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1、数学数学 章末总结章末总结 数学数学 网络建构网络建构 数学数学 知识辨析知识辨析 判断下列说法是否正确判断下列说法是否正确.(.(请在括号中画“请在括号中画“”或“”或“”)”) 1.1.在分步乘法计数原理中在分步乘法计数原理中, ,事情是分两步完成的事情是分两步完成的, ,其中任何一个单独的步其中任何一个单独的步 骤都能完成这件事骤都能完成这件事.(.( ) ) 2.2.在一次运动会上有四项比赛在一次运动会上有四项比赛, ,冠军在甲、乙、丙三人中产生冠军在甲、乙、丙三人中产生, ,那么不同那么不同 的夺冠情况共有的夺冠情况共有4 43 3种种.(.( ) ) 3.3.两个排列的元素相同两个

2、排列的元素相同, ,则这两个排列是相同的排列则这两个排列是相同的排列.(.( ) ) 4.4.从从5 5个人中选个人中选2 2个人分别去植树和种菜是组合问题个人分别去植树和种菜是组合问题.(.( ) ) 5.5.求从求从4 4名男生和名男生和3 3名女生中选出名女生中选出3 3人人, ,分别从事三种不同的工作分别从事三种不同的工作, ,若这若这3 3人人 中至少有中至少有1 1名女生的选派方案共有多少种名女生的选派方案共有多少种, ,可用间接法求解可用间接法求解.(.( ) ) 数学数学 6.6.Ck n a a n n- -k kb bk k 是是(a+b)(a+b) n n 展开式中的第展

3、开式中的第 k k 项项.(.( ) ) 7.7.二项展开式中系数最大项与二项式系数最大项相同二项展开式中系数最大项与二项式系数最大项相同.(.( ) ) 数学数学 题型归纳题型归纳素养提升素养提升 真题体验真题体验素养升级素养升级 数学数学 题型归纳题型归纳素养提升素养提升 题型一题型一 两个计数原理两个计数原理 典例典例1 1 从从1 1到到199199的自然数中的自然数中, ,有多少个个位数字上不含有多少个个位数字上不含3 3的数的数? ? 解解: :一位数中不含数字一位数中不含数字3 3的数共有的数共有m m1 1= =8 8个个. .两位数中个位数字不含两位数中个位数字不含3 3 的

4、数可分两步确定的数可分两步确定: :第一步先确定个位数第一步先确定个位数, ,除数字除数字3 3外外, ,有有9 9种选法种选法( (即只即只 能从能从0 0, ,1 1, ,2 2, ,4 4, ,5 5, ,6 6, ,7 7, ,8 8, ,9 9中选一个中选一个),),而十位数字也有而十位数字也有9 9种选法种选法( (即只能从即只能从 1 1, ,2 2, ,3 3, ,4 4, ,5 5, ,6 6, ,7 7, ,8 8, ,9 9中选一个中选一个) ). .根据分步乘法计数原理可知根据分步乘法计数原理可知, ,满足条件满足条件 的两位数共有的两位数共有m m2 2= =9 99

5、 9= =8181种种. . 数学数学 三位数中个位数字不含三位数中个位数字不含3 3的数可分三步确定的数可分三步确定: :第一步先确定个位数第一步先确定个位数, ,除除 数字数字3 3外外, ,有有9 9种选法种选法, ,而十位数字可以从而十位数字可以从0,1,2,3,0,1,2,3,9,9的十个数字中任的十个数字中任 选一种选一种, ,共有共有1010种种, ,百位数字只有百位数字只有1 1这一种情况这一种情况, ,因此所求满足条件的因此所求满足条件的3 3位位 数共有数共有m m3 3=9=910101=901=90种种. . 综合综合, ,由分类加法计数原理知满足条件的数共有由分类加法

