专题07 相似、全等三角形存在性问题-2020年中考数学二轮复习之重难点专题（解析版）.docx

1、 相似、全等三角形存在性问题相似、全等三角形存在性问题 例 1：如图，在平面直角坐标系中，顶点为 M 的抛物线经过点 A 和轴正半轴上的 点 B，. （1）求这条抛物线的解析式； （2）连接 OM，求的大小； （3）如果点 C 在轴上，且与相似，求点 C 的坐标. 【解答】 （1）； （2）； （3） 或 【解析】 （1）过点 A 作轴，垂足为 E，如图所示： ， ，解得， 故该抛物线的解析式为； （2）过点 M 作于点 F，如图所示： ； （3）当点 C 在轴负半轴上时，则而，此时，不存在； 当点 C 在轴正半轴上时， 当时，即， 又解得， ； 当时，即解得， 综上，当与相似时，点 C 的坐

2、标为 或. 例 2：如图，在平面直角坐标系中，已知二次函数的图像过点 A（4，0） ，顶点为 B， 连接 AB、BO. （1）求二次函数表达式； （2）若 C 是 BO 的中点，点 Q 在线段 AB 上，设点 B 关于直线 CQ 的对称点为，当为等边三 角形时，求 BQ 的长度； （3）若点 D 在线段 BO 上，点 E、F 在的边上，且满足与全等， 求点 E 的坐标. 【解答】（1）；（2）；（3）， 【解析】 （1）将点 A 的坐标代入二次函数解析式可得，解得， 该二次函数表达式为； （2），抛物线的对称轴为，如图所示： 由两点间距离公式可得， 点 C 是 OB 的中点，为等边三角形， 又

3、点 B 与点 B关于 CQ 对称， ， 在中， ； （3）当 F 在边 OA 上时： 1）如图 1，过点 D 作轴，垂足为 F，且 E 在线段 OA 上， 由（2）得，点 D 在线段 BO 上， 则； x y x y x y 图图3 图图2 图图1 N M E G E F B AO EF B AO B AO D D D F 2）如图 2，过点 D 作轴于 F，过点 D 作轴，交 AB 于 E，连接 EF，过点 E 作轴于 G， ， ， 同理可得 ，； 3）如图 3，将沿边 DF 翻折，使得 O 恰好落在 AB 边上，记为点 E，过点 B 作轴于 M， 过点 E 作于 N，由翻折性质可得， 在中

4、，由勾股定理得， 则 ，； 当点 F 在 AB 上时： 过点 D 作轴，交 AB 于点 F，连接 OF 与 OA， 轴， 由抛物线的对称性可得， x y F B A(E)O D 则 则，点 E 与点 A 重合，此时点 E 的坐标为. 综上，点 E 的坐标为，. 巩固练习巩固练习 1. 如图，抛物线与轴交，与轴交于点 D，顶点为 C. （1）求此抛物线的解析式； （2）在轴下方的抛物线上是否存在点 M，过点 M 作轴于点 N，使以 A、M、N 为顶点的三角形 与相似？若存在，求出点 M 的坐标；若不存在，请说明理由. 【解答】 （1）； （2）、 【解析】 （1）抛物线与轴交两点， 解得， 抛物

5、线的解析式为； （2）由，得， 如图 1，由，可得 ， x y C D BA O 与都是直角三角形，设 M 的横坐标是，分类讨论： 如图 2，当，且 M 在 A 右侧时， 解得时，此时； 如图 3，当，且 M 在 A 左侧时， 解得，不符合题意； 如图 4，当，且 M 在 A 右侧时， 解得，此时； 如图 5，当，且 M 在 A 左侧时， 解得，此时. x y x y x y 图图3图图2 图图1 M N D A O A D N M O H C D BA O x y x y 图图5 图图4 D(M) A O(N) A D N O M 2. 如图，在中，的半径为 2，动点 P 从点 B 出发沿

6、BC 方向 以每秒 1 个单位的速度向点 C 运动，延长 BA 交于点 D，连接 AP 交于点 E，连接 DE 并延长交 BC 于点 F.设点 P 运动的时间为 秒，当与相似时，求 的值. 【解答】 【解析】当时，如图所示： 与 AC 重合，. 3. 如图，已知抛物线（ 是实数且）与轴分别交于 A、B 两点（点 A 位于点 B 的左侧） ，与轴正半轴交于点 C. F D E C B A P F E D C B A P （1）点 B 的坐标为 ，点 C 的坐标为 （用含 b 的代数式表示） ； （2）请你探索在第一象限内是否存在点 P，使得四边形 PCOB 的面积等于 2b，且是以点 P 为直角

7、 顶点的等腰三角形？如果存在，求出点 P 的坐标；如果不存在，请说明理由； （3）请你进一步探索在第一象限内是否存在点 Q，使得、中任意两个三角形均 相似（全等可看作相似的特殊情况）？如果存在，求出点 Q 的坐标；如果不存在，请说明理由. 【解答】 （1），； （2）； （3）或 【解析】 （1）令，即，解得， b 是实数且，点 A 位于点 B 的左侧， 令，解得，； （2）假设存在这样的点 P，使得四边形 PCOB 的面积等于 2b，且是以点 P 为直角顶点的等腰三角 形，过点 P 作轴于点 D，过点 P 作于点 E，连接 OP，如图所示： 设点 P 的坐标为，则， y x O C AB P y x E D O C AB P 四边形 PEOD 是矩形， 即， 由解得， ， 即，解得，符合题意，； （3）假设存在这样的点 Q，使得、中任意两个三角形均相似， 要使、相似，只能是， 只能， 此时由， 要使、相似，只能或. 当时， 由得，解得 ； 当时，即， 又， 即，解得，此时符合题意， 综上，存在点或，使得、中任意两个三角形均相似.