. （3）先由 f xh x，求得t的取值范围，由方程 0g xh x的两个根，求得nm的表达式， 利用导数证得不等式成立. 【详解】 （1）由 2 2 2 2 yxx yxx ，解得0xy，所以 f x与 g x有唯一公共点0,0. 2202fxxf ， 2202g xxg ，所以

38、 f x和 g x在0,0处有公切线 2yx.结合图象可知 2h xx ，满足 f xh xg x在D上恒成立. （2）令 1 ln0F xh xg xk xxx ， 10F. 1x Fxk x .若k 0，则 F x在0,1上递增，在 1,上递减，则 10F xF ，即 0h xg x，不符合题意. 当0k 时， 0,F xh xg xh xg x，符合题意. 当0k 时， F x在0,1上递减，在 1,上递增，则 10F xF ， 即 0h xg x，符合题意. 综上所述，0k . 由 2 1f xh xxxkxk 2 110xkxk，结合二次函数的性质得： 当 1 0 2 k x ，即1

39、k 时，存在 0 0x ,，使 0f xh x，不符合题意. 当 1 0 2 k x ，即1k 时， 2 0f xh xx，符合题意. 当 1 0 2 k x ，即1k 时，则需 2 1410kk ，解得13k . 综上所述，k的取值范围是0,3k. （3） 423 2,44411f xxxfxxxx xx， 所以 f x在 0 xx处切线为 342342 000000000 4443242yxxxxxxxxxxx ， 所以 yh x是函数 yf x的图象在02xtt处的切线， 由 0fx ，得10x 或12x；由 0fx 得 21x 或01x. 因为 11,11ff 所以要使 f xh x，

40、则需12t. 由 0g xh x得 2342 443280xtt xtt，设其两根为 12 ,x x，则 42 3 1212 328 , 4 tt xxtt x x ， 所以 2 12121 2 4nmxxxxx x 642 538ttt . 令 2 ,1,2t ，则 32 538nm . 构造函数 32 5381,2P， 2 31033 31P ， 所以1,2时， 0P ， P递减， max 17PP. 所以max7nm，即7nm. 【点睛】本小题主要考查利用的导数求切线方程，考查利用导数研究不等式恒成立问题，考查利用导数证 明不等式，考查分类讨论的数学思想方法，属于难题. 20.已知数列

41、* () n anN的首项 a1=1，前 n项和为 Sn设 与 k是常数，若对一切正整数 n，均有 111 11 kkk nnn SSa 成立，则称此数列为k数列 （1）若等差数列 n a是1数列，求 的值； （2）若数列 n a是 3 2 3 数列，且 an0，求数列 n a的通项公式； （3）对于给定的 ，是否存在三个不同的数列 n a为3数列，且 an0?若存在，求 的取值范围；若不 存在，说明理由， 【答案】 （1）1 （2） 2 1,1 3 4,2 n n n a n （3）01 【分析】 （1）根据定义得 +11nnn SSa ，再根据和项与通项关系化简得 11nn aa ，最后根据数列不为零数列 得结果； （2）根据定义得 111 222 +1+1 3 () 3 nnnn SSSS ，根据平方差公式化简得 +1=4nn SS，求得 n S，即得 n a； （3）根据定义得 111 333 +11nnn SSa ，利用立方差公式化简得两个方程，再根据方程解的个数确定参数满 足的条件，解得结果 详解】 （1） +111111 101 nnnnnn SSaaaaa Q （2） 11 22 11 00 nnnnn aSSSS Q 111 222 +1+1 3 () 3 nnnn SSSSQ 111111 2 222222 +1+1+1 1 ()()() 3 n