6、计数原理知满足条件的数共有N=mN=m1 1+m+m2 2+m+m3 3 =8+81+90=179(=8+81+90=179(个个).). 数学数学 规律方法规律方法 根据问题的特点根据问题的特点, ,确定一个分类标准确定一个分类标准, ,然后进行分类然后进行分类, ,类别要不重不漏类别要不重不漏, , 计算每一类的个数时计算每一类的个数时, ,分步要合理分步要合理, ,每一步的方法要计算准确每一步的方法要计算准确. . 数学数学 题型二题型二 排列与组合排列与组合 典例典例2 2 用用0,1,2,3,4,50,1,2,3,4,5可组成多少个无重复数字的可组成多少个无重复数字的 (1)(1)被

7、被3 3整除的四位数整除的四位数; ; 解解: :(1)(1)各位数字之和是各位数字之和是 3 3 的倍数的数能被的倍数的数能被 3 3 整除整除, ,符合题意的有符合题意的有 法一法一 含含 0,30,3 时时, ,则需在则需在 1,41,4 和和 2,52,5 中各取中各取 1 1 个个, ,此时有此时有 1113 2233 C C C A个个; ; 含含0,30,3中的一个时中的一个时, ,均不能构成被均不能构成被3 3整除的数整除的数; ; 不含不含 0,30,3 时时, ,由由 1,2,4,51,2,4,5 可组成可组成 4 4 A个个. . 由分类加法计数原理知共有由分类加法计数原

8、理知共有 1113 2233 C C C A+ + 4 4 A=96(=96(个个).). 数学数学 法二法二 含含 0 0 其余三个数字和能被其余三个数字和能被 3 3 整除整除, ,按顺序找有按顺序找有 123,135,234,123,135,234, 345345 再排有再排有 4 4 13 33 C A种种; ; 不含不含 0 0 则五个数中去掉一个数则五个数中去掉一个数, ,其余四个数和能被其余四个数和能被 3 3 整除只整除只有有 12451245 再排有再排有 4 4 A. . 由分类加法计数原理知共有由分类加法计数原理知共有 4 4 13 33 C A+ + 4 4 A=96(

9、=96(个个).). 数学数学 解解: :(2)(2)被被 5 5 整除的四位数包括以下两类整除的四位数包括以下两类: :末位是末位是 0,0,只需从只需从 1,2,3,4,1,2,3,4, 5 5 中选中选 3 3 个排列有个排列有 3 5 A=5=54 43=603=60 个个. . (2)(2)被被5 5整除的四位数整除的四位数. . 末位是末位是 5,5,首位从首位从 1,2,3,41,2,3,4 中选中选 1 1 个有个有 1 4 C, ,中间两位从中间两位从 1,2,3,41,2,3,4 中中 剩余的剩余的 3 3 个及个及 0 0 选选 2 2 个排列有个排列有 2 4 A=12

10、=12 个个, ,由分步乘法计数原理可知有由分步乘法计数原理可知有 1 4 C12=4812=48 个个. . 因此能够被因此能够被 5 5 整除的无重复数字的四位数有整除的无重复数字的四位数有 60+48=10860+48=108 个个. . 数学数学 规律方法规律方法 解答排列解答排列、组合应用题要从组合应用题要从“分析分析”“”“分辨分辨”“”“分类分类”“”“分步分步”的的 角度入手角度入手,(,(1 1) )“分析分析”就是找出题目的条件就是找出题目的条件、结论结论, ,哪些是哪些是“元素元素”, , 哪些是哪些是“位置位置”; ;( (2 2) )“分辨分辨”就是辨别是排列还是组合

11、就是辨别是排列还是组合, ,对某些元素对某些元素 的位置有的位置有、无限制等无限制等; ;( (3 3) )“分类分类”就是将较复杂的应用题中的元素就是将较复杂的应用题中的元素 分成互相排斥的几类分成互相排斥的几类, ,然后逐类解决然后逐类解决; ;( (4 4) )“分步分步”就是把问题化成几就是把问题化成几 个互相联系的步骤个互相联系的步骤, ,而每一步都是简单的排列而每一步都是简单的排列、组合问题组合问题, ,然后逐步然后逐步 解决解决. . 数学数学 题型三题型三 二项式定理二项式定理 典例典例 3 3 (2018(2018江苏省苏州市高二下调研江苏省苏州市高二下调研) )已知已知 f

12、 fn n(x)=(x)=( (x x 2 2+ + 3 3a x ) ) n n,n ,nN N * *. . (1)(1)当当a=1a=1时时, ,求求f f5 5(x)(x)展开式中的常数项展开式中的常数项; ; 解解: :二项式二项式( (x x 2 2+ + 3 3a x ) ) n n 的展开式通项为的展开式通项为 T Tr+1 r+1= =Cr n (x(x 2 2) )n n- -r r( ( 3 3a x ) ) r r= = Cr n (3a)(3a) r rx x2n2n- -5r5r(r=0,1,2, (r=0,1,2,n),n), (1)(1)当当 n=5,a=1n=

13、5,a=1 时时, ,令令 2n2n- -5r=0,5r=0,则则 r=2.r=2. 所以所以 f f5 5(x)(x)的展开式的常数项为的展开式的常数项为 T T3 3=9=9 2 5 C=90.=90. 数学数学 解解: :(2)(2)令令 2n2n- -5r=7,5r=7,则则 r=r= 27 5 n N N, ,所以所以 n n 的最小值为的最小值为 6,6, 当当 n=6n=6 时时, ,二项式二项式( (x x 2 2+ + 3 3a x ) ) 6 6 的展开式通项为的展开式通项为 T Tr+1 r+1= = 6 Cr(3a)(3a) r rx x1212- -5r5r(r=0,

14、1,2, (r=0,1,2,6),6), 则展开式中含则展开式中含 x x 的正整数次幂的项为的正整数次幂的项为 T T1 1,T,T2 2,T,T3 3, , 它们的系数之和为它们的系数之和为 0 6 C+ + 1 6 C(3a)+(3a)+ 2 6 C(3a)(3a) 2 2=1+18a+135a =1+18a+135a 2 2=10, =10, 即即 15a15a 2 2+2a +2a- -1=0,1=0,解得解得 a=a=- - 1 3 或或 1 5 . . (2)(2)若二项式若二项式f fn n(x)(x)的展开式中含有的展开式中含有x x7 7的项的项, ,当当n n取最小值时取

15、最小值时, ,展开式中含展开式中含x x 的正整数次幂的项的系数之和为的正整数次幂的项的系数之和为10,10,求实数求实数a a的值的值. . 数学数学 规律方法规律方法 求解二项展开式的特定项问题求解二项展开式的特定项问题, ,要结合题目要求及展开式的通项公要结合题目要求及展开式的通项公 式求解式求解. .而涉及展开式的系数问题应注意区分二项式系数与展开式而涉及展开式的系数问题应注意区分二项式系数与展开式 中项的系数的区别中项的系数的区别. . 数学数学 题型四题型四 易错辨析易错辨析 典例典例4 4 4 4个不同的小球放入编号为个不同的小球放入编号为1,2,3,41,2,3,4的的4 4个

16、盒子中个盒子中, ,则恰好有则恰好有1 1个个 空盒子的放法有空盒子的放法有 种种.(.(用数字作答用数字作答) ) 错解错解 1:1:从从 4 4 个小球中任取个小球中任取 3 3 个小球个小球, ,有有 3 4 C种取法种取法, ,从从 4 4 个盒子中任取个盒子中任取 3 3 个个 盒子盒子, ,有有 3 4 C种取法种取法, ,将将 3 3 个小球放入取出的个小球放入取出的 3 3 个盒子中个盒子中, ,有有 3 3 A种放法种放法, ,再把再把 余下的余下的 1 1 个小球放入个小球放入 3 3 个盒子中的个盒子中的 1 1 个个, ,有有 3 3 种放法种放法. .所以满足题意的放

17、法所以满足题意的放法 有有 3 4 C 3 4 C 3 3 A3=288(3=288(种种).). 错解错解 2:2:将将 3 3 个小球放入个小球放入 4 4 个盒子中个盒子中, ,有有 3 4 A种放法种放法, ,再把再把余下的余下的 1 1 个小球放个小球放 入入 3 3 个盒子中的个盒子中的 1 1 个个, ,有有 3 3 种放法种放法, ,所以满足题意的放法有所以满足题意的放法有 3 4 A3=72(3=72(种种).). 数学数学 纠错纠错: :错解错解1 1中重复计数中重复计数; ;错解错解2 2中遗漏计数中遗漏计数. .分析如下分析如下: :设设4 4个不同的小球个不同的小球

18、为为a,b,c,d,a,b,c,d,从从4 4个小球中取出个小球中取出3 3个个. .若取出的是若取出的是a,b,c,a,b,c,则则d d与与a,b,ca,b,c搭配搭配, ,有有 a,da,d; ;b,db,d; ;c,d,c,d,若取出的是若取出的是b,c,d,b,c,d,则则a a与与b,c,db,c,d搭配搭配, ,有有b,ab,a; ;c,ac,a; ;d,ad,a. .其中其中 a,da,d与与d,ad,a是同一种情况是同一种情况. .这就是错解这就是错解1 1解答出错的地方解答出错的地方. .取取3 3个小球个小球, ,如如 a,b,c,a,b,c,则则d d与与a,b,ca,

19、b,c搭配搭配, ,有有a,da,d; ;b,db,d; ;c,d,c,d,但遗漏了但遗漏了a,ba,b; ;b,cb,c; ;a,ca,c这这3 3种情种情 况况. .这就是错解这就是错解2 2解答出错的地方解答出错的地方. . 正解正解: :由题意知由题意知, ,必有必有1 1个盒子内放入个盒子内放入2 2个小球个小球, ,从从4 4个小球中取出个小球中取出2 2个小球个小球, , 有有 2 4 C种取法种取法, ,此时把它看作此时把它看作 1 1个小球个小球, ,与另与另2 2 个小球共个小球共 3 3 个小球放入个小球放入 4 4 个盒个盒 子中子中, ,有有 3 4 A种放法种放法,

20、 ,所以满足题意的放法有所以满足题意的放法有 2 4 C 3 4 A=144(=144(种种).). 答案答案: :144144 数学数学 真题体验真题体验素养升级素养升级 1 1.(2018.(2018全国卷全国卷) )( (x x 2 2+ +2 x ) ) 5 5 的展开式中的展开式中 x x 4 4 的系数为的系数为( ( ) ) (A)10(A)10 (B)20(B)20 (C)40(C)40 (D)80(D)80 解析解析: :( (x x 2 2+ +2 x ) ) 5 5 的展开式的通项公式为的展开式的通项公式为 T Tr+1 r+1= = 5 Cr(x(x 2 2) )5 5

21、- -r r ( ( 2 x ) ) r r= = 5 Cr2 2 r r x x 1010- -3r3r, , 令令 1010- -3r=4,3r=4,得得 r=2.r=2.故展开式中故展开式中 x x 4 4 的系数为的系数为 2 5 C2 2 2 2=40. =40.故选故选 C.C. C C 数学数学 2.2.(2017(2017全国卷全国卷) )( (1+1+ 2 1 x ) ) (1+x)(1+x) 6 6 展开式中展开式中 x x 2 2 的系数为的系数为( ( ) ) (A)15(A)15 (B)20(B)20 (C)30(C)30 (D)35(D)35 C C 解析解析: :

22、因为因为(1+x)(1+x) 6 6 展开式的通项为展开式的通项为 T Tr+1 r+1= = 6 Crx x r r, , ( (1+1+ 2 1 x ) )(1+x)(1+x) 6 6 的的 x x 2 2 的系数为的系数为 2 6 C+ + 4 6 C=30.=30.故选故选 C.C. 数学数学 3.3.(2017(2017 全国全国卷卷) )(x+y)(2x(x+y)(2x- -y)y)5 5的展开式中的展开式中x x3 3y y3 3的系数为的系数为( ( ) ) (A)(A)- -8080 (B)(B)- -4040 (C)40(C)40 (D)80(D)80 解析解析: :展开式

23、中含展开式中含 x x 3 3y y3 3 的项为的项为 x x 3 5 C(2x)(2x) 2 2 ( (- -y)y) 3 3+y +y 2 5 C(2x)(2x) 3 3 ( (- -y)y) 2 2. . 故系数为故系数为- -2 2 2 23 5 C+8+8 2 5 C=40.=40.选选 C.C. C C 数学数学 4.4.(2017(2017 全国全国卷卷) )安排安排3 3名志愿者完成名志愿者完成4 4项工作项工作, ,每人至少完成每人至少完成1 1项项, , 每项工作由每项工作由1 1人完成人完成, ,则不同的安排方式共有则不同的安排方式共有( ( ) ) (A)12(A)1

24、2种种 (B)18(B)18种种 (C)24(C)24种种 (D)36(D)36种种 D D 解析解析: :先将先将 4 4 项工作分为项工作分为 3 3 组组, ,再排列再排列, ,共有共有 23 43 C A=36=36 种不同的方法种不同的方法. .故故 选选 D.D. 数学数学 5.5.(2019(2019 全国全国卷卷) )(1+2x(1+2x2 2)(1+x)(1+x)4 4的展开式中的展开式中x x3 3的系数为的系数为( ( ) ) (A)12(A)12 (B)16(B)16 (C)20(C)20 (D)24(D)24 A A 解析解析: :因为因为(1+x)(1+x) 4 4

25、 展开式的通项为展开式的通项为 T Tr+1 r+1= = 4 Crx x r r, ,所以 所以(1+2x(1+2x 2 2)(1+x) )(1+x) 4 4 的展开的展开 式中式中 x x 3 3 的系数为的系数为 3 4 C+2+2 1 4 C=12.=12. 故选故选 A.A. 数学数学 6.6.(2018(2018浙江卷浙江卷) )二项式二项式( ( 3 x+ + 1 2x ) ) 8 8 的展开式的常数项是的展开式的常数项是 . . 解析解析: :由题意由题意, ,得得 T Tr+1 r+1= = 8 Cr( ( 3 x) ) 8 8- -r r ( ( 1 2x ) ) r r

26、= = 8 Cr( ( 1 2 ) ) r r 8 3 r x x x - -r r = = 8 Cr( ( 1 2 ) ) r r 8 4 3 r x . . 令令 84 3 r =0,=0,得得 r=2.r=2.因此常数项为因此常数项为 T T3 3= = 2 8 C( ( 1 2 ) ) 2 2= =8 7 2 1 4 =7.=7. 答案答案: :7 7 数学数学 7.7.(2018(2018 浙江卷浙江卷) )从从1,3,5,7,91,3,5,7,9中任取中任取2 2个数字个数字, ,从从0,2,4,60,2,4,6中任取中任取2 2个个 数字数字, ,一共可以组成一共可以组成 个没有重复数字的四位数个没有重复数字的四位数.(.(用数字作答用数字作答) ) 解析解析: :不含有不含有 0 0 的四位数有的四位数有 2 5 C 2 3 C 4 4 A=720(=720(个个).). 含有含有 0 0 的四位数有的四位数有 2 5 C 1 3 C 1 3 C 3 3 A=540(=540(个个).). 综上综上, ,四位数的个数为四位数的个数为 720+540=1 260.720+540=1 260. 答案答案: :1 2601 260 数学数学 点击进入点击进入 检测试题检测试题